Sviluppo di Taylor. Continuando analogamente, otteniamo

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1 Sviluppo di Taylor Vogliamo determinare il polinomio che meglio approssima una funzione f(x) in un dato punto x 0 Sia f:i R con x 0 I Per determinare la miglior approssimazione lineare, vogliamo determinare m e q tali che la funzione errore E 1 (x)=f(x) - (mx+q) sia la più piccola possibile vicino a x 0 Possiamo richiedere che E 1 (x) sia nulla in x 0 E 1 (x 0 )=0=f(x 0 )-(m x 0 +q) da cui q= f(x 0 )- m x 0 Otteniamo E 1 (x)=f(x)-f(x 0 )- m(x- x 0 ) Qual ordine di infinitesimo ha E 1 (x)?

2 Sviluppo di Taylor Qual ordine di infinitesimo ha E 1 (x)? lim x x0 E 1 (x)/(x- x 0 )= lim x x0 [f(x)-f(x 0 )- m(x- x 0 )]/(xx 0 ) = f (x 0 ) -m Se supponiamo che f sia derivabile in x 0, questo ci dice che E 1 (x) ed x- x 0 sono infinitesimi dello stesso ordine a meno che m=f (x 0 ) in tal caso E 1 (x) è un infinitesimo di ordine superiore a x- x 0. Quindi il valore di m che rende E 1 (x) il più piccolo possibile vicino a x 0 è f (x 0 ), per cui y= f (x 0 )(x- x 0 ) +f(x 0 ) è la retta che meglio approssima il grafico di f vicino a x 0.

3 Sviluppo di Taylor Abbiamo mostrato che f(x)= f (x 0 )(x- x 0 ) +f(x 0 ) +o(x- x 0 ), dove con o(x- x 0 ) indichiamo un infinitesimo di ordine superiore a (x- x 0 ) Vogliamo ora determinare la miglior approssimazione quadratica, dove la parte lineare del polinomio quadratico sarà quella già trovata(perché?) E 2 (x)=f(x) -f(x 0 ) -f (x 0 )(x- x 0 )-a(x-x 0 ) 2 e vogliamo un errore che sia o((x-x 0 ) 2 )

4 Sviluppo di Taylor Supponiamo che f sia derivabile due volte vicino a x 0 e applichiamo L Hôpital lim x x0 E 2 (x)/(x-x 0 ) 2 = lim x x0 [f(x) -f(x 0 ) -f (x 0 )(x- x 0 )-a(x-x 0 ) 2 ]/(x-x 0 ) 2 = =lim x x0 [f (x) - f (x 0 ) -2a(x- x 0 )]/2(x- x 0 )=(1/2)f (x 0 )-a Quindi l unico valore di a per cui E 2 (x) è o((x-x 0 ) 2 ) è a=(1/2)f (x 0 ) Abbiamo ottenuto f(x)= f(x 0 ) +f (x 0 )(x- x 0 ) + (1/2)f (x 0 )(x-x 0 ) 2 + o((x-x 0 ) 2 )

5 Sviluppo di Taylor Continuando analogamente, otteniamo f(x)= f(x 0 ) +f (x 0 )(x- x 0 ) + (1/2)f (x 0 )(x-x 0 ) 2 + (1/3!)f (x 0 )+. + (1/n!)f (n) (x 0 )+o((x-x 0 ) n ) E detto sviluppo di Taylor di f in x 0 di ordine n P n (x)= f(x 0 ) +f (x 0 )(x- x 0 ) + (1/2)f (x 0 )(x-x 0 ) 2 + (1/3!)f (x 0 )+. + (1/n!)f (n) (x 0 ) è detto polinomio di Taylor di f in x 0 di grado n, ed è l unico polinomio tale che E n (x)= f(x)- P n (x) risulta un infinitesimo di ordine superiore a (x-x 0 ) n

6 Sviluppo di Taylor Sviluppo di Taylor di f(x) =e x in x 0 =0 e x = 1+x+(1/2)x 2 +(1/3!)x 3 + +(1/n!)x n +o(x n ) Sviluppo di Taylor per f(x)=sinx in x 0 =0 sinx= x-(1/3!)x 3 +(1/5!)x 5 -(1/7!)x [(-1) n /(2n+1)!]x 2n+1 +o(x 2n+2 ) Sviluppo di Taylor per f(x)=cosx in x 0 =0 cosx= 1-(1/2!)x 2 +(1/4!)x 4 -(1/6!)x [(-1) n /(2n)!]x 2n +o(x 2n+1 )

7 Funzione ex

8 Funzione sinx

9 Funzione cosx

10 Funzione logx e funzione 1/(1-x) Sviluppo di Taylor di f(x) = logx in x 0 =1 logx=(x-1)- (1/2)(x-1) 2 +(1/3)(x-1) 3 +.+((-1) n-1 /n)(x-1) n +o((x-1) n ) Sviluppo di Taylor di f(x)=1/(1-x) in x 0 =0 1/(1-x)=1+x+x 2 +.+x n +o(x n )

11 Sviluppo di Taylor Si dimostra che la stima dell errore che si compie sostituendo alla funzione originale il polinomio di Taylor in un punto x 0 si può valutare nel modo seguente: Sia f una funzione derivabile n+1 volte e sia M n (x) il massimo del valore assoluto della derivata (n+1)-esima f (n+1) sull intervallo di estremi x 0 e x, sia P n (x) il polinomio di Taylor di grado n per f in x 0 E n (x) = f(x) - P n (x) M n (x) x- x 0 n+1 /(n+1)! Stima di Lagrange

12 Sviluppo di Taylor:approssimare e Esempio1 Vogliamo trovare un approssimazione alla quarta cifra decimale della costante di Nepero e. Dallo sviluppo di Taylor per e x con x=1, otteniamo: e= 1+1+1/2+ 1/3!+ +1/n! + E n (1) Per ottenere una precisione alla quarta cifra decimale dobbiamo trovare un n tale che E n (1) <10-5 Poiché tutte le derivate di e x sono e x, abbiamo E n (1) (e 1-0 n+1 )/(n+1)! < 3/(n+1)! Ci basta quindi trovare n tale che 3/(n+1)! < 10-5 quindi tale che (n+1)!>300000, poiché 8!<300000<9!, si prende n+1 =9 e quindi n=8, da cui e 1+1+1/2+ 1/3!+ +1/8!= è corretto fino almeno alla quarta cifra decimale

13 Sviluppo di Taylor: logistica Esempio2 Si era detto che le funzioni logistiche f(x)= a/(1+ exp(-k(x-x 0 )) + b hanno un andamento approssimativamente lineare vicino a x 0, infatti f(x)-(b+a/2 +(ak/4)(x-x 0 ) <0.09a x [x 1, x 2 ], dove x 1 ed x 2 sono gli unici punti in cui f(x)=b+a/2±a/4 Vale a dire che la funzione logistica, in questo intervallo, differisce dalla lineare per meno di 1/10 della variazione totale a

14 Sviluppo di Taylor: logistica Esempio2 (continua ) Infatti si ha f(x 0 )= a/2+ b f (x)=(kaexp(-k(x-x 0 ))/(1+exp(-k(x-x 0 )) 2, per cui f (x 0 )= ak/4, quindi E 1 (x) = f(x)-(a/2+b+(ak/4)(x-x 0 ) M 1 (x) x-x 0 2 /2! Dobbiamo determinare M 1 (x), cioè il massimo di f (x) nell intervallo di estremi x 0 e x [x 1, x 2 ], si ha f (x) =( a k 2 y y-1 )/(1+y) 3, dove si è posto y=exp(-k(xx 0 )) e si ha che per x [x 1, x 2 ], y [1/3, 3], essendo y strettamente decrescente. Dobbiamo trovare il max di g(y)=(y y-1 )/(1+y) 3, per y [1/3, 3]

15 Sviluppo di Taylor: logistica Esempio2 (continua ) Dobbiamo trovare il max di g(y)=(y y-1 )/(1+y) 3, per y [1/3, 3]; è necessario distinguere tra y [1/3, 1] ed y [1, 3], data la presenza di y-1, si ha per y [1/3, 1] g(y)=(y-y 2 )/(1+y) 3, da cui g (y)=(1-4y+y2)/(1+y) 4 che si annulla per y=2± 3, valori esterni all intervallo [1/3, 1], dunque g (y)<0 in tutto questo intervallo, quindi g(y) è decrescente sull intervallo ed il suo valore massimo si ha per y=1/3 Analogamente, nell intervallo [1, 3], dove g(y)= (y 2 -y)/(1+y) 3 si ottiene g (y)>0 e quindi g(y) crescente per cui il massimo si ha per y=3 e si ha g(3)=g(1/3)=3/32

16 Sviluppo di Taylor: logistica Esempio2 (continua ) Dunque x [x 1, x 2 ], si ha M 1 (x) (3/32) a k 2 e quindi E 1 (x) (3 a /32)(k 2 (x-x 0 ) 2 )/2 Rimane da stimare k 2 (x-x 0 ) 2 Abbiamo -k(x 1,2 -x 0 )=±log3 quindi k 2 (x 1,2 -x 0 ) 2 =(log3) 2 k 2 (x-x 0 ) 2 k 2 (x 1,2 -x 0 ) 2 =(log3) 2 Ed infine E 1 (x) (3 a /32)(k 2 (x-x 0 ) 2 )/2 3 a (log3) 2 /64<0.06 a Stima ancora migliore di quanto inizialmente affermato (0.09 a ) Per ulteriori approfondimenti, vedi materiale in rete Prof. Abate