Polinomi di Taylor. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 1 / 27

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1 Polinomi di Taylor Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 1 / 27

2 Introduzione Sia f : I R e sia x 0 I. Problemi: come approssimare f nell intorno di x 0 con un polinomio? come stimare l ordine di infinitesimo della differenza fra la funzione e il polinomio approssimante? La risposta a questi problemi è legata a proprietà di regolarità di f ordine di derivabilità di f Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 2 / 27

3 1 troveremo un polinomio P n di grado n tale che f (x) = P n (x) + o ((x x 0 ) n ) per x x 0, 2 esprimeremo P n mediante le derivate di f in x 0 fino all ordine n. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 3 / 27

4 Il polinomio di Taylor con il resto di Peano Siano f : I R, x 0 I, e supponiamo che una f sia derivabile n volte in x 0, con n N. Allora esiste un unico polinomio P n di grado n tale che f (x) = P n (x) + o ((x x 0 ) n ) per x x 0. Vale P (k) n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) per k = 0,..., n, quindi P n è dato da P n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! P n : polinomio di Taylor di f di ordine n e di centro x 0 e indicato con T n x 0 f. Se x 0 = 0, P n è detto polinomio ditaylor di f di ordine n e di centro 0 e indicato con T n f. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 4 / 27

5 Conseguenza Da f (x) = P n (x) + o ((x x 0 ) n ) per x x 0 si ricava la formula di Taylor con il resto di Peano: f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o ((x x 0 ) n ) per x x 0. k! Attenzione!!!!!! a non confondere i due concetti ordine del polinomio di Taylor n k=0 è l indice n fino al quale sommo f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! grado del polinomio di Taylor: è il grado effettivo del polinomio, è dell ordine, e può essere < dell ordine. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 5 / 27

6 Casi particolari della formula di Taylor con resto di Peano: (0) T 0 x 0 f = P 0 (x) = (1) T 1 x 0 f = P 1 (x) = (2) T 2 x 0 f = P 2 (x) = (3) T 3 x 0 f = P 3 (x) = Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 6 / 27

7 Programma calcolo di polinomi di Taylor e quindi di sviluppi di Taylor applicazione degli sviluppi di Taylor a limiti di funzioni (anche limiti di successioni) applicazione degli sviluppi di Taylor allo studio del grafico qualitativo di funzioni: criterio della derivata n-esima Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 7 / 27

8 Esempio: sviluppo di Taylor di cos per x 0 Calcoliamo Si ha j N Quindi T n 0 (cos(x)) = n k=0 cos (k) (0) cos (4j) (x) = cos x, cos (4j+1) (x) = sin x, cos (4j+2) (x) = cos x, cos (4j+3) (x) = sin x. cos (4j) (0) = 1 cos (4j+1) (0) = 0 cos (4j+2) (0) = 1 cos (4j+3) (0) = 0 allora nella formula per T0 n (sin(x)) sopravvivono solo in contributi con indice k PARI!! k! x k Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 8 / 27

9 Per esempio T 1 0 (cos(x)) = 1 In forma compatta si scrive T 2 0 (cos(x)) = x 2 T 4 0 (cos(x)) = x x 4 T 2n (cos x) = n k=0 ( 1) k (2k)! x 2k Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 9 / 27

10 Polinomi di Taylor notevoli (di centro x 0 = 0) T n (e x ) T n (log(1 + x)) T 2n+1 (sin x) T 2n (cos x) T 2n+1 (sinh x) T 2n (cosh x) = n k=0 xk k!, = n ( 1) k+1 x k k=1 k, x 1 = n ( 1) k x 2k+1 k=0 (2k+1)!, = n ( 1) k x 2k k=0 (2k)!, n k=0 x2k+1 (2k+1)!, = n k=0 x2k (2k)!, Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 10 / 27

11 T n ((1 + x) α ) = 1 + αx + per x > 1, α > 0 α(α 1) x ( ) α x n n n T n ((1 x) 1 ) = x k, per x 1 k=0 T 2n+1 (arctan)(x) = n k=0 ( 1) k x 2k+1. (2k + 1) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 11 / 27

12 Sviluppi di Taylor notevoli Esempio Per x 0 si ha e x = 1 + x + x x 3 3! x n n! + o(x n ) Esempio Per x 0 si ha (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) x ( ) α x n + o(x n ) n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 12 / 27

13 Calcolo di polinomi di Taylor: esempio 1. Calcoliamo il polinomio di Taylor di ordine 6 e centro 0 di f (x) = e x2 x R. Si ha T0 6 (f (x)) = 1 + x 2 + x x Calcoliamo il polinomio di Taylor di ordine 6 e centro 0 di f (x) = log(2 + x 2 ) x R. Si ha T0 6 (f (x)) = log 2 + x 2 2 x x 6 24 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 13 / 27

14 Applicazioni al calcolo dei limiti: esempio Calcolare Si ha Quindi lim x 0 x sin x x(1 cos x). sin x = x x 3 cos x = 1 x 2 lim x o(x 3 ), 2 + o(x 3 ) x sin x x(1 cos x) = 1 3 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 14 / 27

15 Applicazioni al calcolo dei limiti (II) L = lim x 0 + x 2 cos x log(1 + x 2 ) 7x 2 tan(x 4 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 15 / 27

16 De l Hôpital vs. Taylor Esempio (log(cos(x 4 ))) 2 lim x 0 x 16 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 16 / 27

17 Esercizi e x cos(x) sin(x) lim [1] x 0 e x2 e x3 sin 2 (x) sin(x 2 ) lim x 0 x 2 log(cos(x)) [ ] 2 3 lim x 0 cos(x 4 ) x x 8 [ 3] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 17 / 27

18 Criterio della derivata n-esima Sia x 0 un punto stazionario per una funzione f. Preso x I, intorno di x 0, studiando il segno di f (x) f (x 0 ) si può stabilire se x 0 sia un punto di massimo relativo: f (x) f (x 0 ) 0, se x 0 sia un punto di minimo relativo: f (x) f (x 0 ) 0, se x 0 NON sia un punto nè di massimo nè di minimo: f (x) f (x 0 ) cambia il segno. Criterio della derivata seconda per classificare punto stazionario x 0 : studiare il segno di f (x 0 )... E se f (x 0 ) = 0?? Si può ricorrere al criterio della derivata n-esima... Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 18 / 27

19 Criterio della derivata n-esima Sia f :]a, b[ R, n volte derivabile in x 0 ]a, b[, n 2, e supponiamo che f (x 0 ) = f (2) (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0, f (n) (x 0 ) 0. Allora si hanno le seguenti alternative: se n è pari e { f (n) (x 0 )< 0, allora punto di max. rel. per f in x 0 ; f (n) (x 0 )> 0, allora punto di min. rel. per f in x 0 ; se n è dispari e { f (n) (x 0 )< 0, allora f è strett. decresc. in un intorno di x 0 ; f (n) (x 0 )> 0, allora f è strett. cresc. in un intorno di x 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 19 / 27

20 Esempi f (x) = x 4, x 0 = 0 f (x) = x 3, x 0 = 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 20 / 27

21 Formula di Taylor con resto di Lagrange Siano I intervallo, f : I R derivabile (n + 1)-volte in I. Allora x 0, x I tale che con x > x 0, esiste ξ ]x 0, x[, con x < x 0, esiste ξ ]x, x 0 [, f (x) = T n x 0 (f (x)) + f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1, cioè il resto della formula di Taylor si può esprimere nella forma (detta di Lagrange) f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 21 / 27

22 La formula di Taylor con il resto di Lagrange ci permette di studiare il segno del resto. Esempio: quanto vale cos(1)? Sviluppando cos x in polinomio di Taylor di ordine n = 5 rispettivamente n = 7 si ottiene cos(1) Quindi si ottiene il volare approssimato di con l errore inferiore a 1 720! cos(1) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 22 / 27

23 Esercizi: studio di funzioni 1. Determinare dominio, intervalli di monotonia, massimi e minimi (relativi e assoluti), e disegnare un grafico qualitativo delle seguenti funzioni: 1 f (x) = log x x 2 f (x) = x 3 x f (x) = (x 2 3) e x2 4 f (x) = e x e 3x 5 f (x) = log x arctan(x 1) 6 f (x) = x 1 x 2 x 6 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 23 / 27

24 Asintoti Definizione Sia f : R R tale che lim f (x) = ±. Se esistono m, q R tali che x + lim (f (x) mx q) = 0, x + allora la retta y = mx + q si dice asintoto per f a +. Se m = 0, diciamo che y = mx + q è asintoto orizzontale a +. Se m 0, diciamo che y = mx + q è asintoto obliquo a +. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 24 / 27

25 Quindi per dimostrare che la retta y = mx + q è un asintoto obliquo per f a + bisogna verificare che 1 lim f (x) = ±. x + 2 esiste finito il limite f (x) lim = m 0. x + x In tal caso q = lim (f (x) mx) x + Analogamente per x. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 25 / 27

26 Asintoti Definizione Sia f : R R tale che lim f (x) = ±. Se esistono m, q R tali che x lim (f (x) mx q) = 0, x allora la retta y = mx + q si dice asintoto per f a. Se m = 0, diciamo che y = mx + q è asintoto orizzontale a. Se m 0, diciamo che y = mx + q è asintoto obliquo a. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 26 / 27

27 Esercizi: studio di funzioni 2. Determinare dominio, intervalli di monotonia, asintoti, massimi e minimi, e disegnare un grafico qualitativo delle seguenti funzioni: 1 f (x) = 3 (x 1)(x 2) 2 2 f (x) = 3 (x + 2) 2 e x 3 f (x) = x 2 6x 9 ( ) 1 x 2 4 f (x) = arcsin 1 + x 2 5 f (x) = x 2 e x 1 x Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 27 / 27