I due Teoremi di Euclide

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1 a.a I due Teoremi di Euclide Did. della Matematica 2 I.Capoccetta F.Spilabotte

2 Prerequisiti: Conoscere il significato di congruenza ed equivalenza Conoscere ed operare col Teorema di Pitagora Saper operare con rapporti e proporzioni Conoscere il concetto di similitudine Riconoscere e disegnare figure simili Conoscere i criteri di similitudine dei triangoli Obiettivi: Conoscere ed applicare i Teoremi di Euclide Riconoscere e risolvere problemi in contesti diversi utilizzando i Teoremi Spiegare il procedimento seguito

3 I teorema di Euclide Due enunciati In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa

4 I teorema di Euclide Osserviamo i triangoli ABC e AHC. Essi hanno: B ĈA = AĤC= 90 C ÂB= C ÂH perché in comune ABC=HĈA perché angoli complementari dell angolo HÂC. Pertanto per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno quindi i lati omologhi, che sono sempre opposti agli angoli congruenti, in proporzione, cioè: AB : AC = AC : AH Osserviamo adesso i triangoli ABC e HBC. Essi hanno:. B ĈA = CĤB= 90. ABC= HBC perché in comune. CÂB=B ĈH perché angoli complementari dell angolo HBC Pertanto per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e hanno i lati omologhi in proporzione, AB : BC = BC : HB

5 Le due proporzioni esprimono il primo teorema di Euclide che può essere così enunciato: In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa

6 C A H B Consideriamo nuovamente il triangolo ABC rettangolo in C e le due relazioni fornite dal primo teorema di Euclide: AB : AC = AC : AH e AB : BC = BC : HB e applichiamo ad entrambe la relazione fondamentale delle proporzioni: AC AC = AB AH e BC BC = AB HB Che possiamo scrivere nel seguente modo: AC 2 = AB AH e BC 2 = AB H Possiamo dunque enunciare il primo teorema di Euclide anche nella seguente formulazione: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa

7 DIMOSTRAZIONE GEOMETRICA Enunciato: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.

8 Il II teorema di Euclide può essere enunciato in due modi diversi ma equivalenti a seconda della proprietà che si desidera sottolineare. Equiestensione tra figure Rapporto tra lunghezze dei segmenti del triangolo

9 Considerando l'equiestensione tra figure il teorema afferma che: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

10 DIMOSTRAZIONE Costruito CL perpendicolare e congruente a CA e CR congruente a CH. Si vuole arrivare a dimostrare che il quadrato HPQB è equivalente al rettangolo RSML. 1) Al triangolo BCH si applica il Teorema di Pitagora quindi CBDE è equivalente alla somma di HPQB e CRSH CBDE= HPQB + CRSH 2) Al triangolo ABC si applica il I Teorema di Euclide e ne consegue che CBDE è equivalente al rettangolo CHML. Dato che CHML = CHSR + RLMS si potrà dedurre che per sottrazione delle aree HPQB è equivalente a RLMS.

11 Se si vuole enfatizzare il rapporto tra le lunghezze dei diversi segmenti del triangolo si utilizza il secondo tipo di enunciato: In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti.

12 Dimostrazione : Il teorema afferma che CH: BH= BH : AH oppure che BH 2 =CH * AH Considerando i triangoli BCH e ABH, dato che BAH è complementare di BCA gli angoli HCB e ABH sono congruenti I triangoli BCH e ABH sono simili per il primo criterio di similitudine. Allora si potrà scrivere la proporzione tra lati corrispondenti: CH: BH= BH : AH che risolta sarà BH 2 =CH * AH

13 Grazie per l'attenzione!!