FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

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1 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE RICHIAMI DI TEORIA Definizione: si dice angolo positivo individuato dalla coppia di semirette r e r' uscenti dal punto O, l'insieme dei punti del piano descritti dai punti di r nella rotazione antioraria che porta r a sovrapporsi con r'. r' P' misura dell'arco AP Definizione: si dice misura in radianti dell'angolo positivo (r,r') il numero reale t = A raggio di C O r C Definizione: una funzione f reale di variabile reale è detta periodica di periodo T se per ogni t dom f risulta anche f t = f t + T. t+t dom f e ( ) ( ) Definizione: Consideriamo la circonferenza goniometrica (circonferenza di centro l'origine e raggio ). Consideriamo un punto P su di essa e l'angolo t formato dal raggio OP e dall'asse delle ascisse. L'ascissa e l'ordinata del punto P sono rispettivamente il coseno ed il seno P = cos t,sin t. dell'angolo t: ( ) P=(cos t, sin t) sin t Definizione: la funzione tangente è definita come tg t = per t + k, k Z. Geometricamente rappresenta l'ordinata cost del punto di intersezione tra la retta parallela all'asse delle ordinate e passante per A=(,) con la retta congiungente l'origine con il punto P= (cos t, sin t). sin t O t cos Politecnico di Torino Pagina di

2 dom f im f periodo grafico Grafico della funzione y=sin(x).5 f ( x) = sin x R [- ] Grafico della funzione y=cos(x).5 f ( x) = cos x R [- ] Grafico della funzione y=tg(x).5 f ( x) = tg x R { x: x = / + k, k Z} R Politecnico di Torino Pagina di

3 Formule trigonometriche fondamentali Angoli notevoli a sin a cos a tg a / - / - /6 / / / /4 / / / / / Relazione fondamentale: cos t + sin t = Archi associati cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) cos( ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) + t = t sin + t = sint tg + t = tgt cos -t = t = t sin -t = sin t = sint tg -t = tgt cos t = t sin t = sint tg t = tgt cos cos + cos = + = + t t sint sin t t tg t = sin t cos t = sint sin t = cost tg t = cotg t = -cotg t Politecnico di Torino Pagina di

4 Formule di addizione: ( ) ( ) ( ) ( ) cos t t = cost cost + sin t sin t cos t + t = cost cost sin t sin t sin t t = sin t cos t sin t cost sin t + t = sin t cos t + sin t cost tg tg tgt tgt = + tgt tgt ( t t ) tgt + tgt + = tgt tgt ( t t ) Formule di duplicazione sin t = sin t cost cost = cos t sin t tgt tgt = - tg t Politecnico di Torino Pagina 4 di

5 Proprietà dei triangoli Triangoli rettangoli b Triangoli qualunque g c a b b = a sinβ = a cosγ c = a sinγ = a cosβ b = c tg β c = b tg γ b g a a c Teorema dei seni: in un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti: b a b c = =. sinα sinβ sinγ Teorema di Carnot: in un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei due altri lati diminuito del doppio del prodotto delle misure di questi due lati moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato: a = b + c bccosα b = a + c accosβ c = a + b ab cosγ Politecnico di Torino Pagina 5 di

6 ESEMPI 5 4. Calcolare il valore dell'espressione sin cos + sin + cos. 6 6 Osservando che 5 4 = ; = + ; =, utilizzando gli archi associati e gli angoli notevoli otteniamo: sin sin sin sin + + = + cos cos cos + cos = + = Calcolare l'espressione cos tg ( α) tg( + α) + sin( α) ( α) cos α cos( α). Utilizzando gli archi associati, otteniamo: cos tg ( α) tg( + α) + sin( α) ( α) cos α cos( α) tg sin( ) ( ) cos( ) cosα α α = -tgα sin α α = Politecnico di Torino Pagina 6 di

7 . Semplificare l'espressione sin α + cos α α sin α + cos. sin α sin α Utilizzando la relazione fondamentale e le formule di duplicazione otteniamo: = sin sinαcosα α + cos α + cos α sin α + sin α + cos α cos α + sin α sin α = tgα + tgα tgα = tgα sinαcosα sinαcosα 4. Risolvere in R le seguenti equazioni elementari: sinx = Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la funzione seno e la retta y= / (esistono punti di intersezione in quanto -< /<). Risolviamo l'equazione nell'intervallo [- ]: tutte le altre soluzioni si otterranno da quelle trovate in tale intervallo per periodicità. Indicando con x la soluzione contenuta nell'intervallo [-/, /], la seconda soluzione x è la simmetrica di x rispetto alla retta x= /: x = x. Abbiamo x = e x = =. Le soluzioni in R sono: x = + k e x = + k, con k Z y=sin(x) y=rad()/ x=pi/ Punti di intersezione x x Politecnico di Torino Pagina 7 di

8 cos x = Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la funzione coseno e la retta y=/ (esistono punti di intersezione in quanto -</<). Risolviamo l'equazione nell'intervallo [- ]: tutte le altre soluzioni si otterranno da quelle trovate in tale intervallo per periodicità. Indicando con x la soluzione contenuta nell'intervallo [, ], la seconda soluzione x è la simmetrica di x rispetto alla retta x= x = x. Abbiamo x = e x =. Le soluzioni in R sono: x = + k e x = + k, k Z y=cos(x) y=/ Punti di intersezione x x tg x = Dal punto di vista geometrico dobbiamo determinare i punti di intersezione tra la funzione tangente e la retta y=. Risolviamo l'equazione nell'intervallo [-/ /]: tutte le altre soluzioni si otterranno da quelle trovate in tale intervallo per periodicità. L'equazione ha una sola soluzione x nell'intervallo [-/, /]. Abbiamo x =. Le soluzioni in R sono: x = + k, con k Z x y=tg(x) y= Punto di intersezione Politecnico di Torino Pagina 8 di

9 5. Risolvere le seguenti equazioni: sin x sin x 4 = + E' semplice verificare che si ha sinα = sinβ α = β + k α = β + k, con k Z. Quindi: 7 x = x + + k x = + k 4, con k Z. x = x + k x = + k cos x = cos( x ) In generale si ha cosα = cosβ α = β + k α = β + k,con k Z. Quindi x = x + k x = + k 5 5, con k Z. x = x + + k x = + k 5 Politecnico di Torino Pagina 9 di

10 6. Risolvere in R l'equazione sinx + cos x = Le equazioni della forma a sin x + b cos x = c con a, b, c R sono dette equazioni lineari in seno e coseno. Vi sono diversi modi per risolverle: descriviamo quello che si basa sull'idea di scriverle sotto la forma ( ) sin x + α = h sinxcosα + sinαcos x = h. Dobbiamo fare in modo che i coefficienti del seno e del coseno siano in modulo minori di, al fine di poterli considerare seno e coseno di uno stesso angolo α. Per comodità possiamo supporre quest'ultimo compreso tra e. Dividiamo, quindi, ambo i membri dell'equazione per la quantità non nulla a + b = + ( ) = : sin x + x = cos. Quindi deve essere cosα = α = sin α = e l'equazione diventa: x + = + k x = + k sin x + x = sin x + sin x = sin x 6 6 cos cos cos + =, con k Z. x + = + k x = + k 6 Politecnico di Torino Pagina di

11 7. Risolvere in R l'equazione 5sin x sin x cos x cos x = Si tratta di un' equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno, che, in generale, ha la forma a sin x + bsin x cosx + ccos x = d, con a, b, c, d R Possiamo ricondurci ad una equazione con secondo membro nullo grazie alla relazione fondamentale: ( ) 5sin x sinxcosx cos x = 5sin x sinx cosx cos x = cos x + sin x sin x sinxcosx cos x = Dividendo ambo i membri per cos x (si verifica facilmente che, se a d, gli x per cui cos x= non sono soluzioni), otteniamo: sin x sinx cosx cos x tgx= t = tg x tgx = t t = t = t = cos x cos x cos x Quindi tg x = x = + k 6 tg x = x = + k, con k Z. Politecnico di Torino Pagina di

12 8. Risolvere in R la disequazione cos( x ) > Risolviamo la disequazione in modo grafico, disegnando la funzioni f ( x) = ( x) cos e la retta y =. Osserviamo che f(x) è una funzione periodica di periodo T=/: possiamo dunque limitare lo studio all'intervallo [-/ /] di ampiezza T. y=cos(x) y= Punti di intersezione soluzione Otteniamo il grafico di f(x) a partire dal grafico di y=cos x con una dilatazione δ(/,). La soluzione della disequazione nell'intervallo [-/ /] è x <x<x. x x x e x sono le soluzioni dell'equazione cos( x ) = in [-/ /]: - - x = e x = La soluzione della disequazione in R è x: + k < x < + k, k Z 9 9 Politecnico di Torino Pagina di