f(x) f(x 0 ) = m R ; (1.1) lim f(x) f(x 0 ) m(x x 0 ) lim (x x 0 ) f (n) (x 0 )

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1 I polinomi i Taylor Il resto i Peano Una funzione f efinita in un intorno i un punto x 0 si ice erivabile in x 0 se e solo se a sua volta la (1.1) equivale a lim f(x) f(x 0 ) x x 0 = m R ; (1.1) f(x) f(x 0 ) m(x x 0 ) lim = 0 (1.2) x x 0 e quini f è erivabile in x 0 se e solo se esiste un polinomio i primo grao P (x) tale che f(x) P (x) = o(x x 0 ). Come è noto, in questo caso il coefficiente m i x in P (x) si enota con f (x 0 ). Pertanto, se f è erivabile in x 0, risulta f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ) ; (1.3) la retta y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) prene il nome i retta tangente al grafico i f nel punto x 0. Essa etermina l unico polinomio i primo grao P (x) tale che f(x) P (x) = o(x x 0 ). Ci poniamo il problema i generalizzare la relazione (1.3); in particolare, ci chieiamo se sia possibile approssimare la funzione f con polinomi i grao n, impiegano unque espressioni più lunghe, ma otteneno in cambio una migliore approssimazione quano x x 0. La risposta a questo problema è ata al seguente Teorema 1. (Polinomio i Taylor con resto i Peano) Sia I R un intervallo, x 0 I, e f : I R una funzione erivabile n 1 volte in I e n volte in x 0. Allora esiste uno e un solo polinomio P (x), i grao minore o uguale a n, tale che f(x) = P (x) + o((x x 0 ) n ), e risulta P (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. (1.4) Osservazione 1. Nell enunciato el Teorema 1 si ice che il polinomio P (x) ha grao minore o uguale a n perché alcuni ei coefficienti in (1.4) (o anche tutti) possono essere nulli. Osservazione 2. Quano n = 1, (1.4) restituisce l equazione ella retta tangente. Quini il Teorema 1 è ovviamente vero per n = 1. 1

2 2 Osservazione 3. La tesi el Teorema 1 si può riscrivere in moi equivalenti, quali a esempio: f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f (x 0 )h + f (x 0 ) f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) h f (n) (x 0 ) h n + o(h n ), x 0 + h I ; (1.5) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + q(x)(x x 0 ) n con lim q(x) = 0. Nel seguito, se g è una funzione erivabile k volte in x 0, porremo P k (g; x 0 )(x) = g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) + g (x 0 ) (1.6) (x x 0 ) g(k) (x 0 ) (x x 0 ) k. (1.7) k! Definizione 1. Il polinomio P k (g; x 0 )(x) si ice polinomio i Taylor relativo alla funzione g i grao k e i punto iniziale x 0. Osservazione 4. È immeiato verificare che P k(g; x 0 )(x 0 ) = g(x 0 ). Definizione 2. La ifferenza R k (g; x 0 )(x) = g(x) P k (g; x 0 )(x) si ice resto k esimo per x x 0. La tesi el Teorema 1 ice che R n (f; x 0 )(x) = o((x x 0 ) n ). Quano il resto n esimo si pone in questa forma, in letteratura matematica si usa ire che il resto è espresso in forma i Peano. Per imostrare il Teorema 1 ci occorrono ue lemmi. Lemma 1. Risulta Dimostrazione. Osservano che (x x 0 ) k x x P k(g; x 0 )(x) = x P k(g; x 0 )(x) = P k 1 (g ; x 0 )(x). (1.8) k! = (x x 0) k 1 (k 1)!, abbiamo subito = g (x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) + g(3) (x 0 ) (x x 0 ) g(k) (x 0 ) (k 1)! (x x 0) k 1 = = P k 1 (g ; x 0 )(x). Osservazione 5. Iterano il Lemma 1 otteniamo che ( ) j P k (g; x 0 )(x) = P k j(g (j) ; x 0 )(x) (1.9) x e unque ( ) j ( g(x) P k (g; x 0 )(x)) = 0, j = 0, 1, 2,..., k. (1.10) x x=x 0 In altre parole, generalizzano l osservazione 4, possiamo ire che una funzione g erivabile k volte e il suo polinomio i Taylor P (g; x 0 )(x) coinciono nel punto iniziale insieme con tutte le erivate sino all orine k.

3 3 Lemma 2. Sia Q(x) un polinomio i grao minore o uguale a k, e supponiamo che Allora Q(x) 0. x R : Q(x) = o((x x) k ). (1.11) Dimostrazione. Supponiamo per assuro che Q(x) non sia il polinomio nullo. Dalla (1.11) sappiamo che x è una raice i Q(x); ato che Q ha grao minore o uguale a k, la raice x può avere molteplicità m : 1 m k. Pertanto, al teorema i Ruffini, si ha Q(x) = (x x) m Q 1 (x) (1.12) con Q 1 (x) 0. Quini, alla (1.12) otteniamo che Q(x) = O((x x) m ), il che è incompatibile con l ipotesi Q(x) = o((x x) k ). Dimostrazione el Teorema 1. Dobbiamo imostrare che f(x) = P n (f; x 0 )(x) + o((x x 0 ) n ) (1.13) e che P n (f; x 0 )(x) è l unico polinomio i grao minore o uguale a n per cui la (1.13) sia vera. L unicità si imostra immeiatamente: se Q 1 (x), Q 2 (x) sono ue polinomi i grao minore o uguale a n tali che f(x) = Q 1 (x) + o((x x 0 ) n ), f(x) = Q 2 (x) + o((x x 0 ) n ) (1.14) allora alla (1.14) abbiamo { Q 1 (x) = f(x) + o((x x 0 ) n ) Q 2 (x) = f(x) + o((x x 0 ) n ) e al Lemma 2 segue che Q 1 (x) Q 2 (x) 0. = Q 1 (x) Q 2 (x) = o((x x 0 ) n ) (1.15) Il resto ella imostrazione si svolge meiante inuzione su n. Più precisamente, enotiamo con Prop(n) la proposizione, ipenente all inice n, { } Per ogni funzione g(x) efinita su I, erivabile n 1 volte in I Prop(n) = e n volte in x 0, risulta g(x) P n (g; x 0 )(x) = o((x x 0 ) n (1.16) ) Noi vogliamo imostrare che Prop(n) è vera n N. Prop(1) è vera (vei Osservazione 2). Supponiamo che Prop(n 1) sia vera, e imostriamo che allora anche Prop(n) è vera. Sia unque g(x) una funzione efinita su I, erivabile n 1 volte in I e n volte in x 0. Vogliamo imostrare che g(x) P n (g; x 0 )(x) lim (x x 0 ) n = 0 (1.17) Il limite nella (1.17) si presenta in forma 0 0 (vei Osservazione 4), e siamo nelle ipotesi per applicare il Teorema ell Hopital. Abbiamo x [g(x) P n(g; x 0 )(x)] = g (x) P n 1 (g ; x 0 )(x) per il Lemma 1; x [(x x 0) n ] = n(x x 0 ) n 1 ; e all ipotesi inuttiva (Prop(n 1) è vera) abbiamo lim g (x) P n 1 (g ; x 0 )(x) n(x x 0 ) n 1 = 0. (1.18) Dalle (1.18) e al Teorema ell Hopital segue la (1.17), e pertanto Prop(n) è vera.

4 4 Il resto i Lagrange Il teorema 1 mostra che R n (f; x 0 )(x), quano x x 0, è un infinitesimo i orine superiore a (x x 0 ) n. Questo, però, non ci permette i are una stima quantitativa i R n (f; x 0 )(x) per x x 0. Si pensi, a esempio, alla formulazione nella (1.6), per cui R n (f; x 0 )(x) = q(x)(x x 0 ) n. Noi sappiamo che lim q(x) = 0, e quini ε > 0 δ > 0 : q(x) < ε x I : x x 0 < δ, ma non possiamo sapere, fissato ε > 0, quanto sia piccolo δ. Dunque non possiamo sapere i quanto obbiamo avvicinarci al punto x 0 prima che il resto R n sia minore i una quantità prefissata. Per stimare il resto n esimo su tutto l intervallo I ci sarà utile il seguente teorema, che esprime R n in moo iverso, ma che richiee maggiori ipotesi i regolarità su f(x). Teorema 2. (Polinomio i Taylor con resto i Lagrange) Sia I R un intervallo, x 0 I, e f : I R una funzione erivabile n+1 volte in I. Allora, x I ξ, strettamente compreso fra x 0 e x, tale che R n (f; x 0 ) = f(x) P n (f; x 0 )(x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1. (1.19) Quano il resto n esimo si pone nella forma ella (1.19), in letteratura matematica si usa ire che il resto è espresso in forma i Lagrange. Questo nome è coerente col fatto che, per n = 0, la (1.19) costituisce la tesi el teorema el valor meio. Per imostrare questo teorema abbiamo bisogno i un lemma preliminare. Lemma 3. Sia g : [a, b] R una funzione erivabile n + 1 volte. Supponiamo che Allore ξ (a, b) : g (n+1) (ξ) = 0. g(a) = g (a) = g (a) = = g (n) (a) = 0, g(b) = 0. (1.20) Dimostrazione. Per il teorema i Rolle x 1 (a, b) : g (x 1 ) = 0. Applicano nuovamente il teorema i Rolle alla funzione g (x) sull intervallo [a, x 1 ] abbiamo che x 2 (a, x 1 ) : g (x 2 ) = 0. Iterano questo proceimento, giungiamo a un punto x n in cui g (n) (x n ) = 0. Usano ancora una volta il teorema i Rolle per la funzione g (n) (x) sull intervallo [a, x n ] otteniamo che ξ : g (n+1) (ξ) = 0. Osservazione 6. Naturalmente il lemma preceente è valio anche se supponiamo g(a) = 0, g(b) = g (b) = g (b) = = g (n) (b) = 0. (1.21) Dimostrazione el Teorema 2. Fissiamo x I, x x 0. Definiamo g(t) = f(t) P n (f; x 0 )(t) f(x) P n(f; x 0 )(x) (x x 0 ) n+1 (t x 0 ) (n+1) (1.22) Dall osservazione 5 sappiamo che f(t) P n (f; x 0 )(t) si annulla in t = x 0 insieme con le sue erivate sino all orine n; lo stesso vale per (t x 0 ) (n+1), e quini g(x 0 ) = g (x 0 ) = g (x 0 ) = = g (n) (x 0 ) = 0. (1.23)

5 5 Inoltre g(x) = f(x) P n (f; x 0 )(x) f(x) P n(f; x 0 )(x) (x x 0 ) n+1 (x x 0 ) (n+1) = 0. (1.24) Pertanto possiamo applicare a g(t), ristretta all intervallo i estremi x 0 e x, il Lemma 3: esiste unque ξ, strettamente compreso fra x 0 e x, tale che g (n+1) (ξ) = 0. Ma, teneno conto el fatto che la erivata (n + 1) sima i un polinomio i grao minore o uguale a n è ienticamente nulla, e osservano che la erivata (n + 1) sima i (t x 0 ) n+1 è uguale a (n + 1)!, alla (1.22) si ha Quini che è equivalente a (1.19). g (n+1) (t) = f (n+1) (t) f(x) P n(f; x 0 )(x) (x x 0 ) n+1 (n + 1)!. (1.25) 0 = g (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) f(x) P n(f; x 0 )(x) (x x 0 ) n+1 (n + 1)! (1.26) Alcuni esempi i utilizzo el resto i Lagrange Calcolo el numero e. Consieriamo la funzione f(x) = e x, e preniamo x = 0 come punto iniziale ei polinomi i Taylor. Allora, utilizzano la formula i Taylor con resto i Lagrange, abbiamo e x = 1 + x + x2 + + xn + e ξ (n + 1)! (1.27) ove, per ogni fissato x, ξ è un opportuno punto intermeio fra 0 e x. In particolare, fissato x = 1 e n N, esiste ξ (0, 1) tale che e = Pertanto, teneno conto el fatto che e < 3 e ξ < 1, ( 0 < e ) < e ξ (n + 1)!. (1.28) e ξ (n + 1)!. (1.29) Se vogliamo calcolare e con un errore minore, a esempio, i 10 3, obbiamo scegliere n in moo che 3/(n + 1)! < Se n = 6, 3/(n + 1)! = 3/7! = 3/5040 < Quini ( 0 < e ) = e ! 720 < (1.30) In effetti 1957 = 2, ; e 2, (1.31) 720 Per are un iea ella ifferenza i efficienza fra il calcolo appena effettuato e il calcolo i e meiante la efinizione i limite ella successione monotóna crescente a n = ( 1 + n) 1 n (che converge molto lentamente), si tenga presente che a ,

6 6 Approssimazione ella funzione sin x. Consieriamo la funzione sin x sull intervallo [0, π 2 ]. Com è noto, conoscere la funzione sin x in [0, π 2 ] vuol ire conoscere sin x e cos x su tutto R. Preniamo x = 0 come punto iniziale e scriviamo la formula i Taylor con resto i Lagrange per il polinomio i grao 8 (che in realtà è i grao 7 perché il coefficiente i x 8 è nullo): sin x = x x3 3! + x5 5! x7 + (cos ξ)x9 7! 9! (1.32) Sull intervallo (0, π 2 ) si ha 0 < cos ξ < 1. Quini ) 0 < sin x (x x3 3! + x5 5! x7 = (cos ξ) x9 7! 9! < 1 ( π ) 9 1, , x [0, π 9! 2 2 ]. (1.33) Dunque il polinomio P (x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! (1.34) approssima la funzione sin x a meno i su tutto l intervallo [0, π 2 ], conclusione che non avremmo potuto imostrare limitanoci al solo Teorema 1.