Esempio A. 5x 5 x 2 + 2x 5. lim. lim. lim ln 1 + x. x 3 + 5xe 2x + 2. x + xe 2x + x 5 ;

Transcript

1 Esempio A. Esercizio 1. Si considerino le funzioni f(x) = e x + 2 e g(x) = x (a) Si scriva l espressione delle funzioni f g(x) e g f(x). (b) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f g(x) nel punto x = 1. Esercizio 2. Si calcolino i seguenti iti 5x 5 x 2 + 2x 5. ( ln 1 + x 1 + x ) ; x 3 + 5xe 2x + 2 xe 2x + x 5 ; Esercizio 3. Si consideri la funzione f : R R definita da f(x) = xe x2. a) La funzione è pari o dispari? b) Calcolare derivata prima e derivata seconda di f. c) Si determini dove la funzione è crescente e dove è decrescente. d) Si determini dove f è concava e dove è convessa. Esercizio 4. Una popolazione ha tempo di raddoppio di 5 ore e all istante iniziale è costituita da 5 individui. a) Da quanti individui sarà costituita dopo 25 ore? b) Dopo quante ore sarà costituita da 80 individui? Esercizio 5. In scala doppiamente logaritmica, una data legge è espressa dall equazione Y = 3X + 5. Esprimere la stessa legge in scala ordinaria, i.e. in termini di x e y tali che X = ln(x) e Y = ln(y). Esercizio 6. La probabilità che un certo test diagnostico per la malattia M dia risultato positivo nel caso in cui l individuo sia malato è 0.8 e di 0.1 nell ipotesi che l individuo sia sano. Sapendo che l incidenza della malattia M nella popolazione è di 1 su 1000 individui, determinare: a) la probabilità che un paziente preso a caso nella popolazione risulti positivo al test; b) la probabilità che un paziente sia malato nell ipotesi in cui il test risulti positivo. 1

2 totale punti 30 Risposte: Esercizio 1. (a) f g(x) = e x , g f(x) = e 2x + 4e x + 5 (b) [f g] (x) = 2xe x2 +1, quindi y = 2e 2 (x 1) + (e 2 + 2) punteggio: 2+2 Esercizio 2. 5/2; ln(2); 5. punteggio: Esercizio 3. Dispari. f (x) = (2x 2 + 1)e x2, f (x) = 2x(3 + 2x 2 )e x2. La funzione è crescente su tutto R. E concava su (, 0) e convessa su (0, + ). punteggio: Esercizio individui. 20 ore. punteggio: 2+2 Esercizio 5. y = e 5 /x 3. punteggio: 2 Esercizio 6. P (+) = , P (+ M) = 8/1007 punteggio: 3+3 2

3 Esempio B. Esercizio 1. Si considerino le funzioni f(x) = ln(x + 1) e g(x) = x 2. (a) Si determini il dominio di definizione delle funzioni f,g,f g(x),g f(x). e si scriva l espressione delle funzioni f g(x) e g f(x). (b) Si scriva l equazione della retta tangente al grafico di f g(x) nel punto x = 2. Esercizio 2. Si calcolino i seguenti iti 2x + x x 2 + 3x 3 ; e2x x2. sin(x) + x x 5. Esercizio 3. Si consideri la funzione f(x) = 4x 3 +3x 2. a) Calcolare derivata prima e derivata seconda di f. b) Determinare eventuali massimi e minimi locali e/o assoluti di f su tutto R. c) Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f nell intervallo [-1,1]. Esercizio 4. (a) Una popolazione raddoppia ogni ore. Sapendo che all istante iniziale è costituita da 10 individui e dopo 10 ore è costituita da 40 individui, determinare. (b) Una seconda popolazione all istante iniziale è costituita da 5 individui e ha tempo di raddoppio di 4 ore. Dopo 25 ore quale delle due popolazioni è più numerosa? Esercizio 5. Per una indagine su un servizio di assistenza telefonica, vengono raccolti i seguenti dati: la frazione di maschi tra i clienti soddisfatti è 9/10; tra i clienti insoddisfatti è 1/5. (a) Sapendo che in una popolazione di 1000 clienti ci sono 400 clienti soddisfatti, qual è la probabilità che un cliente scelto a caso fra i 1000 clienti sia maschio? (b) E che sia soddisfatto sapendo che è maschio? Esercizio 6. y = 5e x2. Scrivere come risulta in scala semi-logaritmica la relazione 3

4 totale punti 30 Risposte: Esercizio 1. (a) D f = ( 1, + ), D g = (, + ), D f g = (, + ), D g f = ( 1, + ). f g(x) = ln(x 2 + 1), g f(x) = (ln(x + 1)) 2. (b) y = 4/5(x 2) + ln(5). punteggio: 2+2 Esercizio 2. 1/3; 0; 0 punteggio: Esercizio 3. a) f (x) = 12x 2 + 6x, f (x) = 24x + 6. b) La funzione ha un massimo locale in 1/2 e un minimo locale in 0. Non ha massimi e minimi globale su R. c) La funzione ha un minimo assoluto in 1 e un massimo assoluto in 1. punteggio: Esercizio 4. = 5. La seconda. punteggio: 2+2 Esercizio 5. 12/25, 3/4. punteggio: 3+3 Esercizio 6. Y = ln 5 + X 2. punteggio: 2 4

5 Esempio C. Esercizio 1. (10pt) Sia f(x) = x ln(x) per x > 0. (a) Si calcoli f (x) e f (x). (b) Si determini dove f è crescente e dove decrescente. (c) f è concava in qualche intervallo? (d) Si determini il minimo assoluto di f. (e) Si calcoli f(x) ln(x) + 3x. [f (x) = 1 + ln(x), f (x) = 1/x. f è crescente su (1/e, + ) e decrescente su (0, 1/e). No. f ha un mimino assoluto in 1/e. +.] Esercizio 2. (4pt) a) Il tempo di dimezzamento radioattivo del cesio 137 è di 30 anni. Dopo 90 anni, quanto cesio 137 rimane in una massa iniziale di 24 grammi? b) Una certa quantità q decresce esponenzialmente nel tempo, cioè segue una legge del tipo q(t) = ae bt con b > 0. Sapendo che q(0) = 2 e che q(5) = 2e 25, derterminare q(3)? [3 grammi, 2e 15 ] Esercizio 3. (6pt) (a) Per quali a 1 + x a 4x 3 + 3x 2 = +? (b) Sia a > 1, si calcoli (c) Sia a > 1, si calcoli = ex/2 e ax = 2xa + 5 e ax. (a) per a > 3 (b) 0 (c) 0. Esercizio 4. (4pt) Sia X sia una variabile aleatoria tale che E[X] = 5 e E[X 2 ] = 30. Calcolare V ar(x). Posto Y = 4X + 2 Calcolare E[Y ] e V ar(y ). [V ar(x) = 5,E[Y ] = = 22,V ar(y ) = 16 5 = 80] Esercizio 5. (2pt) Scrivere come risulta in scala log-log la relazione y = 5x 2/3. [Y = ln(5) X] Esercizio 6. (4pt) Sia X una variabile aleatoria continua con densità f(x) = 2x per x (0, 1) e f(x) = 0 altrove. Calcolare P {X < 0.1} e E[X]. [0.01,2/3.] 5

6 Esempio D. Esercizio 1. (6pt) Il grafico di una funzione f(x) per x in [ 2, 2] è disegnato nella prima figura in alto a sinistra. Identificare quale delle figure restanti rappresentano il grafico di f 1 (x) = f(x) + 3, f 2 (x) = f( x ) e f 3 (x) = f(x). Esercizio 2. (6pt) Si calcolino i seguenti iti [3/5,+,+ ] ln(x 3 ) 1 + ln(x 5 ). x e1+x2 ; e x+1 x. Esercizio 3. (2pt) Calcolare la retta passante per i punti (0, 1) e (1, 5). [y = 4x + 1] Esercizio 4. (6pt) Sia X sia una variabile aleatoria discreta che può assumere i valori 1, 2, 3, 4 con probabilità p 1 = 0.1, p 2 = 0.1, p 3 = 0.3, p 4 = 0.5. Calcolare: E[X],E[X 2 ],V ar(x). Calcolare E[Y ] e V ar(y ) dove Y = 2X 3. [E[X] = 3.2,E[X 2 ] = 11, 2,V ar(x) = 0, 96,E[Y ] = 3.4,V ar(y ) = ] Esercizio 6. (2pt) Scrivere come risulta in scala semi-log, i.e. X = x, Y = ln(y), la relazione y = 5 x+3. [Y = (X + 3) ln(5)] Esercizio 7. (8pt) Si consideri f(x) = x 2 ln(x) definita da (0, + ) a R. (a) si calcoli x 0 f(x). (b) si calcoli f e f. (c) si studi la monotonia di f (d) si studi concavità e convessità di f. [0; f (x) = x(2 ln(x) + 1),f (x) = 2 ln(x) + 3;f è decrescente su (0, e 1/2 ) crescente su (e 1/2, + ); f è concava su (0, e 3/2 convessa altrove.] 6