CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE

Транскрипт

1 CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICI TOPOLOGICHE E. Sernesi 1 Poligoni etichettati Denoteremo con il simbolo P 2n, o semplicemente con P, un poligono compatto e convesso i R 2, a 2n lati, n 2. Consiereremo superfici topologiche ottenute come spazi quoziente i P attraverso opportune ientificazioni ei lati tra loro a coppie, nel moo che ora escriveremo. Fissato un vertice v, e un verso i percorrenza ella frontiera i P (il verso orario per fissare le iee), consieriamo simboli a 1,...,, a n, e un monomio in a 1,...,, a n con esponenti ±1, in cui ogni a i compaia esattamente ue volte: a ±1 i 1 a ±1 i 2 a ±1 i 2n (1) A questo monomio corrispone una etichettatura con un simbolo a i i ognuno ei 2n lati (il k-esimo lato che si incontra percorreno FP a partire a v si etichetta con il simbolo a ik ). e una orientazione i ognuno i essi che è concore o iscore con il verso i percorrenza i FP a secona che l esponente sia +1 oppure 1. In questo moo a ogni lato è assegnato lo stesso simbolo i uno e un solo altro lato, e esiste un unico omeomorfismo lineare tra i ue lati che rispetta le orientazioni inotte su i essi al monomio (1). Questi omeomorfismi tra i lati i P a coppie inucono una relazione i equivalenza su P : lo spazio quoziente S è, per motivi elementari la cui verifica è lasciata al lettore, una superficie topologica compatta e connessa che verrà enotata con lo stesso simbolo (1). A esempio, nel caso 2n = 4, la superficie a 1 a 2 a 1 1 a 1 2 è omeomorfa al toro T = S 1 S 1. La superficie a 1 a 2 a 1 1 a 1 2 a 3a 4 a 1 3 a 1 4 è etta 2-toro e enotata 2T. Più in generale, per ogni intero g 1 la superficie a 1 a 2 a 1 1 a 1 2 a 3a 4 a 1 3 a 1 4 a 2g 1 a 2g a 1 2g 1 a 1 2g 1

2 quoziente i un poligono P 4g, si enota con il simbolo gt, e è chiamata multitoro i genere g o g-toro. Alla sfera S 2 si usa attribuire il genere g = 0 e consierarla come il multitoro i genere 0. La superficie a 1 a 2 a 1 a 2 è omeomorfa al piano proiettivo P 2. La superficie a 1 a 2 a 1 1 a 2 è etta bottiglia i Klein. Per uniformità i notazione sarà opportuno consierare anche la sfera come un quoziente, e precisamente come il quoziente i D 2, il isco chiuso unitario, ottenuta ientificano tra loro i punti simmetrici rispetto a un iametro fissato r. Consiereremo D 2 come un poligono generalizzato a 2 lati (le ue semicirconferenze in cui r ivie S 1 = FD 2 ), e il suo quoziente S 2 corrisponerà al monomio aa 1. Il quoziente aa i D 2 è invece il piano proiettivo, come si verifica facilmente. Un altra superficie importante, come veremo tra poco, è a 1 a 1 a 2 a 2 a g a g che si chiama multipiano proiettivo i genere g e si enota con gp 2. Nel caso particolare g = 1 si ottiene P 2. Confrontano con la rappresentazione i P 2 ata in preceenza veiamo in particolare che una ata superficie può essere ottenuta in corrisponenza a monomi iversi. Definizione 1.1. Due poligoni etichettati si icono equivalenti se le corrisponenti superfici quoziente sono omeomorfe. Una coppia i lati el poligono P, etichettato al monomio (1), si ice una coppia el primo tipo se i ue lati sono ientificati tra loro e sono orientati iscoremente, cioè se le loro etichette sono uguali ma con esponenti opposti. Se invece i ue lati hanno etichette e esponenti uguali essi costituiscono una coppia el secono tipo. Proposizione 1.2. Se il poligono P, etichettato al monomio (1), possiee una coppia i lati el secono tipo, allora la superficie quoziente efinita a (1) contiene un sottospazio chiuso omeomorfo a un nastro i Moebius. Dimostr. Supponiamo che l 1 e l 2 costituiscano una coppia el secono tipo. Siano λ 1 l 1 e λ 2 l 2 segmenti chiusi non contenenti alcuno egli estremi i l 1 e l 2 e aventi la stessa immagine in S. Il quarilatero chiuso R P i cui vertici sono gli stessi i λ 1 e i λ 2 ha per immagine in S un nastro i Moebius. Il seguente teorema classifica completamente le superfici che si possono ottenere come quozienti i un poligono etichettato. Teorema 1.3. Ogni superficie quoziente i un poligono etichettato è omeomorfa a un multitoro oppure a un multipiano proiettivo. 2

3 2 Dimostrazione el teorema 1.3 La imostrazione è ottenuta attraverso successive sostituzioni el poligono etichettato P 2n con un altro a esso equivalente. Nelle figure rappresenteremo con un una successione i lati che non ci occorre specificare in ettaglio, con un vertice e con un punto interno al poligono. Primo passo: Eliminazione i coppie i lati el primo tipo aiacenti. Una coppia i lati el primo tipo aiacenti può essere eliminata sostitueno a P il poligono a 2n 2 lati ottenuto ientificano tra loro i ue lati. < a a a Dopo aver effettuato questa operazione per tutte le coppie i lati el primo tipo aiacenti si otterrà un poligono in cui non vi sono coppie i lati siffatte. Se saremo arrivati a uno ei poligoni etichettati ell enunciato il teorema è vero, altrimenti proceiamo con il successivo passo ella imostrazione. Secono passo: Ientificazione i tutti i vertici a un solo punto. Per quanto imostrato sopra, possiamo supporre che il poligono P sia etichettato a un monomio 1 in cui non vi sono coppie el primo tipo aiacenti. I vertici i P sono suivisi in classi i equivalenza, ognuna elle quali è costituita a vertici che hanno la stessa immagine in S. Denoteremo tutti i vertici i una stessa classe con la stessa lettera. Supponiamo che non tutti i vertici siano equivalenti tra loro. Allora esiste una coppia i vertici aiacenti non equivalenti, siano essi p e q, e sia a = a i il lato compreso. L altro lato i cui p è vertice non è etichettato a perché altrimenti i ue lati costituirebbero una coppia el secono tipo, contraiceno il fatto che p e q non sono equivalenti. Sia unque b l altro lato i vertice p, e s il secono estremo i b. Consieriamo il segmento c congiungente s e q, e sia il triangolo chiuso i vertici p, q, s. 3

4 p b a s > c q s > b p Tagliano P lungo c e ientificano il lato b con l altro lato etichettato b, otteniamo un nuovo poligono etichettato Q equivalente a P, e avente lo stesso numero i lati, come illustrato alla figura seguente: s s > c > b q p c a q Con questa operazione la classe i equivalenza i p ha perso un elemento, mentre quella i q ne ha acquistato uno, e il numero i elementi i tutte le altre classi è rimasto invariato. Iterano questo proceimento e riapplicano il primo passo, se necessario, è possibile far aumentare gli elementi i una classe i equivalenza a spese i tutte le altre, otteneno alla fine che tutti i vertici siano equivalenti tra loro. Terzo passo: normalizzazione i coppie i lati el secono tipo. Supponiamo i aver effettuato i primi ue passi e che il poligono ottenuto, che chiameremo ancora P, contenga una coppia i lati el secono tipo non aiacenti. Supponiamoli etichettati con la lettera a. < a c > a 4

5 Con l operazione i taglio e ientificazione illustrata alla figura seguente è possibile sostituire P con un altro poligono Q in cui la coppia è sostituita a un altra costituita a lati aiacenti, mentre le aiacenze elle altre coppie non vengono moificate, e i vertici rimangono tutti equivalenti tra loro. > c > c a Iterano questo proceimento otteniamo un poligono equivalente a P in cui le coppie el secono tipo, se ce ne sono, sono tutte normalizzate. Se il poligono etichettato cosi ottenuto, che chiameremo ancora P, è quello che efinisce un multipiano proiettivo allora la imostrazione è terminata. Altrimenti ci sono coppie i lati el primo tipo e si procee al passo successivo. Quarto passo: normalizzazione i coppie i lati el primo tipo. Supponiamo che P contenga una coppia i lati el primo tipo, etichettati c. Grazie al primo passo ella imostrazione, i ue lati non sono aiacenti. Inoltre esiste un altra coppia i lati el primo tipo, etichettati, che separa i ue lati c. cioè tale che i lati i ogni coppia si alternino a quelli ell altra lungo il perimetro. Infatti, se così non fosse, si avrebbe una situazione come quella escritta nella figura seguente, in cui nessun vertice ella regione A sarebbe equivalente a uno ella regione B, contraiceno il fatto che tutti i vertici sono equivalenti. A c c B 5

6 Pertanto abbiamo la situazione seguente: c < < c Meiante la successione i tagli e ientificazioni illustrati alle figure seguenti si passa a un poligono equivalente a P, in cui le ue coppie i lati el primo tipo c, vengono sostituite a ue coppie el primo tipo normalizzate. c < > a < c > a c c < > a > a c c > a b b < c a a < b Se opo aver normalizzato tutte le coppie i lati el primo tipo si arriva a un poligono etichettato che efinisce un multitoro, il teorema è imostrato. Altrimenti il nuovo poligono, che enoteremo ancora con P, possiee sia coppie i lati el primo che el secono tipo, tutte normalizzate. In tal caso è necessario un ulteriore passo. 6

7 Quinto passo: trasformazione i coppie i lati el primo tipo in coppie i lati el secono tipo. Il poligono etichettato P possiee sia coppie i lati el primo tipo che el secono tipo, tutte normalizzate. La successione i tagli e ientificazioni illustrati alle figure seguenti mostra come, ata una coppia i lati el secono tipo e ue coppie el primo tipo normalizzate, è possibile trasformare le coppie el primo tipo in coppie el secono tipo normalizzate. < c < c a a > b b > a > b < < c < a b < > a > b < a 1 b < < a > a a 1 < a 1 < b < a < > a a 1 < a 1 < a 2 < a < a 1 < a 2 a 2 < a < a 1 7

8 a 2 a 1 < a 2 > a 3 < a 1 a 2 a 2 a 3 < a 1 < a 1 > a3 Iterano questo proceimento è possibile ottenere un poligono etichettato equivalente a P in cui vi sono solo coppie normalizzate el secono tipo. Pertanto S è un multipiano proiettivo, e il teorema è imostrato. Per ottenere una classificazione completa elle superfici escritte al teorema preceente è necessario stabilire se le superfici ell enunciato sono a ue a ue non omeomorfe. Questo è vero, e noi lo imostreremo nel caso ei multitori e ella sfera (caso orientabile). Ciò seguirà al calcolo i χ(s) (cfr. 4). 3 Triangolabilità Il teorema 1.3 fornirebbe una classificazione completa i tutte le superfici compatte e connesse se ogni tale superficie fosse omeomorfa al quoziente i un poligono opportunamente etichettato. Ciò è vero, e il proceimento per imostrarlo si basa sulla nozione i triangolazione, che iscuteremo in questo paragrafo. Sia S una superficie topologica. Un triangolo in S è una coppia (T, ϕ) ove T S è un sottoinsieme compatto e ϕ è un omeomorfismo i T su un triangolo chiuso i R 2. I lati, risp. i vertici i T sono le controimmagini tramite ϕ ei lati, risp. ei vertici i ϕ(t ). Con abuso i notazione enoteremo spesso un triangolo (T, ϕ) con la sola lettera T, supponeno implicitamente assegnato l omeomorfismo ϕ. Una triangolazione i S è una famiglia τ = {T i } i I i triangoli i S con le seguenti proprietà: (T1) i I T i = S (T2) Se T i T j per qualche i j, allora T i T j è un vertice o un lato i entrambi i triangoli. 8

9 (T3) Ogni lato i ogni triangolo T i è anche lato i uno e un solo altro triangolo T j. (T4) Per ogni vertice v i qualche triangolo, i triangoli T i che lo contengono sono un numero finito 3, e si possono orinare circolarmente in moo che ue triangoli siano consecutivi se e solo se hanno un lato in comune. La famiglia i triangoli i I I rappresentata alla figura seguente inuce una triangolazione sul toro T : Invece la famiglia i triangoli ella figura seguente: non efinisce una triangolazione i T. Se possiee almeno una triangolazione S si ice triangolabile. Una triangolazione τ = {T i } i I i S si ice finita se I è un insieme finito, cioè se τ consiste i un numero finito i triangoli. Poiché l unione i un numero finito i compatti è compatto, alla conizione (T1) segue che, se possiee una triangolazione finita, S è compatta. Viceversa: Proposizione 3.1. Se S è una superficie compatta e triangolabile, ogni sua triangolazione è finita. Dimostr. Sia τ = {T i } i I una triangolazione i S. Per ogni inice i I scegliamo un punto p i Int(T i ). Poniamo: U i = S\{p j : j i} 9

10 Si ha T i U i, per ogni i I, e pertanto {U i } i I è un ricoprimento aperto i S. Inoltre p i / U j per ogni i j, e pertanto {U i } i I non possiee sottoricoprimenti propri. Poiché S è compatta l unica possibilità è che il ricoprimento {U i } i I sia finito, e quini che I sia finito. Proposizione 3.2. Se S è una superficie compatta e triangolabile allora S è omeomorfa al quoziente i un poligono convesso opportunamente etichettato. Dimostr. Sia τ = {T 1,..., T n } una triangolazione i S. Supponiamo orinati T 1,..., T n in moo che per ogni 2 i n il triangolo T i abbia un lato l i in comune con qualche T j, j < n, sia questo il lato m i 1. Tale orinamento esiste per la connessione i S. Sia T l unione isgiunta ei triangoli T 1,..., T n e sia P il quoziente ottenuto a T ientificano tra loro i lati l i e m i 1, i = 2,..., n. È immeiato verificare che P è omeomorfo a un poligono a 2n lati, che corrisponono ai lati i T 1,..., T n non ancora ientificati tra loro. e che S è un quoziente i P, ottenuto all ientificazione i tali lati a ue a ue in moo corrisponente alla triangolazione τ. Dalla proposizione 3.2 segue che il teorema 1.3 si estene a ogni superficie compatta connessa e triangolabile. Ma tutte le superfici compatte e connesse sono triangolabili. Infatti: Teorema 3.3. Ogni superficie topologica è triangolabile. La imostrazione i questo teorema va oltre gli scopi i questo corso e verrà pertanto omessa. Deuciamo il seguente importante corollario, tenuto conto el teorema 1.3 e ella proposizione 3.2: Teorema 3.4. Ogni superficie compatta e connessa è omeomorfa o a S 2, o a un multitoro gt per qualche g 1, oppure a un multipiano proiettivo gp 2 per qualche g 1. Per ottenere una classificazione completa elle superfici compatte e connesse resta ancora a imostrare che le superfici elencate nell enunciato el teorema sono a ue a ue non omeomorfe, cioè che la classificazione ata è irrionante. Di questo ci occuperemo nel prossimo paragrafo. 4 Caratteristica i Eulero-Poincaré e triangolazioni Sia S una superficie compatta e connessa e τ una triangolazione i S. Poniamo: v(τ) = numero i vertici i τ l(τ) = numero i lati i τ t(τ) = numero i triangoli i τ 10

11 In numero intero χ(s, τ) := v(τ) l(τ) + t(τ) è chiamato caratteristica i Eulero-Poincaré i τ. Il risultato che sta alla base ell utilità i χ(s, τ) è il seguente: Teorema 4.1. Siano τ, τ ue triangolazioni ella superficie compatta e connessa S. Allora χ(s, τ) = χ(s, τ ). Per poter imostrare il teorema 4.1 abbiamo bisogno i alcune premesse. Siano τ, τ ue triangolazioni ella superficie compatta e connessa S. Allora τ si ice un raffinamento i τ, o più fine i τ, e si scrive τ > τ, se ogni vertice i τ è anche vertice i τ, ogni lato i τ è unione i lati i τ, e ogni triangolo i τ è unione i triangoli i τ. Proposizione 4.2. Siano τ, τ ue triangolazioni ella superficie compatta e connessa S. Se τ > τ allora χ(s, τ) = χ(s, τ ). Dimostr. Sia T un triangolo i τ, e siano θ 1,..., θ s i triangoli i τ contenuti in T. Sarà sufficiente imostrare che, se nel calcolo i χ(s, τ) si sostituiscono θ 1,..., θ s, i loro lati e i loro vertici al posto i T, si ottiene lo stesso risultato. Equivalentemente sarà sufficiente imostrare che, etto V il numero ei vertici i θ 1,..., θ s e L il numero ei lati i θ 1,..., θ s, si ha: V L + s = 1 Si osservi che θ 1,..., θ s possono essere ottenuti a partire a T attraverso un numero finito i operazioni seguenti: (a) Sostituire un lato l con ue nuovi lati aiacenti l 1, l 2 e un vertice compreso, tali che l = l 1 l 2. (b) Aggiungere un lato congiungeno ue vertici, e sostitueno un poligono chiuso contenuto in T contenente l con ue poligoni che hanno in comune il lato l. (c) Aggiungere un vertice v interno a un poligono chiuso contenuto in T, e congiungere v con k ei vertici situati sul boro el poligono. A ogni passo si sostituiscono i poligoni in cui era suiviso T con nuovi poligoni, alla fine perveneno all insieme i triangoli {θ 1,..., θ s }. Poiché ognuna elle operazioni (a),(b),(c) non cambia la somma alterna vertici - lati + facce, si euce l asserto. Il seguente teorema verrà utilizzato senza imostrazione: 11

12 Teorema 4.3. Se τ e τ sono ue triangolazioni ella superficie compatta e connessa S, allora esiste una triangolazione τ tale che τ > τ e τ > τ. Dimostrazione el teorema 4.1 Per il teorema 4.3 esiste τ tale τ > τ e τ > τ. D altra parte. per la proposizione 4.2 si ha: χ(s, τ) = χ(s, τ ) = χ(s, τ ) Dal teorema 4.1 iscene che, per ogni superficie compatta e connessa S, è possibile efinire la caratteristica i Eulero-Poincaré i S come χ(s) := χ(s, τ) per una qualsiasi triangolazione τ i S. Proposizione 4.4. χ(s) è un invariante topologico per una superficie compatta e connessa S. Dimostr. Esercizio. Terminiamo il paragrafo con il seguente risultato che permette i calcolare facilmente χ(s) quano si conosce una rappresentazione i S come quoziente i un poligono etichettato: Proposizione 4.5. Sia S una superficie compatta e connessa ottenuta come quoziente i un poligono etichettato P 2m a 2m lati, tale che i 2m vertivi abbiano per immagini k punti istinti i S. Allora: χ(s) = 1 + k m Dimostr. È sufficiente calcolare χ(s, τ) ove τ è la triangolazione inotta su S al ricoprimento i P 2m meiante triangoli illustrato alla figura seguente: 12

13 Corollario 4.6. χ(s 2 ) = 2, χ(gt ) = 2 2g, χ(gp 2 ) = 2 g per ogni g 1. In particolare ue multitori i generi iversi non sono omeomorfi, e ue multipiani proiettivi i generi iversi non sono omeomorfi. Dimostr. Immeiata. A titolo i esempio, classifichiamo la bottiglia i Klein K. Ricoriamo che K è il quoziente el poligono etichettato abab 1. In questo caso m = 2 e k = 1. Quini χ(k) = 0. Poiché l etichettatura contiene una coppia el secono tipo, K è il 2-piano proiettivo. 13