MATEMATICA CORSO A II COMPITINO (Tema 1) 5 Aprile 2013

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1 MATEMATICA CORSO A II COMPITINO (Tema 1) 5 Aprile 2013 Soluzioni 1. Due sperimentatori hanno rilevato rispettivamente 25 e 5 misure di una certa grandezza lineare e calcolato le medie che sono risultate rispettivamente 15.6 e 16. cm. Mettendo insieme i due campioni quale sarà la media? Dalle informazioni del testo è possibile dedurre che la deviazione standard totale è più piccola di 1? La somma s 1 dei valori ottenuti dal primo sperimentatore vale s 1 = = 390 cm mentre la somma s 2 dei valori ottenuti dal secondo sperimentatore La media totale sarà allora s 2 = = 738 cm M = s 1 + s = La media è un indice di posizione centrale che non fornisce informazioni sulla dispersione dei dati, quindi non possiamo concludere niente sulla deviazione standard dei dati. 2. Sia data la funzione Trova i punti di massimo e minimo relativo. f(x) = x sin 2 x La funzione f(x) è continua su tutto R ed è illimitata. Per trovare i punti stazionari di f (massimo relativo, minimo relativo, flesso a tangente orizzontale) è necessario calcolare la derivata prima della funzione e porla uguale a 0: f (x) = 1 2 cos 2 x = 0 La precedente equazione è di tipo trigonometrico: 1 2 cos 2 x = 0 cos 2 x = x = π k π 2 x = 5 3 π + 2 k π x = x 1 = π 6 + k π x = x 2 = 5 6 π + k π quindi abbiamo un infinità numerabile di punti stazionari. Per capire la natura dei punti x 1 e x 2 possiamo studiare il segno della derivata prima oppure valutare la derivata seconda in questi punti. Seguiamo quest ultima strada: f (x) = sin 2 x 1

2 Si ha allora e f (x 1 ) = sin(2 π/6 + 2 k π) = sin(π/3) = 2 3 > 0 f (x 2 ) = sin(5 π/3 + 2 k π) = sin(5 π/3) = 2 3 < 0 da cui si deduce che i punti x 1 sono di minimo relativo, mentre i punti x 2 sono di massimo relativo. 3. Trova l espressione analitica di una funzione f(x), definita su tutto R, e avente i seguenti limiti: lim f(x) = 2 lim f(x) = x x + Una funzione definita su tutto R e avente limiti finiti a e + è l arcotangente. Cerchiamo allora una funzione del tipo f(x) = A arctan x + B Imponendo le condizioni sui limiti si ottiene un sistema di due equazioni nelle incognite A e B: { A ( π/2) + B = 2 A (π/2) + B = Risolvendo il sistema si trova A = 6/π e B = 1.. In un ufficio sono presenti 1 responsabile, 2 direttori generali, 8 impiegati operativi e 3 impiegati amministrativi. Gli stipendi annui lordi, in migliaia di euro, per ciascuna figura sono così distribuiti: responsabile 70 direttore generale 5 impiegato operativo 25 impiegato amministrativo 20 2

3 Calcola la media aritmetica, la moda, la mediana e la deviazione standard degli stipendi. Indichiamo con S l insieme degli stipendi: Allora la media vale S = {20, 20, 20, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 5, 5, 70} E(S) = = 20 1 = 30, la moda (il valore più frequente tra gli stipendi) è 25 così come la mediana. Per calcolare la deviazione standard σ ricordiamoci che quindi σ 2 = V ar(s) = E(S 2 ) [E(S)] 2 σ = 202 σ = Ipotesi biologiche sulla crescita di una popolazione di batteri suggeriscono che il numero di individui N(t) della popolazione al tempo t possa essere espresso da una funzione del tipo N(t) = dove h e k sono opportune costanti positive. sperimentali 3t h t k t N(t) Avendo a disposizione i seguenti dati a) conduci un analisi di regressione per stimare h e k, quali valori ottieni? b) L approssimazione è buona? Nota che N(t) = 3t 3t = hk ht k h t = hk ( ) 3 t h Passando ai logaritmi (useremo il logaritmo in base 10) si ha log N(t) = log h k + t log(3/h) = k log h + t log(3/h) e possiamo quindi applicare le formule della regressione lineare per trovare la retta di regressione y = m x + q con y = log N(t), x = t, m = log(3/h) e q = k log h. t N(t) log N(t) t log N(t) t (log N(t))

4 L ultima colonna della precedente tabella contiene le medie. m = xy x y x 2 x 2 = = q = y m x = = Possiamo quindi ricavare una stima dei parametri h e k: Il coefficiente di Pearson è dato da quindi l approssimazione è buona. log(3/h) = h = k = log CP = xy x y (x 2 x 2 ) (y 2 y 2 ) 6. Studia (dominio, zeri, segno, limiti, derivata prima, eventuali punti stazionari, grafico) la seguente funzione: f(x) = ln(2 x 2 7 x ) Disegna poi i grafici delle funzioni h(x) = 1/f(x) e k(x) = f(x). 1. CAMPO DI ESISTENZA (DOMINIO): poiché abbiamo a che fare con una funzione logaritmica del tipo f(x) = ln g(x), deve essere g(x) > 0: 2 x 2 7 x > 0 x < 1/2 x > Il campo di esistenza (dominio) è quindi D = (, 1/2) (, + ) 2. SEGNO: 3. LIMITI f(x) = 0 g(x) = 2 x 2 7 x = 1 2 x 2 7 x 5 = 0 x = 7 ± 89 f(x) > 0 x < 7 89 f(x) < lim f(x) = + lim x lim f(x) = lim x + x > < x < 1/2 < x < f(x) = x 1/2 f(x) = + x +. ASINTOTI La funzione ammette due asintoti verticali (x = 1/2 e x = ).

5 5. DERIVATA PRIMA f (x) = g (x) g(x) = x 7 2 x 2 7 x La derivata prima non si annulla mai nel dominio (f (x) = 0 x = 7/), è negativa per gli x negativi del dominio, (funzione decrescente) e positiva per gli x positivi del dominio (funzione crescente). 6. GRAFICO di f(x) 7. GRAFICO di h(x) = 1/f(x) 5

6 8. GRAFICO di k(x) = f(x) 6