= x 2ex +3 ( sinx) = = 3+ 4 x 2ex 3 sinx
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- Evaristo Colella
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1 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 013/014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 7: Derivata di una funzione e sue applicazioni Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni. Esercizio 1. f( = 3+4ln e +3 cos Soluzione. f ( = 3 D(+4 D(ln D(e +3 D(cos = = e +3 ( sin = = 3+ 4 e 3 sin Esercizio. f( = 4+ln 3e 5 sin Esercizio 3. f( = Esercizio 4. f( = 3 + e +ln Esercizio 5. f( = Esercizio 6. f( = Esercizio 7. f( = ln+e arctg Esercizio 8. f( = Esercizio 9. f( = Esercizio 10. f( = Soluzione. f ( = Esercizio 11. f( = Esercizio 1. f( = ( ln 1
2 Soluzione. Per la regola di derivazione del prodotto: ( f ( = D( ln+( D(ln = = ( ln+( = = ( ln+ ++1 Esercizio 13. f( = ( 3 + sin Esercizio 14. f( = (3 ( +4 3 Esercizio 15. f( = (+3 ( +3 1 Esercizio 16. f( = Soluzione. Per la regola di derivazione del rapporto: ( D( 3+5 ( 1 ( 3+5 D( 1 f ( = ( 1 = = ( 3 ( 1 ( 3+5 ( ( 1 = = ( 1 = ( 1 Esercizio 17. f( = 3 ln Esercizio 18. f( = 3 +1 Soluzione. f ( = ( 7+ ( Esercizio 19. f( = 3cos Esercizio 0. f( = ( 3 5 ( ( 1 Soluzione. f ( = Esercizio 1. f( = ( ln 4 3( 1
3 Esercizio. f( = Soluzione. f 1 ( = +4+4 = 1 (+ Esercizio 3. f( = Soluzione. f ( = +7 (+3 3 Esercizio 4. f( = ( Soluzione. Dobbiamo applicare la regola di derivazione della funzione composta: dunque D[f( n ] = nf( n 1 f (; f ( = 5( [D(3 +1] = 5( (6. Esercizio 5. f( = ( Esercizio 6. f( = cos 5 Esercizio 7. f( = ln 3 Esercizio 8. f( = ( Esercizio 9. f( = 1 Soluzione. f ( = 1+ 1 Esercizio 30. f( = 3 4 Soluzione. f ( = Esercizio 31. f( = Esercizio 3. f( = Esercizio 33. f( = 8 Soluzione. f 1 31 ( = 3+7 (8 8 3
4 4 9 Esercizio 34. f( = 1 Soluzione. f 1 7 ( = 9 ( Esercizio 35. f( = 3 9 Soluzione. f 1 39 ( = +4 ( Esercizio 36. f( = e 3+4 Esercizio 37. f( = e 4+1 Esercizio 38. f( = e Soluzione. f ( = e (+1 Esercizio 39. f( = e 1 Soluzione. f ( = e ( Esercizio 40. f( = 3 e 3 Soluzione. f ( = e 3 (3 3 5 Esercizio 41. f( = ln( Esercizio 4. f( = ln( +1 Soluzione. f ( = +1 ( 5+4 Esercizio 43. f( = ln 3 Soluzione. f ( = ( 3 Esercizio 44. f( = ln (5+4 ( 3.
5 5 Soluzione. f ( = (3 ( 5 ( 9 Esercizio 45. f( = ln 1 4 Soluzione. f ( = ( 9 (1 4 ( 4 Esercizio 46. f( = ln 3+1 Soluzione. f ( = 3 1 (4 (3+1 Esercizio 47. f( = (sin 4 (cos Esercizio 48. f( = sin 3 +cos Soluzione. f ( = cos 3 sin. ( 3 Esercizio 49. f( = sin +7 ( 3 Soluzione. f 5 ( = cos +7 (+7 ( Esercizio 50. f( = cos 5+9 ( Soluzione. f 19 ( = sin 5+9 (5+9 Esercizio 51. f( = ln(ln Soluzione. Abbiamo: f ( = 1 ln [D(ln] = 1 ln 1 = 1 ln. Esercizio 5. f( = e +3+1 Esercizio 53. f( = ln( +4 Esercizio 54. f( = ln( cos Soluzione. f ( = tg
6 6 Massimi, minimi di una funzione Dopo aver determinato il dominio, studiare il segno della derivata prima delle seguenti funzioni, scrivere gli intervalli in cui esse sono strettamente crescenti o decrescenti e determinare eventuali punti di massimo M o minimo m relativi. Esercizio 1. f( = Soluzione. m = 1; M = 1 Esercizio. f( = Soluzione. m = 6; M = 0 Esercizio 3. f( = ( 3 3 Soluzione. Il dominio della funzione è R. Calcoliamo la derivata prima della funzione mediante la regola di derivazione del prodotto: f ( = (D ( [D( 3 3 ] = = ( [3( 3 D( 3] = = ( [3( 3 ( 3] = = ( ( 3 = ( 3 ( 1. Studiamo il segno della derivata prima, ponendo f ( > 0, ossia Abbiamo che ( 3 ( 1 > 0. ( 3 > 0 per ogni 3 ; 1 > 0 < 1 6 ; quindi ( 3 ( 1 > 0 per < 1 6. Possiamo concludere che la funzione f è strettamente crescente per ] 1 mentre f è strettamente decrescente per 6 ; ] [ 3[ 3 ;+. ] ; 1 [, 6 Inoltre = 1 6 èunpuntodimassimorelativo, mentre = 3 ( èunpuntostazionario che non è né punto di massimo né punto di minimo relativo in = la derivata ] 3 1 prima si annulla, ma negli intervalli 6 3[ ; ] [ e 3 ;+ non cambia segno.
7 Esercizio 4. f( = +3 5 Soluzione. m = 5+ 7; M = 5 7 Esercizio 5. f( = +1 Soluzione. m = 1; M = 1 Esercizio 6. f( = +3 3 Soluzione. m = ; M = 0 Esercizio 7. f( = Soluzione. Il dominio della funzione è R. Calcoliamo la derivata prima della funzione mediante la regola di derivazione del rapporto: f ( = (4+3 ( ++1 ( +3+ (+1 ( ++1 = = ( ( ++1 = = +1 ( ++1. Studiamo il segno della derivata prima, ponendo f ( > 0, ossia Abbiamo che +1 ( ++1 > 0. Num. > 0 +1 > 0 1 < 0 1 < < 1; Den. > 0 ( ++1 > 0 per ogni R; +1 quindi ( > 0 per 1 < < Possiamo concludere che f è strettamente crescente per ] 1;1[, mentre f è strettamente decrescente per ] ; 1[ ]1; + [. Inoltre = 1èunpuntodiminimorelativo, mentre = 1èunpuntodimassimo relativo (f non solo si annulla in questi due punti, ma cambia anche segno. Esercizio 8. f( = e 1 7
8 8 Soluzione. Il dominio della funzione è ] ; [ ]; + [. Calcoliamo la derivata prima della funzione mediante le regole di derivazione del prodotto e della composizione: f ( = 1 e 1 + e 1 D ( 1 = e 1 + e 1 ( = e ( = e (. Studiamo il segno della derivata prima, ponendo f ( > 0, ossia e ( > 0. Poiché e 1 > 0 per ogni appartenente al dominio, basta porre Abbiamo che 5+4 ( > 0. Num. > > 0 < 1 > 4; 1 ( = Den. > 0 ( > 0 per ogni ; quindi 5+4 ( > 0 per < 1 > 4. Possiamo concludere che f è strettamente crescente per ] ;1[ ]4;+ [, mentre f è strettamente decrescente per ]1; [ ]; 4[. Inoltre = 1 è un punto di massimo relativo, mentre = 4 è un punto di minimo relativo. Esercizio 9. f( = e 1 Soluzione. m = Esercizio 10. f( = ln Soluzione. Il dominio della funzione è ]0; + [. Calcoliamo la derivata prima della funzione mediante la regola di derivazione del rapporto: 1 f ( = ( (ln (1 = 1 ln. Studiamo il segno della derivata prima, ponendo f ( > 0, ossia 1 ln > 0.
9 Abbiamo che Num. > 0 1 ln > 0 ln < 1 < e; Den. > 0 > 0 per ogni 0; poiché il dominio è ]0;+ [, otteniamo che 1 ln > 0 per 0 < < e. Possiamo concludere che f è strettamente crescente per ]0;e[, mentre f è strettamente decrescente per ]e; + [. Inoltre = e è un punto di massimo relativo. Massimi, minimi e flessi di una funzione Determinare i punti di massimo M e di minimo m e gli eventuali punti di flesso F delle seguenti funzioni. Esercizio 1. f( = Soluzione. M = 1; m = ; F = 1 Esercizio. f( = Soluzione. M = 1; m = 0; F = 6 Esercizio 3. f( = 3 Soluzione. M = 3 ; m = 0; F = 1 3 Esercizio 4. f( = Soluzione. M = 0; m = m = +; F = ; F = Esercizio 5. f( = ln( +1 Soluzione. m = 0; F = 1; F = 1 Esercizio 6. f( = e Soluzione. M = 1; F =
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