Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 12 Dicembre Calcolo di Derivate

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1 Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 206/207 Pietro Pastore Lezione del 2 Dicembre 206 Calcolo di Derivate Nella seguente tabella elenchiamo le derivate delle funzioni elementari f() f () k 0 n e ln sin n n e cos cos sin 2 a log a a ln a ln a Inoltre richiamiamo le seguenti regole di calcolo.. Derivata di un prodotto di una costante per una funzione y = k A() y = k A () k R Esempio: calcoliamo la derivata della funzione y = 4 3. Siccome la funzione è il prodotto del numero 4 per 3 la derivata si calcola derivando 3 e moltiplicando il risultato per 4. Otteniamo allora y = = Derivata della somma di due funzioni y = A() + B() y = A () + B ()

2 Esempio: calcoliamo la derivata della funzione y = ln +. Per calcolare tale derivata basta calcolare la derivata di ogni singolo addendo e poi sommare. Quindi y = + 2 = Derivata del prodotto di due funzioni y = A() B() y = A () B() + A() B () Esempio: calcoliamo la derivata della funzione y = 3 e. Seguendo la regola appena vista dove le funzioni coinvolte sono A() = 3 B() = e abbiamo y = 3 2 e + 3 e = 2 e (3 + ) 4. Derivata del quoziente di due funzioni y = A() B() y = A () B() A() B () [B()] 2 Esempio: calcoliamo la derivata della funzione y = Seguendo la regola appena vista dove le funzioni coinvolte sono A() = + 5 B() = 3 abbiamo y = ( 3) ( + 5) ( 3) 2 = 3 5 ( 3) 2 = 8 ( 3) 2 2

3 5. Derivata di una funzione composta. y = A(B()) y = A (B()) B (). Esempio. Calcoliamo la derivata della seguente funzione y = e 3 Si tratta della composizione di due funzioni: la funzione esponenziale A(t) = e t e la funzione B() = 3. Quindi per calcolare la derivata dobbiamo prima derivare la funzione più esterna (la funzione A) componendola con la funzione B() e poi moltiplicare per la derivata della funzione interna. Otteniamo allora y = e 3 32 ( 3 ) 2 = e = e Calcolare le derivate delle seguenti funzioni. y = 3 ln Si tratta di una somma algebrica di funzioni quindi deriviamo ogni singolo addendo e otteniamo y = ln y = Anche qui abbiamo la somma di due funzioni quindi deriviamo ogni singolo addendo e otteniamo y = = y = Si tratta della derivata di un quoziente con A() = 4 8 B() =

4 Allora si ha y = 4( ) (4 8)(2 3) ( ) 2 = ( ) ( ) 2 = ) ( ) 2 = ( ) 2 ( ) 4. y = ln. + Si tratta della composizione delle funzioni Si ha quindi A(t) = ln t B() = +. y = + = + = + = ( + ) ( + ) 2 + ( + ) 2 ( + ). ( + ) 2 5. y =. Si tratta della composizione delle funzioni Perciò abbiamo A(t) = t B() =. y ( ) = 2 2 = =

5 6. y = ( 3 5) 4. Si tratta della composizione delle funzioni A(t) = t 4 B() = 3 5. Derivando otteniamo y = 4( 3 5) = 2 2 ( 3 5) 3. Retta Tangente L equazione di una generica retta passante per un punto di coordinate ( 0, y 0 ) è data da y y 0 = m( 0 ). Se la retta che stiamo cercando è la retta tangente al grafico di una funzione f nel suo punto di ascissa 0, allora nell equazione precedente il coefficiente m, che rappresenta il coefficiente angolare della retta, sarà m = f ( 0 ) ossia la derivata della funzione calcolata per = 0 e l ordinata y 0 del punto di tangenza non è altro che il valore che si ottiene dalla funzione sostituendo = 0, ossia y 0 = f( 0 ). Risolviamo allora i seguenti esercizi:. Trovare l equazione della retta tangente al grafico della funzione f() = 4 3 nel suo punto di ascissa 0 =. L equazione sarà del tipo y y 0 = m( 0 ), () con 0 = y 0 = f( ) m = f ( ). Dobbiamo calcolare innanzitutto la derivata della funzione f e abbiamo f () = =

6 Allora e m = f ( ) = 2( ) 2 = 2 y 0 = f( ) = 4( ) 3 = 4. Sostituendo nell equazione () si ricava y ( 4) = 2( ( )) y + 4 = 2( + ) y = Trovare l equazione della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa 0 = 0. L equazione sarà del tipo () con f() = e e + 0 = 0 y 0 = f(0) m = f (0). Dobbiamo calcolare innanzitutto la derivata della funzione f applicando la regola di derivazione di un rapporto e abbiamo Allora e f () = e (e + ) (e )e (e + ) 2 = e2 + e e 2 + e (e + ) 2 2e = (e + ) 2 m = f (0) = 2e 0 (e 0 + ) 2 = 2 4 = 2 y 0 = f(0) = e0 e 0 + = 0 2 = 0 Sostituendo nell equazione () si ricava y 0 = 2 ( 0) y = 2. 6

7 Ulteriori esercizi consigliati. Calcolare la retta tangente al grafico della funzione f() = ln (6 4) nel suo punto di ascissa 0 =. 2. Calcolare la retta tangente al grafico della funzione f() = + 5 nel suo 3 punto di ascissa 0 =. 3. Calcolare la retta tangente al grafico della funzione f() = + nel suo punto di ascissa 0 = 4. Massimi e minimi assoluti in un intervallo limitato. Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f() = e nell intervallo [, ]. Il dominio della funzione è tutto l insieme dei numeri reali R. La derivata prima è f () = e e andiamo a studiare il segno e > 0 e > > 0. Quindi graficamente abbiamo 0 ossia la funzione risulta decrescente per < 0 e crescente per > 0 e ha un minimo relativo di ascissa = 0. Quindi nell intervallo [, ] si ha che la funzione risulta decrescente per < < 0 e crescente per 0 < <. Allora la funzione avrà in tale intervallo un minimo assoluto nel punto di ascissa = 0 e un massimo assoluto in uno dei due estremi dell intervallo. Bisognerà calcolare il valore della funzione per = e 7

8 per = e il massimo assoluto si troverà in corrispondenza del valore più grande. Troviamo che f( ) = e ( ) = e f() = e = e.7828 e allora il massimo assoluto è nel punto di ascissa =. riportiamo il grafico della funzione nell intervallo considerato. Di seguito Possiamo procedere anche in un altro modo. Siccome si tratta di una funzione continua in tutto R essa lo sarà anche in [, ], quindi il teorema di Weierstrass garantisce la presenza del massimo e del minimo assoluto in tale intervallo. Tali valori potrebbero essere assunti dalla funzione negli estremi dell intervallo oppure in punti che sono all interno di esso. Per il teorema di Fermat se esistono punti interni di massimo e minimo allora in essi la derivata della funzione deve essere 0. Perciò i punti di massimo e minimo assoluto vanno cercati tra i valori che annullano la derivata e gli estremi dell intervallo. Quindi calcoliamo la derivata f () = e e vediamo che si annulla quando f () = 0 e = 0 e = = 0. 8

9 Perciò il massimo e il minimo assoluto vanno cercati nei punti di ascisse = 0, = e =. Andiamo a calcolare la funzione per tali valori f(0) = e 0 0 = f( ) f().7828 e osserviamo che f(0) è il valore più piccolo e f() è il valore più grande, quindi essi rappresentano rispettivamente il minimo e il massimo assoluto. 2. Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f() = + ln nell intervallo [, e]. Il dominio della funzione è dato dall insieme dei valori di che rendono positivo l argomento del logaritmo e quindi > 0. Calcoliamo la derivata prima e andiamo a studiare il segno f () = + = + + graficamente abbiamo > 0 N : + > 0 D : > 0 0 > N D N D + + ma ricordando che l insieme di definizione della funzione è (0, + ), andiamo a considerare solo la parte del grafico per > 0 e quindi osserviamo che la derivata prima della funzione risulta sempre positiva nel suo dominio. Perciò la funzione è sempre crescente. Allora nell intervallo [, e] il valore minimo si avrà per = e il valore massimo per = e. Si riporta il grafico della funzione in tale intervallo 9

10 da cui si evince che il minimo assoluto è nel punto (, ) e il massimo assoluto è nel punto (e, + e). Se procediamo anche in questo caso con il secondo metodo visto nell esercizio precedente, i punti di minimo e massimo assoluti vanno cercati tra i valori che annullano la derivata prima (per il teorema di Fermat) e agli estremi dell intervallo. La derivata prima si annulla quando f () = 0 + = 0 = che non appartiene al dominio della funzione. valutare la funzione agli estremi dell intervallo Quindi non resta che f() = + log = f(e) = e + log e = e Siccome f() è più piccolo di f(e), il minimo assoluto è assunto per = e il massimo assoluto per = e. Ulteriori esercizi consigliati. Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f() = + nell intervallo [3, 8]. 2. Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f() = log ( + ) nell intervallo [0, 2]. 3. Trovare il massimo e il minimo assoluto della funzione f() = log 2 nell intervallo [, e]. 0