ε = ε = x TFA A048. Matematica applicata Incontro del 16 aprile 2014, ore 17-19

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1 TFA A048. Matematica applicata Incontro el 16 aprile 014, ore Appunti i iattica ella matematica applicata all economia e alla finanza. Funzioni (i una variabile) utilizzate nello stuio ell Economia e applicazioni el concetto i erivata all Economia prof. Luigi Tomasi Argomento a svolgere nella classe Quarta Richiee ei prerequisiti sia i matematica che i economia - funzioni i una variabile - limiti i funzione - funzioni continue - principali funzioni ell economia (funzione omana, funzione offerta, ecc.) Abilità - saper costruire moelli matematici associati a contesti economici el tipo: prouzione i impresa, utilità el consumatore; combinazione ei fattori prouttivi - impostare e analizzare i moelli matematici con gli strumenti forniti all analisi matematica - sapere ottimizzare la soluzione ei problemi preneno in consierazione i vincoli operativi - saper effettuare e argomentare simulazioni i soluzioni alternative. Competenze - avere buona paronanza el concetto i erivata i una funzione reale i una variabile reale e elle sue applicazioni in Economia - saper interpretare i problemi el contesto economico elaborano moelli escrittivi basati sulla ricerca el massimo e el minimo i funzioni - essere in grao i risolvere problemi i economia, utilizzano gli strumenti matematici, anche con l uso i strumenti informatici. Funzione marginale e elasticità i una funzione Si à la seguente efinizione f f variazione relativa i f ε = = =coefficiente i elasticità variazione relativa i f valore marginale i f ε = = =coefficiente i elasticità f valor meio i f f ε = f Al limite si ottiene f ε = = elasticità puntuale f 1

2 Se la funzione f è crescente, l elasticità è positiva Se la funzione f è ecrescente, l elasticità è negativa La funzione omana Si efinisce omana complessiva i una merce la quantità che viene richiesta, a un ato prezzo p, alla totalità egli acquirenti. = f ( p) la omana è una funzione ecrescente (meglio, non crescente) el prezzo p. In Economia si usa molto la funzione inversa, ammesso che esista, p = f 1 ( ), che viene chiamata funzione i venita e esprime il prezzo in funzione ella omana e etermina il prezzo p a cui si può venere una eterminata quantità i merce. Le più comuni funzioni omana = a bp con a > 0 e b > 0 (lineare) = a bp con a > 0 e b > 0 (quaratico) a = b con a 0 e b 0, c 0 p + c > (ramo i iperbole) bp = a e con a > 0 e b > 0 (esponenziale) a = con a > 0 e b > 0 (potenza) p α Coefficiente i elasticità Per valutare la variazione ella omana rispetto al prezzo, si calcola il coefficiente i elasticità, rapporto tra la variazione relativa ella omana e la variazione relativa el prezzo. Se inichiamo con p 1 e p i prezzi i uno stesso bene e con 1 e le corrisponenti quantità omanate, la variazione relativa ella omana è efinita come segue: 1 = 1 1 e la variazione relativa ei prezzi come segue: p p1 p = p p 1 1 Si efinisce coefficiente i elasticità relativa ella omana il rapporto seguente: 1 1 p1 1 p1 ε = = = =coefficiente i elasticità rel. ella omana p p1 1 p p1 1 p p1 Al limite si ha p ε = =elasticità puntuale ella omana p in un punto i coorinate (p, ) nel iagramma p (p sull asse elle ascisse e sull asse elle orinate). Di solito si consiera l espressione ε

3 Se ε < 1 la omana è rigia o non elastica Se ε = 1 la omana è anelastica o unitaria Se ε > 1 la omana si ice elastica- Il coefficiente i elasticità varia a punto a punta ella curva ella omana. Legge ell offerta Si tratta i un altra funzione molto importante in Economia. In moo approssimato, si può efinire offerta la quantità i merce offerta sul mercato ai prouttori. L offerta è funzione el prezzo p ella merce. E una funzione non ecrescente, nei limiti ella capacità prouttiva. Inicano con = quantità offerta i una ata merce e con p il prezzo, si ha = g( p) La funzione inversa se esiste, etermina p in funzione ell offerta e è etta funzione i prouzione. Le curve ell offerta più utilizzate in Economia sono: = a + bp con a 0 e b > 0 (moello lineare) = a p b con a > 0 e b 0 (una legge quaratica inversa) α = a + b p con a 0, b > 0, α > 0 (moello potenza). Notiamo che nel moello lineare il valore ell intercetta è negativo, per inicare che se il prezzo è minore i un certo valore, l offerta è nulla, in quanto ai prouttori non conviene prourre. Anche per l offerta si può calcolare l elasticità, che risulta positiva: p ε o = =elasticità puntuale ell'offerta p Equilibrio tra omana e offerta Un problema che si può presentare è la eterminazione el prezzo i equilibrio tra omana e offerta in un mercato i libera concorrenza. Per le caratteristiche specifiche el mercato i libera concorrenza, il prezzo i un bene è eterminato all incontro tra la omana e l offerta. In un mercato i libera concorrenza il moello per l equilibrio el mercato è ato a seguente sistema: = f ( p) s = g( p) = o 3

4 ove = quantità i merce richiesta ai consumatori s = quantità i merce offerta ai prouttori L equazione = s Esprime la conizione i equilibrio tra omana e offerta. Da essa si ricava il prezzo i equilibrio. Esempio La omana e l offerta sono espresse in unità convenzionali alle funzioni: = 160 0,1p s = 14 +,8 p Il moello i equilibrio sarà: = 160 0,1p s = 14 +,8p = o che risolto arà = = = 70 p = 30 o La omana a sua volta non è funzione solo el prezzo, ma è funzione anche el tempo, ossia la omana i un bene può mutare al passare el tempo. E lo stesso per l offerta. Si raggiunge quini un altro equilibrio. Costi i prouzione Nella prouzione i un bene, un impresa sostiene vari tipi i costi: costi fissi, costi variabili proporzionali e costi variabili non proporzionali. Il costo totale è una funzione ella quantità i merce prootta (con 0 ) y = C( ). Questa funzione è crescente e può essere rappresentata a iversi tipi i relazioni. Gli economisti usano più frequentemente le seguenti: a) y = a + b con a > 0 e b > 0 (funzione lineare; è una semiretta crescente) b) y = a + b + c con a > 0 e b, c 0 (funzione quaratica rappresentata a un arco i parabola; può essere anche a < 0 e b, c > 0 ; in questo caso si usa ove è crescente 3 c) y = a b + c + con a > 0 e b, c, 0 (funzione cubica con coefficienti scelti in moo che la curva sia crescente) ) y = a b con a > 0, b > 1 (funzione esponenziale rappresentata a una curva esponenziale crescente) 4

5 Qualunque sia la funzione ei costi, posto =0, il valore C (0) rappresenta l importo complessivo ei costi fissi. Esempio Impresa con costi fissi mensili i euro e costi variabili ati alla seguente relazione C 3 v ( ) = Rappresentare la funzione el costo totale. 3 v( ) = C 0 Si ottiene un flesso per = 0 e un grafico etto moello a S rovescato. Costo meio Per l analisi ei costi i prouzione si introucono i solito altri ue funzioni: Funzione costo meio (o unitario) ( ) : C( ) cu y = con 0. Il costo meio è la somma tra il costo variabile meio, che è una funzione crescente, e il costo fisso meio che è una funzione ecrescente. - Se la funzione el costo totale è lineare, allora il costo meio è il seguente a + b y = con > 0 che è un ramo i iperbole equilatera i asintoti =0 e y=a. - Se la funzione el costo totale è quaratica, allora il costo meio è il seguente a + b + c c y = = a + b + con > 0 che ha per grafico un ramo i iperbole non equilatera i asintoti =0 e y = a + b. Il costo meio è la somma el costo variabile meio (crescente) y = a + b e el costo fisso meio c y = che è ecrescente. Ne consegue che il costo meio è ecrescente fino a un certo punto, il punto i minimo, e poi iventa crescente. Per trovare questo punto i minimo si usa la erivata, ossia: c y ' = a a cui si ottiene c a = c = a 5

6 Esempio Un impresa sostiene - costo fisso mensile euro - costo i 16 euro per ogni unità prootta - una spesa i manutenzione egli impianti pari al 4% el quarato elle unità prootte. Si ottiene C( ) = , 04 Quini il costo unitario è , 04 y = Che si può scrivere y = ,04 Gli asintoti sono = 0 e y = ,04 e il punto i minimo è ato a = =500. 0,04 Costo marginale (nel iscreto) ( ) : C( ) cm y = rapporto incrementale tra l incremento el costo conseguente a un incremento ella quantità prootta. Significato economico: costo sostenuto per aggiungere alla prouzione una unità i prootto. Costo marginale (nel continuo) ( ) : C( ) cm y = erivata el costo totale rispetto alla quantità prootta. Significato economico: velocità con cui varia in un punto il costo sostenuto per aggiungere alla prouzione una quantità infinitesima i quel prootto. Se la funzione el costo totale è lineare, allora il costo marginale è costante; infatti si ha costo totale C( ) = a + b. Il costo marginale è y = a. Se la funzione el costo totale è quaratica C( ) = a + b + c allora la funzione costo marginale è ( ) : C( ) c m y = = a + b. Possiamo verificare la seguente importante proprietà: Proprietà. Le curve el costo meio e el costo marginale si intersecano nei punti stazionari el costo meio (cioè nei punti in cui il costo meio ha erivata nulla). 6

7 ( ) Consieriamo la funzione costo unitario ( ) C y = cu =. Derivanola otteniamo C '( ) C( ) y ' = Poneno uguale a 0 questa erivata, otteniamo: C '( ) C( ) = 0 che fornisce C( ) C '( ) = che è proprio la tesi, perché possiamo interpretare questa equazione con il sistema y = C '( ) C( ) y = ovvero come intersezione ella curva el costo marginale con la curva el costo unitario. La erivata el costo meio si può anche scrivere nel seguente moo: 1 C '( ) C( ) 1 C( ) y ' = = C '( ) a cui si ricava che - Se la erivata el costo meio è y ' < 0 se - Se la erivata el costo meio è y ' = 0 se - Se la erivata el costo meio y ' > 0 se Ne segue che C( ) C '( ) < C( ) C '( ) = C( ) C '( ) >. - il costo meio è ecrescente se il costo marginale è minore el costo unitario - il costo meio ha un punto i stazionarietà quano il costo marginale è uguale al costo meio - il costo meio è crescente se il costo marginale è maggiore el costo unitario. Esempio Data la funzione el costo totale C( ) = , 5 le funzioni el costo unitario e el costo marginale sono ( ) : C( ) , 5 cu y = = ( ) cm ( ) : y = C = ,5 Disegniamo il grafico elle ue funzioni: 7

8 La funzione costo unitario è un ramo i iperbole non equilatera. La funzione costo marginale è una retta. Il punto i intersezione si ha per =00. Ne segue che - il costo meio è ecrescente se il costo marginale è minore el costo unitario, cioè per <00; - il costo meio ha un punto i stazionarietà quano il costo marginale è uguale al costo meio e si ha per =00; - il costo meio è crescente se il costo marginale è maggiore el costo unitario e questo si ha per >00. Le funzioni che esprimono i ricavi e i profitti Due funzioni importanti in Economia sono la funzione el ricavo e la funzione el utile netto o profitto. Ricavo Detta la quantità venuta i un certo bene, si istinguono ue casi: - in un mercato i concorrenza perfetta il prezzo i venita p è costante, perciò il ricavo è ato a R( ) = p - In un mercato monopolistico il prezzo si ricava alla funzione i venita, che è l inversa ella funzione i omana = f ( p). Si ottiene che il prezzo è una funzione ella omana p( ). Pertanto il ricavo si può scrivere in questo caso R( ) = p( ). 8

9 Ricavo meio e ricavo marginale Anche per la funzione ricavo ha senso introurre il concetto i ricavo meio (o unitario) e i ricavo marginale. Il ricavo meio è il rapporto tra il ricavo totale e la quantità i un ato bene venuta. Pertanto si ha - in un mercato i concorrenza perfetta il prezzo i venita p è costante, perciò il ricavo è ato a ( ) : R( ) ru y = = p - In un mercato monopolistico il prezzo si ricava alla funzione i venita, che è l inversa ella funzione i omana = f ( p). Si ottiene che il prezzo è una funzione ella omana p( ). ( ) r ( ) : R ( ) u y = = p Ricavo marginale Il ricavo marginale, se la funzione R( ) è erivabile, è ato alla erivata el ricavo rispetto alla quantità. Pertanto si ha - in un mercato i concorrenza perfetta il prezzo i venita p è costante, perciò il ricavo è ato a r ( ) : '( ) m y = R = p - In un mercato monopolistico si ottiene che il prezzo è una funzione ella omana p( ). ( ) r ( ) : R '( ) ( ) m y = = p + p Notiamo che nel caso i concorrenza perfetta, sia il ricavo unitario che il ricavo marginali sono costanti e uguali al prezzo p. Esempio 1 In un mercato i concorrenza perfetta le leggi ella omana e ell offerta sono ate (in unità convenzionali) a s = 100 p = 0 + p Determinare la funzione el ricavo totale, il ricavo meio e il ricavo marginale. Dal moello i equilibrio ricaviamo il prezzo i equilibrio, risolveno = s Si trova p = 40 9

10 La funzione ricavo totale è R( ) = 40 Il ricavo meio (o unitario) è: ( ) : R( ) r 40 u y = = Il ricavo marginale è: r ( ) : y = R '( ) = 40 m Esempio In un mercato monopolistico la omana i un bene è ata a: = 50 0,5p Determinare la funzione el ricavo totale, il ricavo meio e il ricavo marginale e eterminare per quale quantità il ricavo è massimo. Dalla legge ella omana si ha: p = 100 Il ricavo totale sarà quini: ( ) R( ) = 100 Il ricavo meio (o unitario) è: ( ) r ( ) : R ( ) 100 u y = = p = Il ricavo marginale è: r ( ) : y = R '( ) = m La funzione ricavo totale è una parabola: ( ) R( ) = 100 = 100. Il massimo si ha nel vertice V(5, 150). Utile netto o profitto Si efinisce utile netto o profitto la ifferenza tra il ricavo totale e il costo totale Π ( ) = R( ) C( ) Nella teoria economica si usa il iagramma i reitività per confrontare ricavi e utili. Nel caso i concorrenza perfetta si ha il iagramma inicato nella seguente figura. 10

11 Si ha ovviamente un utile quano R( ) > C( ) e una perita quano R( ) < C( ). I punti A e B in cui il costo è uguale al ricavo sono etti break-even points o punti i equilibrio economico. Massimo utile Ovviamente si presenta il problema i eterminare la prouzione in moo che il profitto sia massimo. Ricaviamo la erivata prima i Π ( ) = R( ) C( ) Π '( ) = R '( ) C '( ) = 0 E la erivata secona Π ''( ) = R ''( ) C ''( ) < 0. Limitanoci al segno ella erivata prima, eve essere a sinistra el punto R '( ) > C '( ) e a estra el punto R '( ) < C '( ). Si euce la legge economica: si ha il massimo utile per quel valore i per cui il costo marginale è uguale al ricavo marginale, se per quel valore il tasso i variazione el ricavo marginale è inferiore al tasso i variazione marginale el costo marginale. Esaminiamo il profitto in un mercato con concorrenza perfetta Π ( ) = R( ) C( ) = p C( ) La conizione necessaria perché l utile sia massimo è Π '( ) = p C '( ) = 0 Da cui si ricava p = C '( ) La conizione sufficiente è ata a Π ''( ) < 0 Che fornisce C ''( ) < 0 Cioè C ''( ) > 0 Quini nel punto i massimo profitto il prezzo eve essere uguale al costo marginale e la curva ella funzione costo eve essere convessa. 11

12 Libri i testo - Annamaria Gambotto Manzone, Bruna Consolini, Nuovo matematica con applicazioni informatiche, vol. 1, vol., vol. 3 Per gli Istituti Tecnici a Inirizzo Economico Tramontana RCS, Milano -Bergamini, Trifone, Barozzi, Matematica.Rosso, vol.3, vol.4, vol.5 Zanichelli Bologna -Manfrei Toscano, Math.rosso. vol.1, vol., vol.3 Ghisetti & Corvi, Milano. 1