Disequazioni goniometriche

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1 Disequazioni goniometriche Si definiscono disequazioni goniometriche le disequazioni nelle quali l angolo incognito è espresso mediante funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente etc.). Per le disequazioni valgono gli stessi principi studiati per le disequazioni algebriche; occorre in aggiunta considerare il campo di variabilità e la periodicità delle varie funzioni trigonometriche. Disequazioni goniometriche elementari 1. senx > m Se m 1 la disequazione è impossibile essendo 1 senx 1. L equazione senx > è impossibile non potendo il seno essere maggiore di Se m < 1 la disequazione è sempre vera in quanto per qualunque valore di x senx 1. L equazione senx > È sempre verificata essendo il seno sempre maggiore di

2 Se m = 1 la disequazione è vera x π kπ essendo il seno sempre maggiore di 1 ad eccezione del punto di intersezione tra la retta e la circonferenza senx > 1 Se 1 < m < 1 scelto α, con 0 α < π e tale che sen α = m, le soluzioni sono: α kπ < x < π α kπ, k Z.

3 Esempio 1 senx > 1 Disegnata la circonferenza goniometrica e la retta y = ½, si cercano tutti gli angoli per cui l ordinata dei punti di intersezione con la circonferenza è maggiore di ½. La soluzione, in tutte le figure indicate con archi a tratto continuo, sarà espressa dalla seguente relazione π 6 kπ < x < 5 π kπ, k Z 6 Esempio senx > Disegnata la circonferenza goniometrica e la retta y = si cercano tutti gli angoli per cui l ordinata dei punti di intersezione con la circonferenza è maggiore di.

4 Facendo uso degli angoli negativi la soluzione sarà espressa dalla seguente relazione π 4 kπ < x < 5 π kπ, k Z 4. senx < m Se m > 1 la disequazione è sempre soddisfatta essendo 1 senx 1. senx < Se m 1 la disequazione è impossibile poiché la funzione seno è sempre maggiore o uguale di 1

5 senx < Se m = 1 la disequazione è vera x π kπ Se 1 < m < 1 scelto α, con 0 α < π e tale che sen α = m, le soluzioni sono: kπ < x < α kπ π α kπ < x < π kπ

6 Esempio senx < Tracciata la circonferenza goniometrica e la retta di equazione y = Le soluzioni sono kπ < x < π kπ π < x < π kπ. cosx > n Se n 1 la disequazione è impossibile essendo 1 cosx 1. L equazione cosx > è impossibile non potendo il coseno essere maggiore di

7 Se n < 1 la disequazione è sempre vera in quanto per qualunque valore di x cosx 1. L equazione cosx > è sempre verificata essendo il coseno sempre maggiore di Se n = 1 la disequazione è vera x π kπ Se 1 < n < 1 scelto α, con 0 α < π e tale che cos α = n, le soluzioni sono: α kπ < x < α kπ, k Z.

8 Esempio cosx > Soluzioni π 6 kπ < x < π 6 kπ 4. cosx < n Se n > 1 la disequazione è sempre soddisfatta essendo 1 cosx 1. cosx <

9 Se n = 1 la disequazione è vera x kπ Se n 1 la disequazione è impossibile poiché la funzione coseno è sempre maggiore o uguale di 1 Se 1 < n < 1 scelto α, con 0 α < π e tale che cos α = n, le soluzioni sono: α kπ < x < π α kπ, k Z

10 Esempio cosx < 1 Soluzioni π kπ < x < 5 π kπ 5. tgx > p In questo caso, è più comodo fare riferimento al grafico della funzione y = tgx, qui sotto riportato, ricordando che la funzione tgx ha periodo π e non è definita nei punti: x = π kπ

11 Scelto α, compreso tra π e π, in modo che tgα= p, esaminando il grafico, si vede che le soluzioni sono : α kπ < x < π kπ Esempio tgx > Tracciata sul grafico la funzione y = tgx la retta y =, l angolo compreso tra π e π che ha tangente uguale è π. Dal grafico si deducono che gli angoli la cui tangente è maggiore di sono π kπ < x < π kπ, k Z

12 6. tgx < p Scelto α, compreso tra π e π le soluzioni sono :, in modo che tgα= p, esaminando il grafico, si vede che π kπ < x < α kπ Esempio tgx < Tracciata sul grafico della funzione y = tgx la retta y =, l angolo compreso tra π e π che ha tangente uguale è π. Dal grafico si evince che gli angoli la cui tangente è minore 6 di. π kπ < x < π kπ, k Z 6 Scelto α, compreso tra π e π le soluzioni sono :, in modo che tgα= p, esaminando il grafico, si vede che

13 Disequazioni lineari Sono le disequazioni trigonometriche del tipo asenx bcosx c Come per le equazioni anche le disequazioni lineari si possono risolvere con vari metodi (quello dell angolo aggiunto, quello grafico oppure facendo uso delle formule parametriche). Metodo dell angolo aggiunto Risolviamo la seguente disequazione senx cosx > Ricordiamo che si trasforma in asenx bcosx rsen(x α) con r = a b e tgα = b a Conviene rendere positivo il coefficiente a cambiando eventualmente di segno l equazione. In questo modo α sarà un angolo del primo o quarto quadrante. Nel nostro caso a risulta maggiore di zero per cui r = 1 4 = e tgα = α = π La disequazione equivale a senx cosx > sen (x π ) > sen (x π ) >

14 π π y = La soluzione della disequazione è π kπ < x π < π kπ kπ < x < π kπ Utilizzo delle formule parametriche Risolviamo lo stesso esercizio facendo uso delle formule parametriche senx = senx cosx > t 1 t ; cosx = 1 t 1 t con t = tg x t 1 t 1 t 1 t > t (1 t ) > (1 t ) t t > t t t < 0 t( t 1) = 0 t = 0 t =

15 0 < t < 0 < tg x < kπ < x < π 6 kπ kπ < x < π kπ Metodo grafico Risolviamo la disequazione sin x cos x > Il metodo consiste nel porre: cosx = X; sinx = Y e nel risolvere il sistema seguente: { Y X > X Y = 1 Rappresentiamo ora la retta e la circonferenza facenti parte del sistema nel piano cartesiano XOY e determiniamo i punti della circonferenza le cui coordinate soddisfino la disequazione: Y X > (1) Per determinare quale sia il semipiano determinato dalla retta (1) scegliamo un punto di coordinate molto semplici, ad es. O(0,0) e vediamo se la disequazione è verificata in quel punto, sostituendo al posto di X e Y i valori 0,0. Chiaramente non è verificata in quanto 0 non è maggiore di. Allora il semipiano individuato dalla disequazione è l altro, quello non contenente l origine e che sta al disopra della retta r ed indicato dalla parte colorata nella figura.

16 La parte di circonferenza che appartiene al semipiano colorato è l arco AB i cui estremi hanno coordinate A(0; 1) e B( ; 1 ). I punti appartenenti all arco sono definiti dalle seguenti relazioni 0 < X < e 1 < Y < 1 Le soluzioni della disequazione iniziale sono quindi: 0 < cosx < e 1 < seny < 1 corrispondenti a: π 6 kπ < x < π kπ, k Z Disequazioni di grado Si risolvono come le disequazioni algebriche (di secondo grado), seguendo le stesse regole; si scelgono quindi gli intervalli esterni o interni alle soluzioni trovate, e ci si trova così a dover risolvere delle disequazioni trigonometriche elementari. Esempio 1 sen x senx 1 > 0 Si risolve l equazione associata sen x senx 1 = 0

17 senx = 1 ; senx = 1 La disequazione è soddisfatta per intervalli esterni alle radici, cioè senx < 1 ; senx > 1 La seconda disequazione elementare non ha soluzioni non essendo mai il seno maggiore di uno. Risolvendo la prima disequazione si ha la soluzione 7 11 π kπ < x < π kπ, k Z 6 6 Esempio 5sen x senx cos x > 5 Tenendo conto della prima relazione fondamentale sen x cos x = 1 possiamo esprimere la disequazione in funzione del solo seno 4sen x sen x senx cos x > 5 4sen x senx 1 5 > 0 8sen x senx > 0 Risolvendo l equazione associata 8sen x senx = 0 si ottengono le radici

18 senx = 4 ; senx = 1 La disequazione è soddisfatta per intervalli esterni alle radici senx < 4 ; senx > 1 Risolvendo le due disequazioni elementari si hanno le soluzioni senx < 4 π arcsen ( 4 ) kπ < x < π arcsen( 4 ) kπ

19 senx > 1 π 6 kπ < x < 5 π kπ, 6 Esempio tg x 4 tgx > 0 Uguagliando a zero l equazione corrispondente la disequazione è soddisfatta per tgx < tgx >

20 π kπ < x < π 6 kπ π kπ < x < π kπ Esempio 4 senx 1 < cosx tgx senx 1 < cosx senx cosx senx 1 cosx senx cosx < 0 Scomponiamo in fattori senxcosx cosx cos x senx cosx senx(cosx 1) cosx(cosx 1) cosx < 0 < 0 (cosx 1)(senx cosx) cosx < 0 Studiamo singolarmente i fattori cosx 1 > 0 cosx > 1 0 < x < π 4π < x < π π 4π

21 senx cosx > 0 Applicando il metodo dell angolo aggiunto abbiamo sen (x π 4 ) > 0 sen (x π 4 ) > 0 0 < x π 4 < π π 4 < x < 5π 4 cosx > 0 0 < x < π π < x < π Facendo la rappresentazione grafica delle disequazioni e facendo il prodotto dei segni si ottengono le soluzioni

22 cosx 1 > 0 π π 4 5π 4 4π cosx > 0 senx cosx > 0 Soluzioni kπ < x < π 4 kπ π kπ < x < π kπ 5π 4 kπ < x < 4π kπ π kπ < x < π kπ Bibliografia F. Bonaldi e C. Enrico: DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE (matematicamente.it) N. Dodero P. Baroncini R. Manfredi: Elementi di matematica Ghisetti & Corvi editore M. Bergamini A. Trifone G. Barozzi: Matematica.blu.0 Zanichelli

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