ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI

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1 ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI Esercizio Calcolare il modulo e l argomento principale del seguente numero complesso: z = ) 5 + i i) 7 Per risolvere l esercizio proposto applichiamo le formule per il calcolo della potenza e del rapporto tra numeri complessi A tale scopo, dobbiamo esprimere i numeri complessi che compaiono nella formulazione dell esercizio in forma trigonometrica Per cui poniamo : w = + i = ρcos ϕ + isin ϕ) Quindi sostituendo nell espressione data: v = i = rcos θ + isin θ) per la formula di de Moivre) z = w5 [ρcos ϕ + isin ϕ)]5 = v7 [rcos θ + isin θ)] 7 = = ρ5 cos 5ϕ + isin 5ϕ) r 7 cos 7θ + isin 7θ) = = ρ5 [cos 5ϕ 7θ) + isin 5ϕ 7θ)] ) r7 A questo punto per completare l esercizio si devono calcolare i moduli e gli argomenti di w e v ) ) w = + = v = + ) = Per calcolare gli argomenti di w e v si devono risolvere i sistemi: { cos ϕ = sinϕ = ) { cos θ = sinθ = ) il rapporto tra due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il rapporto dei moduli e per argomento la differenza tra gli argomenti

2 Risolviamo il primo sistema: Gli angoli ϕ [0,] che risolvono la prima equazione sono: ϕ = 5 φ oppure ϕ = 7, mentre la seconda equazione è risolta dai valori ϕ = e ϕ = 5 Il sistema ) ha quindi per soluzione :ϕ = 5 Risolviamo il secondo sistema: Gli angoli θ [0,] che risolvono la prima equazione sono: θ = oppure θ = 7, mentre la seconda equazione è risolta dai valori θ = 5 e θ = 7 Il sistema ) ha quindi per soluzione :θ = 7 Continuiamo lo svolgimento dell esercizio sostituendo nell espressione ) i valori di w, v, θ, ϕ, sopra calcolati: z = ) 7 [cos 5 5 ) 77 + sin 5 5 )] 77 = = [ 5 8 cos 9 ) 5 + isin 9 )] = = [ 8 cos 97 ) + isin 97 )] Si tratta di determinare l argomento principale di z cioè l angolo ξ [0,) tale che :z = σcos ξ + isin ξ) dove σ = z = 8 Per questo osserviamo che 97 = 8 = 8 + = 8 + per cui 97 = 5 + L argomento principale di z è ξ = mentre il modulo di z è σ = z = 8 Esercizio Calcolare il modulo e l argomento principale del seguente numero complesso: z = Procediamo come nell esercizio precedente ponendo: Quindi sostituendo nell espressione data: + i ) i ) w = + i = ρcos ϕ + isin ϕ) v = i = rcos θ + isin θ) per la formula di de Moivre) z = w [ρcos ϕ + isin ϕ)] = v [rcos θ + isin θ)] = = ρ cos ϕ + isin ϕ) r cos θ + isin θ) = = ρ [cos ϕ θ) + isin ϕ θ)] ) r Procedendo come nell esercizio svolto sopra, calcoliamo il moduli e gli argomenti di w e v, in modo da poterli sostituire nella ), ed otteniamo: w = cos + isin ) 5) v = cos 5 + isin 5 ) ) il rapporto tra due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il rapporto dei moduli e per argomento la differenza tra gli argomenti

3 Sostituiamo in ) : z = [ cos ) 8 + isin )] Osserviamo che = == + = +, quindi L argomento principale di z è : ξ =, mentre il suo modulo è 8 Esercizio Calcolare il modulo e l argomento principale del seguente numero complesso: z = i) i ) Il procedimento è identico a quello degli esercizi già visti sopra w = i = ρcos ϕ + isin ϕ) v = i = rcos θ + isin θ) w = cos 5 + isin 5 ) v = cos 7 + isin 7 ) 7) 8) Applicando le formule viste sopra, in definitiva: Per cui z = e l argomento principale è ξ = 0 z = [cos ) + isin )] = [cos 0 + isin 0] Esercizio Calcolare il modulo e l argomento principale del seguente numero complesso: z = ) 5 + i ) i Anche questo esercizio viene risolto in maniera del tutto identica a quella degli esercizi precedenti w = i = ρcos ϕ + isin ϕ) v = i = rcos θ + isin θ) w = cos + isin ) v = cos 7 + isin 7 ) 9) 0) Applicando le formule viste sopra otteniamo: z = 8 [cos ] ) + isin ) Per cui z = 8 e l argomento principale è ξ = Esercizio 5 = 8 [cos + isin ]

4 Risolvere la seguente equazione nel campo complesso: z z = 0 Svolgimento Per risolvere l equazione poniamo:z = x + iy Sostituendo si ha x + iy) x iy = 0 x y + xyi x ) + y = 0 ) Tenendo presente che un numero complesso è zero se e solo se sono zero la sua parte reale e la sua parte immaginaria, da ) otteniamo il sistema x y x ) + y = 0 x Da questo otteniamo x = 0 y 9 + y = 0 x x ) = 0 Ovvero x = 0 y + = 9 + y x x = 0 Il primo sistema non ha soluzioni, mentre il secondo sistema equivale ai seguenti x 0 x < 0 x x = 0 x + x = 0 Il primo sistema non ha soluzioni mentre il secondo ha x =, x = La soluzione dell equazione data è: z =, z = Esercizio Risolvere la seguente equazione nel campo complesso: Svolgimento z z = z Osserviamo che una soluzione è z = 0 Cerchiamo le soluzioni z 0 Possiamo dividere per z ed otteniamo z z = Eguagliamo il modulo del primo membro a quello del secondo: z 5 = onde z = 5 Tenuto conto di questo e scomponendo l espressione dell equazione data: z z = = z z = z = 5 ) = 5

5 Le soluzioni dell equazione data sono dunque z = 0 e z = 5 Esercizio 7 Risolvere la seguente equazione nel campo complesso: z + = z Svolgimento Per risolvere l equazione poniamo:z = x + iy Sostituendo si ha x + iy + = x iy) x + ) + y = x y xyi x + ) + y + x + y + xyi = 0 ) Tenendo presente che un numero complesso è zero se e solo se sono zero la sua parte reale e la sua parte immaginaria, da ) otteniamo il sistema x + ) + y = x y x Da questo otteniamo x = 0 + y = y x + = x Il primo sistema non ha soluzioni, mentre il secondo sistema equivale ai seguenti x + 0 x + < 0 x + = x x = x Il secondo sistema non ha soluzioni mentre il primo ha x, = ± La soluzione dell equazione data è: z, = ± Esercizio 8 Risolvere la seguente equazione nel campo complesso: Svolgimento z z = z Osserviamo che z = 0 è una soluzione Cerchiamo le soluzioni z 0 Dividendo per z entrambi i membri dell equazione z = z Scriviamo in forma trigonometrica ed applichiamo la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso ottenendo le altre soluzioni dell equazione data = {cos + isin } 5

6 { [ ) )] z cos + k + isin + k } k = 0,,, Onde Esercizio 9 z = + i, z = + i, z = i, z = i Determinare le coppie z,w) C che risolvono il seguente sistema: w z + i = 0 z z z w = 0 Svolgimento Il sistema dato equivale ai seguenti: w z = + i z z z w = 0 w z = + i = i z z z z z w = 0 w z = i z z z i ) = 0 Poiché z = 0 non può essere soluzione della prima equazione, possiamo dividere la seconda per z ottenendo z = i Questa viene risolta calcolando le radici quarte nel campo complesso del secondo membro A tale scopo scriviamo questo numero in forma trigonometrica nel modo seguente: i = cos + i sin ) Le radici quarte sono quindi i = { ) ) } cos + k + i sin + k, k = 0,,, Le soluzioni z sono: z 0 = + i ), z = + i), z = i ), z = i) Da cui

7 z 0 = i ), z = i), z = + i ), z = + i) Dalla prima equazione del terzo sistema otteniamo w : w 0 = i [ i = cos + i sin ] cos ) ) + i sin = = cos 5 + i sin 5 ) w = i i = = [ cos + i sin ] = w = i + i = = cos 8 + i sin 8 ) = i ) ; [ cos + i sin ] cos 7 + i sin 7 = ) + i cos + i sin ) cos ) ) + i sin = = ) + i ; w = i = cos + i + i sin ) cos + i sin = = cos 7 + i sin 7 ) = ) i ; In definitiva le soluzioni sono date dalle coppie: )) + i ), i ; i ), )) + i ; + i), i), ; ) ) + i ; i )) Esercizio 0 Determinare le coppie z,w) C che risolvono il sistema: z w = w z = 0 Svolgimento Il sistema dato equivale al seguente z w = z = w ovvero w w + = 0 z = w 7

8 La prima equazione del sistema è un equazione biquadratica che si risolve ponendo u = w, e quindi u u+ = 0, che ha soluzioni u, = ± i Determiniamo le soluzioni dell equazione u = w calcolando le radici quadrate di u, A tale scopo passiamo alla forma trigonometrica: u = + i = cos + i sin u = i = cos 5 + i sin 5 Applicando a questi numeri la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso, otteniamo rispettivamente w = cos + i sin w = cos 7 + i sin 7 Da cui, mediante la formula di De Moivre: z = w = cos i sin z = w = cos 7 i sin 7 In definitiva le soluzioni del sistema sono: e e w = cos 5 + i sin 5 w = cos + i sin z = w = cos 5 i sin 5 z = w = cos i sin z ;w ) = z ;w ) = z ;w ) = z ;w ) = + + i; ) + i, ) i; i, ) i; + i, i; ) i 8