Fisica Generale B. 2. Elettrostatica dei Conduttori Metallici. Isolanti o Dielettrici. Induzione Elettrostatica. Conduttori

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1 Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei Conduttori Metallici Isolanti o Dielettrici In un isolante (detto anche dielettrico), le cariche elettriche in dotazione a una molecola sono vincolate a muoversi soltanto all interno della molecola. Un campo elettrico esterno non produce un movimento di cariche, se non su piccola scala (polarizzazione) dovuto a una deformazione delle molecole o a un orientamento delle molecole. molecola non polare E molecola polare March 4, 2 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 2 Conduttori Induzione Elettrostatica In un conduttore, una parte delle particelle cariche (gli elettroni di conduzione, carichi negativamente, nel caso dei metalli) sono liberi di muoversi per tutto il corpo come un gas. e un corpo carico viene avvicinato a un conduttore neutro, su quest ultimo di formano delle cariche, dette cariche indotte. Il meccanismo è il seguente: In condizioni statiche (assenza di movimento) la forza elettrica, e con essa il campo elettrico debbono essere nulli in tutto il conduttore: Altrimenti gli elettroni di conduzione, non vincolati e soggetti a una forza, si metterebbero in movimento. E = ( all'interno del conduttore ) elettroni di conduzione elettroni di valenza Il campo elettrico E generato dal corpo carico è presente anche all interno del conduttore. Tale campo muove le cariche libere del conduttore addensandole sulla superficie alle 2 estremità. L addensamento di tali cariche crea un campo elettrico E, con verso opposto a E. Il movimento cessa quando E tot = E E = E = # E. Il campo elettrico, all interno del conduttore, rimane nullo. E E E Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 3 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 4

2 Carica Interna a un Conduttore Carica uperficiale di un Conduttore Presa una superficie chiusa arbitraria interna al conduttore, il campo elettrico deve essere perciò nullo su tutta la superficie. egue che il flusso del campo elettrico attraverso la superficie è nullo, e, per la legge di Gauss, che la carica elettrica totale all interno della superficie arbitraria, interna al corpo, è nulla: E( P) = P # ( E ) = %% Ei ˆn d = # # & %%% ' dv = = # = & V ( ) All interno di un conduttore non vi possono essere cariche in eccesso (la densità di cariche positive è uguale alla densità di cariche negative). = ulla superficie del conduttore (per uno spessore di circa m, dell ordine delle dimensioni atomiche) possono invece esserci cariche in eccesso. uesto accade: e il conduttore è elettrizzato (complessivamente carico); e il conduttore è polarizzato per induzione elettrostatica (complessivamente neutro). Nei conduttori le cariche si dispongono in superficie, in modo che all interno del conduttore il campo elettrico sia nullo (e il potenziale elettrico sia uniforme). pm Conduttore elettrizzato Conduttore Polarizzato per induzione elettrostatica pm Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 5 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 6 Campo Elettrico in Prossimità della uperficie dei Conduttori Campo Elettrico in Prossimità della uperficie dei Conduttori (II) Nei conduttori, all equilibrio, le cariche si distribuiscono sulla superficie. Il campo elettrico generato da tali cariche non può avere componenti tangenti alla superficie, altrimenti le cariche, essendo libere, si muoverebbero (e dunque non si tratterebbe di uno stato di equilibrio). Il flusso attraverso la base esterna è invece: d ( E ) = E i ˆn d = E d La carica totale contenuta nel cilindretto, detta la densità di carica, è: Dunque il campo elettrico è normale alla superficie dei conduttori. d = d Considerando il cilindretto in figura, i flussi del campo elettrico attraverso la base interna e la superficie laterale sono nulli. Per la legge di Gauss: E d = d # E = ˆn E ( E ) = E d E ( E ) = E d E ( E ) = ( E ) = Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 7 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 8

3 chermo Elettrostatico chermo Elettrostatico (II) Consideriamo un conduttore cavo, immerso in un campo elettrico. Ci domandiamo se, in conseguenza a un campo elettrico esterno E, possano accumularsi cariche elettriche sulla superficie della cavità. uanto detto non escluderebbe l addensamento di cariche di segno opposto sulla superficie (stabilisce soltanto che la carica totale sulla superficie è nulla). Consideriamo una superficie chiusa tutta interna al conduttore, che includa la cavità. Poiché il campo elettrico è nullo su tutta la superficie, si ha che su è nullo il flusso del campo elettrico, e dunque, per la legge di Gauss, la carica totale contenuta in è nulla. Poiché la superficie è arbitraria, segue che è nulla pure la carica totale sulla superficie. E Tuttavia, se ciò fosse vero, sarebbe presente un campo elettrico nella cavità, con linee di forza che vanno dalle cariche positive a quelle negative. La circuitazione di E sulla linea sarebbe la somma del contributo della parte della linea che si trova nella cavità (maggiore di zero) e del contributo della parte della linea che si trova nel conduttore (nullo). Nel complesso la circuitazione sarebbe positiva contraddicendo il fatto che il campo E è conservativo. E? Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 9 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici chermo Elettrostatico (III) Induzione Completa Dunque sulla superficie non vi sono cariche e il campo elettrico all interno della cavità è nullo. e un conduttore dotato di cavità viene esposto a un campo elettrico esterno, il campo elettrico all interno della cavità è comunque nullo e non vi sono cariche elettriche indotte sulla superficie della cavità stessa. In altre parole il conduttore scherma l interno della cavità dai campi elettrici all esterno (gabbia di Faraday). Consideriamo una carica elettrica all interno della cavità di un conduttore. Per induzione elettrostatica sulla superficie della cavità si addensano cariche elettriche di segno opposto a. Consideriamo una superficie chiusa tutta interna al conduttore, che includa la cavità. Poiché il campo elettrico è nullo su tutta la superficie, si ha che su è nullo il flusso del campo elettrico, e dunque, per la legge di Gauss, la carica totale contenuta in è nulla. E E = Dunque sulla superficie della cavità deve essere presente una carica indotta pari a. = = # Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 2

4 Induzione Completa (II) ignificato della Messa a Terra In questo caso tutte le linee di forza del campo prodotto dalla carica incontrano la superficie del corpo indotto (induzione completa). ulla superficie esterna del conduttore dotato di cavità, essendo il conduttore neutro, sarà presente una carica = # =. = = # = Un conduttore cavo trasferisce sulla propria superficie esterna una carica uguale al valore complessivo delle cariche contenute all interno della cavità. Consideriamo ora 2 conduttori cavi M e M 2 posti uno entro l altro e connessi tra loro mediante un cavo conduttore f (cavo di terra). upponiamo che nella cavità V venga posta una carica elettrica. ulla superficie sarà presente, come abbiamo visto, la carica indotta =. ulla superficie 2, interamente contenuta in M 2, il flusso di E è nullo. egue che la carica totale entro 2 è nulla. = 2 3 E = M 2 V 2 M 2 3 = V f 2 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 3 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 4 ignificato della Messa a Terra (II) ignificato della Messa a Terra (III) e 2 e 3 non fossero entrambe nulle, essendo 2 e 3 collegate con il cavo f, ci sarebbe una corrente elettrica lungo f. In condizioni stazionarie si avrà perciò: 2 = 3 = La carica totale contenuta entro la superficie (arbitraria, contenuta in V 2 ) è: = 2 egue che nel volume V 2 : E = E = M V f M 2 V 2 i dice che l involucro metallico M è posto a terra. e M è un elettrodomestico e M 2 sono i muri di casa, mettendo a terra l elettrodomestico si ha che il campo elettrico entro casa e fuori dall elettrodomestico è sempre nullo, indipendentemente da quello che accade dentro l elettrodomestico. Un involucro metallico M, posto a terra, scherma l esterno dell involucro dai campi elettrostatici esistenti nel suo interno. E = M 2 V 2 M V f 2 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 5 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 6

5 Potenziale di una fera Conduttrice Carica Potenziale di una fera Conduttrice Carica (II) Considerando una superficie sferica concentrica con la sfera conduttrice, ma di raggio r >, dalla legge di Gauss si ha: E i ˆnd = % 4& E = % E = # 4& ( ) O,r Calcoliamo il lavoro necessario per portare una carica unitaria q = dall infinito alla superficie della sfera di raggio, utilizzando un percorso radiale e scegliendo V() =. V = & & ( ˆnidP = ' 4# ( dr ' 4# (%,) % ( O,r) E r Pertanto il potenziale sarà: % V = ' dr = % ' dr = ( & 4# 4# & * - 4# ) r, =. 4# / 2 3 = 4# V = 4 = ( O,r) E r Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 7 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 8 Il Potere delle Punte Il Potere delle Punte (II) La carica in eccesso sulla superficie di un conduttore tende ad addensarsi nei punti di massima curvatura della superficie, e in particolare sulle punte. Consideriamo infatti 2 sfere, di raggio diverso e 2, collegate fra loro da un conduttore filiforme. Il potenziale delle 2 sfere è il medesimo. Avremo perciò: Consideriamo ora un corpo di forma irregolare, con raggio di curvatura che varia da punto a punto della superficie. Poiché la densità di carica è inversamente proporzionale al raggio di curvatura, si ha che le cariche si addensano laddove il raggio di curvatura è minore, ovvero nelle punte. = 2 # = La densità di carica in eccesso sulla superficie di un conduttore è inversamente proporzionale al raggio di curvatura. = Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 9 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 2

6 Capacità di un Conduttore Capacità di un Conduttore (II) Dato un conduttore isolato nello spazio, il suo potenziale elettrostatico risulta proporzionale alla carica presente sul conduttore stesso. L inverso della costante di proporzionalità viene chiamata capacità del conduttore nel vuoto ed è una costante caratteristica della sua forma geometrica e delle sue dimensioni. = CV Nel istema Internazionale la capacità si misura in Farad (F), ovvero in C/V (Coulomb/Volt) e le sue dimensioni sono: C# = # = V # IT # ML 2 T %3 I % # = M % L %2 T 4 I 2 # i osservi per inciso che, definito il Farad, la costante dielettrica del vuoto si scrive: = 8.85 #2 N # m #2 C 2 = 8.85 #2 F m Calcoliamo ora la capacità di un conduttore sferico. Come abbiamo visto, se è la carica del conduttore, il suo potenziale è: V = 4 E egue che: C = V = = 4 r 4 C = 4 (conduttore sferico) ( O,r) Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 2 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 22 Capacità di un Conduttore (III) e consideriamo una sfera conduttrice di raggio = m, la sua capacità sarà: C = 4 = 4 # 8.85 # 2 # F =.# F = pf Il Globo Terrestre (raggio = 6.4% 6 m) ha una capacità pari a: C = 4 = 4 # 8.85 # 2 # 6.4 # 6 F = 72 µf e dunque minore di un mf (millifarad). Capacità di un Conduttore all Interno di una Cavità e a un conduttore si avvicina un altro conduttore neutro e isolato, aumenta la capacità del primo conduttore. Calcoliamo la capacità di una sfera racchiusa nella cavità sferica di un conduttore (con le due superfici sferiche concentriche): & V = ( ˆnidP = ' 4# r 2 (%,) & & = ( ˆnidP ' 4# ( ˆnidP = E ' 4# (%, ) (,) & & = ( ˆnidP = ' 4# ( ˆnidP ' 4# (,) (,) Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 23 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 24

7 Capacità di un Conduttore all Interno di una Cavità (II) Capacità di un Conduttore all Interno di una Cavità (III) La capacità di una sfera racchiusa nella cavità sferica di un conduttore (con le due superfici sferiche concentriche) vale dunque: V = & ˆnidP = ' % 4 & dr = % 4 # (,) e, per esempio, = m e = 2 m, si ha: #2 C = F = 2.22 # F = 222pF #.5 il doppio della capacità di una sfera isolata di raggio. = ' ' ( ' * - =. 4 ) r, 4 ' 3 / 2 V =. 4 ' 3 / 2 < 4 = V sfera i ha infine: C = V = 4 # > 4 = C sfera E Grandi capacità elettrostatiche consentono di accumulare una grande carica elettrica (e, come vedremo, una grande energia) senza bisogno di grandi differenze di potenziale (che possono innescare scariche elettriche). Per ottenere grandi capacità si è pertanto pensato di utilizzare dispositivi costituiti di 2 conduttori. E Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 25 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 26 Condensatori Condensatore ferico Un sistema costituito di due conduttori, fra i quali vi sia induzione completa (tutte le linee di forza uscenti da un conduttore incontrano l altro conduttore) si dice condensatore. i definisce capacità del condensatore il rapporto: C = V tra la carica (presente con segno opposto sui due conduttori) e la differenza dei potenziali dei due conduttori. E Condensatore a facce piane e parallele Condensatore sferico E 2 Un condensatore sferico è costituito di una sfera racchiusa nella cavità sferica di un conduttore sferico. i ha: & V = ( ˆnidP = ) ' 4# 4#, E *. - % (,) C = V = 4# e lo spessore # = è molto piccolo rispetto a, si ha: # = = & # ) & * % ' ( = 2 % ' ( 2 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 27 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 28

8 Condensatore ferico (II) Condensatore Piano Dunque: C = V = 4# 2 % 4# & = # & C = (condensatore sferico) I due conduttori vengono detti armature. e, per esempio, = m e # = cm, si ha: C = = 8.85 # 4% # 2 2 # F = 2 =.# 8 F = nf E 2 Un condensatore piano (più precisamente un condensatore a facce piane e parallele) costituito da due piani conduttori (armature) tra loro parallele e a piccola distanza #. Per quanto abbiamo visto, il campo elettrico in un condensatore piano è uniforme e vale la somma dei campi elettrici generati dalle 2 armature: E = ˆn i ha perciò: V = E ( idp = % '% * dx = & # ) & ' E Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 29 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 3 Condensatore Piano (II) Collegamento in Parallelo di Due o Più Condensatori La capacità del condensatore piano sarà pertanto data da: C = V = # = # = # Collegando in parallelo 2 condensatori, avremo la medesima differenza di potenziale &V fra le armature dei due condensatori: = C V 2 = C 2 V C = (condensatore piano) = 2 = ( C C 2 )V # % = C tot V E C tot = C C 2 La capacità del sistema formato da due o più condensatori collegati in parallelo è uguale alla somma delle singole capacità. 2 C C2 2 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 3 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 32

9 Collegamento in erie di Due o Più Condensatori Collegamento in erie di Due o Più Condensatori (II) Poiché l armatura inferiore di C e l armatura superiore di C 2 sono parte dello stesso conduttore isolato e neutro, essi avranno cariche opposte. C tot = C C 2 C tot = C C 2 C C 2 Debbono essere opposte tra loro anche le cariche sulle due armature di C e le cariche sulle due armature di C 2. Dunque deve essere: ( V A V B = V A V * M ) * V A V B = * C tot ( ) ( V M V ) = B C C = C # C 2 2 % ' & C C 2 A M L inverso della capacità del sistema formato da due o più condensatori collegati in serie è uguale alla somma degli inversi delle singole capacità. C C 2 A M B B Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 33 Domenico Galli Fisica Generale B 2. Elettrostatica dei conduttori metallici 34 Domenico Galli Dipartimento di Fisica domenico.galli@unibo.it