Prerequisiti di Matematica Trigonometria

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1 Prerequisiti di Matematica Trigonometria Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci [email protected] [email protected] Università di Napoli Parthenope

2 Angoli Un angolo è una porzione di piano racchiusa fra due semirette con l origine in comune (il vertice).

3 Angoli Un angolo è una porzione di piano racchiusa fra due semirette con l origine in comune (il vertice). In effetti le due semirette individuano due angoli (α e β).

4 Angoli Un angolo è una porzione di piano racchiusa fra due semirette con l origine in comune (il vertice). In effetti le due semirette individuano due angoli (α e β). Per precisare a quale angolo ci riferiamo, dobbiamo specificare qual è il primo lato e quale il secondo lato. Intendiamo così l angolo spazzato dal primo lato per sovrapporsi al secondo lato ruotando in senso antiorario (angolo positivamente orientato)

5 Angoli Un angolo è una porzione di piano racchiusa fra due semirette con l origine in comune (il vertice). In effetti le due semirette individuano due angoli (α e β). Per precisare a quale angolo ci riferiamo, dobbiamo specificare qual è il primo lato e quale il secondo lato. Intendiamo così l angolo spazzato dal primo lato per sovrapporsi al secondo lato ruotando in senso antiorario (angolo positivamente orientato)

6 Angoli: gradi e radianti Misureremo gli angoli in radianti. Per farlo, fissiamo nel piano un riferimento cartesiano e tracciamo la circonferenza unitaria (centrata nell origine, di raggio 1). Riportiamo poi l angolo in modo che il vertice coincida con l origine ed il primo lato con la semiretta delle x positive. La misura dell angolo in radianti è la lunghezza dell arco di circonferenza intercettatto.

7 Angoli: gradi e radianti La misura dell angolo in radianti è la lunghezza dell arco di circonferenza intercettatto. In tal modo, l angolo giro corrisponde alla lunghezza della circonferenza, cioè 2π. Poiché l angolo giro misura 360 gradi, possiamo impostare il rapporto α g : 360 = α r : 2π da cui le equivalenze α r = π 180 α g o α g = 180 π α r

8 Angoli: gradi e radianti La misura dell angolo in radianti è la lunghezza dell arco di circonferenza intercettatto. Una misura positiva corrisponde ad un angolo positivamente orientato (cioè orientato in senso antiorario), mentre una misura negativa corrisponde ad un angolo negativamente orientato (cioè orientato in senso orario).

9 Angoli: gradi e radianti Riportiamo in un diagramma le misure degli angoli più usati: 0 = 0 30 = π/6 45 = π/4 60 = π/3 90 = π/2 120 = 2π/3 135 = 3π/4 150 = 5π/6 180 = π 270 = 3π/2 360 = 2π

10 Seno e Coseno Nel nostro riferimento cartesiano, assegnare un angolo è equivalente ad indicare le coordinate del punto P intercettato dal suo secondo lato sulla circonferenza unitaria.

11 Seno e Coseno Nel nostro riferimento cartesiano, assegnare un angolo è equivalente ad indicare le coordinate del punto P intercettato dal suo secondo lato sulla circonferenza unitaria. Definizione Il seno di un angolo α (in simboli, sin α) è l ordinata del punto P.

12 Seno e Coseno Nel nostro riferimento cartesiano, assegnare un angolo è equivalente ad indicare le coordinate del punto P intercettato dal suo secondo lato sulla circonferenza unitaria. Definizione Il seno di un angolo α (in simboli, sin α) è l ordinata del punto P. Il coseno di un angolo α (in simboli, cos α) è l ascissa del punto P.

13 Percorrendo la circonferenza in senso antiorario, ci accorgiamo che dopo un angolo 2π ci ritroviamo al punto iniziale, quindi tutti gli angoli di tipo α, α + 2π... α + 2kπ con k Z rappresentano lo stesso punto sulla circonferenza. sin(α + 2kπ) = sin α cos(α + 2kπ) = cos α k Z Diremo che seno e coseno hanno periodo 2π.

14 Percorrendo la circonferenza in senso antiorario, ci accorgiamo che dopo un angolo 2π ci ritroviamo al punto iniziale, quindi tutti gli angoli di tipo α, α + 2π... α + 2kπ con k Z rappresentano lo stesso punto sulla circonferenza. sin(α + 2kπ) = sin α cos(α + 2kπ) = cos α k Z Diremo che seno e coseno hanno periodo 2π. Altre importanti proprietà: sin α 1 cos α 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 sin( α) = sin α cos( α) = cos α

15 Riportiamo in un diagramma i valori dei seni e coseni più usati: sin 0 = 0, cos 0 = 1 sin π 6 = 1 2, cos π 6 = 3 2 sin π 4 = 2 2, cos π 4 = 2 2 sin π 3 = 3 2, cos π 3 = 1 2 sin π 2 = 1, cos π 2 = 0 Per simmetria si ricavano anche sin 2π 3 = 3 2, cos 2π 3 = 1 2 sin 3π 4 = 2 2, cos 3π 4 = 2 2 sin 5π 6 = 1 2, cos 5π 6 = 3 2 sin π = 0, cos π = 1 sin 3π 2 = 1, cos 3π 2 = 0

16 Formule di addizione sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β

17 Formule di addizione sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β da cui si ricavano Formule di duplicazione sin(2α) = 2 sin α cos α cos(2α) = cos 2 α sin 2 α

18 Formule di addizione sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β da cui si ricavano Formule di duplicazione sin(2α) = 2 sin α cos α cos(2α) = cos 2 α sin 2 α Formule di sottrazione sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β

19 Formule di addizione sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β da cui si ricavano Formule di duplicazione sin(2α) = 2 sin α cos α cos(2α) = cos 2 α sin 2 α Formule di sottrazione sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β Simmetrie sin(π + α) = sin α sin(π α) = sin α cos(π + α) = cos α cos(π α) = cos α sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 α) = cos α cos(π/2 + α) = sin α cos(π/2 α) = sin α

20 Tangente Definizione La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e il suo coseno tgα = sin α cos α

21 Tangente Definizione La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e il suo coseno tgα = sin α cos α Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza del segmento intercettato dall angolo α sulla retta x = 1.

22 Tangente Definizione La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e il suo coseno tgα = sin α cos α Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza del segmento intercettato dall angolo α sulla retta x = 1. È definita per α π/2 + kπ con k Z.

23 Tangente Definizione La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e il suo coseno tgα = sin α cos α Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza del segmento intercettato dall angolo α sulla retta x = 1. È definita per α π/2 + kπ con k Z. Ha periodo π: tg(α + kπ) = tgα

24 Tangente Definizione La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e il suo coseno tgα = sin α cos α Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza del segmento intercettato dall angolo α sulla retta x = 1. È definita per α π/2 + kπ con k Z. Ha periodo π: tg(α + kπ) = tgα Formula di addizione tg(α + β) = tgα + tgβ 1 tgα tgβ

25 Tangente Definizione La tangente di un angolo α è il rapporto fra il suo seno e il suo coseno tgα = sin α cos α Geometricamente, la tangente rappresenta la lunghezza del segmento intercettato dall angolo α sulla retta x = 1. È definita per α π/2 + kπ con k Z. Ha periodo π: tg(α + kπ) = tgα Formula di addizione tg(α + β) = tgα + tgβ 1 tgα tgβ Formula di duplicazione tg(2α) = 2tgα 1 tg 2 α

26 Esercizio Calcolare: sin 5π cos 7π/2 sin 9π/2 sin 15π/4 cos 19π/6 cos 22π/3

27 Esercizio Calcolare: sin 5π cos 7π/2 sin 9π/2 sin 15π/4 cos 19π/6 cos 22π/3 Esercizio Determinare tutti i valori dell angolo α per cui risulta sin α = 0 cos α = 0 sin α = 1 cos α = 1/2 sin α = 2/2 cos α = 2/2

28 Equazioni trigonometriche Esercizio Risolvere le equazioni sin 2 x = 1 sin x + cos x = 0 sin 2 x sin x = 0 sin 2 x = 2 cos x cos 2 x + 3 sin x 3 = 0 tg 2 x tgx = 0

29 Disequazioni trigonometriche Esercizio Risolvere le disequazioni sin x > 2/2 cos x < 1/2 cos x < 1/2 sin 1/2 cos x 1 sin 2 x sin x

30 Disequazioni trigonometriche Esercizio Risolvere le disequazioni sin x > 2/2 cos x < 1/2 cos x < 1/2 sin 1/2 cos x 1 sin 2 x sin x Esercizio Risolvere le disequazioni sin x < cos x nell intervallo 0 x π 3 tg 2 x 0 nell intervallo π/2 < x < π/2