Esercitazione del Analisi I

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1 Esercitazione del 0-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 0-0 Integrale di funzioni razionali Supponiamo di voler calcolare un integrale del tipo P () Q() d dove P () è un polinomio di grado n, mentre Q() è un polinomio di grado m. se il grado di P () è maggiore o uguale al grado di Q() si esegue la divisione tra polinomi. se il grado di P () è strettamente minore al grado di Q() si utilizza il principio di identità dei polinomi. Supponiamo ora che il grado del numeratore sia strettamente minore del grado del denominatore. DENOMINATORE DI PRIMO GRADO Poiché le costanti moltiplicative si possono portare fuori dal segno di integrale, l unico caso da considerare è il seguente: a + b d = log a + b + C a DENOMINATORE DI SECONDO GRADO Supponiamo ora che Q() = + b + c sia un polinomio di secondo grado e che P() è al massimo di primo grado. Quindi ci troviamo davanti ad una situazione del seguente tipo: A + B + b + c d Consideriamo il denominatore e lo scomponiamo in fattori. Ci sono tre casi da considerare a seconda del valore del discriminante.

2 . Caso > 0 L equazione Q() = 0 ha due radici reali e distinte α e β, pertanto il polinomio Q() si può fattorizzare come + b + c = ( α)( β) e l integrale diventa A + B ( α)( β) d Per calcolare l integrale si procede andando a scrivere la funzione fratta come somma di funzioni fratte più semplici, cioè A + B ( α)( β) = C α + D β dove i valori dei numeri C e D si determinano imponendo la condizione di uguaglianza tra polinomi.. Caso = 0 L equazione Q() = 0 ha una sola radice reale (contata con la sua molteplicità), pertanto il polinomio Q() è un quadrato, cioè + b + c = ( α) e l integrale da calcolare diventa A + B ( α) d In questo caso la frazione da integrare si riscrive nel seguente modo A + B ( α) = C α + D ( α) e si determinano i valori dei numeri C e D imponendo la condizione di uguaglianza tra polinomi. 3. Caso < 0 L equazione Q() = 0 non ha due radici reali e il polinomio Q() non si può scomporre in fattori. DENOMINATORE DI GRADO QUALUNQUE L idea generale è sempre la stessa: scrivere la frazione da integrare come somma di frazioni più semplici. Per esempio per calcolare A + B ( α) k ( β) h d si pone A + B ( α) k ( β) h = C α + C ( α) + + C k ( α) k + D α + D ( α) + + D h ( α) h e si determinano i valori dei numeri C, C,... C K, D, D,... D h

3 Integrazione per parti Sia f una funzione continua su un intervallo I di R e sia g C (I). Allora se F è una primitiva di f (ovvero F () = f() d) si ha f()g()d = F ()g() F ()g () d 3 Esercizi Esercizio. e 3 cos d Risolviamo il seguente integrale per parti e 3 cos d = sin e 3 sin 3e 3 d applichiamo la formula per parti all integrale a secondo membro sin e 3 d = cos e 3 + cos 3e 3 d = e 3 cos + 3 cos e 3 d ricompattando il tutto e 3 cos d = sin e 3 + 3e 3 cos 9 cos e 3 d portando l integrale a secondo membro (poiché coincide con l integrale cercato) a sinistra dell uguale si ricava che 0 e 3 cos d = sin e 3 + 3e 3 cos Esercizio. e 3 cos d = e3 0 (sin + 3 cos ) + c sin d Andiamo a risolvere il seguente integrale per parti. Scelgo di integrare il seno e di derivare 3

4 il polinomio. Questo perché ogni volta che derivo un polinomio il suo grado diminuisce fino ad ottenere una costante. In questo modo l integrale che si ottiene ha un espressione più semplice rispetto a quella di partenza. Si ha sin d = cos + cos d = cos + sin + c Esercizio 3. ( + ) cos d Andiamo a risolverlo per parti applicando la regola due volte dove, in entrambe, si sceglie di derivare il polinomio ed integrare l altra funzione ( + ) cos d = sin ( + ) sin ( + ) d è una costante e posso portarla fuori dall integrale [ ] = ( + ) sin ( + ) cos + cos d = ( + ) sin + ( + ) cos sin + c Esercizio d 5 Siccome il grado del polinomio a numeratore è maggiore del grado del polinomio a denominatore si può procedere con la divisione tra polinomi. Dati due polinomi A() e B(), si prende l esponente di grado massimo di A() e lo si divide per l esponente di grado massimo di B(). Si calcola in resto R() andando a moltiplicare il quoziente Q() ottenuto per il divisore B() e cambiando segno a ciascun termine. Infine si somma il polinomio A() con il resto ottenuto. Si procede con l algoritmo fino a quando il grado del resto è minore del grado del divisore. Infine si ha che A() = B() Q() + R() 4

5 Quindi abbiamo ottenuto che Dunque d = Esercizio // // 4 = ( ) d = log 5 + c d Anche in questo caso si può procedere con la divisione tra polinomi. Quindi pertanto // // // // d = = ( = log + c ) d = 5

6 Esercizio d Notiamo che la funzione integranda è una funzione fratta e che non si può effettuare la divisione poiché il grado del polinomio a numeratore è inferiore rispetto a quello a denominatore. Procediamo andando a decomporre la frazione fratta nella somma di più frazioni fratte, dette fratte semplici. Consideriamo il denominatore e lo scomponiamo in fattori = ( ) ( 3) Abbiamo ottenuto due fattori di grado, la funzione integranda si decompone nel seguente modo = A + B A ( 3) + B ( ) (A + B) (3A + B) = = 3 ( ) ( 3) ( ) ( 3) affinché la prima e l ultima frazione siano uguali, deve essere che { { A + B = 0 A = (3A + B) = B = Esercizio 7. ( d = + ) d 3 per la proprietà di linearità dell integrale = d + 3 d per le proprietà del differenziale = d( ) + d( 3) 3 poiché sono degli integrali immediati = log + log 3 + c = log 3 + c d Consideriamo il denominatore e lo scomponiamo in fattori = ( ) 6

7 Abbiamo ottenuto un fattore di primo grado con ordine di molteplicità, la funzione integranda si decompone nel seguente modo = A + B A ( ) + B = ( ) ( ) = A + (B A) ( ) affinché la prima e l ultima frazione siano uguali, deve essere che { A = B A = 3 { A = B = d = d = log ( ) + c Esercizio d In questo caso il denominatore non è scomponibile in fattori, ma lo si può riscrivere nel seguente modo + + = = ( + ) + pertanto l integrale diventa + + d = ( + ) + d = ( + ) d( + ) = arctan ( + ) + c + Esercizio d 7

8 Come nell esercizio precedente, il denominatore non è scomponibile in fattori, d = 3 + ( + ) + d ( + + ) + = + + = = 3 ( + ) + ( + ) + d rompendo la frazione = 3 ( + ) ( + ) + d + 3 = ( + ) + ( + ) + d nel primo integrale a numeratore si ha la derivata del denominatore = 3 ( + ) + d [ ( + ) + ] + 3 ( + ) + d = 3 log ( + + ) + 3 arctan ( + ) + c Esercizio 0. sin d Ricordando la formula di duplicazione del seno, si ha che sin = sin cos andando a sostituire sin d = sin ( ) ( cos ) d = a denominatore dividiamo e moltiplichiamo per cos ) d tan ( ) cos ( andando ad osservare la funzione integranda, notiamo che nella sua espressione c è una funzione, tan ( ) e la sua derivata, / cos ( ). Abbiamo il seguente differenziale si ha che tan ( sin () = sin cos ) ( cos d(tan ) = cos ( ) d ) d = tan ( ) d(tan ( tan ) ) = log + c 8

9 dove l ultimo passaggio è giustificato dal fatto che /t dt = log t + c. Esercizio. cos d Usando la seguente identità, ricavata dalle formule di bisezione del coseno 3, si ha cos = + cos () + cos () cos d = d rompiamo l integrale nella somma di due integrali per la linearità = d + cos d () = + sin () + c 4 Si sarebbe potuto risolvere anche per parti, infatti cos d = cos cos d = sin cos + sin d calcoliamo a parte l ultimo integrale ( sin d = cos ) d = cos d dunque rimettendo tutto assieme cos d = sin cos + cos d da cui si ricava cos d = sin cos + + c Esercizio. cos d = sin cos sin 3 d + + c 3 cos (α/) = ± ( cos (α))/ 9

10 Usando l identità si ottiene sin 3 d = sin 3 = sin ( cos ) sin ( cos ) d = sin d + sin cos d il secondo integrale lo si risolve andando ad usare il metodo per sostituzione. Si pone allora riconsiderando il tutto sin 3 d = t = cos dt = sin d sin cos d = sin d + t dt = t3 3 + c = cos3 3 + c sin cos d = cos + cos3 3 + c Esercizio 3. cos (3 + 5) d Per risolvere questo integrale si ricorre alla tabella degli integrali immediati dopo aver apportato gli opportuni cambiamenti. Quello che si deve cercare è che nell espressione dell integranda ci sia la derivata di qualche funzione già presente nell espressione stessa. Si nota infatti che d ( ) = 6 d dobbiamo moltiplicare e dividere per 6 cos (3 + 5) d = 6 6 cos (3 + 5) d = 6 cos (3 + 5) d ( ) = = 6 tan ( ) + c Esercizio 4. ( + 5) 3 d 0

11 Stesso ragionamento dell esercizio precedente. Proviamo a calcolare il seguente differenziale d ( + 5 ) = d nella funzione integranda la è già presente, dobbiamo aggiungere un, d = ( + 5) 3 d ( + 5) 3/ = ( + 5 ) 3/ ( d + 5 ) = ( + 5 ) / + c / d = ( + 5) c