Esame di Analisi Matematica Prova scritta del 9 giugno 2009

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1 Prova scritta del 9 giugno 2009 A1 Data la funzione f(x) = x2 3 e x, (f) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ al variare di Calcolare un valore approssimato di sin(0.4) utilizzando il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 3 della funzione f(x) = sin x. Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione o, equivalentemente, scrivere un intervallo che contiene sin(0.4). Calcolare l integrale indefinito della funzione f(x) = tan x (tan 2 x + 1) (tan x + 2)(tan 2 x + 3). B1 Dare la definizione di funzione continua in un punto. Verificare se la funzione 5x 2 2 x (, 1) f(x) = 2 x = 1 log 2 (x + 7) x (1, + ) è continua in x = 1. B2 Enunciare il teorema di Rolle. Stabilire se tale teorema si applica alla funzione f(x) = x 2 sin(x + π) nell intervallo [0, 2π]. B3 Enunciare il criterio del rapporto. Applicarlo per studiare la convergenza della serie n 3 2 n.

2 Prova scritta del 24 giugno 2009 A1 Data la funzione f(x) = x 2 x + 1, (f) stabilire in base al grafico ottenuto se f ammette punti di flesso e stabilire in quali intervalli f è convessa e in quali è concava (nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f ). Usare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione e x per calcolare Stabilire che la serie 1 e 3 con un errore inferiore a ( 1) n n 2 3 n è convergente. Scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di B1 Enunciare il teorema di convergenza obbligata per le successioni. Applicarlo per determinare il limite della successione b n = 3 n sin n. B2 Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Stabilire se la funzione f(x) = x 1 sin(πx) è derivabile in x = 1. B3 Enunciare la formula fondamentale del calcolo integrale. Utilizzarla per calcolare l integrale definito tra 1 e 2 della funzione f(x) = x 2 e x3.

3 Prova scritta del 10 luglio 2009 A1 Data la funzione f(x) = 3 ex 2 e 2x 1, (Suggerimento: per risolvere una equazione del tipo ae 2x + be x + c = 0, porre t = e x e risolvere l equazione ausiliaria at 2 + bt + c = 0.) (f) stabilire in base al grafico ottenuto se f ammette punti di flesso e stabilire in quali intervalli f è convessa e in quali è concava (nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f ). Calcolare un valore approssimato di cos(0.2) utilizzando il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 4 della funzione f(x) = cos x. Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione o, equivalentemente, scrivere un intervallo che contiene cos(0.2). Calcolare l integrale indefinito della funzione f(x) = ex 2 e 2x 1. B1 Enunciare il teorema degli zeri. Utilizzarlo per stabilire se l equazione 3 x x 2 = π ammette soluzioni nell intervallo [0, 2]. (Nota: non è richiesto di determinare le soluzioni dell equazione.) B2 Dare la definizione di punto angoloso e di punto cuspidale. Classificare il punto x = 1 per la funzione f(x) = x 1. B3 Dare la definizione di serie assolutamente convergente. Stabilire se la serie assolutamente. ( 1) n n sin n n + 1 converge

4 Prova scritta dell 11 settembre 2009 A1 Data la funzione f(x) = x 2 x 1, (f) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ al variare di 3 Calcolare un valore approssimato di e utilizzando il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 4 della funzione f(x) = e x. Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione o, equivalentemente, scrivere un intervallo che contiene 3 e. Stabilire che la serie ( 1) n 3n 1 è convergente. Scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla n! per determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di B1 Enunciare il teorema di Weierstrass. Stabilire se è applicabile alla funzione f(x) = 4 1 x 2, assumendone come dominio il dominio naturale (ossia il più ampio possibile). B2 Enunciare la regola di derivazione della funzione composta. Stabilire se è applicabile in x 0 = 2 alla funzione h(x) = x 2 3x + 1 ; in caso affermativo, utilizzarla per calcolare h (2). B3 Enunciare il teorema della media integrale. Verificare le conclusioni del teorema per la funzione f(x) = x 3 nell intervallo [1, 3].

5 Prova scritta del 25 settembre 2009 ( ) x 2 A1 Data la funzione f(x) = log, x 1 (f) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ al variare di Scrivere il polinomio di Taylor di centro 1 e ordine 3 della funzione f(x) = log x e utilizzarlo per calcolare un valore approssimato di log(1.2). Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione o, equivalentemente, scrivere un intervallo che contiene log(1.2). Utilizzare il criterio dell integrale per studiare la convergenza della serie n=2 1 n log 2 n. B1 Dare la definizione di discontinuità eliminabile e di discontinuità a salto finito. Classificare il punto x = 1 cos(2πx) x < 1 per la funzione f(x) = 2 x = 1 log x x > 1 x 1 B2 Enunciare il teorema del valor medio di Lagrange. nell intervallo [ 1, 2]. Stabilire se è applicabile alla funzione f(x) = x B3 Enunciare la regola di integrazione per parti. Utilizzarla per determinare una primitiva della funzione x log x.

6 Prova scritta del 16 novembre 2009 Riservata agli studenti fuori corso A1 Data la funzione f(x) = 5 1 x x 2 + x, (b) determinare eventuali asintoti verticali, orizzontali, obliqui di f, classificando (se appropriato) l andamento (c) stabilire se f ammette punti singolari (cioè punti in cui non è derivabile) e in caso affermativo classificarli; (f) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ, al variare di Scrivere il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 3 della funzione f(x) = arctan x e utilizzarlo per calcolare un valore approssimato di arctan(0.5). Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione o, equivalentemente, scrivere un intervallo che contiene arctan(0.5). Calcolare l integrale improprio della funzione f(x) = x 1 x 2 nell intervallo [1, + ). (1 + x) B1 Enunciare il teorema della permanenza del segno per funzioni. Utilizzarlo per stabilire (senza risolvere alcuna disequazione) che la funzione f(x) = (x + log x)(x 8 3x 5 2) assume valori positivi in un intorno destro di 0. B2 Dare la { definizione di funzione derivabile a sinistra in un punto. Stabilire se la funzione definita ponendo e 1/x x 0 f(x) = è derivabile a sinistra in x = 0. 0 x = 0 B3 Enunciare il criterio di Leibniz. Stabilire se è possibile applicarlo per studiare la convergenza della serie ( ) 1 ( 1) n sin. n

7 Prova scritta del 27 gennaio 2010 A1 Data la funzione f(x) = log x 1 x 2 + 1, (b) determinare eventuali asintoti verticali, orizzontali, obliqui di f, classificando (se appropriato) l andamento (c) stabilire se f ammette punti singolari (cioè punti in cui non è derivabile) e in caso affermativo classificarli; (f) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ, al variare di Scrivere il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 4 della funzione f(x) = cos x e utilizzarlo per calcolare un valore approssimato di cos(0.1). Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione o, equivalentemente, scrivere un intervallo che contiene cos(0.1). Calcolare l integrale definito della funzione f(x) = x log x + 1 nell intervallo [0, 1]. B1 Enunciare il teorema dei valori intermedi. Stabilire se è possibile applicarlo alla funzione log 4 (3 x) x (, 2) f(x) = 0 x = 2 x 2 2x x (2, + ) nell intervallo [ 1, 3]. B2 Enunciare il criterio di convessità. Utilizzarlo per studiare la convessità della funzione f(x) = x2 3 x B3 Enunciare il criterio del confronto per le serie numeriche. Utilizzarlo per studiare il carattere della serie n 2 n 3 1. n=2

8 Prova scritta del 19 febbraio 2010 A1 Data la funzione f(x) = e x+1 (2x x2), (b) determinare eventuali asintoti verticali, orizzontali, obliqui di f, classificando (se appropriato) l andamento (c) stabilire se f ammette punti singolari (cioè punti in cui non è derivabile) e in caso affermativo classificarli; (f) determinare in base al grafico di f il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = λ, al variare di Usare lo sviluppo in serie di Taylor (di centro x 0 = 0) della funzione sin x per calcolare sin(3) con un errore inferiore a n Stabilire che la serie 3 n è convergente. Scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per + n2 determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di B1 Enunciare il teorema sulla regolarità delle successioni monotone. Utilizzarlo per determinare l estremo superiore della successione a n = 3n 3 n + n. B2 Enunciare la regola di derivazione della funzione inversa. Utilizzarla per calcolare f (1), dove f è la funzione inversa della funzione definita ponendo g(x) = e x + x 3, x R. (Nota: non è richiesto di determinare esplicitamente la funzione f.) B3 Enunciare la formula fondamentale del calcolo integrale. Utilizzarla per calcolare l integrale definito tra x 2 1 e 3 della funzione f(x) = x3 + 8.

9 Prova scritta del 30 marzo 2010 Riservata agli studenti fuori corso 1. Data la funzione f(x) = log(x 3 6x x), (a) determinare il dominio e l intersezione del grafico di f con l asse delle ordinate; (b) determinare eventuali asintoti verticali, orizzontali, obliqui di f, classificando (se appropriato) l andamento (c) calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia di f e per determinare i punti stazionari di f ; stabilire la natura dei punti stazionari di f ; (d) utilizzare tutte le informazioni raccolte per tracciare un grafico approssimativo di f ; (e) in base al grafico ottenuto, stabilire se l equazione f(x) = 0 ammette soluzione e determinare il segno di f ; (f) in base al grafico ottenuto, stabilire se f ammette punti di flesso, in quali intervalli f è convessa e in quali è concava (nota: non è richiesto lo studio della derivata seconda di f ). Calcolare l integrale improprio della funzione f(x) = 1 x nell intervallo [2, 5]. x x 2 Stabilire che la serie ( 1) n 2 n è convergente. Scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla (n 1)! per determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di B1 Enunciare il teorema degli zeri. Utilizzarlo per stabilire che l equazione x+log 3 x = 4 ammette soluzioni nell intervallo [1/3, 9]. (Nota: non è richiesto di determinare le soluzioni dell equazione.) B2 Enunciare il teorema del valor medio di Lagrange. Stabilire se è applicabile alla funzione f(x) = 3 x nell intervallo [ 1, 1]. B3 Dare la definizione di serie assolutamente convergente. Stabilire se la serie converge assolutamente. n cos n n 3 + 1