Equazioni e disequazioni goniometriche. Guida alla risoluzione di esercizi

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1 Equazioni e disequazioni goniometriche Guida alla risoluzione di esercizi

2 Valori noti per seno e eno per angoli particolari α α Funzioni goniometriche espresse tramite una di esse α α tan α ctg α ± α tanα ± tan α ± ctg α α ± α α ctgα ± tan α ± ctg α tan α ± α α ± α α tan α ctgα ctg α ± α α ± α α ctg α tanα

3 Formule di addizione e sottrazione ( α β ) α β α β ( α β ) α β α β ( α β ) α β β α ( α β ) α β β α tan tanα tan β tanα tan β ( α β ) tan( α β ) tanα tan β tanα tan β ctg ( α β ) ctgαctgβ ctgα ctgβ ctg ( α β ) ctgαctgβ ctgβ ctgα Formule di duplicazione α α α α tan α tanα tan α α α Formule di bisezione α ± α α α ± α tan ± α α Formule parametriche α tan α α k posto tan α t t si ottiene α α t tan α tanα tan tan α α t α α tan tan t t t tanα α Formule di prostaferesi

4 α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β Formule di Werner α β b [ ( α ) ( α β )] α β b [ ( α ) ( α β )] α β b [ ( α ) ( α β )] II quadrante > 0 < 0 I quadrante > 0 > 0 O III quadrante < 0 < 0 IV quadrante > 0 > 0 Equazioni elementari Un equazione goniometrica elementare è un equazione riconducibile alla forma ( ) k ( ) k k Oppure tan ( ) h ( ) h ctg h R

5 Risolvere un equazione goniometrica elementare significa pertanto trovare quel valore che sostituito al posto dell argomento della funzione stessa le fa assumere il valore del secondo membro. Osservazione: a riguardo è bene aver presente quali siano i valori noti delle funzioni goniometriche ( ) (vedi tabella). L equazione è elementare in quanto è l uguaglianza tra una funzione goniometrica ed un termine noto. Si cerca in tabella l angolo in corrispondenza del quale il seno vale. 0 α 0 0 Allora posso passare all uguaglianza tra l argomento della funzione e l angolo che corrisponde al valore a secondo membro per la funzione goniometrica assegnata, quindi k il termine k è necessario poiché si riferisce alla periodicità della. funzione seno, che è appunto. Infatti se a si aggiunge o si sottrae un multiplo di per la natura periodica del seno si ottiene sempre lo stesso valore. Le soluzioni dell equazione allora saranno date da: k 5 k Osservazione: per trovare le soluzioni allora basta trovare la prima soluzione α e poi per quanto Esempi visto la seconda si ottiene eseguendo α, tenendo sempre conto della periodicità. divido per entrambi i membri e ottengo

6 Si cerca in tabella l angolo in corrispondenza del quale il eno vale. 0 α 0 0 Allora posso passare all uguaglianza tra l argomento della funzione e l angolo che corrisponde al valore a secondo membro per la funzione goniometrica assegnata, quindi k il termine k è necessario poiché si riferisce alla periodicità della funzione eno, che è appunto. Infatti se a si aggiunge o si sottrae un multiplo di stesso valore. Consideriamo ora il seguente disegno per la natura periodica del seno si ottiene sempre lo Il segmento orizzontale evidenziato in neretto esprime il eno di il disegno evidenzia inoltre, come nel caso precedente, che esiste anche un altro angolo in corrispondenza del quale il eno

7 assume il medesimo valore. Dal grafico si vede, con sottrazione tra gli angoli, che tale valore a. Tale considerazione si può fare osservando anche quanto detto riguardo gli angoli associati, infatti: ( a ) α Quindi gli angoli in cui il seno assume un valore k compreso tra < k <, sono. Le soluzioni dell equazione allora saranno date da: k 5 k Osservazione: per trovare le soluzioni allora basta trovare la prima soluzione α e poi per quanto visto la seconda si ottiene eseguendo periodicità. α, tenendo sempre conto della E possibile rappresentare la seconda soluzione esprimendo l angolo α muovendosi in senso orario lungo la circonferenza goniometrica, quindi se una soluzione è α, l altra è α, nel caso appena visto: k k tan 0 tan α 0 0 Da cui segue che k Osservazione In questo caso la periodicità della funzione è, inoltre la soluzione è unica in quanto osservando il grafico della tangente vi è un solo valore all interno dell intervallo di riferimento ; in cui il

8 valore assegnato viene assunto (in, ; t. c. f ; ( ) f ( ) ). la tangente è in particolare iniettiva, cioè Un ragionamento analogo si può applicare alla cotangente, in quanto ctg tan. In questo caso, si deve ricavare il valore della che sostituito nella parentesi a primo membro soddisfi l equazione. Passo Si deve trovare per quale angolo il seno vale Passo. Tale angolo è. Affinché l equazione sia soddisfatta dovrà essere che l argomento del seno Passo Tenendo conto della periodicità si ottiene Passo Ora si deve isolare l incognita k k k k k k sia uguale a.

9 Passo 5 Ora si dovrà trovare l altra soluzione, ricordando che ( α ) α soluzione è data da α, nel nostro caso quindi Da cui si ottiene k 5 k, per cui trovata α l altra Osservazione Per quanto sia complicato l argomento della funzione goniometrica si deve sempre uguagliare tutto l argomento all angolo corrispondente al valore richiesto e poi ricavare l incognita. Equazioni goniometriche omogenee di primo grado Definizione: una equazione si definisce omogenea se tutti i sui termini hanno lo stesso grado. Osservazione Un equazione avente termine noto non può essere omogenea. Esempi 0 è omogenea di terzo grado 0 non è omogenea 0 è omogenea di secondo grado 0 non è omogenea Un equazione goniometrica è omogenea di primo grado se contiene soltanto funzioni goniometriche (seno e eno) alla prima potenza e non ha il termine noto. 0 è un equazione goniometrica di primo grado Soluzione Se dividiamo tutti i termini per deve porre la C.E. otteniamo una notevole semplificazione, però in tal caso si k e assicurarsi che e non siano soluzioni dell equazione

10 assegnata, cioè dobbiamo sostituire i valori esclusi nel testo dell equazione per verificare di non eliminare delle soluzioni, cioè: 0 Da cui si deduce 0. Quindi e anche non sono soluzioni dell equazione assegnata. Proseguiamo con la soluzione dell esercizio dividendo tutti i termini per tan 0 0 tan è un equazione elementare k Equazioni goniometriche risolvibili con equazioni di secondo grado. Ci si riconduce ad un equazione di secondo grado che si risolve tramite la solita formula risolutiva. Sia data l equazione 0 L equazione data ha tre termini, come la forma generale dell equazione di secondo grado: a b c 0 Vediamo se è possibile ottenere una rappresentazione simile da cui si ottiene Per prima a devo ottenere una sola funzione goniometrica. Poiché il termine non può essere espresso tramite il eno senza introdurre delle radici, utilizziamo l identità goniometrica fondamentale per trasformare il eno in seno Ora si può passare alla sostituzione t t t 0 t, ± 8 ± 9 ±

11 t t Tornando alla sostituzione t Da cui segue k e 5 k Inoltre da cui segue k Equazioni goniometriche riconducibili ad equazioni di primo grado Ci si riconduce allo studio di equazioni più semplici tramite scomposizioni e raccoglimenti. Se portiamo tutto a primo membro 0 da cui è possibile raccogliere a due a due ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 Per la legge di annullamento del prodotto si ha. 0 k. 0 equazioni omogenea di primo grado 0 tan 0 tan k k (che non è soluzione dell equazione assegnata)

12 Equazioni goniometriche omogenee di secondo grado Consideriamo la seguente equazione Ricordando l identità goniometrica fondamentale Ora è possibile portare tutto a primo membro 0 Dividiamo tutti i termini per e 0, in tal caso si deve porre la C.E. k e assicurarsi che non siano soluzioni dell equazione assegnata, cioè dobbiamo sostituire i valori esclusi nel testo dell equazione per verificare di non eliminare delle soluzioni, cioè: Da cui si deduce 0 Quindi e anche 0 non sono soluzioni dell equazione assegnata. Proseguiamo con la soluzione dell esercizio dividendo tutti i termini per 0. tan tan 0 Che è riconducibile ad una equazione di secondo grado, si può porre infatti tan t t t 0 t, ± 9 ± ± t t Ricordando la sostituzione effettuata tan da cui k

13 e tan da cui k Equazioni lineari Definizione: un equazione si dice lineare se è del tipo a b c 0, cioè se è riconducibile alla forma dell equazione della retta. Cioè: tutti i termini contenenti l incognita sono di primo grado; è presente il termine noto. Un equazione lineare può essere vista come un [equazione omogenea] [ termine noto]. Vale inoltre: un equazione omogenea di primo grado è un equazione lineare; un equazione lineare di primo grado non è un equazione omogenea. Vediamo la soluzione. Esempio 0 Effettuiamo la seguente sostituzione: ( eno poiché rappresenta l ascissa, seno poiché rappresenta l ordinata) L equazione diventa: 0 ora però ho due incognite invece di una Ricordando l identità fondamentale della goniometria e la sostituzione introdotta in prima Diventa Ora posso ottenere il seguente sistema 0 Risolvendo il sistema si ottiene

14 Convertendo di nuovo in seno e eno L unico angolo che soddisfa le condizioni elencate dal sistema precedente è Osservazione 5 k. Poiché il sistema che si ottiene è di secondo grado può accadere che si ottengano due soluzioni, infatti: 0 ha come soluzioni k e k. Equazioni lineari Definizione: un equazione si dice lineare se è del tipo a b c 0, cioè se è riconducibile alla forma dell equazione della retta. Cioè: tutti i termini contenenti l incognita sono di primo grado; è presente il termine noto. Un equazione lineare può essere vista come un [equazione omogenea] [ termine noto]. Vale inoltre: un equazione omogenea di primo grado è un equazione lineare; un equazione lineare di primo grado non è un equazione omogenea. Vediamo la soluzione. Esempio 0 Effettuiamo la seguente sostituzione: ( eno poiché rappresenta l ascissa, seno poiché rappresenta l ordinata) L equazione diventa: 0 ora però ho due incognite invece di una Ricordando l identità fondamentale della goniometria e la sostituzione introdotta in prima

15 Diventa Ora posso ottenere il seguente sistema 0 Risolvendo il sistema si ottiene Convertendo di nuovo in seno e eno L unico angolo che soddisfa le condizioni elencate dal sistema precedente è Osservazione 5 k. Poiché il sistema che si ottiene è di secondo grado può accadere che si ottengano due soluzioni, infatti: 0 ha come soluzioni Sistemi goniometrici k e k. Un sistema di equazioni goniometriche unisce in sé la struttura del sistemi a quella delle equazioni goniometriche quindi si tratta ora di unificare i due processi risolutivi per ottenere la soluzione di questa classe di esercizi. Vediamo di tetizzare il percorso: i) prima si cerca di risolvere il sistema applicando uno metodi noti (addizione o sostituzione); ii) iii) poi quando si è ottenuta una equazione in un unica incognita la si risolve identificando quale tipologia di equazione goniometrica essa rappresenti e applicando il corrispondente metodo risolutivo; si ricava la soluzione per l altra incognita.

16 Verranno affrontati sistemi di due equazioni in due incognite. I sistemi che risolveremo saranno di due tipi:. sostituzione di un incognita: il sistema è composta da un equazione goniometrica e da una equazione tradizionale;. sostituzione di una funzione goniometrica: il sistema è composta da due equazioni goniometriche Esempio Il sistema è composto da due equazioni goniometriche () ricavo una funzione goniometrica dall equazione più semplice sostituisco l espressione nell altra equazione ( ) ( ) ( ) 0 La seconda equazione si risolve ponendo t, essa allora diventa ( ) t 0 t Le cui soluzioni si ricavano utilizzando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado e andando successivamente a ricavare i corrispondenti valori per la variabile (dalla relazione t ). Risulta k e k

17 k e k Da cui sostituendo nel sistema in () si ottiene tralasciando di riportare la periodicità per non appesantire troppo la scrittura Per le prime due soluzioni e,, Per le prime due soluzioni e,, Esempio Il sistema è composto da una equazione goniometrica e una tradizionale. si ricava dalla prima e si sostituisce nella seconda

18 ( ) La seconda equazione è di tipo lineare pertanto la si risolve ponendo e risolvendo il sistema seguente ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

19 ( ) ( ) Da cui si ottiene risolvendo le equazioni 0 Che equivalgono a 0 Da cui k e k. Tornando ora al sistema goniometrico iniziale, tralasciando la periodicità, otteniamo Risolvendo si ha 0 Disequazioni goniometriche Ricordiamo la definizione di disequazione: Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p() e g() due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione nella variabile è un'espressione della forma: ( ) ( ) q p < ( ) ( ) q p ( ) ( ) q p > ( ) ( ) q p Risolvere una disequazione significa trovare quell intervallo (o più intervalli) di valori che, attribuiti alle incognite, verificano la disuguaglianza.

20 Ricordiamo inoltre alcune regole di calcolo: si può portare una quantità da primo a secondo membro e viceversa, cambiandone il segno si può cambiare il segno dei termini a primo e secondo membro, invertendo il verso della disuguaglianza; se si divide per una quantità positiva primo e secondo membro di una equazione il verso della disequazione rimane invariato; se si divide per una quantità negativa primo e secondo membro di una equazione il verso della disequazione deve essere invertito; Nel caso di disequazioni goniometriche valgono tutte le osservazioni e le regole di calcolo viste per le disequazioni polinomiali tali regole vanno integrate con i metodi di calcolo che si utilizzano per risolvere le equazioni goniometriche. Una volta assegnata la disequazione goniometrica un possibile metodo di risoluzione è il seguente Passo : si scrive l equazione goniometrica ad essa associata e si procede alla relativa soluzione; Passo : si tracciano sulla circonferenza goniometrica le soluzioni ottenute; Passo : si individuano gli intervalli che soddisfano la disequazione tenendo conto eventualmente della regola dei segni. Definizione: data una disequazione (goniometrica) si definisce equazione associata l equazione che si ottiene sostituendo il simbolo al posto del simbolo di disuguaglianza. Illustriamo il procedimento tramite un esempio. Risolvere la seguente disequazione sen > 0 Passo Scrivo l equazione associata sen 0 Essa è un equazione di tipo lineare, quindi si risolve ponendo: si ottiene allora 0

21 ± allora le soluzioni del sistema sono date da e che corrispondono a e k e k 7 Passo Si tracciano tutte le soluzioni ì trovate sulla circonferenza goniometrica (si deve tener conto della periodicità dei valori ottenuti per non ometterne alcuno). 7

22 Poiché nel verso della disequazione l uguaglianza non è compresa, significa che gli estremi sono esclusi, quindi vengono riportati con un cerchio vuoto. Passo Si tratta ora di individuare quale intervallo soddisfi la disequazione assegnata. Partiamo da alcune considerazioni, gli intervalli ì determinati sono tali per la disequazione che: i) se essa è verificata in un punto di un intervallo, essa risulta verificata per tutto l intervallo cui appartiene il punto considerato; ii) se essa non è verificata in un punto di un intervallo, essa risulta non verificata per tutto l intervallo cui appartiene il punto considerato. Pertanto se individuo l intervallo corretto, significa che l altro intervallo non soddisferà l equazione e quindi non conterrà alcuna soluzione. Nel caso di più di due intervalli, è possibile compiere le seguenti considerazioni: un intervallo che verifichi la disequazione, avrà adiacenti due intervalli che non la verificano; un intervallo non che verifichi la disequazione, avrà adiacenti due intervalli che la verificano. Oppure equivalentemente: tra due intervalli che verificano la disequazione ve né uno che non la verifica; tra due intervalli che non verificano la disequazione ve né uno che la verifica. Osservazione Nei metodi descritti, si deve fare attenzione ai casi particolari in cui una soluzione sia data da un solo punto, allora per non sbagliare è bene sostituire un punto all interno di ogni intervallo per individuare con certezza se esso contenga o meno delle soluzioni. Osservazione importante Quando si scelgono i punti degli intervalli da sostituire, è bene scegliere dei punti che non siano gli estremi dell intervallo che si considera. Torniamo a considerare i) e ii) applicando la regola al nostro caso Gli intervalli che abbiamo ottenuto sono due (tralasciando la periodicità): 7 ) < < ) 5 < < Prendiamo un punto che non sia un estremo degli intervalli ) e ) e sostituiamo tale valore all interno del testo iniziale della disequazione:

23 Consideriamo il punto 0 e sostituiamo in sen > 0 ( 0) ( 0) 0, otteniamo: sen > > 0 che è una disuguaglianza vera, ciò significa che per 0 e tutto l intervallo che la contiene determinato in precedenza, cioè verificata. Quindi: 5 < < la disequazione è 7 Poiché il verso generale della disequazione è >0 dobbiamo prendere le soluzione positive, quindi 5 S : < < (non abbiamo considerato la periodicità per non appesantire troppo la scrittura della soluzioni) Osservazione 7 Se le soluzioni veniva scritte nel modo < < si commetteva un errore, in quanto in questo tipo di scrittura l estremo istro deve essere il valore minore, pertanto in questo caso si scrive un intervallo in cui l estremo istro ha un valore maggiore dell estremo destro, il che non è possibile. L intervallo poteva essere scritto anche nel modo seguente: 7 0 < < < Cioè muovendosi in senso antiorario (verso di percorrenza positivo della circonferenza goniometrica) e facendo attenzione a includere lo zero (che è un punto interno dell intervallo contenente le soluzioni) in uno dei due intervalli.

24 Poiché è possibile percorrere la circonferenza goniometrica sia nel verso positivo (antiorario) sia negativo (orario) è possibile scrivere le soluzioni di u equazione goniometrica in due differenti modi ma entrambi corretti. Illustriamo il procedimento descritto con altri esempi. 0 0 ( ) 0 Poiché la disequazione è il prodotto di due fattori, studiamo separatamente il segno di entrambi I 0 È una disequazione elementare che può essere risolta senza utilizzare l equazione associata per individuare gli estremi dell intervallo cercato, infatti se tracciamo la circonferenza goniometrica abbiamo: Poiché il seno si misura lungo l asse, assume valori positivi nel semipiano superiore, cioè tra S I : 0 II 0 Le cui soluzioni sono

25 k e k Riportiamo tali valori sulla circonferenza goniometrica Per determinare quale dei due intervalli soddisfi la disequazione scegliamo 0 (un punto che non sia un estremo dell intervallo) e sostituiamo nella disequazione II che stiamo considerando: 0 ( ) 0 0 che è una disuguaglianza vera, quindi l intervallo che dobbiamo considerare è quello più piccolo (che contiene lo zero). Regola dei segni per disequazioni goniometriche S II : Poiché la disequazione è il prodotto di due fattori, il segno generale della disequazione si ottiene applicando al regola dei segni, poiché abbiamo tracciato (a causa della periodicità) le soluzioni su due circonferenze, quando applichiamo la regola dei segni per disequazioni goniometriche anziché tracciare linee orizzontali parallele su cui riportare i valori ottenuti, tracceremo circonferenze concentriche su cui segnare le soluzioni ricavate. Poiché ho due condizioni, dovrò tracciare due circonferenze goniometriche

26 Poiché il verso generale della disequazione è 0 devo considerare le soluzioni. S : 0 Risolvere la disequazione: < 0 ( ) < 0 < 0 < 0 ± 9 ± 5 ± 5, E il caso di porre attenzione al passaggio successivo. La soluzione della disequazione iniziale si ottiene studiando il segno delle gole soluzioni ottenute cioè per entrambe si deve porre > e > (*) poi si applica la regola dei segni a quanto ottenuto. Infatti si potrebbe scrivere ricordando la regola per scomporre un polinomio di secondo grado: < 0 < ( ) 0 Da cui si ottiene quanto detto in (*) > 0 > da cui e k e 5 k > 0 > Che corrispondono allo studio del segno delle soluzioni Le riportiamo sulla circonferenza goniometrica.

27 Per determinare quale dei due intervalli soddisfi la prima disequazione scegliamo 0 (un punto che non sia un estremo dell intervallo) e sostituiamo nella disequazione: 0 > 0 > che è una disuguaglianza falsa, quindi l intervallo che dobbiamo considerare è quello più piccolo (che non contiene lo zero). 5 Poiché il verso generale della disequazione è < 0 si devo considerare gli intervalli contrassegnati con il segno Osservazione Se si poneva 5 S : 0 < < <. t si otteneva come intervallo delle soluzioni < t <, il passaggio dalla disequazione polinomiale a quella goniometrica non è immediato in quanto la funzione seno oscilla nell assumere i valori e quindi tenendo conto della crescente e della decrescenza della funzione il passaggio polinomiale goniometrica non avviene in maniera automatica con un semplice cambio di valori, ma necessita di ulteriori considerazioni. Il metodo proposto tiene conto di quanto affermato e semplifica il più possibile il procedimento per individuare gli intervalli delle soluzioni. Risolvere al seguente disequazione < < 0 < 0

28 < 0 (per risolvere una disequazione si deve portare tutto da una parte) > 0 N: > 0 0 ± 8 ±, (poi si studia separatamente il segno del numeratore e del denominatore) Ricordando quanto detto nell esercizio precedente le soluzioni si determinano come segue: > mai verificata > da cui k e k (intervallo grande) D: > 0 S : < < 0 5 ±

29 5 ± Sostituisco un punto di ogni intervallo all interno della disequazione iniziale per decidere se l intervallo considerato contiene soluzioni S : < < < < Calcoliamo le soluzioni finali: S : < < < < < <

30 Risolvere la seguente disequazione tan < 0 N: tan > 0 Attenzione ai valori che assume la tangente (e quindi anche la cotangente): positivi da 0 a nel primo e terzo quadrante, negativi da a 0 nel secondo e quarto quadrante. tan > tan > tan k 7 7 S : < < < < La tangente ha periodicità, poiché la circonferenza goniometrica rappresenta un intervallo di, si dovranno tracciare su di essa tutti i punti distinti che si ottengono a partire dal valore iniziale aggiungendo la periodicità (e che appartengono a [ 0 ; ]). Tale osservazione è valida per tutte le disequazioni goniometriche che hanno periodicità diversa da, ad esempio: ha periodicità ed è tale da determinare tanti punti sulla circonferenza ( ) goniometrica quanti se ne ottengono aggiungendo al valore iniziale giunge di nuovo al primo valore; ( 5) k o a che non si ha periodicità ed è tale da determinare tanti punti sulla circonferenza 5 goniometrica quanti se ne ottengono aggiungendo al valore iniziale giunge di nuovo al primo valore; k o a che non si 5

31 D: > 0 0 k k S : < < 7 7 S : < < < < < <