S.Barbarino - Appunti di Fisica II. Cap. 6. Elettrostatica dei corpi dielettrici: II

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1 SBarbarino - Appunti di Fisica II Cap 6 Elettrostatica dei corpi dielettrici: II 61 - Sviluppo in serie di multipoli dell energia di una distribuzione di cariche in un campo elettrico esterno Se una distribuzione di cariche descritta dalla funzione densitá ρ( r) é situata in un campo elettrico esterno di potenziale Φ( r) l energia elettrostatica del sistema é: W = ρ( r)φ( r)d 3 r (611) Se il potenziale é una funzione lentamente variabile nella regione dove ρ( r) é diversa da zero, si puó sviluppare in serie di Taylor attorno ad un origine opportunamente scelta: [ ] Φ( r) = Φ(O) + r Φ + (612) (O) Poiché E = Φ la (612) diventa: Φ( r) = Φ(O) r E(O) + (613) Se si introduce questa espressione nella funzione W si ha: W = Φ(O)ρ( r)d 3 r r E(O)ρ( r)d 3 r (614) Φ(O) é costante e si puó portare fuori dall integrale: W = Φ(O) ρ( r)d 3 r E(O) rρ( r)d 3 r = qφ(o) p E(O) + (615) Questo sviluppo mostra il modo caratteristico con cui i vari multipoli interagiscono con un campo esterno, la carica con il potenziale, il dipolo con il campo elettrico, ecc In generale si scrive: W = qφ p E + (616) Poiché la forza F si puó calcolare come il gradiente della funzione energia potenziale, risulta: F = W = q E + ( p E) + (617) Supponiamo di mettere a distanza r del dipolo p 1 un dipolo p 2 L energia di interazione fra i due dipoli p 1 p 2 si puó ricavare facilmente ponendo in W al posto di E il campo generato da p 2 Si ha: W 12 = k p 1 3( p 2 r) r r 2 p 2 r 5 = k p 1 p 2 3( r p 1 )( r p 2 ) r 3 (618) L interazione dipolo - dipolo é attrattiva o repulsiva a seconda dell orientamento dei dipoli 6-1

2 SBarbarino - Appunti di Fisica II 62 - Condizioni al contorno dei vettori del campo Vogliamo vedere come i vettori del campo E e D variano quando si passa attraverso la superficie di separazione fra due mezzi diversi I due mezzi possono essere due dielettrici con proprietá diverse o un dielettrico e un conduttore Il vuoto si puó considerare come un dielettrico con costante dielettrica ǫ 0 Consideriamo due mezzi 1 e 2 a contatto Assumeremo che vi sia una densitá superficiale di carica libera σ, che puó variare da punto a punto sulla superficie di separazione fig62-1 a) b) 1 2 D 2 E 2 n 2 D 1 E 1 A B C D Costruiamo una piccola superficie cilindrica S che intersechi la superficie di separazione e racchiuda un area S della superficie stessa; l altezza del cilindretto sia trascurabile rispetto al diametro delle basi Applichiamo la legge di Gauss: S D nda = Q lib (621) Al limite per h 0 si ha: D 2 n 2 S + D 1 n 1 S = σ S (622) e poiché n 1 = n 2 la (622) si scrive: ( D 2 D 1 ) n 2 = σ (623) 6-2

3 SBarbarino - Appunti di Fisica II Ma n 2 = n 0 quindi: D 2n D 1n = σ (624) Se σ = 0 la componente normale del vettore D é continua sulla superficie di separazione Consideriamo, ora, il percorso della figura (62-1b) ed applichiamo la proprietá della irrotazionalitá del campo elettrico: E d l = 0 (625) γ si ha: γ E d l = AB E d l + BC E d l + CD E d l + DA E d l = 0 (626) cioé: Al limite per AD,BC 0 l equazione (626) diventa: E 2 l + E 1 ( l) = 0 (627) ( E 2 E 1 ) l = 0 (628) E 2t = E 1t (629) La componente tangenziale del campo elettrico lungo una superficie di separazione fra due mezzi é continua Poiché i precedenti risultati sono stati ottenuti per due mezzi arbitrari, consideriamo il caso in cui il mezzo 1 sia conduttore e il mezzo 2 dielettrico Per definizione dentro il conduttore risulta: E1 = 0 D 1 = 0, quindi per la (624) e per la (629) si ha: D 2n = σ E 2t = 0 sulla superficie di un conduttore perfetto (6210) La (6210) esprime il fatto che, come abbiamo giá dimostrato, sulla superficie di un conduttore perfetto la componente tangenziale del campo elettrico deve essere nulla o che é lo stesso il campo elettrico deve essere ortogonale alla superficie di un conduttore perfetto É importante osservare che il potenziale é sempre una funzione continua anche sulla superficie di separazione fra due dielettrici o fra dielettrico e conduttore; infatti poiché fra due punti comunque vicini vale sempre che: dφ = E d l segue che per d l 0, dφ deve necessariamente tendere a zero in quanto il campo elettrico non puó mai diventare infinito 6-3

4 SBarbarino - Appunti di Fisica II 63 - Equazione di Poisson nei dielettrici Come abbiamo giá visto, la legge di Gauss nei dielettrici si scrive: D = ρ (631) Se il dielettrico é omogeneo, lineare e isotropo si ha: D = ǫ E e, quindi, sostituendo nella (631), la legge di Gauss diventa: E = ρ ǫ (632) D altra parte, anche nei dielettrici é assicurata la irrotazionalitá del campo elettrostatico, per cui: E = Φ cosicché risulta: 2 Φ = ρ ǫ (633) che é l equazione di Poisson nel caso generale in cui il mezzo é un dielettrico qualunque 64 - Sfera dielettrica uniformemente polarizzata P z fig64-1 In vista di una importante applicazione vogliamo calcolare il campo elettrico generato da una sfera polarizzata con polarizzazione uniforme lungo l asse z Data l assenza di carica 6-4

5 SBarbarino - Appunti di Fisica II libera sia dentro che fuori la sfera, consideriamo la soluzione dell equazione di Laplace in coordinate sferiche: Φ(r,θ) = A 1 + C 1 r +A 2r cos θ + C 2 r 2 cos θ A 3r 2 (3cos 2 θ 1)+ 1 2 C 3r 3 (3cos 2 θ 1)+ Specializziamo la (641) per i punti interni alla sfera e per quelli esterni: (641) Φ int (r,θ) = A 1 + A 2 r cos θ A 3r 2 (3cos 2 θ 1) + (642) Per scrivere la (642) si sono annullate le costanti C per permettere la convergenza di Φ int per r = 0 Φ ext (r,θ) = C 1 r + C 2 r 2 cos θ C 3r 3 (3cos 2 θ 1) + (643) Per scrivere la (643) si sono annullate le costanti A per garantire le condizioni di annullamento all infinito essenziale per qualunque distribuzione localizzata Si faccia attenzione sul fatto che P é la sorgente del campo che si vuole trovare e quindi non si puó applicare la relazione P = χ E Calcoliamo ora le costanti A e C imponendo le condizioni al contorno Poiché bastano due condizioni, abbiamo la facoltá di scegliere fra: 1) continuitá del potenziale alla frontiera; 2) continuitá della componente tangenziale del campo elettrico sulla superficie di separazione; 3) continuitá della componente normale del vettore D = ǫ 0 E + P Come si puó facilmente capire dalla (627) le condizioni 1 e 2 non sono indipendenti, pertanto é conveniente utilizzare la condizione 1 e la condizione 3 che scriviamo: A 1 +A 2 acos θ+ 1 2 A 3a 2 (3cos 2 θ 1)+ = C 1 a +C 2 a 2 cos θ+1 2 C 3a 3 (3cos 2 θ 1)+ (644) (ǫ 0 E ir + P r ) r=a = (ǫ 0 E er ) r=a (645) dove: E ir = Φ int r = A 2 cos θ A 3 r(3cos 2 θ 1) (646) E er = Φ ext r = C 1 r 2 + 2C 2 r 3 cos θ C 3r 4 (3cos 2 θ 1) + (647) Quindi la (645) che rappresenta la condizione 3, in forma esplicita, si scrive: ǫ 0 A 2 cos θ ǫ 0 A 3 a(3cos 2 C 1 θ 1)+ +P cos θ = ǫ 0 a 2 +2ǫ C 2 0 a 3 cos θ+3 2 ǫ 1 0C 3 a 4 (3cos2 θ 1)+ (648) 6-5

6 SBarbarino - Appunti di Fisica II La (644) e la (648) danno luogo ai seguenti due sistemi: A 1 = C 1 a A 2 a = C 2 a 2 A 3 a 2 = C 3 1 a 3 (649) che, risolti, danno i seguenti risultati: C 2 ǫ 0 A 2 + P = 2ǫ 0 a 3 C 1 = 0 ǫ 0 A 3 a = 3 2 ǫ 1 0C 3 a 4 C 1 = 0, A 1 = 0, C i = A i = 0 (i 3), A 2 = P, (6410) C 2 = P a 3 (6411) Sostituendo questi valori nella (642) e nella (643) le espressioni dei potenziali diventano: Φ int = P r cos θ (6412) Φ ext = P a 3 1 cos θ (6413) r2 Poiché r cos θ = z la funzione potenziale nei punti interni si scrive: Φ int = P z (6414) e quindi il campo elettrico nei punti interni alla sfera dielettrica é: E int = P ẑ (6415) cioé: il campo elettrico generato da una sfera uniformemente polarizzata é uniforme nei punti interni, diretto secondo P ed opposto a P Il campo elettrico esterno é, invece, un campo di dipolo; infatti, se confrontiamo l espressione del potenziale testé trovato con quello generato da un dipolo, Φ = k pcos θ, si trova che il momento di dipolo della sfera é dato da: r 2 kp sfera = P a 3 da cui p sfera = P 4 3 πa3 (6416) Il campo esterno segue, quindi, la legge 1 r 3 6-6

7 SBarbarino - Appunti di Fisica II 65 - Sfera dielettrica posta in campo elettrico uniforme É utile studiare l interazione fra una sfera dielettrica ed un campo elettrico uniforme nel quale essa é posta Come giá sappiamo la soluzione generale del problema, simile a quello della sfera conduttrice posta in un campo elettrico uniforme, é: Φ(r,θ) = A 1 +C 1 r 1 +A 2 r cos θ+c 2 r 2 cos θ+ 1 2 A 3r 2 (3cos 2 θ 1)+ 1 2 C 3r 3 (3cos 2 θ 1)+ Potenziale nella zona esterna alla sfera (651) Il potenziale nei punti esterni si ottiene dopo aver imposto la condizione all infinito cioé che per r [Φ(r,θ)] r = E 0 r cos θ + cost (652) Ne segue: Φ ext (r,θ) = cost + C 1 r 1 E 0 r cos θ + C 2 r 2 cos θ C 3r 3 (3cos 2 θ 1) + (653) Potenziale nella zona interna alla sfera La funzione potenziale deve essere finita per r = 0 quindi, per essere una soluzione fisicamente accettabile, dobbiamo porre eguale a zero le costanti C i (i = 1,2, ) Ne segue: Φ int (r,θ) = A 1 + A 2 r cos θ A 3r 2 (3cos 2 θ 1) + (654) Valutazione delle costanti Per trovare le costanti e, quindi, specificare il problema fisico in esame, dobbiamo imporre che: 1) la funzione Φ sia continua per r = a qualunque sia θ; 2) la componente normale dell induzione elettrica sulla superficie della sfera sia continua per r = a qualunque sia θ Indicando con ǫ r la costante dielettrica relativa della sfera, che indichiamo come mezzo 2, si ha: [D 1r ] r=a = [D 2r ] r=a (655) cioé: [ ] [ ] Φext Φint ǫ 0 = ǫ 0 ǫ r r r=a r r=a 6-7 (656)

8 dove: SBarbarino - Appunti di Fisica II Φ ext r = C 1 r 2 E 1 0 cos θ 2C 2 r 3 cos θ 3 2 C 3 1 r 4 (3cos2 θ 1) + (657) Φ int r Per la condizione 2) si deve avere: C 1 a 2 E 1 0 cos θ 2C 2 a 3 cos θ 3 2 C 3 = A 2 cos θ + A 3 r(3cos 2 θ 1) + (658) 1 a 4 (3cos2 θ 1)+ = ǫ r A 2 cos θ+ǫ r A 3 a(3cos 2 θ 1)+ Perché sia verificata l eguaglianza qualunque sia θ deve essere: (659) C 1 a C 1 3 a 4 + = ǫ ra 3 a + 1 E 0 2C 2 a 3 = ǫ ra C 1 3 a 4 = ǫ ra 3 a (6510) Applichiamo, adesso, la condizione della continuitá di Φ per r = a: A 1 + A 2 acos θ A 3a 2 (3cos 2 θ 1) + = = cost + C 1 a 1 + [C 2 a 2 E 0 a]cos θ C 3a 3 (3cos 2 θ 1) + (6511) che conduce alle: A A 3a 2 + = cost + C 1 a C 3a 3 + A 2 a = C 2 a 2 E 0 a 3 2 A 3a 2 = 3 2 C 3a 3 (6512) La terza e le successive equazioni del sistema (6512) non sono compatibili con la terza e le successive equazioni del sistema (6510) Pertanto si ha: A i = 0 (i 3) C i = 0 (i 3) (6513) Segue, pertanto, che: C 1 = 0 e A 1 = cost (6514) 6-8

9 SBarbarino - Appunti di Fisica II Le uniche costanti da calcolare sono A 2 e C 2 che soddisfano il sistema: che dá come risultato: In definitiva, quindi, si ha: A 2 C 2 a 3 = E 0 ǫ r A 2 + 2C 2 a 3 = E 0 (6515) A 2 = 3E 0 ǫ r + 2 ; C 2 = ǫ r 1 ǫ r + 2 E 0a 3 (6516) Φ ext = cost E 0 r cos θ + ǫ r 1 ǫ r + 2 E 0a 3 r 2 cos θ (6517) Φ int = cost 3E 0 r cos θ (6518) ǫ r + 2 Siamo particolarmente interessati al calcolo del campo interno alla sfera: E rinterno = Φ int r E θinterno = 1 r Φ int θ Passando in coordinate cartesiane, si ha: = 3E 0 cos θ (6519) ǫ r + 2 = 3E 0 sin θ (6520) ǫ r + 2 da cui: E z = E r cos θ E θ sinθ E x = E r sin θ + E θ cos θ E z = 3E 0 ǫ r + 2 E x = 0 (6521) Il campo elettrico all interno di una sfera dielettrica posta in un campo elettrico uniforme é pure uniforme nella stessa direzione e verso del campo elettrico esterno iniziale Le componenti del campo elettrico esterno sono: E resterno = Φ est r E θesterno = 1 r Φ est θ = E 0 ( 1 + ǫ r 1 ǫ r + 2 2a 3 ) r 3 cos θ (6522) ( = E 0 1 ǫ r 1 a 3 ) ǫ r + 2 r 3 sin θ (6523) 6-9

10 SBarbarino - Appunti di Fisica II Grafico delle linee di forza Le linee di forza del campo elettrico interno sono delle rette parallele all asse z Per quanto riguarda le linee di forza del campo elettrico esterno, utilizziamo lo stesso procedimento che abbiamo eseguito per la sfera conduttrice posta in un campo elettrico uniforme Risulta, immediatamente: r sin θ = ξ r 3 + η2a 3 (6524) avendo posto: η = ǫ r 1 ǫ r + 2 (6525) In questo caso il parametro ξ s al di sopra del quale le linee di forza si staccano completamente dalla sfera é dato da: ξ s = a 1 + 2η (6525) La linea di forza competente al valore ξ s tocca la sfera con tangente orizzontale, in quanto per z = 0 e x = a, ossia per θ = 90 0, come si deduce dalla (6522) e (6523), risulta E r = 0 A titolo di completezza osserviamo che il parametro η tende a 1 per ǫ r ; in questo caso cioé la sfera dielettrica si comporta come una sfera conduttrice Per esempio nel caso dell acqua (ǫ r = 81), risulta η = ossia le linee di forza competenti al campo elettrico 6-10

11 SBarbarino - Appunti di Fisica II esterno hanno praticamente lo stesso andamento di quelle relative alla sfera conduttrice z Linee di forza del campo elettrico (ǫ r = 2, a = 1) x fig65-1 ξ s =12247 ξ=1 6-11

12 SBarbarino - Appunti di Fisica II 66 - Confronto fra teoria macroscopica e teoria microscopica Cerchiamo di costruire una teoria che correli χ con α Nella precedente teoria microscopica abbiamo trovato l espressione di P nell ipotesi di conoscere il campo E agente sulla singola molecola, anzi assumendo che questo campo fosse il campo esterno Bisogna, adesso, calcolare il campo E m Questo é il campo elettrico agente nel punto in cui é posta una molecola; esso é generato da tutte le sorgenti esterne e da tutte le molecole polarizzate del dielettrico con l esclusione della sola molecola che si trova nel punto considerato Il campo molecolare puó essere calcolato come segue: asportiamo un piccolo pezzo del dielettrico, lasciando una cavitá sferica intorno al punto in cui si deve calcolare il campo molecolare Il dielettrico rimanente sará trattato come un continuo, cioé dal punto di vista macroscopico Rimettiamo ora il dielettrico nella cavitá, molecola per molecola, ad eccezione della molecola che si trovava al centro della cavitá, dove noi vogliamo calcolare il campo molecolare Le molecole, che abbiamo rimesse a posto, saranno trattate non come un continuo, ma come singoli dipoli Il procedimento appena esposto é giustificabile solo se il risultato del calcolo é indipendente dalle dimensioni della cavitá; vedremo che in certe condizioni questo é verificato É importante osservare che per il calcolo del campo E macroscopico abbiamo fatto una cavitá aghiforme in direzione parallela al campo; nel caso del campo molecolare questo procedimento non é possibile farlo perché non conosciamo il campo in ciascuna molecola Supponiamo che il minuscolo campione di dielettrico sia stato polarizzato ponendolo in un campo elettrico uniforme esistente fra due piastre parallele aventi cariche opposte Supporremo che la polarizzazione sia uniforme su scala macroscopica (cioé P = 0) e che P sia parallelo al campo che lo ha generato fig66-1 Ricordiamo che la sfera cava é esterna al dielettrico, quindi la normale é verso il centro della sfera; ne segue che sulla superficie della sfera cava vi é una densitá superficiale di carica σ = P n 6-12

13 SBarbarino - Appunti di Fisica II Per quanto abbiamo detto, il campo molecolare é: E m = E ext + E d + E s + E (661) dove: E ext é il campo originario dovuto alle piastre parallele cariche E d é il campo di depolarizzazione dovuto alle cariche legate poste sulle superfici esterne del dielettrico E s é il campo elettrico dovuto alle cariche legate poste sulla superficie S della cavitá ed E é il campo elettrico dovuto a tutti i dipoli che si trovano internamente ad S Risulta: E ext = σ P Ed = (662) ǫ 0 ǫ 0 Denotiamo con E, senza indice, il campo elettrico macroscopico nel dielettrico Poiché la componente normale del vettore induzione elettrica D é continua attraverso la superficie di separazione vuoto - dielettrico e poiché D = ǫ 0 E ext nel vuoto, appena fuori dello strato dielettrico é: ǫ 0 Eext = ǫ 0 E + P (663) E m = E + P ǫ 0 P ǫ 0 + E s + E = E + E s + E (664) Ma E s = P in quanto é opposto al risultato trovato di una sfera polarizzata Il campo E é piú difficile da determinare Lorentz ha dimostrato che per atomi disposti sui vertici di un reticolo cubico semplice E = 0 Analogamente vale nel caso di un gas o di un liquido, quindi: E m = E + P (665) Ma: p m = α E m N p m = Nα E m P = Nα E m (666) Sostituendo nell ultima relazione della (666) la (665), si ha: P = Nα ( P E + ) (667) da cui: Quindi: P = χ = Nα 1 Nα E (668) Nα 1 Nα (669) 6-13

14 SBarbarino - Appunti di Fisica II da cui: α = e poiché χ = ǫ 0 (ǫ r 1), la (6610) si scrive: χ N( + χ) α = (ǫ r 1) N(ǫ r + 2) (6610) (6611) La relazione (6611) prende il nome di equazione di Clausius - Mossotti Essa definisce una proprietá molecolare, cioé, la polarizzabilitá molecolare, in funzione di quantitá che possono essere determinate su una base macroscopica É conveniente talvolta invertire la (6611) e scrivere: Nα ǫ ǫ r 1 = 0 1 Nα (6612) Quando Nα é molto piccola rispetto a 1 si ha: ǫ r 1 = Nα ǫ 0 (6613) Questo é il caso dei gas rarefatti; in questo caso, infatti, come abbiamo visto ǫ r é circa 1 La (6612), con buona approssimazione, vale anche nei liquidi 6-14

15 SBarbarino - Appunti di Fisica II 67 - Il fenomeno della piezoelettricitá Quando un cristallo ionico é deformato si verifica una polarizzazione elettrica di volume e questa si manifesta con la comparsa di cariche elettriche sulla superficie del cristallo In modo brutale, la comparsa della polarizzazione piezoelettrica puó essere spiegata pensando ad un regolare tetraedro il cui centro é occupato da uno ione che porta quattro cariche positive, mentre ogni vertice é occupato da un singolo ione carico negativamente Fintanto che il centro di gravitá delle cariche negative coincide con la posizione della carica positiva, l intera struttura non ha momento di dipolo Se, ora, lo ione centrale mantiene la sua posizione mentre un vertice é spinto verso il centro, nasce ovviamente un momento di dipolo In cristalli dal reticolo semplice quali il NaCl (cloruro di sodio) non vi sará un momento di dipolo per unitá di volume risultante, poiché la simmetria del reticolo assicura una compensazione mutua Il requisito fondamentale per la comparsa di piezoelettricitá é la presenza di quello che é chiamato asse polare, un asse tale che il piano normale ad esso non é un piano di simmetria del cristallo La relazione fra la deformazione e la polarizzazione risultante é lineare Possiamo quindi scrivere per le componenti del vettore polarizzazione: P x = γ 11 e 11 + γ 12 e 22 + γ 13 e 33 + γ 14 e 23 + γ 15 e 31 + γ 16 e 12 P y = γ 21 e 11 + γ 22 e 22 + γ 23 e 33 + γ 24 e 23 + γ 25 e 31 + γ 26 e 12 (671) P z = γ 31 e 11 + γ 32 e 22 + γ 33 e 33 + γ 34 e 23 + γ 35 e 31 + γ 36 e 12 Gli e ik sono le componenti del tensore degli sforzi, i coefficienti γ ik sono chiamati costanti piezoelettriche A seconda del grado di simmetria del cristallo, il numero delle costanti viene ridotto Per il quarzo la matrice dei coefficienti γ ik é: γ 11 γ 11 0 γ γ 14 γ (672) Reciprocamente, se un campo elettrico é applicato ad un cristallo piezoelettrico, la polarizzazione risultante causa tensioni elastiche e deformazioni Quando le componenti del tensore degli sforzi sono espresse in termini delle componenti del campo, appaiono i coefficienti δ ik e 11 = δ 11 E x + δ 21 E y + δ 31 E z, e 23 = δ 14 E x + δ 24 E y + δ 34 E z e 22 = δ 12 E x + δ 22 E y + δ 32 E z, e 31 = δ 15 E x + δ 25 E y + δ 35 E z (673) e 33 = δ 13 E x + δ 23 E y + δ 33 E z, e 12 = δ 16 E x + δ 26 E y + δ 36 E z Per le componenti di pressione negativa si ha uno schema simile alla (671) Le quantitá γ ik compaiono come coefficienti di E i ; per il quarzo abbiamo: (674) P 11 = γ 11 E x, P 23 = γ 14 E x, e 11 = δ 11 E x, e 23 = δ 14 E x P 22 = γ 11 E z, P 31 = γ 14 E y, e 22 = δ 11 E x, e 31 = δ 14 E y P 33 = 0, P 12 = γ 11 E y, e 33 = 0, e 12 = 2δ 11 E y 6-15

16 SBarbarino - Appunti di Fisica II La posizione del sistema di coordinate é quella di figura Per il quarzo, i valori numerici di γ ik e δ ik, in unitá CGS, (segni algebrici per il quarzo destrorso) sono: γ 11 = ; γ 14 = (675) δ 11 = ; δ 14 = (676) fig67-1 Fine del Cap6 6-16