metodi numerici metodi grafo-numerici metodi grafici metodi meccanici

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2 La superficie agraria i un terreno è quella efinita alla proiezione ella superficie fisica el terreno sul piano orizzontale i riferimento. La misura ella superficie i un appezzamento è sempre iniretta. Per eseguire questa misura iniretta è necessaria la misura i alcune granezze (perlopiù istanze e angoli) ell appezzamento eseguite urante le operazioni i rilievo. Queste granezze sono poi elaborate fino a ottenere l area cercata. In relazione alle moalità i elaborazione elle misure si impiegano iversi metoi: metoi numerici metoi grafo-numerici metoi grafici metoi meccanici 2

3 I metoi numerici utilizzano formule già note alla geometria e alla trigonometria per elaborare le misure eseguite urante il rilievo ell appezzamento. TRILATERAZIONE ALLINEAMENTI E SQUADRI

4 Vengono elaborate le coorinate cartesiane ei vertici el contorno ell appezzamento. Convenzionalmente i vertici vanno numerati in senso orario. ½ (y + y ) (x x )+ ½ (y + y ) (x x )+ 1 Y ½ (y2+ y3) (x3 x2)+ ½ (y2+ y3) (x3 x2)+ ½ (y3+ y4) (x4 x3) ½ (y3+ y4) (x4 x3)+ ½ (y4+ y1) (x4 x1) ½ (y4+ y1) (x1 x4) generalizzano si ottiene: S=1 ν Σ = ψι ( ξι+1 ξι 1 ) y3 - y1 x1 x2 ( yi + yi +1 ) ( xi +1 xi ) sviluppano il prootto ei 2 binomi, semplificano e raccoglieno si ottiene: y n 4 oppure: y4 x3 x4 X Σ= ν ξι ( ψι 1 ψι+1 ) 4

5 Vengono elaborate le coorinate polari ei vertici el contorno el terreno, misurate rispetto a una stazione interna o esterna (situazione più generale). 2 N 1 ½ 1 2 sen (ϑ2 ϑ1) + ½ 2 3 sen (ϑ ϑ2)+ ½ 2 3 sen (ϑ3 ϑ2)+ ½ 3 4 sen (ϑ4 ϑ3) ½ 3 4 sen (ϑ4 ϑ3)+ ½ 4 1 sen (ϑ4 ϑ1) ½ 1 4 sen (ϑ1 ϑ4) generalizzano si ottiene: ϑ1 ϑ2 ϑ3 Staz. ½ 1 2 sen (ϑ2 ϑ1)+ ϑ4-3 S=1 2 1 n i i +1 sen(ϑi +1 ϑi ) 4 4 5

6 Il contorno i un appezzamento viene rilevato per camminamento quano vengono misurate le lunghezze ei lati e l ampiezza egli angoli interni. Per la misura iniretta ell area è necessario misurare tutti i lati el contorno meno uno, e tutti gli angoli compresi tra i lati misurati. 1 In questo caso l area ell appezzamento è eterminata alla semisomma i tutti i possibili prootti (combinazioni) ei lati presi a ue a ue, ue moltiplicati per il seno ella somma egli angoli interni che si incontrano per anare all uno all altro, preso con il segno positivo o negativo a secona che il numero egli angoli incontrati sia ispari o pari. 5 S a α 2 b β γ c S = ½ [ a b sen α a c sen (α+β) a sen (α+β+γ) + b c sen β b sen (β+γ) + c sen γ ] 3 6

7 I metoi grafo-numerici consistono nell applicazione i semplici formule che utilizzano alcune granezze opportunamente misurate sulla rappresentazione grafica reatta in scala (mappa) ell appezzamento. 1 - Si aotta un sistema i riferimento cartesiano con l asse elle ascisse lungo una irezione AB prevalente ell appezzamento. Y S y0 y1 y2 y3 y4 yn-1 y5 yn 2 - Si ivie la base AB in un numero n i parti i uguale lunghezza e ai punti i ivisione si innalzano le orinate y0, y1, y2, y3,..., yn 1, yn. L appezzamento risulta scomposto in tante strisce che possono essere consierate, approssimativamente, come trapezi aventi tutti la stessa altezza. A B X S = [½ (y0 + yn) + y1 + y2 + y yn 1 ] 7

8 Se l appezzamento ha il contorno completamente curvilineo, si ispone l asse elle ascisse lungo la larghezza massima AB. In questo moo le orinate y0 e yn iventano nulle. Y y1 y2 y3 S y4 yn-1 y5 B A X S = [ y1 + y2 + y yn 1 ] 8

9 Si ivie la base AB in un numero n pari i parti i uguale lunghezza Viene consierata la figura costituita alle prime ue strisce consecutive. L area i questa figura è la somma i un trapezio i basi y0 e y2 e el settore parabolico contenuto nel parallelogramma MNPQ. Questa area è i 2/3 ell area nel parallelogramma MNPQ. P Y Q N M y0 y1 A y2 y3 y4 S y5 yn-1 yn B X S = /3 [ (y0 + yn) + 4 (y1 + y3 + + y n 1) + 2 (y2 + y4 + + yn 2)] 9

10 E A h D S B S = b h /2 b C b e h vengono misurate graficamente al termine ella proceura B SABC=SAB C SABCDE=SAB DE SAB D=SAB D SABCDE=SAB E B 10

11 A S=b h/2 SABC=SAB C SABCDE=SAB DE E B h S B b e h vengono misurate graficamente al termine ella proceura C SADE=SADD SABCDE=SAB D b D D 11

12 Proceura grafica che consente i trasformare una figura piana in un triangolo equivalente. S h b S=b h 12

13 Proceura grafica che consente i trasformare una figura piana in un rettangolo equivalente. h h Coefficiente i scala b (esempio i calcolo) S=b h S = b h Scala isegno 1:200 b : 1 cm = 2 m h : 1 cm = 2 m S : 1 cm2 = 4 m2 13

14 Consentono i misurare l area grafica i un appezzamento operano con speciali strumenti, etti planimetri, sulla sua rappresentazione grafica appositamente reatta in scala (mappa). 14

15 polo (fisso) e lar o ap t s a rotellina asta tra cciante puntatore part. rotellina Schema funzionamento Rotellina (retro) 15

16 1. È necessario tracciare tutto il con-torno ella rappresentazione in scala ell appezzamento con il puntatore posto a un estremo ell asta (tracciante) i un apposito strumento chiamato planimetro polare; 2. L asta (polare) el planimetro è collegata a cerniera in un estremo con l asta tracciante mentre l altro estremo (polo) eve rimanere fisso in fase operativa. 3. L area è proporzionale al numero i giri compiuti a una rotella grauata urante la perimetrazione el contorno ella superficie. S = K N polo esterno S = K N + C polo interno 4. I giri ella rotella venivano misurati a un isco contagiri mentre le frazioni i giro venivano lette su un tamburo provvisto i nonio. Oggi tutte le misure el planimetro sono riportate su un isplay igitale. 16

17 esempi e particolari 17

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