MATEMATICA CORSO A III APPELLO 13 Settembre 2012

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1 MATEMATICA CORSO A III APPELLO 13 Settembre 212 Soluzioni 1. È stato preparato uno sciroppo concentrato al 4% mettendo 3 grammi di zucchero in una certa quantità d acqua. a) Quanto vale la massa dell acqua? b) Fra quali valori può variare la massa dell acqua se la concentrazione dello sciroppo è nota a meno di un errore assoluto del %? a) La concentrazione c è definita come il rapporto tra la massa del soluto s e la massa totale della soluzione (somma di s e della massa del solvente S), quindi c = s S + s 4 2 (3 + S) = 1 S = 4 b) Dire che la concentrazione dello sciroppo è nota a meno di un errore assoluto del % significa che 3% c 4%. Se c = 4% si ha 4 9 (3 + S) = 6 S = 11/ Se c = 3% si ha 3 7 (3 + S) = 6 S = 39/7.7 Ovviamente, a parità di soluto la soluzione più concentrata avrà meno solvente. 2. Quale tra le seguenti funzioni ha il grafico in figura? Motiva la risposta! a) f(x) = 4 b) f(x) = 2 x 2 4 c) f(x) = 2 2x d) f(x) = 2 1

2 Il grafico in figura ha un solo asintoto verticale x = 2, quindi possiamo scartare l opzione b) che ha anche l asintoto verticale x = 2. Il grafico in figura ha uno zero nel punto di ascissa 1, quindi possiamo escludere l opzione a). Resta da decidere tra c) e d) che differiscono per un fattore 1. È sufficiente notare che il grafico in figura ha ordinata positiva per x =, quindi possiamo scartare la c) poiché in vale 1/2. La funzione cercata è dunque la d). 3. Sia A e B due eventi con probabilità P (A) =. e P (B) =.2. Determina: a) la probabilità che B non si verifichi; b) la probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente sapendo che P (A B) =.3; c) la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi. a) P ( B) = 1 P (B) = 1.2 =.8 b) P (A B) = P (A B) P (B) =.3.2 =.6 c) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = La funzione di densità di una variabile aleatoria continua X è (a, b R) { 2 a + 3 b x 2 x 1 f(x) = altrimenti a) Calcola i coefficienti reali a e b sapendo che E[X] = 2/. b) Calcola la deviazione standard di X. c) Calcola la funzione di ripartizione di X. 2

3 a) Ci servono due condizioni indipendenti per determinare i due parametri a e b: la prima è f(x) dx = 1 1 (2 a + 3 b x 2 ) dx = [ 2 a x + b x 3] 1 = 2 a + b = 1 mentre la seconda sfrutta l informazione sul valor medio x f(x) dx = 2 1 [ (2 a x + 3 b x 3 ) dx = a x b 4 x4 ] 1 = a + 3 b 4 = 2 Risolvendo il sistema delle due equazioni precedenti in a e b (ad esempio per sostituzione ricavando facilmente b dalla prima equazione) si ottiene a = 7 1 b = 2 e quindi la densità di probabilità vale f(x) = (7/) (6/) x 2 nell intervallo [, 1] ed in tale intervallo assume valori positivi. b) Per calcolare la deviazione standard di X è utile ricordare la seguente relazione: Calcoliamo quindi E[X 2 ]: E[X 2 ] = Si ha allora σ[x] = V ar[x] = E[X 2 ] (E[X]) 2 x 2 f(x) dx = 1 σ[x] = ( 7 x2 6 ) [ 7 x4 dx = 1 x3 6 ] 1 2 x = ( ) = 1 c) La funzione di ripartizione di X vale x < F (x) = (7/) x (2/) x 3 x 1 1 x > 1. Un test diagnostico per una certa malattia M fornisce un risultato positivo nel 9% dei casi in cui la malattia M è davvero presente e nel % dei casi in cui M non è presente (falsi positivi). È noto che la malattia M ha un incidenza nella popolazione del 2%. a) Calcola la probabilità che in un individuo preso a caso il test risulti negativo. b) Calcola la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione sia affetto da M sapendo che il test ha dato risultato positivo. Supponiamo adesso che la probabilità un individuo risulti positivo al test sia il 1%. c) Calcola l incidenza della malattia M nella popolazione. 3

4 Sappiamo che P (M) = 2/1 (incidenza della malattia nella popolazione), quindi P ( M) = 98/1. Inoltre P (+ M) = 9/1 (test positivo quando la malattia è presente, quindi P ( M) = 1/1) e P (+ M) = /1 (test positivo quando la malattia non è presente, quindi P ( M) = 9/1). a) Dobbiamo calcolare P ( ): b) Dobbiamo calcolare P (M +): P ( ) = P (M) P ( M) + P ( M) P ( M) = (2/1) (1/1) + (98/1) (9/1) = 933/1 P (M +) = P (M +) P (+) = P (M) P (+ M) P (M) P (+ M) + P ( M) P (+ M) = (2/1) (9/1) (2/1) (9/1) + (98/1) (/1) = c) Dobbiamo calcolare P (M) (che indicherò con x) sapendo che P (+) = 1/1: da cui 6. Assegnata la funzione determina: P (+) = P (M) P (+ M) + P ( M) P (+ M) = x 9 + (1 x) 1 1 = 1 1 a) l insieme di definizione; b) il segno ed eventuali zeri; 9 x + (1 x) = 1 8 x = x = 1 17 f(x) = c) i limiti ai bordi dell insieme di definizione; ln(4 x) x 2 9 d) gli intervalli di monotonia e l esistenza di eventuali punti di massimo o minimo. Disegna poi il grafico. a) L argomento del logaritmo deve essere maggiore di ed il denominatore non deve annullarsi, quindi devono valere le due condizioni L insieme di definizione è allora 4 x > x 2 9 {x R : x < 4 x ±3} b) La funzione è positiva per x < 3 e negativa nel resto dell insieme di definizione; inoltre non si annulla mai, perché il numeratore varrebbe per x = 3, ma tale valore non appartiene all insieme di definizione. 4

5 c) d) lim x 3 lim f(x) = lim x 3 + x 3 f(x) = lim f(x) = 1/6 lim + f(x) = + x 3 f(x) = x 4 f (x) = x2 9 2 x (x 4) ln(4 x) (x 4) (x 2 9) 2