Esercitazione 1. Invece, essendo il mezzo omogeneo, il vettore sarà espresso come segue

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Martino Campo
7 anni fa
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1 1.1 Una sfera conduttrice di raggio R 1 = 10 cm ha una carica Q = 10-6 C ed è circondata da uno strato sferico di dielettrico di raggio (esterno) R 2 = 20 cm e costante dielettrica relativa. Determinare il campo elettrostatico e i vettori e in funzione della distanza dal centro di simmetria. Il campo elettrico nel conduttore è nullo. Invece, fra R 1 ed R 2 il campo sarà pari a 1 Per r > R 2 il campo è analogo a quello nel vuoto e sarà pari a Invece, essendo il mezzo omogeneo, il vettore sarà espresso come segue per qualsiasi r > R 1. Quindi nel dielettrico il vettore polarizzazione avrà modulo

2 1.2 In un mezzo dielettrico omogeneo di costante dielettrica esiste un campo elettrostatico uniforme. Il mezzo contiene una cavità sferica di raggio R. Determinare il campo elettrostatico al centro della cavità prodotto dalle cariche indotte sulla superficie della cavità supponendo che il vettore di polarizzazione sia costante ovunque nel dielettrico meno che nella cavità. Il vettore polarizzazione nel dielettrico è pari a 2 Sulla superficie della cavità la densità delle cariche di polarizzazione è pari a dove θ è l angolo tra la normale alla superficie della cavità e il vettore. Quindi (vedi figura) una strisciolina circolare di area genera nel centro della cavità un campo pari a Il campo complessivo si ottiene attraverso l integrale seguente E quindi

3 1.3 Entro un cubo, di lato a = 3 cm, di dielettrico polarizzato, non omogeneo, il vettore polarizzazione ha divergenza costante, pari a. Calcolare la carica totale di polarizzazione sulla superficie del cubo. Essendo il mezzo non omogeneo avremo della carica di polarizzazione distribuita anche nel volume del cubo. In effetti, sappiamo che in questi casi la densità di volume delle cariche di polarizzazione distribuite nel dielettrico è pari a 3 Conseguentemente la carica complessiva nel cubo di dielettrico è pari a Ma essendo queste cariche di polarizzazione, la carica complessiva nel dielettrico deve essere nulla. Ma allora la carica di polarizzazione totale sulla superficie deve essere uguale ed opposta a quella distribuita nel volume del cubo. Quindi Si noti che si poteva arrivare alla stessa conclusione anche come segue. Come già visto negli esercizi precedenti possiamo scrivere Ma utilizzando il teorema della divergenza possiamo scrivere come abbiamo già ottenuto sopra.

4 4 Gilberto Giugliarelli 1.4 Un condensatore sferico (R 1 = 5 cm, R 2 = 10 cm) ha l intercapedine riempita da un dielettrico non omogeneo la cui costante dielettrica relativa varia secondo la legge con. Sulla sfera interna c è la carica e l armatura esterna è a potenziale zero. Calcolare il potenziale ad una distanza r dal centro e determinare le densità delle cariche di polarizzazione. Data la simmetria sferica il vettore sarà pari a e conseguentemente, il campo elettrostatico Analogamente, per il vettore polarizzazione abbiamo dalla quale ricaviamo Si noti che i valori delle cariche di polarizzazione sulle due superfici non sono uguali; infatti la carica complessiva sulle superfici è In effetti il dielettrico è non omogeneo e quindi abbiamo anche delle cariche di polarizzazione distribuite nel volume. La neutralità del dielettrico nel suo complesso ci induce a dire che Questa potrebbe essere calcolata anche direttamente ricordando che la densità di volume delle cariche di polarizzazione è data da

5 1.5 Un magnete permanente di forma toroidale di lunghezza media, presenta una zona di traferro di larghezza h = 1 cm. Sapendo che la magnetizzazione, determinare il valore di nel traferro. La simmetria circolare del toroide ci induce a pensare che i vari campi abbiano la stessa simmetria: essi saranno tangenti ad una circonferenza con centro sull asse del toroide. Essendo il traferro molto piccolo, supporremo che i campi mantengano le stesse caratteristiche anche in tale zona. In base a queste considerazioni, per il teorema della circuitazione applicato al vettore possiamo scrivere dove H e H 0 sono le ampiezze del vettore all interno del magnete (di lunghezza l) e nel traferro (di lunghezza h). La circuitazione è nulla dato che non ci sono correnti reali (essendo il magnete un magnete permanente). Ma nel traferro, abbiamo. Inoltre sappiamo che nel passare dall interno del magnete al traferro si deve conservare la componente di B normale alla superficie di separazione. Questo comporta che B = B 0. Quindi la precedente diventa Infine, all interno del magnete deve essere. Inserendo questa nella precedente relazione ricaviamo 5 dalla quale si ottiene Nota finale - L annullarsi della circuitazione di (determinata dall assenza di correnti reali) ha come conseguenza il fatto che il verso di tale vettore all interno del magnete è opposto a quello che lo stesso ha nel traferro! In questo modo possiamo capire che i poli del magnete (le superfici che delimitano il traferro) diventano così le sorgenti di!

6 6 Gilberto Giugliarelli 1.6 Un materiale ferromagnetico ha un ciclo d isteresi rettangolare caratterizzato da un campo coercitivo H c = 5 A/m e da una magnetizzazione residua M r = 10 5 A/m. Disegnare le curve che rappresentano la dipendenza di B e da H. Il ciclo d isteresi sul piano M-H è mostrato in figura a) e dalla relazione possiamo ricavare B. In effetti avremo: per H = 0 dovrà essere ; per H = H c sarà invece ; infine, per H = -H c avremo. Da questi dati e notando che per valori intermedi di H il campo B deve variare linearmente, possiamo costruire il grafico in figura b). Ora il valore di può essere ricavato dalla seguente Da questa espressione ricaviamo che i valori di per i valori di H considerati prima è: Indicativamente, il grafico di al variare di H è quello riportato qui sotto.

7 1.7 Un anello di ferro è costituito da tre parti (vedi figura). Su di esso sono avvolte N = 250 spire di filo conduttore isolato. Le lunghezze e le sezioni delle tre parti sono rispettivamente: l 1 = 10 cm, l 2 = 8 cm, l 3 = 6 cm, S 1 = 5 cm 2, S 2 = 3 cm 2, S 3 = 2.5 cm 2. Supponendo che non vi sia flusso disperso, calcolare la corrente necessaria per produrre nell anello un flusso totale di campo magnetico pari a Le proprietà magnetiche del materiale sono rilevabili dai dati della tabella e del grafico qui a lato In assenza di flusso disperso, il flusso del campo magnetico in ogni sezione dell anello sarà lo stesso! Quindi, supponendo il flusso del campo magnetico essenzialemente costante in ogni sezione, avremo Di conseguenza, dal grafico in figura otteniamo i seguenti valori di pari a Considerando poi i diversi valori di H nei diversi tratti dell anello, pari a 7 applicando la legge di Ampere per H abbiamo

8 1.8 Si consideri il circuito magnetico rappresentato in figura. Su di esso sono avvolte N = 2400 spire, percorse da una corrente di intensità i = 10 A. Nel grafico a fianco è riportata la curva di prima magnetizzazione del materiale con cui è costruito il circuito (magnetico); in particolare, si noti che nel tratto AB la curva si può considerare lineare. Si calcoli quanto deve valere la distanza tra le espansioni polari, affinché il vettore nel traferro abbia modulo pari a Le caratteristiche geometriche del circuito sono: l 1 = 50 cm, l 2 = 20 cm, S 1 = 25 cm 2, S 2 = 20 cm 2. Sappiamo che il campo conserva la componente normale alla superficie di separazione tra due mezzi. Allora, essendo tale campo perpendicolare alla superficie delle espansioni polari del circuito magnetico, sarà B 2 = B 0. Ma allora Supponendo poi che il flusso di non si disperda al fuori del circuito magnetico, allora possiamo scrivere D altra parte la linearità della curva di prima magnetizzazione nel tratto AB, ci permette di scrivere la seguente 8 Conseguentemente, i moduli del vettore nei tratti 1 e 2 del circuito saranno pari a Infine, considerando la circuitazione di lungo il circuito magnetico (compreso il traferro) otteniamo

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