Formulario di Matematica

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1 Nicola Morganti 6 dicembre 00 Indice FORMULE DI GEOMETRIA ANALITICA PIANA. LA RETTA LA CIRCONFERENZA L ELLISSE L IPERBOLE LA PARABOLA TRASFORMAZIONE DELLE COORDINATE ESPONENZIALI E LOGARITMI 7 AREA DELLA SUPERFICIE E VOLUME DI SOLIDI NOTEVOLI 8 FORMULE DI TRIGONOMETRIA 9. RELAZIONI FRA LE FUNZIONI ANGOLI ASSOCIATI FORMULE GONIOMETRICHE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI NOTEVOLI RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE AREA DEL TRIANGOLO FORMULE DI ANALISI. TABELLA DELLE FORMULE E REGOLE DI DERIVAZIONE TABELLA DELLE PRIMITIVE DI ALCUNE FUNZIONI D USO FREQUENTE.

2 Questo documento è soggetto alla legge sulla tutela dei diritti d autore. Si ricorda che, in base alla legge n. 6/9 e successive modificazioni e integrazioni, l autore ha il diritto esclusivo all utilizzazione economica dell opera (Capo III, sezione I.Viene consentita però la riproduzione per uso strettamente personale. In ogni caso questo documento non può essere modificato al di fuori o contro il parere dell autore nè privato di questo avviso. Bergamo 6 dicembre 00 Questo documento è scritto in L A TEX

3 FORMULE DI GEOMETRIA ANALITICA PIANA Distanza fra due punti P (x, y e P (x, y : d = (x x + (y y Coordinate del punto medio M del segmento di estremi P (x, y e P (x, y : x M = x + x, y M = y + y Coordinate del baricentro G del triangolo di vertici P (x, y, P (x, y e P (x, y : x G = x + x + x, y G = y + y + y. LA RETTA a equazione generale: ax + by + c = 0, (a + b 0 b equazione esplicita: y = mx + q c equazione segmentaria: x p + y q = Coefficiente angolare: m = b a = y y x x = tan α Retta passante per due punti P (x, y e P (x, y : y y y y = x x x x Date le rette r, s di equazioni generali: a x + b y + c = 0, e a x + b y + c = 0 oppure di equazioni esplicite: y = m x + q, e y = m x + q : Le due rette sono parallele se e solo se: ( a b = a b, oppure m = m Le due rette sono perpendicolari se e solo se: ( a a + b b = 0, oppure m m =

4 La retta parallela ad r e passante per P (x, y ha equazione: ( a (x x + b (y y = 0, oppure y y = m (x x La retta perpendicolare ad r e passante per P (x, y ha equazione: ( b (x x a (y y = 0, oppure y y = (x x m La distanza assoluta d del punto P (x, y dalla retta r è data da: ( d = a x + b y + c, oppure d = m x y + q a + b m + ATTENZIONE, mentre le equazioni,,, scritte a sinistra sono valide qualunque siano le rette, quelle scritte sulla destra esigono che queste non siano parallele all asse y. a Area del triangolo di vertici P (x, y, P (x, y e P (x, y : A = ± x x y y x x y y, (si sceglie, + o, per il quale risulta: A 0 b Bisettrici degli angoli formati dalle due rette a x + b y + c = 0, e a x + b y + c = 0 : a x + b y + c a + b = ± a x + b y + c a + b c L angolo α formato da due rette non perpendicolari e di equazioni y = m x+ q, e y = m x + q : tan α = ± m m + m m. LA CIRCONFERENZA Circonferenza di centro C(α, β e raggio r con: (x α + (y β = r, oppure: x + y + ax + by + c = 0

5 α = a, β = b, r = (a + ( b + c, con ( a + ( b + c 0 Se P (x, y sta sulla circonferenza T : x + y + ax + by + c = 0, l equazione della retta tangente in P a T ha equazione xx + yy + a x + x + b y + y + c = 0. L ELLISSE Ellisse di centro O e fuochi F ( c, 0, F (c, 0: x a + y b =, con: b = a c. Eccentricità: e = c a <. L IPERBOLE Iperbole di centro O e fuochi F ( c, 0, F (c, 0: Asintoti: x a y b =, con: b = c a. Eccentricità: e = c a > y = b a x e y = b a x Iperbole equilatera: x y = a. Asintoti: y = ±x Iperbole equilatera riferita agli asintoti: xy = k Funzione omografica: y = ax + b cx + d Se c 0 e ad bc esse è rappresentata, in coordinate cartesiane ortogonali, da un iperbole equilatera avente per asintoti le rette di equazioni: x = d c e y = a c

6 . LA PARABOLA Parabola di asse parallelo all asse y, di fuoco F e direttrice d: y = ax + bx + c Posto = b ac per tale parabola avremo le seguenti caratteristiche Vertice V V = ( b a, a Asse di simmetria (parallelo all asse y x = b a Fuoco F F = ( b a, a Direttrice (retta parallela all asse delle x y = + a.6 TRASFORMAZIONE DELLE COORDINATE a Traslazione. Dato un punto P (x, y nel sistema Oxy, questo avrà coordinate P (X, Y nel sistema O XY, con O di coordinate (a, b nel sistema Oxy e gli assi rispettivamente paralleli ed equiversi, secondo la seguente trasformazione: { x = X + a y = Y + b oppure: { X = x a Y = y b b Rotazione. Dato un punto P (x, y nel sistema Oxy, questo avrà coordinate P (X, Y nel sistema OXY, con α = xx, secondo la seguente trasformazione: { x = X cos α Y sin α y = X sin α + Y cos α oppure: { X = x cos α + y sin α Y = x sin α + y cos α 6

7 c Rototraslazione. Dato un punto P (x, y nel sistema Oxy, questo avrà coordinate P (X, Y nel sistema O XY, con α = xx e O di coordinate (a, b nel sistema Oxy, secondo la seguente trasformazione: { x = a + X cos α Y sin α y = b + X sin α + Y cos α oppure: { X = (x a cos α + (y b sin α Y = (x a sin α + (y b cos α c Coordinate Polari. Dato un punto P (x, y nel sistema Oxy, questo avrà coordinate P (ρ, ϑ, dove ρ è la distanza assoluta dell origine e ϑ l angolo formato da ρ con l asse x, positivo se antiorario, secondo la seguente trasformazione: x = ρ cos ϑ y = ρ sin ϑ oppure: ρ = x + y ( y ϑ = arctan x ESPONENZIALI E LOGARITMI Se a > 0, b > 0 e a, l equazione: a x = b ammette una e una sola soluzione. a x = b x = log a b a log a b = b Teoremi sui logaritmi log a (bc = log a b + log a c log a b c = log a b log a c log b N = log a N log a b log a n b m = m n log a b log a b c = c log a b log n a b = n log a b log b a log a b = log a n b n = log a b 7

8 AREA DELLA SUPERFICIE E VOLUME DI SOLIDI NOTEVOLI Nella tabella seguente indicheremo con: A l l area della superficie laterale; A b, A, A l area della superficie di base; h la misura dell altezza; a la misura dell apotema; A t l area della superficie totale; V il volume; p la misura del perimetro della base; r la misura del raggio di base; Solido Area Laterale Area Totale Volume Prisma Retto A l = ph A t = A l + A b V = A b h Tronco di Piramide A l = p + p a A t = A l + A + A V = h(a + A + AA Parallelepipedo A t = (ab + bc + ac V = abc Cubo A t = 6l V = l Cilindro A l = πrh A t = πr(r + h V = πr h Piramide Retta A l = a p A t = A l + A b V = A b h Cono A l = πra A t = πr(r + a V = πr h Tronco di Cono A l = πa(r + r A t = πa(r + r + πr + πr V = πh(r + r + rr Sfera A t = πr V = πr 8

9 FORMULE DI TRIGONOMETRIA. RELAZIONI FRA LE FUNZIONI La seguente tabella riassume l espressione di tutte le funzioni goniometriche di un angolo orientato mediante una sola di essere Noto sin α cos α tan α cot α sin α sin α ± sin sin α α ± sin α ± sin α sin α cos α ± cos α cos α ± cos α cos α cos α ± cos α tan α tan α ± + tan α ± + tan α tan α tan α cot α ± + cot α ± cot α + cot α cot α cot α. ANGOLI ASSOCIATI Angoli opposti Angoli supplementari Angoli che differiscono di un angolo piatto sin( α = sin α cos( α = cos α tan( α = tan α sin(π α = sin α cos(π α = cos α tan(π α = tan α sin(π + α = sin α cos(π + α = cos α tan(π + α = tan α 9

10 Angoli esplementari Angoli complementari Angoli che differiscono di un angolo retto sin(π α = sin α cos(π α = cos α tan(π α = tan α ( π sin α = cos α ( π cos α = sin α ( π tan α = cot α ( π sin + α = cos α ( π cos + α = sin α ( π tan + α = cot α. FORMULE GONIOMETRICHE Formule di addizione sin(α + β = sin α cos β + sin β cos α cos(α + β = cos α cos β sin α sin β tan α + tan β tan(α + β = tan α tan β Formule di sottrazione sin(α β = sin α cos β sin β cos α cos(α β = cos α cos β + sin α sin β tan α tan β tan(α β = + tan α tan β Formule di duplicazione sin(α = sin α cos α cos(α = cos α sin α = sin α = cos α tan(α = tan α tan α Formule di triplicazione sin(α = sin α sin α cos(α = cos α cos α tan(α = tan α tan α tan α Formule di bisezione ( α cos α sin = ( α + cos α cos = ( α cos α tan = + cos α = sin α + cos α = cos α sin α 0

11 Formule di prostaferesi sin(p + sin(q = sin p + q sin(p sin(q = cos p + q cos(p + cos(q = cos p + q cos(p cos(q = sin p + q cos p q sin p q cos p q sin p q Formule di Werner sin(α sin(β = [cos(α β cos(α + β] cos(α cos(β = [cos(α + β cos(α β] sin(α cos(β = [sin(α + β + sin(α β] ( α Espressione di sin(α, cos(α, tan(α in funzione di t = tan sin(α = t + t cos(α = t + t tan(α = t t Relazioni fra gli elementi di un triangolo rettangolo Se ABC è un triangolo rettangolo in A, indichiamo con a, b, c, le misure dei lati rispettivamente opposti ai vertici A, B, C e con α, β, γ, le misure degli angoli aventi i vertici rispettivamente in A, B, C. Valgono quindi l seguenti relazioni: b = a sin β c = a cos β b = c tan β c = b cot β c = a sin γ b = a cos γ c = b tan γ b = c cot γ

12 . FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI NOTEVOLI Angolo orientato Funzione Goniometrica in gradi in radianti seno coseno tangente cotangente non esiste 9 π 0 π 8 π 0 0 π 8 0 π 6 6 π π π 0 60 π 7 π 7 π 90 π non esiste 0

13 . RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE. Teorema dei seni (o di EULERO e della corda: a sin α = b sin β = c sin γ = R dove R indica il raggio del cerchio circoscritto al triangolo.. Teorema delle proiezioni a = b cos γ + c cos β b = c cos α + a cos γ c = a cos β + b cos α. Teorema del coseno o di CARNOT. Teorema delle tangenti o di NEPERO a = b + c bc cos α b = c + a ac cos β c = a + b ab cos γ a b a + b. Formule di BRIGGS α β tan = tan α+β sin α = (p b(p c bc b c b + c β γ tan = tan β+γ cos α = (p(p a bc c a c + a γ α tan = tan γ+α tan α = (p b(p c p(p a.6 AREA DEL TRIANGOLO S = ab sin γ = bc sin α = ca sin β S = a sin β sin γ sin α = b sin γ sin α sin β = c sin α sin β sin γ S = p(p a(p b(p c (Formula di ERONE ove p, indica il semiperimetro del triangolo.

14 FORMULE DI ANALISI. TABELLA DELLE FORMULE E REGOLE DI DERIVAZIONE D(x α = αx α D(sin x = cos x Funzione Costante D(costante = 0 Funzione Potenza D(sgnx = x x Funzioni Goniometriche D(cos x = sin x D(tan x = cos x = + tan x D(cot x = sin x = ( + cot x Funzione logaritmica D(log a x = x log a e = x ln a in particolare: D(ln x = x Esponenziale D(a x = a x ln a in particolare: D(e x = e x D(sinh x = cosh x Funzioni iperboliche D(cosh x = sinh x D(tanh x = cosh x D(coth x = sinh x Inverse delle Funzioni Goniometriche D(arcsin x = D(arccos x = x x D(arctan x = + x D(arccotx = + x D[kf(x] = kf (x Principali regole di derivazione D[f(x + g(x] = f(x + g(x D[f(xg(x] = f (x g(x + f(x g (x D[f(x] n = n[f(x] n f (x D f(x g(x = f (x g(x f(x g (x [g(x] De f(x = e f(x f (x Df[g(x] = f [g(x] g (x Da f(x = a f(x ln a f (x D(ln f(x = f (x f(x

15 . TABELLA DELLE PRIMITIVE DI ALCUNE FUNZIONI D USO FREQUENTE x n dx = n + xn+ + c (n sin xdx = cos x + c tan xdx = ln cos x + c cos dx = tan x + c x e x dx = e x + c x dx = arcsin a x a + c f(x n f (xdx = n + f(xn+ + c (n a x dx = ( a arcsin x a + x a x + c tan sin x dx = ln x + c sin xdx = (x sin x cos x + c sinh xdx = cosh x + c cosh dx = tanh x + c x dx = ln x + c x cos xdx = sin x + c cot xdx = ln sin x + c sin dx = cot x + c x a x dx = ln a ax + c a + x dx = a arctan x a + c f (x dx = ln f(x + c f(x x x ± a dx = ln + x ± a + c ( tan x cos x dx = ln + π + c cos xdx = (x + sin x cos x + c cosh xdx = sinh x + c sin dx = coth x + c x