Interazione tra i modelli quasi stazionari: il risuonatore

Transcript

1 Interazione tra i moelli quasi stazionari: il risuonatore Il sistema in esame è un cavo coassiale chiuso alle ue estremità, che geometricamente può essere rappresentato tramite ue cilinri come in fig.1. Il cilinro esterno ifferisce a quello interno per una lunghezza. i è inicato inoltre con h l altezza el cilinro esterno, e con a e, rispettivamente, il raggio esterno e quello interno. Il mezzo contenuto nella struttura è il vuoto. Fig.1 La presenza i una istanza tra le ue superfici limite superiori permette i rilevare la presenza i almeno una zona in cui α è nullo per β che tene a. Nel limite β infatti non è consentito il passaggio i corrente in senso longituinale alla struttura e, quini, in prima approssimazione, possiamo trattare il sistema con il moello Q..E. ulla ase i quanto appena osservato possiamo affermare che, almeno nella regione in esame, il sistema si presenta come in fig.. Due armature, cioè, poste alla istanza, tra le quali sussiste una tensione sostenuta a un generatore i f.e.m nel verso inicato. Fig. In prima approssimazione possiamo supporre <<a (e cioè <<, con superficie ell armatura), e quini stuiare un geometria piana in cui le armature sono infinite. 1

2 In quest ipotesi il campo elettrico può ritenersi uniforme e ortogonale alle superfici elle armature. In effetti l equazione a risolvere sree quella i Laplace nella sola variaile z, ato che siamo nel moello Q..E. e è nulla la carica nella regione tra le armature, per cui: E = i ˆ = E iˆ z ove è la f.e.m. el generatore necessario per sostenere il campo. A questo punto sulle armature si ovrà presentare una ensità i carica superficiale σ s pari a: Infatti è: z () = + E (in z = ) () = " E (in z = ) E Q #, "" = ma esseno E uniforme e iretto lungo z aiamo, e integrano sulla superfice inicata in Fig. 3: Fig.3 Q ", a cui E = Q = # E = " L ipotesi i quasi stazionarietà consente alla ensità i carica superficiale σ s, isposta sulla superficie ell armatura, i variare nel tempo (anche se lentamente). e ciò accae aiamo una ensità i corrente sulla superfice elle armature che può essere ricavata all equazione i continuità consierano una superficie che contiene una elle armature: Fig.4 " J = " # t $$ J " = $$$ #% " # t Q = t Nell ipotesi che lo spessore h 1 ell armatura sia molto sottile, possiamo consierare al posto ella ensità i corrente J [A/m ] una ensità i corrente superficiale I [A/m], ove: I = J h 1.

3 Per cui: Fig.5 J = I π e quini: ( ) Q # I ( π = " = " t t La ensità i corrente I assume quini l espressione: I ( = " # (" E ) t π E t = " Possiamo a questo punto calcolare il campo B prootto a questo moto i cariche. Pur non essenoci alcuna corrente i conuzione J nello spazio interposto tra le armature infatti, non è nullo il flusso el vettore ε E/t, che come è noto ha gli stessi effetti i una corrente i conuzione (ricoriamo infatti che siamo nel moello Q..E.): # = $ E t # E # t µ " l = µ % " B $ $ Consierano una linea γ come in figura, e teneno conto che per simmetria l unica componente i B è lungo ϕ " E t Fig.6 E B " r = µ # " r t B r H = µ = E t 3

4 Il risultato trovato è approssimato all orine β, perché si è ritenuto il campo E quasi irrotazionale. Proviamo a valutare l errore commesso con questa ipotesi. Consieriamo una linea γ e una superficie γ che si appoggi a essa in maniera tale a concatenare le linee el campo B nello spazio interposto tra le armature, così come mostrato in figura, e applichiamo la secona legge i Maxwell nella sua forma esatta: Fig.7 B $ # E = " E l t $ = # % $$ % " t i avrà: E " l = E " l + E " l + E " l + E " l # # 1 Dato che E non ipene alla coorinata z ma soltanto alla coorinata r aiamo: Inoltre, per simmetria: Quini: # # 3 " ) E l = E( r) " l = E( r # 1 # 1 " ) E l = E( " l = E( # 3 # 3 E " l = # E " $ $ 4 l # 4 [ E( r) " E( ] # E l = ) $ ( " t [ E r) # E( ] = # $$ % 4

5 ( ' r E $, ( t & t # r E E( r) " E( = "# z# $ µ r t [ E( r) ) E( ] = )** % + µ " [ ] r [ E r) E( ]" = ( " # µ E t $ rr r # µ E ( " "( r ) [ E r) E( ]" = 4 t Il valore i E( è quello imposto al generatore i f.e.m., e cioè: Pertanto: E ( E = = # µ E E ( r) = E + "( r ) 4 t e immaginiamo che la variazione temporale sia i tipo sinusoiale i pulsazione ω, avremo: Pertanto: E E = Asen t = " A sen t t % $ E(r) = Asen"t 1#" µ ' & 4 ( ( r # )* ) L errore massimo si ottiene per r=, cioè nella valutazione el campo nella mezzeria el conensatore: e = $ µ 4 + # # = 4c * " ' = ( % ) T & + 4c = " * + ( ) c T ' % = " & con: =. c T Come già sappiamo alla teoria. Per avere qualche inicazione quantitativa supponiamo che la freqauenza i alimentazione el sistema sia i 1MHz: f = 1 MHz T = 1 µs 5

6 λ c = T c = 3 m Nelle tipiche applicazioni la lunghezza caratteristica, che coincie con la lunghezza fisica el sistema in esame (nel nostro caso il raggio el cavo), è i almeno tre orini i granezza inferiore alla lunghezza ona caratteristica ella inamica λ c. Torniamo ora all interazione tra i moelli quasi stazionari. Occupiamoci el resto ella struttura che avevamo preceentemente sostituito con un generatore i f.e.m. e inseriamo ei generatori i corrente, questa volta, i valore I, come in figura, in moo a poter trattare il sistema con il moello quasi stazionario magnetico (infatti nel limite β la corrente ora non si annulla): Possiamo quini scrivere: Fig.8 " B = µ J " B ceglieno una curva γ come in figura 9, l unica componente i B è lungo φ: = Fig.9 B" l = B$ # r = µ # I H = = % r " I µ 6

7 E facile verificare che la ivergenza el campo B così calcolato è effettivamente nulla. Ricoriamo infatti la formula ella ivergenza in coorinate cilinriche: $ # B = " z + " r z r 1 + # r " i ha che i primi ue termini sono entrami nulli perché il campo ha componente solo lungo φ. Inoltre B φ non ipene a φ ma soltanto a r, per cui è nullo anche l ultimo termine. Per calcolare la circuitazione i E scegliamo una linea γ tale a concatenare le linee el campo magnetico: Fig.1 $ E l = # % $$ % " t Con la scelta ella linea in fig.1, la circuitazione i E, in verso orario, è pari alla..p. tra le armature, esseno nullo il campo lungo il conuttore. i ha: aµ M = " # $ I r t $ h $ r = "µ $ I t $ h $ a1 # $ r = "µ h $ I $ log a r t A questo punto oiamo imporre la congruenza tra i risultatoi trovati con i ue moelli Q..E. e Q..M.: E = M E = "µ h # I # log a t ostitueno si ottiene: I ( = I + " # E t = +I t E + E = con: 7

8 " = µ h ln L equazione trovata è quella i un oscillatore armonico, e le soluzioni sono cominazioni lineari i funzioni sinusoiali i pulsazione ω. E eviente quini che questo sistema risuona per questa pulsazione. a 8