Esercizi relativi al capitolo 5

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1 Esercizi relativi al capitolo.1 Derivate.1.1 Funzioni derivabili 1. Data la{ funzione e x 1 + k x 1 f(x) = x + kx x < 1 stabilire il valore di k per cui la funzione risulti continua ed in corrispondenza di tale valore si studi, utilizzando la denizione di derivata, la derivabilità della funzione nel punto x 0 = 1 di scissione della legge;. Data la{ funzione ln(x + k) x > 1 f(x) = ( x 1) x 1 stabilire il valore di k per cui la funzione risulti continua ed in corrispondenza di tale valore si studi, utilizzando la denizione di derivata, la derivabilità della funzione nel punto x 0 = 1 di scissione della legge; 3. Data la{ funzione x x > 0 f(x) = 3 x + k x 0 stabilire il valore di k per cui la funzione risulti continua ed in corrispondenza di tale valore si studi, utilizzando la denizione di derivata, la derivabilità della funzione nel punto x 0 = 0 di scissione della legge;. Data la funzionef(x) = min { x, x 3}, si dica se essa risulta iniettiva, suriettiva, continua e, utilizzando la denizione di derivata, se ne studi la derivabilità della funzione nel punto x 0 = 1 di scissione della legge. 1. k = 1,in x 0 = 1 la funzione ha un punto angoloso;. k = 0,in x 0 = 1 la funzione è derivabile e f (x 0 ) = 1; 3. k = 0,in x 0 = 0 la funzione ha un punto di cuspide;. k = 1,in x 0 = 1 la funzione ha un punto angoloso;.1. Calcolo di derivate Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 1. f(x) = e x + x;. f(x) = lnx + x 3 ; 3. f(x) = 3 x(x x + ); 1

2 . f(x) = lnx(1 3x );. f(x) = (x + x )sinx; 6. f(x) = (e x + x) 3 ; 7. f(x) = x+x x 1 ; 8. f(x) = x3 +x x ; 9. f(x) = +x 3x +1 ;. f(x) = sinx cosx+1 ; 11. f(x) = x + sinx; 1. f(x) = ex x + lnx; 13. f(x) = ex +1 cosx ; 1. f(x) = sinx ; 1. f(x) = 1+lnx ; 16. f(x) = ln x 1+x ; 17. f(x) = 1 x; 18. f(x) = 3 sinx; 19. f(x) = x + (3 x 3 ); 0. f(x) = (e x + x)x ; 1. f(x) = cosx(x x );. f(x) = x x x ; 3. f(x) = 3 3 sinx ;. f(x) = ln x x ;. f(x) = 1 6. f(x) = x+tanx ; 3x x 1+x ; 7. f(x) = 1 x +3x ; 8. f(x) = 1 sinx ; 9. f(x) = ln 3 1 x;

3 30. f(x) = x + lnx; 31. f(x) = e + x ; 3. f(x) = ln 1 x + x ; 33. f(x) = ln(x 1) x+1 3. f(x) = e x cosx ; 3. f(x) = e 3+ +3x ; 36. f(x) = e + 1 x ; 37. f(x) = sinx+1 cosx+1 ; 38. f(x) = sin(sinx); 39. f(x) = (x + lnx) ; 0. f(x) = xln(1 + x); 1. f(x) = 3 x + x 3 x + e1+ ;. f(x) = 3 x 3x; 3. f(x) = 3 sinx cosx;. f(x) = x e sinx ;. f(x) = ex+ +1 e 1 3x ; 6. f(x) = x lnx ; 7. f(x) = x 3 e 1 x ; 8. f(x) = sinx + cosx; 9. f(x) = cosxe x ; 0. f(x) = x+3 x e x +x. 1. f (x) = e x + 1 x ;. f (x) = 1 x + 6x ; 3. f (x) = 3 x(x ) + x+x 3 3 x ;. f (x) = 1 3x x 6xlnx; 3

4 . f (x) = ( x + x ) cosx + ( 1 + x 3) sinx; 6. f (x) = 3 ( + e x ) (e x + x) ; 7. f (x) = ( x+1) x x ( x+x) x 3 ; 8. f (x) = 1+3x x (x+x3 ) x 3 ; 9. f (x) = 6x(+x) (1+3x ) + 1 (1+3x ) ;. f (x) = cosx cosx f (x) = x + cosx; sin x (cosx+1) ; 1. f (x) = ex x + 1 x + ex x ; 13. f (x) = ex cosx + (1+ex )sinx cos x ; 1. f (x) = cosx sin x ; 1. f (x) = 16. f (x) = 1+x x x(1+lnx) ; ( 17. f (x) = 1 1 x ; 18. f (x) = cosx 3 3 sin x ; x (1+x) x ) ; 19. f (x) = 6x + x + 3 x3 +x ; 0. f (x) = ( + e x ) x + x (e x + x); 1. f (x) = (1 x)cosx (x x )sinx;. f (x) = x(x x3 ) x x + x x ; 3. f (x) = cosx 3 sin x ;. f (x) = ( x) ( x x x + x ( x) );. f (x) = 1+cos x cos x(x+tanx) ; 6. f (x) = 1 1+x x+3x ( +6x 7. f (x) = 3+x (3x+x ) 3/ ; 8. f (x) = cosx sin x ; 1+x ( x+3x ) (1+x) );

5 9. f (x) = 1 3(1 x) ; 30. f (x) = x+1 x x+lnx ; 31. f x (x) = e+ x ; 3. f (x) = 1+x x x( x+x ) ; 33. f (x) = 1 (x 1) ln(x 1) (1+x) ; 3. f (x) = e x cosx ( xcosx x sinx ) ; 3. f (x) = 3e3+ +3x x +3x ; 36. f (x) = x 3 e + 1 x ; 37. f (x) = cosx 1+cosx + sinx(1+sinx) (1+cosx) ; 38. f (x) = cosxcos(sinx); 39. f (x) = ( + 1 x) (x + lnx) 3 ; 0. f (x) = x 1+x + ln(1+x) x ; 1. f (x) = 3 x + x e1+ x + 6x ;. f (x) = 3+x 3 3 ( 3x+x ) ; 3. f (x) = cosx 3 3 sin x + sinx;. f (x) = xe sinx + x e sinx cosx sinx ;. f (x) = e+x +e 1 3x + 3e1 3x (1+e +x ) ( +e 1 3x ) ; 6. f (x) = 1 xln x + 1 xlnx ; 7. f (x) = 3e1 x x x 3 x x 3 e 1 x ; 8. f (x) = cosx sinx cosx+sinx ; 9. f (x) = e x (cosx + sinx); ( ) 0. f (x) = + 3 (e x + x) + (1 + e x ) (3 x + x). x.1.3 Retta tangente Si determini l'equazione della retta tangente in x 0 al graco delle seguenti funzioni:

6 1. f(x) = x 3 + x in x 0 = 1;. f(x) = x in x 0 = 1; 3. f(x) = 1 + e x in x 0 = 0;. f(x) = ln(x+) 3 in x 0 = 3;. f(x) = x in x 0 = 1 ; 6. f(x) = cosx in x 0 = π. 1. y = 7x + ;. y = 6 x; 3. y = x;. y = x 3 + 1;. y = x + 1 ; 6. y = π x..1. Punti di non derivabilità Si stabilisca se le seguenti funzioni siano derivabili su tutto il dominio e si classichino gli eventuali punti di non derivabilità: 1. f(x) = 1 x ;. f(x) = sinx ; 3. f(x) = 3 lnx;. f(x) = x 1 x ;. f(x) = 3 x + ; 6. f(x) = x ln(x 1); { x sin 1 7. f(x) = x x > 0 0 x 0 ; 8. f(x) = 9. f(x) = { e 3x + 1 x > 0 x x 0 ; { sinx x > 0 ln(x + 1) x 0. 6

7 1. x 0 = 1 è un punto di cuspide;. x 0 = kπcon k Z è un punto angoloso; 3. x 0 = 1 è un punto di esso a tangente verticale;. x 0 = 1 e x 0 = 1 sono punti angolosi;. x 0 = è un punto di cuspide; 6. f è derivabile ovunque nel dominio; 7. f è derivabile ovunque nel dominio; 8. x 0 = 0 è un punto angoloso; 9. f è derivabile ovunque nel dominio..1. Dierenziale Si determini, facendo uso del dierenziale, il valore approssimato delle seguenti espressioni: 1. 8;. e; 3. 1 e ;. e 0.1 ;. ln(1.019); 6. ln(0.8) ;. 1.; ;. 1.;. 0.01; Polinomio di Taylor e di McLaurin Determinare il polinomio di Taylor o di McLaurin di ordine 3 delle seguenti funzioni: 7

8 1. f(x) = 1 1+x in x 0 = 1;. f(x) = xsinx in x 0 = 0; 3. f(x) = e sinx in x 0 = 0; 1. T 3 (x) = 1 1 (x 1) + 1 (x 1) ;. T 3 (x) = x ; 3. T 3 (x) = 1 + x + 1 x. Calcolare, utilizzando la formula di McLaurin arrestata all'ordine il valore approssimato delle seguenti espressioni: 1. e;. ln ; Teoremi del valor medio 1. Si stabilisca se la funzione f(x) = 1 x verica le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [ 1, 1] e, in caso aermativo, si determinino i punti per cui è vericata la tesi;. Si stabilisca se la funzione f(x) = 3 (x ) verica le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [, 3] e, in caso aermativo, si determinino i punti per cui è vericata la tesi; 3. Si stabilisca se la funzione f(x) = x x 3 verica le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [0, 1] e, in caso aermativo, si determinino i punti per cui è vericata la tesi;. Si stabilisca se la funzione f(x) = 1 lnx verica le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [1, 3] e, in caso aermativo, si determinino i punti per cui è vericata la tesi. 1. La funzione verica le ipotesi del teorema di Rolle e la tesi è vericata per c = 0;. La funzione verica le ipotesi del teorema di Lagrange e la tesi è vericata per c = 3 7 ; 8

9 3. La funzione verica le ipotesi del teorema di Rolle e la tesi è vericata per c = 3 ;. La funzione non verica le ipotesi del teorema di Lagrange... Massimi e minimi relativi Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo relativo dopo aver individuato gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni: 1. f(x) = x 3 3x;. f(x) = x 3 ; 3. f(x) = xlnx;. f(x) = x x 1 ;. f(x) = e x x+1 ; 6. f(x) = x x 1; 7. f(x) = x 3 (x + 1) ; 8. f(x) = ( x 8 ) e x ; 9. f(x) = ln( x x);. f(x) = x ( lnx). 1. x = 1 è un punto di massimo relativo, x = 1 è un punto di minimo relativo;. f è decrescente su ogni intervallo nel suo dominio; 3. x = 1 e è un punto di minimo relativo;. x = 0 è un punto di minimo relativo;. x = è un punto di massimo relativo, x = 0 è un punto di minimo relativo; 6. x = è un punto di minimo relativo; 7. x = 1 è un punto di massimo relativo, x = 3 relativo; è un punto di minimo 8. x = è un punto di massimo relativo, x = è un punto di minimo relativo; 9. x = 1 è un punto di massimo relativo; 9

10 . x = e 3 è un punto di massimo relativo...3 Concavità, convessità e punti di esso Dopo aver studiato la concavità delle seguenti funzioni, se ne determinino gli eventuali punti di esso: 1. f(x) = x3 +8 x ;. f(x) = (x )e x ; 3. f(x) = 1 lnx ;. f(x) = x + x. 1. x = ;. x = 0; 3. x = 1 e ;. f è sempre concava quindi non ammette punti di esso...3 Studio di funzione Studiare le seguenti funzioni e rappresentarle gracamente: 1. f(x) = x (x );. f(x) = x 3 x ; 3. f(x) = x 3 e x ;. f(x) = x lnx ;. f(x) = 3 (x 1) x ; 6. f(x) = x+1 x 1 ; 7. f(x) = e x x+ ; 8. f(x) = xlnx; 9. f(x) = ln +x x ;. f(x) = e x x; 11. f(x) = x 1 e x ; 1. f(x) = x x+1 ;

11 13. f(x) = x e 1 x ; 1. f(x) = 1 e x x+1 ; 1. f(x) = +lnx lnx ; 16. f(x) = x(1 + lnx); 17. f(x) = 3 x + x ; 18. f(x) = 1 + x ; 19. f(x) = x + x; 0. f(x) = cos x cosx; 1. f(x) = x x ;. f(x) = (1 + x )x ; 3. f(x) = e x x 1 ;. f(x) = e 1 x 1 ;. f(x) = x x ;

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