Dielettrici (Isolanti)

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Raffaela Antonucci
7 anni fa
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1 Dielettrici (Isolanti) N.B. nelle operazioni che svolgeremo avremo a che fare con condensatori carichi. Si può operare in due diverse condizioni: 1) a carica costante: condensatore caricato e poi scollegato dal generatore 2) a potenziale costante: condensatore sempre collegato al generatore Dielettrici 1

2 Carica costante Inseriamo una lastra metallica tra le armature di un condensatore carico lastra metallica V 0 V Q costante, V < V 0, C = Q/V aumenta Equivale ad un condensatore di separazione tra le due armature d = h-s Dielettrici 2

riempire tutto lo spazio fra le armature V k < V < V 0 (b) Definiamo

3 Inseriamo una lastra di dielettrico (isolante): prima, lastra di spessore < separazione fra le armature : V < V 0 (a) poi in modo da riempire tutto lo spazio fra le armature V k < V < V 0 (b) Definiamo costante dielettrica (relativa) del dielettrico, k,il rapporto Dielettrici 3

4 Allora: con ε = k ε 0 ( costante dielettrica assoluta/ permettività del dielettrico) e σ p = σ 0 /k Calcoliamo l extra-campo elettrico prodotto dal dielettrico, E i E i = i E La χ (chi) si definisce suscettività dielettrica Dielettrici 4

5 All interno dldi del dielettrico i si forma un campo elettrico ltti (di polarizzazione) i (E i ) di segno opposto a quello tra le armature del condensatore (E 0 ),per cui il campo totale (E k ) decresce. E k = E o - E i Sulle facce del dielettrico compare una densità di carica, σ p, di segno opposto a quella sulle armature di fronte, ma di valore minore E 0 E i + + $ Dielettrici 5

6 N.B. Le cariche sulle armature e quelle sul dielettrico non possono combinarsi, perché quelle sul dielettrico non sono cariche mobili e quelle sulle armature non possono entrare nel ldiltti dielettrico che èisolante. Se moltiplichiamo le σ per l area delle armature,σ, otteniamo le cariche totali. Quindi da si ottiene Dielettrici 6

p. si ha ε = kε 0 si chiama costante dielettrica assoluta del dielettrico Tutte le

7 La capacità di un condensatore pieno di dielettrico diventa In particolare per il condensatore f.p.p. si ha ε = kε 0 si chiama costante dielettrica assoluta del dielettrico Tutte le formule viste in precedenza per il condensatore vuoto, valgono anche per quello pieno didiltti dielettrico, se si sostituisce titi ε 0 con ε. Dielettrici 7

8 Si definisce Rigidità dielettrica il più elevato valore del campo elettrico nel quale può trovarsi il dielettrico prima che al suo interno comincino a scorrere delle cariche (il dielettrico si buca ) Dielettrici 8

9 Esempio Condensatore parzialmente riempito di dielettrico di cost. diel. k Quanto valgono V k e C eq? Fuori dal dielettrico campo elettrico è come nel cond. vuoto E = σ 0 /ε 0. Nel dielettrico E k = σ 0 /kε 0 N.B. E non dipende dalla posizione del dielettrico e V k dipende solo dallo spessore Dielettrici 9

10 V k C eq Come si vede il sistema equivale a due condensatori in serie, uno vuoto, di separazione (h-s), e l altro pieno di dielettrico di spessore s e costante k Dielettrici 10

11 Potenziale costante Il condensatore è sempre collegato a un generatore che mantiene costante la d.d.p. ai suoi capi, V 0, facendo variare, se necessario la carica sulle armature. Cond. vuoto: Dielettrici 11

12 Con dielettrico C = k C 0, quindi: Il generatore deve fornire una l extra-carica q p, producendo un lavoro W = q p V 0 Dielettrici 12

13 Forza di risucchio su una lastra di dielettrico In un condensatore a f.p.p., p di lato l e separazione h, collegato a un generatore, è inserita una lastra di dielettrico per una lunghezza x. N.B. Il campo elettrico non è (mai) uniforme in prossimità dei bordi! Cosa succede? Dielettrici 13

14 Il campo del condensatore interagisce con le cariche indotte sul dielettrico (anche fuori dalle armature). Consideriamo il sistema come due cond. (uno pieno e uno vuoto) in parallelo se x aumenta di dx,,(la lastra entra di pù più tra le armature) ue)cc cresce cescedi dc con spostamento della carica dq = VdC da una faccia all altra ad opera del generatore Dielettrici 14

15 Il generatore compie un lavoro l energia elettrostatica aumenta di L altra metà del lavoro del generatore viene fatto tramite la forza di risucchio N.B. il segno di F Dielettrici 15

Polarizzazione dei dielettrici Di che natura èla carica che appare sulle

Un dielettrico sottoposto a un campo elettrico si dice polarizzato

momento di dipolo spontaneo. 1) Senza m.d.d. Es.

16 Polarizzazione dei dielettrici Di che natura èla carica che appare sulle facce del dldiltti dielettrico? Un dielettrico sottoposto a un campo elettrico si dice polarizzato Struttura dei dielettrici: Elementi (atomi o molecole) senza (1) o con (2) momento di dipolo spontaneo. 1) Senza m.d.d. Es.atomo Effetto del campo elettrico esterno: Spostamento dei baricentri delle cariche + e -, con formazione di un m.d.d. indotto: p = Zex Dielettrici 16

17 2) Molecole con m.d.d. spontaneo p 0 (es. H 2 O) Effetto del campo esterno: orientazione media dei dipoli. E come se all interno del dielettrico si formassero delle catene di dipoli (efficaci) da una faccia all altra. Dielettrici 14

18 Supponiamo di individuare un volumetto cubico τ all interno del dielettrico polarizzato, che contenga N atomi o molecole, ognuno con m.d.d. medio <p> Il m.d.d. totale è p = N <p>. Definiamo Momento di dipolo per unità di volume n = densità di atomi o molecole (m -3 ), Il vettore P (sempre // a E) si definisce anche Polarizzazione (del dielettrico) Unità di misura: <p>: C m; P : C m / m 3 = C/ /m 2 = densità superficiale i di carica. Dielettrici 18

19 Prendiamo un volumetto, dτ, all interno del dielettrico polarizzato di area dσ 0 e spessore dh, nella direzione di P e E, il suo m.d.d. è: dp = P dτ Possiamo sostituirlo con un altro sistema che non alteri il mdd m.d.d. totale? Sostituiamolo con due lamine metalliche di area dσ 0 e separate di dh. Che carica dq dobbiamo mettere sulle armature pe avare lo stesso m.d.d.? P dτ = dq dh = σ p dσ 0 dh = σ dτ quindi σ p = P e dq = P dσ 0 Dielettrici 19

Se ora consideriamo due cubetti adiacenti, le cariche dq e +dq

cariche dq e +dq sulle facce estreme, ad una distanza 2dh.

Quindi sulle facce di una lastra di dielettrico polarizzato è

20 Se ora consideriamo due cubetti adiacenti, le cariche dq e +dq sulle due facce in contatto si annullano e restano solo le cariche dq e +dq sulle facce estreme, ad una distanza 2dh. Continuando ad aggiungere cubetti si arriva alle due superfici Quindi sulle facce di una lastra di dielettrico polarizzato è presente una carica di polarizzazione di densità σ p = P Dielettrici 20

21 Se il dielettrico non ha forma regolare, dato un prismetto di superficie, sulla faccia interna dq = σ p dσ 0 = P dσ 0 dq = σ p dσ, quindi mentre sulla faccia esterna Se 0 < θ < π/2 σ p > 0, se π/2 < θ < π σ p < 0 Per una lastra θ = 0 e θ = π Dielettrici 21

22 In generale (cristalli cubici. amorfi, ) P E: quindi χ è uno scalare. P = ε 0 χ E = ε 0 (κ-1) E Ma per i cristalli χ può essere un tensore! P i = ε 0 Σ j χ ij E j Dato che le cariche ih di polarizzazione i q p sono cariche vere, possiamo inserirle nella Legge di Gauss applicata alla scatola cilindrica in figura, con la base (di area Σ ) parallela alle armature. Dielettrici 22

23 Calcoliamo il flusso di P attraverso la stessa superficie chiusa Σ Considerando che P è nulla all interno delle armature si ha = σ p Σ = q p per cui (cariche libere) Dielettrici 23

24 Definiamo D il vettore Induzione Dielettrica. Quindi le Legge di Gauss in presenza di dielettrici, si può scrivere ( = D Σ ) Il modulo di D coincide con la densità di cariche libere σ Come si vede P e D e σ hanno le stesse dimensioni quindi le stesse unità di misura: C / m 2 Dielettrici 24

25 In un dielettrico in un C.F.P.P. La forma locale della Legge di Gauss in presenza di un dielettrico diventa: Dielettrici 25

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