ELEMENTI DI GONIOMETRIA E DI TRIGONOMETRIA

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1 Corso di laurea: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta; Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA ELEMENTI DI GONIOMETRIA E DI TRIGONOMETRIA Goniometria e trigonometria sono due termini che derivano dal greco e significano rispettivamente misura degli angoli e misura dei triangoli. Le origini della goniometria e della trigonometria sono assai lontane nel tempo; risalgono a qualche secolo prima di Cristo e sono inizialmente ispirate da esigenze legate alla risoluzione di vari problemi pratici di geodesia, di navigazione, di astronomia, problemi che in genere richiedono di risalire dalla determinazione dì angolazioni e distanze misurabili alla determinazione di altre angolazioni e distanze non direttamente misurabili. A partire dal sedicesimo secolo la trigonometria si sviluppa e si afferma anche come disciplina autonoma, raggiungendo quel rigore teorico e quell aspetto formale e simbolico caratteristici del linguaggio matematico. Nel frattempo però sempre più numerose divengono le implicazioni dei concetti goniometrici con le applicazioni della matematica nel campo scientifico e tecnologico; ben pochi sono infatti i rami della fisica, sia classica che moderna, che non contemplano per la loro trattazione il calcolo goniometrico e trigonometrico. Angoli ed archi Se in un piano si tracciano due semirette aventi l origine in comune, il piano viene diviso in due parti, ciascuna delle quali viene chiamata angolo. Le due semirette vengono dette i lati dei due angoli e l origine comune il loro vertice. Data una circonferenza avente il centro nel vertice di un angolo, si chiama 1

2 arco circolare quella parte di circonferenza interna all angolo e avente per estremi i punti di intersezione con i lati dell angolo stesso (nella figura 1 è rappresentato l arco ÂB di una circonferenza corrispondente ad un angolo α; il punto O, vertice dell angolo, è il centro della circonferenza). Figura 1: Angoli ed archi corrispondenti Misura degli angoli e degli archi Per misurare una grandezza occorre fissare l unità di misura. Le più usate unità di misura degli angoli sono il grado ed il radiante. Si chiama grado la 60 a parte dell angolo giro. I suoi multipli sono il minuto primo (o semplicemente primo), che è 1 60 di grado, ed il minuto secondo (o semplicemente secondo), che è 1 60 di primo. Si chiama radiante l angolo al centro di una circonferenza, di raggio arbitrario, che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso (si tenga presente che se un angolo al centro di una circonferenza sottende un arco lungo quanto il raggio ciò succede per ogni altra circonferenza concentrica con la prima). Ovviamente, se la lunghezza dell arco sotteso è ad esempio, metà di quella del raggio, l angolo è di mezzo radiante; se è doppia di quella del raggio, l angolo è di due radianti; e così via. L angolo giro, che sottende l intera circonferenza (la cui lunghezza è π volte quella del raggio), è di π radianti; l angolo piatto è di π radianti; l angolo retto di π radianti. In generale, la misura in radianti di un angolo che sottende un arco circolare di lunghezza l, è l r, essendo r il raggio della circonferenza di cui l arco è parte.

3 Per quanto concerne l unità di misura degli archi circolari risulta conveniente come unità l arco il cui angolo al centro corrispondente è l unità di misura degli angoli. Si ha così l arco grado, che è l arco di circonferenza che corrisponde all angolo al centro di un grado, e l arco radiante, che è l arco di circonferenza che corrisponde all angolo al centro radiante. Seguendo questa convenzione la misura di un arco di circonferenza e la corrispondente angolo al centro sono espresse dallo stesso numero. È di importanza pratica sapere come si passa dalla misura di un angolo (o di un arco) in gradi, alla misura in radianti dello stesso angolo (o arco), e viceversa. Dette x e x r le misure, rispettivamente in gradi ed in radianti, di uno stesso arco) si ha: 60 : π = x : x r Da questa proporzione si ricavano le due formule: x r = x 180 π x = xr π 180 la prima delle quali da la misura in radianti, nota quella in gradi, la seconda la misura in gradi, nota quella in radianti. Esempi 1) Esprimere in radianti la misura dell angolo di 5. Ponendo x = 5 nella prima formula si ha: x r = π = 5 6 π ) Esprimere in gradi la misura dell angolo radiante. Ponendo x r = 1 nella seconda formula si ottiene: x = 1 π Riportiamo nella seguente tabella le misure in radianti di alcuni angoli particolari: Gradi Radianti 0 π 6 π 4 π π π π π

4 Angoli ed archi orientati e loro misura Un angolo si dice orientato quando i suoi lati sono considerati in un certo ordine, quando cioè è stabilito quale dei due deve considerarsi come primo. In tal caso l angolo può essere pensato come generato dalla rotazione del primo lato (lato origine) verso il secondo (lato termine), fino alla sovrapposizione dei due. Nella figura sono rappresentati due angoli; se in entrambi si considera a come lato origine e b come lato termine (la scrittura âb viene usata per indicare l angolo nel caso di questa scelta), il primo (fig. a)) risulta orientato in senso antiorario, cioè discorde quello di rotazione delle lancette dell orologio, il secondo (fig. b)) in senso orario. Figura : Angoli orientati Convenendo di considerare positiva una rotazione che avviene nel verso antiorario e negativa quella che avviene nel verso orario, l angolo della figura a viene detto angolo positivo mentre quello della figura b viene detto angolo negativo. La misura di un angolo orientato si ottiene premettendo alla sua misura assoluta il + se l angolo è positivo, il segno - se è negativo. Quanto si è detto per gli angoli vale anche per gli archi. Nella figura a è rappresentato un arco di circonferenza ÂB positivo; nella figura b un arco ÂB negativo. 4

5 Figura : misure di angoli Seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo (o di un arco) orientato Date due variabili, si dice che la seconda è una funzione della prima se esiste una qualunque legge che ad ogni valore della prima (appartenente ad un determinato insieme numerico) ne fa corrispondere uno ed uno solo della seconda. Le funzioni nelle quali la variabile indipendente è un angolo (o un arco) vengono goniometriche o circolari. Per definire le funzioni goniometriche elementari risulta opportuno considerare fisso il lato origine degli angoli e variabile il secondo. Riferito un piano ad un sistema cartesiano ortogonale xoy conveniamo di assumere come semiretta origine degli angoli il semiasse positivo delle ascisse. Nella figura 4 è rappresentato l angolo orientato (positivo) a il cui primo lato è il semiasse positivo delle ascisse ed il secondo la semiretta r. Sia P un generico punto della semiretta r, siano x p e y p le sue coordinate e sia P O la distanza assoluta di P dall origine O. I quattro rapporti: y p P O x p P O y p x p x p y p non dipendono dalla posizione di P su r. Lo si può verificare prendendo su r un secondo P e considerando la similitudine che intercorre tra i due triangoli rettangoli PHO e P H O. I quattro suddetti rapporti dipendono solo dall ampiezza dell angolo α; sono dunque funzioni di α. Al primo si da il nome di seno di α (senα), al 5

6 9 8 7 y r 6 P 5 4 P (xp, yp) H H x Figura 4:. secondo di coseno di α (cosα), al terzo di tangente di α (tgα), al quarto di cotangente di α (ctgα), È dunque: senα = y p P O cosα = x p P O tgα = y p x p ctgα = x p y p Tra le dette quattro funzioni goniometriche di un medesimo angolo α intercorrono le seguenti relazioni: senα cosα = tgα cosα 1 = ctgα ctgα = senα tgα Se si considera l arco di circonferenza di centro O, di raggio OP e di origine A (figura 5), le funzioni goniometriche ora introdotte vengono anche rispettivamente dette seno, coseno, tangente e cotangente dell arco orientato ÂP. La circonferenza goniometrica. Una seconda definizione delle funzioni goniometrihe Si chiama circonferenza goniometrica una circonferenza orientata alla quale è associato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, la cui origine coincide con il centro della conferenza stessa e la cui unità di misura è assunta uguale al raggio di quest ultima. Il senso positivo di percorso sulla circonferenza è, convenzionalmente, quello antiorario. Nella figura 6a è 6

7 Figura 5:. rappresentata una circonferenza goniometrica; A è il suo punto d intersezione con il semiasse positivo delle x (lato origine degli angoli) e P il suo punto tersezione con la semiretta r, formante con il semiasse positivo x un angolo orientato α. La circonferenza tracciata in 6a), che ha centro nell origine O e raggio unitario, viene detta circonferenza goniometrica; P è il suo punto d intersezione con la semiretta r, secondo lato dell angolo orientato α. In 6b) è indicato che le coordinate di P rappresentano rispettivamente il coseno ed il seno dell angolo α. Figura 6: circonferenza goniometrica Ciò premesso, si chiamano seno e coseno dell angolo orientato α (o dell arco orientato ÂP ) rispettivamente l ordinata e l ascissa di P (fig. 6b). Queste definizioni di seno e coseno coincidono, in pratica, con quelle date 7

8 precedentemente. ottiene: Infatti, essendo in questo caso P O = 1, da quelle si senα = y p P O = y p 1 = y p cosα = x p P O = x p 1 = x p Figura 7: tangente e cotangente Se si considerano le due rette a e b, tangenti alla circonferenza goniometrica nei suoi due punti A e B di intersezione con i semiassi positivi delle x e delle y, e i punti T e C d intersezione di queste con la semiretta r (fig. 7), vengono dette tangente e cotangente dell angolo orientato α(o dell arco orientato ÂP ) rispettivamente l ordinata di T e l ascissa di C. Anche queste definizioni coincidono con quelle date precedentemente. Infatti, usando le coordinate di T per definire la tangente di α si ha: tgα = y T x T = y T 1 = y T Analogamente, usando le coordinate di C per definire la cotangente di α, si ha: ctgα = x C y C = x C 1 = x C Se la semiretta r non interseca le dette tangenti alla circonferenza a e b, si devono considerare le intersezioni di queste ultime con la semiretta r opposta della r (fig. 8). 8

9 Figura 8: circonferenza goniometrica Variazione del seno e del coseno Per semplicità di linguaggio d ora in poi parleremo sempre di funzioni goniometriche di un angolo orientato; tuttavia, le proprietà e le relazioni che esaminaneremo relativamente a queste valgono, in modo del tutto analogo, per le funzioni goniometriche di un arco orientato. Dalla fig. 9, nella quale r rappresenta una semiretta che ruota attorno all origine O, è facile dedurre le seguenti proprietà del seno e del coseno dell angolo orientato α formato da r con il semiasse positivo x: Figura 9: Variazioni del seno e del coseno sen 0 = sen 0 = 0, cos 0 = cos 0 = 1; 9

10 al crescere di α da 0 a 90 (cioè da 0 a π radianti) il seno cresce da 0 a 1 mentre il coseno decresce da 1 a 0; sen 90 = sen π = 1, cos 90 = cos π = 0; al crescere di α da 90 a 180 (cioè da π a π radianti) il seno decresce da 1 a 0 ed il coseno decresce da 0 a - 1 ; sen 180 = sen π= 0, cos 180 = cos π = - 1; al crescere di α da 180 a 70 (cioè da π a π radianti) il seno decresce da 0 a -1 mentre il coseno cresce da - 1 a 0; sen 70 = sen π = - 1, cos 70 = cos π = 0; al crescere di α da da 70 a 60 idoè da π a π radianti il seno cresce da - 1 a 0 ed il coseno decresce da 0 a 1; sen 60 = sen π = 0, cos 60 = cos π = 1; al crescere di α oltre i 60 (cioè oltre π radianti) la semiretta r ritorna ad assumere, ogni giro, le medesime posizioni assunte nel primo giro; ne consegue che il seno ed il coseno di α riprendono periodicamente gli stessi valori corrispondenti all intervallo 0 α 60 ; diremo quindi che il seno ed il coseno sono funzioni periodiche di periodo 60 (o π radianti), e scriveremo: sen(α + k60 ) = sen(α + kπ) = senα, cos(α + k60 ) = cos(α + kπ) = cosα, dove k è un qualunque numero intero, positivo, negativo o nullo; il seno ed il coseno assumono, al variare dell angolo α, tutti e soli i valori reali compresi tra - 1 e 1; per senα e cosα valgono dunque le condizioni: 1 sinα 1, 1 cosα 1 10

11 Figura 10: Andamento del seno Nelle figure 10 e 11 sono graficamente rappresentate nel piano cartesiano le due funzioni y = sen x e y = cos x. I due grafici sono stati ottenuti riportando sull asse delle ascisse alcuni valori dell angolo x, espresso in radianti, e sull asse delle ordinate i corrispondenti valori del seno e del coseno, dedotti da un cerchio goniometrico. Alla prima curva si da il nome di sinusoide, alla seconda di cosinusoide. Figura 11: Andamento del coseno Variazione della tangente e della cotangente Dalla figura 1, nella quale r rappresenta ancora una semiretta che ruota attorno all origine O, mentre r è la semiretta opposta, si deducono le seguenti proprietà della tangente: tg 0 = tg 0 = 0; al crescere di α da 0 a 90 (cioè da 0 a π radianti) il punto T si allontana sempre più da A verso l alto e per α = 90 la semiretta r 11

12 Figura 1: Variazione della tangente e la retta a vengono ad essere tra loro parallele; ne consegue che al crescere di α da 0 a 90 la tangente cresce, senza nessuna limitazione, tendendo a + ; indicheremo ciò scrivendo: per α 90 (con α < 90 ) tgα + ; per α compreso tra 90 e 180 (cioè tra π e π radianti) la semiretta r non interseca la retta a; l intersezione T di a con la semiretta r (opposta della r) è nel quarto quadrante; la tangente di α risulta pertanto negativa e tanto più grande in valore assoluto quanto più α è prossimo a 90 ; indicheremo ciò scrivendo: per α > 90 (con α > 90 ) tgα rightarrow tg 180 = tg π = 0; quando l angolo α cresce da 180 a 70 (cioè da π a π radianti) la tangente risulta positiva e riprende i valori assunti per α compreso tra 0 e 90 ; analogamente, per α compreso tra 70 e 60 (cioè tra π e π radianti) la tangente riprende i valori assunti tra 90 e 180 ; diremo quindi che la tangente è una funzione periodica dì periodo 180 (o π radianti) e scriveremo: tg(α + k 180 ) = tg(α + k π) = tgα dove k è un qualunque numero intero, positivo, negativo o nullo; 1

13 la tangente di un angolo orientato α, al variare dell angolo può assumere qualunque valore reale; cioè varia, come suoi dirsi, da a +. Figura 1: Andamento della tangente Nella figura 1 è graficamente rappresentata, nel piano cartesiano, la funzione y = tgx. Questa curva viene detta tangentoide. Lo studio della variazione della cotangente di un angolo orientato α è del tutto analogo a quello fatto per la tangente. Nella figura 14 è riportata la cotangentoide, rappresentazione grafica della funzione y = ctgx. Figura 14: Andamento della cotangente 1

14 arco) Relazioni tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo (o Tra le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente di uno stesso angolo α sussistono le relazioni: senα cosα = tgα cosα 1 = ctgα ctgα = senα tgα Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo PHO della figura 15 si può dedurre quest altra relazione: sen α + cos α = 1 (1) secondo la quale la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è ugnale ad 1. A questa identità si da il nome di relazione fondamentale della goniometria. Figura 15:. Dalla relazione fondamentale della goniometria si può ricavare il seno di un angolo, noto il suo coseno, e viceversa: sen α = ± 1 cos α, cos α = ± 1 sen α Il doppio segno deriva dal fatto che il seno ed il coseno di un angolo a assumono valori positivi o negativi a seconda del quadrante nel quale giace la semiretta r, secondo lato dell angolo. 14

15 Esempi 1. Sapendo che 0 < α <90 e che sen α =, determinare il valore di cos α e di tg α. Essendo 0 < α < 90, e quindi cos α > 0, avremo cos α = + 1 sen α = = e pertanto: tg α = senα cosα = 5 = 5 = 5 5. Sapendo che π < α < π e che cos α = 5 ctg α. Per π < α < π è sen α < 0; quindi:, determinare sen α, tg α e sen α = 1 cos α = = 4 5 tg α = senα cosα = 4, ctg α = 1 tg α = 4 Dalla relazione fondamentale della goniometria e dalle altre relazioni precedentemente riportate si possono ricavare delle formule mediante le quali, noto il valore di una delle funzioni goniometriche e noto il quadrante in cui giace la semiretta r, si calcolano i valori delle altre funzioni goniometriche elementari. Nella tabella di seguito riportata sono riunite tutte le formule che danno i valori di tre funzioni goniometriche in funzione di una quarta, supposta nota. 15

16 VALORI NOTO sen α cos α tg α ctg α sen α sen α ± 1 sen α ± sen α 1 sen α ± 1 sen α sen α cos α ± 1 cos α cos α ± 1 cos α cos α ± cos α 1 cos α tg α ± tg α 1+tg α 1 ± 1+tg α tg α 1 tg α 1 ctg α ± 1+ctg α ± ctg α 1+ctg α 1 ctg α ctg α Esempi 1. Esprimere in funzione di sen α, e poi semplificare, la seguente espressione goniometrica: dove cosec = 1 sen α. cosec α + cos α 1 cos α fondamentale della goniometria si ottiene: Dalla definizione di cosecante e dalla relazione sen α + 1 sen α sen = sen α α sen α. Esprimere in funzione di tg α, e poi semplificare, la seguente espressione: ( sen ) α sen α cos α + cos α. Tenendo presenti le relazioni esaminate si ha: sen α sen α + cos α = sen α cos α cos α (1 + sen α) = ( ) = tg α 1 + tg α 1 + tg = tg α(1 + tg α) α 1 + tg α 16

17 Funzioni goniometriche di alcuni angoli (o archi) particolari Servendoci delle definizioni date di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo (o arco) orientato, vogliamo ora determinare il valore di queste funzioni per gli angoli di 0, 60, 45 e 18. Per risolvere il problema che ci siamo proposti occorre tenere presenti le relazioni che intercorrono tra i lati di un triangolo rettangolo avente gli angoli acuti di 0 e 60, tra i lati di un triangolo rettangolo isoscele e tra il lato di un decagono regolare ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto. Figura 16:. Nelle figure 16a) e 16b) sono rappresentati due angoli orientati, rispettivamente di 0 e 60. In entrambe il triangolo rettangolo OPH è la metà di un triangolo equilatero di lato OP = 1. Ne consegue che per l angolo di 0 (o π 6 ) si ha: sen0 = sen π 6 = 1, cos0 = cos π 6 = tg0 = tg π 6 = sen0 cos0 =, ctg0 = ctg π 6 = mentre per l angolo di 60 (o π ) si ha: sen60 = sen π =, cos60 = cos π = 1 tg60 = tg π =, ctg60 = ctg π = Nella figura 17 è rappresentato un angolo di 45. Il triangolo rettangolo isoscele OPH è in questo caso la metà di un quadrato di diagonale OP = 1. 17

18 Figura 17:. Ne consegue che: Ricapitolando: sen45 = sen π 4 =, cos45 = cos π 4 = tg45 = tg π 4 = 1, ctg45 = ctg π 4 = 1 FUNZIONI ANGOLI (x) sen x cos x tg x ctg x 0 = π π 6 1 π π 1 π π

19 retta Interpretazione goniometrica del coefficiente angolare di una Nella figura 18 è tracciata una retta r passante per l origine O del sistema di riferimento e formante un angolo α con la direzione positiva dell asse x. Com è noto l equazione della retta è: y = mx dove m è una costante detta coefficiente angolare della retta stessa. Per ogni punto P della retta è dunque: y P x P = m Figura 18:. Ma essendo anche (per la definizione di tangente data nei paragrafi precedenti): se ne deduce che: y P x P = tg α m = tg α. cioè che il coefficiente angolare di una retta è la tangente goniometrica dell angolo che essa forma con la direzione positiva dell asse x. Ne consegue che una retta che forma con la direzione positiva dell asse x un angolo, ad esempio di 0, ha per coefficiente angolare m = e quindi per equazione y = x; una retta che forma un angolo di 60 ha per coefficiente angolare m = e quindi per equazione y = x; e così via. 19

20 FORMULE DI ADDIZIONE Verranno fornite senza dimostrazione. formula di sottrazione per il coseno cos(α β) = cos α cos β + sen α sen β () Ex: Calcola il valore di cos π 1. Poichè π 1 = π 4 π 6, applicando la formula () si ha: cos π 1 = cos ( π 4 π 6 formula di addizione per il coseno ) = cos π 4 cos π 6 +sen π 4 sen π 6 = cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β () Ex: Calcola il valore di cos 5 1 π. Poichè 5 1 π = π 4 + π 6, applicando la formula ()si ha: cos 5 ( ) π 1 π = cos 4 +π = cos π 6 4 cos π 6 sen π 4 sen π 6 = formula di addizione per il seno sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β (4) + 1 ( + 1) = 4 1 ( 1) = 4 formula di sottrazione per il seno sen(α β) = sen α cos β cos α sen β (5) Ex. Risolvi l equazione ( ) π sen 6 x = cos x Applicando la formula (5) ( ) ( ) π π sen cos x cos sen x = cos x 6 6 0

21 1 cos x sen x = cos x sen x = cos x Dividento tutto per cos x 0 x π tg x = tg x = x = π FORMULE DI DUPLICAZIONE Formula di duplicazione per il coseno Formula di duplicazione per il seno cos α = cos α sen α (6) Ex. Risolvi l equazione cos x + sen x = 1. Per la (6) si ha Ex. Verifica che sen α = senα cos α (7) cos x sen x + sen x = 1 cos x = 1 cos x = ±1 x = 0 FORMULE DI BISEZIONE Formula di bisezione per il coseno cos α = cosα + 1 Ex. Verifica che cos α 1 + cos α = ± sen α = 1 cosα Formula di bisezione per il seno sen α 1 cos α = ± Ex. Calcola il seno e il coseno di π 8. sen π 8 = cos π 8 = + (8) (9) 1

22 Teoremi relativi al triangolo rettangolo Nella figura 19 è rappresentato un triangolo rettangolo. Con A è indicato il vertice dell angolo retto, con B e C sono indicati gli altri due vertici; α, β, γ sono gli angoli di vertici rispettivamente A, B, C ed a, b, e le misure dei lati ad essi opposti. Stabiliamo di seguire le convenzioni ora descritte per denominare, d ora in poi, gli elementi di ogni triangolo rettangolo (cioè le misure dei suoi lati e dei suoi angoli). Figura 19:. Nella figura 0 è rappresentato il medesimo triangolo rettangolo della figura precedente, riferito in questo caso ad un sistema di assi cartesiani ortogonali avente l origine in B, l asse delle x nella direzione e nel verso del segmento BA, orientato da B verso A. Il punto C giace nel primo quadrante del suddetto sistema. I valori delle funzioni goniometriche dell angolo acuto β possono venir determinati mediante le misure a, b, c. Per le definizioni date nel paragrafo iniziale è infatti: sen β = b a, cos β = c a, tg β = b c, ctg β = c b, Da queste relazioni di ricavano (nell ordine) queste altre: b = a sen β, c = a cos β, b = c tg β, c = b ctg β,

23 Figura 0:. Tenendo presente il significato convenzionale attribuito ad a, b, e e ad α, β, γ le uguaglianze trovate possono venir generalizzate ed interpretate come teoremi relativi al triangolo rettangolo. Enunciamo detti teoremi: in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell ipotenusa moltiplicata per il seno dell angolo opposto al cateto; in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell ipotenusa moltiplicata per il coseno dell angolo acuto adiacente al cateto; in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell altro cateto moltiplicata per la tangente dell angolo opposto al primo; in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell altro cateto moltiplicata per la cotangente dell angolo acuto adiacente al primo. Di questi teoremi valgono ovviamente anche gli inversi. esempio, possiamo trarre i due inversi: Dal primo, ad in ogni triangolo rettangolo la misura dell ipotenusa è uguale al rapporto tra la misura un cateto ed il seno dell angolo ad esso opposto; in ogni triangolo rettangolo il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra le misure del cateto opposto e dell ipotenusa.

24 E così via per gli altri. Esempi 1. In un triangolo rettangolo le misure dei cateti sono: b = 14 cm e c = 48 cm. Risolvere il triangolo. (Risolvere un triangolo significa, noti tre dei suoi elementi di cui almeno uno sia un lata, trovare gli altri tre). Per l ipotenusa a si ha: Per l angolo β si ha: a = b + c = 50cm. tgβ = 14 0, Da apposite tavole, o mediante l uso della calcolatrice tascabile, si ricava: β Ne consegue che: γ = 90 β In un triangolo rettangolo si ha: a = 40cm e β = 18. Risolverlo. Si ha: 5 1 b = a senβ = 40 cm = 10( 5 1)cm c = a cosβ = 40 cm = cm; 4 γ = = 7. II teorema della corda ed il teorema dei seni Teorema della corda: La misura di una corda di una circonferenza è uguale al prodotto tra la misura del diametro ed il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che esistono su uno dei due archi sottesi dalla corda. 4

25 Figura 1:. Nella figura 1 è rappresentata una circonferenza di raggio r e centro O ed è tracciata una sua corda PQ. I punti A e A appartengono rispettivamente all arco P Q maggiore e all arco P Q minore. Osserviamo che gli angoli PÂQ e PÂ Q sono supplementari (angoli opposti di un quadrilatreo inscritto in una circonferenza) e pertanto hanno il medesimo seno. Tracciamo il diametro avente un estremo in Q e sia R il suo secondo estremo. Osserviamo che gli angoli P RQ e PÂQ sono uguali (angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco). Il triangolo RPQ, essendo inscritto in una semicirconferenza, è rettangolo in P e pertanto per il suo cateto PQ vale la relazione: P Q = QR sen α = r sen α. Ma poiché è anche, come s è detto: sen(π α) = sen α si ha pure: P Q = rsen(π α) e la tesi risulta dimostrata. Mediante il teorema della corda si può dimostrare il teorema dei seni (o di Eulero), che stabilisce una relazione tra gli elementi di un triangolo. Questo afferma che in un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di un lato ed il seno dell angolo opposto; cioè che, indicati con A, B, 5

26 C i tre vertici di un triangolo, con α, β, γ i tre angoli corrispondenti con a, b, c le misure dei lati rispettivamente opposti agli angoli di vertici A, B, C (seguiremo d ora in poi questa convenzione per indicare gli elementi di un triangolo), si ha: a sen α = b sen β = c sen γ Infatti, se consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo (fig. ) e applichiamo ad ogni lato il teorema della corda, otteniamo: e quindi: a = rsenα, b = rsenβ, c = rsenγ a sen α = r, b sen β = r, c sen γ = r Per la proprietà transitiva dell uguaglianza si ha perciò: a sen α = b sen β = c sen γ Figura :. Esempio In un triangolo è a = 0 cm, α = 5, β = 80. elementi. Per il teorema dei seni si ha l uguaglianza: Determinare gli altri a sen α = b sen β 6

27 dalla quale si ricava: Essendo: b = asen β sen α sen β 0, 98481, senα 0, 46 si ottiene: Essendo poi: b = 0 0, cm 46, 60499cm 0, 46 γ = 180 (α + β) = 75 e sen75 = 0, 9659 si ha anche: c = asen γ sen α 0 0, 9659 cm 45, 71151cm 0, 46 II teorema delle proiezioni ed il teorema del coseno Teorema delle proiezioni: In un qualunque triangolo la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti di quelle degli altri due lati per il coseno dell angolo che ciascuno di questi forma con il primo; cioè che tra gli elementi di un qualsiasi triangolo valgono ie relazioni: a = b cos γ + c cosβ b = a cos γ + c cosα c = a cosβ + b cosα Per dimostrarlo consideriamo la figura. Nella prima l altezza AH del triangolo ABC cade internamente al lato BC; si ha pertanto: a = BH + HC = c cosβ + b cosγ. Nella seconda l altezza AH cade esternamente al lato BC; in questo caso si ha pertanto: a = BH CH = c cosβ b cos(π γ) = c cosβ + b cosγ. Per il lato a vale dunque, in ogni caso, il teorema delle proiezioni; in modo analogo si dimostra che vale anche per ciascuno degli altri lati. 7

28 Figura :. Come immediata conseguenza del teorema delle proiezioni si ha il teorema del coseno (o di Carnot): In un triangolo qualsiasi, il quadralo della misura di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi per il coseno dell angolo tra essi compreso; valgono cioè le relazioni: a = b + c bc cosα b = a + c ac cosβ c = a + b ab cosγ Lo dimostriamo per un lato, ad esempio per a. Consideriamo le tre uguaglianze che esprimono il teorema delle proiezioni per ciascuno dei lati e, seguendo l ordine nel quale sono state scritte, moltiplichiamo ambo i membri della prima per a, ambo i membri della seconda per - b, ambo i membri della terza per - c: a = ab cos γ + ac cosβ b = ab cos γ bc cosα c = ac cosβ bc cosα Sommando membro a membro queste tre uguaglianze e riducendo i termini simili, si ottiene: a b c = bccosα da cui si ricava: a = b + c bccosα 8

29 che è quanto volevamo dimostrare. Osservazione: Il teorema di Pitagora può essere considerato un caso particolare del teorema di Carnot. Infatti, se α = 90 è cosα = 0 e pertanto, per il teorema di Carnot, si ha: a = b + c che è appunto la relazione tra ipotenusa e cateti espressa dal teorema di Pitagora. Esempio In un triangolo si ha: a=1cm, b=18cm, γ = 60. Determinare la misura c del terzo lato. Dal teorema del coseno si ha: c = a + b ab cosγ = ( )cm 15, 87cm 9