Le funzioni goniometriche

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1 Le funzioni goniometriche Iniziamo con definire una circonferenza particolare che sarà fondamentale per studiare tutti i concetti che verranno introdotti di seguito Definizione: si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza avente centro l origine e raggio unitario. L equazione della circonferenza goniometrica è + y Poiché per determinare un punto nel piano cartesiano sono necessari due dati (ascissa e coordinata), ed essendo la circonferenza goniometrica parte del piano, per individuare un punto su di essa sono necessarie due informazioni. Vediamo di ottenerle in maniera diversa, legandole ad un angolo e al raggio (unitario). Osservazioni Per convenzione gli angoli lungo la circonferenza goniometrica si iniziano a contare dal punto (,0) in senso antiorario. Gli angoli poi si misurano in radianti, cioè 80 (il punto (-,0) sul grafico) corrispondono ad un angolo che chiameremo. E possibile allora convertire ogni angolo misurato nel metodo sessagesimale tradizionale in un angolo espresso in radianti mediante la seguente proporzione da cui si ottiene : 80 : () 80 E possibile utilizzare la formula () per ottenere la misura in gradi avendo a disposizione la misura in radianti. Riportiamo una tabella di corrispondenza gradi/radianti per alcuni angoli i cui valori saranno maggiormente coinvolti di seguito.

2 Gradi Radianti Osservazione(importante): è possibile misurare gli angoli ruotando in senso orario ma si deve mettere un segno meno davanti al valore dell angolo per indicare appunto il fatto che ci si sta muovendo in senso orario (opposto a quello convenzionale e che viene considerato positivo). Esempio 7 Un angolo espresso in senso antiorario (convenzione positiva) può essere espresso anche nel modo seguente (senso orario, segno negativo). Torniamo a considerare al circonferenza goniometrica e la rappresentazione dei punti appartenenti ad essa. Il punto P appartenente alla circonferenza, può essere individuato oltre che dal metodo tradizionale delle coordinate (, y), nel modo seguente: poiché appartiene alla circonferenza goniometrica, avrà distanza pari al raggio (cioè DP, questo determina la condizione di appartenenza alla circonferenza assegnata); l angolo individua univocamente sulla circonferenza il punto P, poiché, utilizzando la convenzione sugli angoli, è possibile stabilire la seguente relazione

3 un punto P sulla circonferenza goniometrica determina in maniera univoca un angolo sono due affermazioni equivalenti Ad un angolo misurato con la convenzione adottata corrisponde un unico punto P sulla circonferenza di raggio assegnato Pertanto y P O H 0 In questo modo è possibile legare la posizione di P all angolo, infatti le proiezioni del punto sull asse e sull asse y sono rispettivamente l ascissa di P, che chiameremo coseno di e l ordinata di P, che chiameremo seno di. Si pone allora: P P y cos () sin In questo modo la posizione del punto P viene descritta completamente dall angolo misurato come da convenzione. Osservazione Il raggio non compare () poiché è di misura unitaria, se così non fosse la () avrebbe la forma seguente P P y r cos r sin

4 Dove r rappresenta il raggio della circonferenza che si sta considerando. Quest ultimo caso generale costituisce la rappresentazione dei punti del piano in coordinate polari.(tramite un raggio r e una direzione ). Il triangolo POH risulta rettangolo in H, è possibile applicare ad esso il teorema di Pitagora: poiché PO PH + HO PO PH + HO per la convenzione adottata nella () allora R sin + cos Formula fondamentale della goniometria Angoli particolari per seno e coseno: valori noti E possibile calcolare il valore per seno e coseno per alcuni angoli particolari, utilizzando costruzioni di geometria elementare. ) 0 In questo caso il raggio è proiettato esclusivamente lungo l asse, quindi sin 0 0 cos 0 (la proiezione lungo l asse y nulla) ) 6 y P 6 O H

5 Poiché il triangolo è rettangolo,e ha angoli di 0 e 60, esso è la metà di un triangolo equilatero, pertanto: O P H L altezza PH divide la base in due parti uguali, poiché il lato misura PO, ed essendo il triangolo equilatero, allora PH. Applicando il teorema di Pitagora, allora Pertanto sin 6 cos 6 OH PO PH ) y

6 Poiché il triangolo è rettangolo,e ha due angoli di 5 è un triangolo rettangolo isoscele, quindi è metà di un quadrato, di cui il raggio unitario è la diagonale, pertanto ricordando la formula che lega diagonale e lato di un quadrato: si ottiene, razionalizzando: d l l d Poiché nel nostro caso d, i lati, cioè le proiezioni del raggio sugli assi e y valgono entrambe. Pertanto sin cos ) y P 6 O H Poiché il triangolo è rettangolo e ha angoli di 0 e 60, esso è la metà di un triangolo equilatero, si tratta inoltre del triangolo visto nel caso ) con base ed altezza invertite, quindi anche i valori di seno e coseno verranno invertiti:

7 sin cos 5) In questo caso il raggio è proiettato esclusivamente lungo l asse y, quindi sin cos 0 (la proiezione lungo l asse nulla) I valori di seno e coseno in e si ricavano facilmente tracciando la circonferenza goniometrica e osservando che il raggio si sviluppa completamente lungo gli assi. Osservazione Poiché seno e coseno si misurano rispettivamente lungo l asse y e l asse, il primo è positivo nel primo e secondo quadrante, negativo nel terzo e quarto, mentre il coseno è positivo nel primo e quarto quadrante, negativo nel secondo e nel terzo. y II quadrante I quadrante sin > 0 sin > 0 cos < 0 cos > 0 O III quadrante sin < 0 cos < 0 IV quadrante sin > 0 cos > 0

8 Prima di riassumere i dati ottenuti in una tabella definiamo la tangente e la cotangente di un angolo. Definizione: si definisce tangente dell angolo il rapporto: sin tan cos La tangente non è definita per quei valori in cui il coseno vale zero, cioè,. Definizione: si definisce cotangente dell angolo il rapporto: cos ctg sin La cotangente non è definita per quei valori in cui il seno vale zero, cioè 0,. Specificheremo meglio tra breve i valori per cui non sono definite tangente e cotangente. Inoltre tra tangente e cotangente vale la seguente relazione: tan ctg Tabella con i principali valori noti per le funzioni goniometriche 0 sin 0 cos tan 0 6 ctg Osservazione Il simbolo significa non esiste, infatti indica l esistenza, mentre il connettore logico indica la negazione.

9 Le funzioni periodiche Prima di dare la definizione di funzione periodica, vediamo di illustrare il comportamento del seno e del coseno. Il fatto di tracciare il grafico delle funzioni goniometriche, che sono funzioni periodiche, permette di avere un idea del concetto che si vuole definire. Supponiamo che sulla circonferenza goniometrica il punto P si muova, con velocità costante, osserviamo il tipo di movimento che si ottiene proiettando la posizione di P su uno schermo. I punti rappresentano la y posizione del punto in coordinate cartesiane e i valori tra cui oscilla la funzione P Il punto P si muove con velocità costante lungo la circonferenza goniometrica (-,0) (,0) O 0 L angolo in radianti rappresenta la posizione del punto in coordinate polari - 0 Proiezione del punto P su una retta. Estremi di oscillazione per la proiezione del punto P sulla retta.

10 Osservazioni 0 è la proiezione dell origine (ma anche del punto più alto (0,) e più basso (0,-)) sulla retta; - è la proiezione della posizione estrema a sinistra per il punto P; è la proiezione della posizione estrema a destra per il punto P. Pertanto l insieme dei valori che descrivono la posizione della proiezione è compreso tra [ ; ], tale intervallo ha ampiezza identificare con l intervallo [ 0 ; ]., quindi effettuando una opportuna traslazione lo possiamo Supponiamo ora di far scorrere un foglio sotto la proiezione di P sulla retta e che essa lasci una traccia sulla carta, il grafico che otteniamo è il seguente: Consideriamo ora le funzioni seno e coseno, poiché sono legate alla proiezione del punto P sull asse y e sull asse, il loro grafico avrà un andamento simile a quello dello schema appena visto. Funzione seno Il seno misura l altezza del punto P sulla circonferenza goniometrica a partire dall angolo iniziale in cui vale zero, poi cresce sino ad arrivare al valore massimo, che viene assunto in, decresce sino ad assumere nuovamente 0 in e -, valore minimo, in, per poi crescere di nuovo per arrivare

11 nuovamente al valore 0 quando l angolo vale che coincide con la posizione iniziale. Il procedimento poi si ripete. Pertanto il grafico avrà il seguente andamento: Funzione coseno Il coseno misura la proiezione sull asse delle ( la base ) del punto P appartenente alla circonferenza goniometrica a partire dall angolo iniziale in cui vale, poi decresce sino ad arrivare al valore nullo, che viene assunto in, decresce sino ad assumere il valore minimo - in, poi riprende a crescere e assume nuovamente valore nullo, per poi continuare a crescere e arrivare nuovamente al valore quando l angolo vale che coincide con la posizione iniziale. Il procedimento poi si ripete. Pertanto il grafico avrà il seguente andamento:

12 Le funzioni seno e coseno pertanto possono assumere soltanto valori compresi tra [ ; ]. sin cos Funzione tangente La funzione tangente è definita dalla relazione del punto P. sin tan, cioè è il rapporto cos Graficamente tale rapporto rappresenta il segmento evidenziato dal seguente disegno. y P T O H K P P y delle proiezioni I triangoli POH e TOK sono simili(angolo in O in comune, gli altri sono congruenti poiché si ottengono da due rette parallele tagliate dalla trasversale TO), pertanto PH:OHTK:OK, cioè sin : cos TK : da cui si ricava sin TK, che è la tangente di. cos

13 La tangente rappresenta la misura del segmento TK al variare di. In corrispondenza dell angolo nullo il segmento avrà lunghezza zero, per poi aumentare sino a valori infinitamente grandi quando. Appena passato il valore il segmento si trova nel semipiano negativo delle y ( sin > 0,cos < 0 nel secondo quadrante) e avrà lunghezza infinita, poi all aumentare dell angolo la sua lunghezza diminuisce sino a valere di nuovo zero in corrispondenza di. Da a mentre tra il segmento coincide con quello osservato (lunghezza e orientamento) tra 0 e e l andamento è uguale a quello dell intervallo Pertanto il grafico avrà il seguente andamento: ;., La tangente è si ripete ad intervalli di ampiezza

14 Funzione cotangente cos La funzione cotangente è definita dalla relazione ctg, cioè è il rapporto tan sin proiezioni del punto P. Graficamente tale rapporto rappresenta il segmento evidenziato dal seguente disegno. P P y delle y I triangoli POH e TOK sono simili(angolo in O in comune, gli altri K sono congruenti poiché si ottengono da H T due rette parallele tagliate dalla P trasversale TO), pertanto PH:OHTK:OK, cioè O cos : sin TK : da cui si ricava cos TK, che è la cotangente di. sin La cotangente rappresenta la misura del segmento TK al variare di. Con considerazioni analoghe a quelle per al tangente si deduce che il grafico è:

15 Osservazioni La cotangente è si ripete ad intervalli di ampiezza ; Il grafico della cotangente è deducibile da quello della tangente in quanto ctg. tan Visti i comportamenti delle funzioni goniometriche passiamo ora a definire le funzioni periodiche. Definizione: una funzione f si dice periodica di periodo T se Da quanto visto segue che Df f ( + T ) f ( ). Seno e coseno sono funzioni periodiche di periodo. Tangente e cotangente sono funzioni periodiche di periodo. Quindi: ( + ) sin sin ( + ) cos cos Angoli associati Analizzando i grafici di seno e coseno, con l aiuto anche della tabella dei valori è possibile individuare alcune corrispondenze tra i valori di seno e coseno, i cosiddetti angoli associati. Vedremo soltanto alcuni casi y O allora Dal grafico si può osservare chiaramente che il segmento in neretto, la cui lunghezza è costante, rappresenta il seno degli angoli a,, ( a ) sin sin ( a ) sin sin

16 y O allora Dal grafico si può osservare chiaramente che il segmento in neretto, la cui lunghezza è costante, rappresenta il coseno degli angoli a,, ( ) cos( ) cos cos cos ( ) cos Ricordando la definizione di tangente e cotangente si ha: tan tan ( ) ctg( ) ctg E possibile individuare archi associati per altri angoli, come, vedremo però come sia più agevole risolvere tali valori utilizzando le formule di addizione e sottrazione. Le funzioni inverse Riprendiamo il concetto di funzione Definizione: dati due insiemi A e B, si definisce funzione f da A in B, e si indica f : A B, una corrispondenza tra elementi di A ed elementi di B, tale che ad ogni elemento associa uno ed un solo elemento y B. A, Scriveremo f : A B a y f ( ) Definizione: data una funzione f : A B, si definisce: i) A dominio della funzione; ii) B codominio della funzione; iii) f ( A) { y B A, y f ( ) } immagine di A tramite f.

17 Esempio ) f è una funzione ) f è una funzione ) f non è una funzione ) f non è una funzione a b c d a b c d a b c d a b c

18 Definizione: dati due insiemi A e B, una funzione f : A B si definisce iniettiva se, y A, con y si ha che f ( ) f ( y) (oppure equivalentemente: se, y A tali che ( ) f ( y) f risulti y ). Cioè un valore y 0 di una funzione viene assunto soltanto da un valore 0 del dominio. Definizione: dati due insiemi A e B, una funzione Cioè tutti i valori y B A tale che y f ( ). b B sono valori assunti dalla funzione. f : A B si definisce suriettiva se Definizione: dati due insiemi A e B, una funzione f : A B si definisce biiettiva se y B! A tale che y f ( ), che si può esprimere anche affermando che ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento y B e viceversa. Cioè è possibile considerare la funzione che va da B A e permette di effettuare l associazione inversa a quella di f ( permette di effettuare il cammino inverso tra elementi, cioè da b a a ). Definizione: dato un insieme A non vuoto, si definisce funzione identità (o identica) e la si indica Ι quella funzione tale che: Ι : A A ( ) a Ι Definizione: data una funzione f : A B, si definisce funzione inversa di f e la si indica f, quella funzione tale che f : B A o e ( f f )( ) ( f f )( ) Ι o Teorema: una funzione f ammette inversa se e solo se è biiettiva. Teorema: se una funzione è invertibile, la sua inversa f è unica. Torniamo a considerare le funzioni goniometriche e vediamo di ottenere le loro funzioni inverse. Consideriamo il grafico del seno, considerazioni analoghe potranno essere fatte per il coseno.

19 Il grafico mostra che la funzione seno non è iniettiva, pertanto non è invertibile. Osserviamo la funzione seno: sin : R [ ; ] Se restringiamo il dominio in modo tale che la linea orizzontale intersechi il grafico una sola volta, allora la funzione seno è iniettiva ed inoltre è iniettiva, poiché y [ ;] Dom( sin ) t. c. y sin( ) Essendo il seno in tale intervallo iniettiva e suriettiva risulta essere biiettiva, pertanto invertibile. Definizione: si definisce arcoseno, funzione inversa del seno, la funzione arcsin : [ ; ] ; tale che ad un valore b del dominio associa l angolo sin. espresso in radianti, più precisamente quell angolo per il quale ( ) b Esempio ) arcsin ) arcsin( ) ) arcsin

20 ) arcsin in questo caso si lascia scritto così, poiché il valore fa riferimento ad una quantità che non è possibile esprimere con valori noti, lo si può approssimare scrivendo: arcsin 9,7 Analogamente si definisce la funzione inversa per il coseno Definizione: si definisce arcocoseno, funzione inversa del coseno, la funzione [ ; ] [ 0; ] arccos : tale che ad un valore b del dominio associa l angolo cos. espresso in radianti, più precisamente quell angolo per il quale ( ) b Esempio ) arccos arccos ) ( ) ) arccos ) arccos in questo caso si lascia scritto così, poiché il valore fa riferimento ad una 5 quantità che non è possibile esprimere con valori noti, lo si può approssimare scrivendo: arcsin 78,6 5 Definizione: si definisce arcotangente, funzione inversa della tangente, la funzione arctan : ] ; + [ ; tale che ad un valore b del dominio associa l angolo Esempio ) arctan( ) ) arctan( ) tan. espresso in radianti, più precisamente quell angolo per il quale ( ) b

21 Definizione: si definisce arcocotangente, funzione inversa della cotangente, la funzione Esempio ) arcctg ( ) ) arctan( 0) ] ; + [ ] 0; [ arcctg : tale che ad un valore b del dominio associa l angolo espresso in radianti, più precisamente quell angolo per il quale ctg ( ) b. 6 Riportiamo di seguito i grafici delle funzioni inverse. Arcoseno

22 Arcocoseno Arcotangente

23 Arcocotangente Formule goniometriche Funzioni goniometriche espresse tramite una di esse sin sin sin cos tan ctg ± cos tan ± + tan ± + ctg cos ± sin cos ctg ± + tan ± + ctg tan ± sin sin ± cos cos tan ctg ctg ± sin sin ± cos cos ctg tan Esempio(di dimostrazione delle formule) sin + cos sin cos sin ± cos

24 Formule di addizione e sottrazione cos ( + β ) cos cos β sin sin β ( β ) cos cos β sin sin β cos + ( + β ) sin cos β sin β cos sin + sin tan tan ctg ctg ( β ) sin cos β sin β cos ( + β ) ( β ) ( + β ) ( β ) tan + tan β tan tan β tan tan β + tan tan β ctgctgβ ctg + ctgβ ctgctgβ + ctgβ ctg Formule di duplicazione sin sin cos cos cos tan sin tan tan Formule di bisezione sin ± cos + cos cos ± tan ± cos + cos Formule parametriche tan sin + k posto tan t t si ottiene sin + t + tan

25 cos tan tan + tan t cos tan tan + t t t tan Formule di prostaferesi + β β sin + sin β sin cos β + β sin sin β sin cos + β β cos + cos β cos cos + β β cos cos β sin sin Formule di Werner sin sin β b cos + [ cos( ) ( β )] cos cos β b cos [ cos( + ) + ( β )] sin cos β b sin [ sin( + ) + ( β )] Identità goniometriche Definizione: un identità è un uguaglianza che è verificata per ogni valore dell incognita Per verificare un identità pertanto si deve dimostrare che il primo membro è uguale al secondo con opportune trasformazioni senza portare termini dal primo a secondo membro e viceversa. Non è possibile fare nemmeno denominatore comune (a questo riguardo vedremo un osservazione più avanti). Per individuare la tecnica per risolvere le identità è necessario risolvere esercizi tenendo conto fondamentalmente di:

26 identità goniometrica fondamentale; formule di addizione; formule di duplicazione; definizione di tangente, cotangente, secante e cosecante. Passiamo allora ad illustrare alcune risoluzioni Esempi (verificare le seguenti identità). sin ( sin + sin β ) sin ( + β ) sin sin β + sin sin β + sin β sin sin β sin + sin sin β + sin sin sin sin β sin cos ( + β ) ( sin cos β + cos sin β ) cos β cos sin sin sin β cos ( cos β ) + sin β ( cos ) + sin sin β ( cos β cos ) sin sin β + sin sin sin β sin sin β β sin + sin sin β sin sin β β + sin sin β sin sin β ( cos β cos ) ( sin sin β + cos β cos ) sin sin β ( cos β cos ) cos cos ( + β ) ( + β ) sin sin β + cos β cos cos cos β + sin sin β ( + β ) β sin cos β cos sin β cos cos cos ( + β ) ( + β ) ( + β ). + sin cos tg + tg + cos tg tg + sin cos cos + sin + tg + cos sin + sin cos cos + sin + tg cos + sin + cos sin cos + sin + sin cos cos + sin a tg + tg cos sin + sin cos tg + tg cos sin sin cos tg + tg + tg + tg tg + tg cos cos a a