CORSO DI LAUREA IN FISICA

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1 CORSO DI LAUREA IN FISICA ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia di R quindi può anche essere 0 + o 0 e siano f e g due funzioni reali definite in A le quali siano infinitesime per che tende a 0 : f 0, 0 g 0. 0 Definizione. Diciamo che f e g sono infinitesime per che tende a 0 dello stesso ordine se esistono un numero reale K 0, un intorno V di 0 ed una funzione reale h, definita su V A \ { 0 } e infinitesima per che tende a 0, tali che f g{k + h}, V A \ { 0 } Definizione. Diciamo che f è un infinitesimo per che tende a 0 di ordine superiore a g, oppure g è un infinitesimo di ordine inferiore a f se esiste un intorno V di 0 ed una funzione h definita su V A e infinitesima per che tende a 0 tali che f g h, V A \ { 0 }. Facciamo alcune considerazioni in merito a queste definizioni. Innanzitutto è ragionevole attendersi che accanto alla relazione debba sussistere una analoga relazione in cui f e g sono scambiate di posto. In effetti è così. Supponiamo che valga la relazione ; per le ipotesi fatte 0 {K + h} K 0 e quindi esiste un intorno U di 0 tale che K + h 0 U V A \ { 0 } W A \ { 0 } si è posto W U V ; W è ancora intorno di 0. Allora in W A \ { 0 } è definita la funzione e sussiste la relazione K + h K + h K h K[K + h], W A \ { 0}. 3 Da e 3 segue che g f { } K + v W A \ { 0 }

2 h dove K[K + h] è una funzione definita in W A \ { 0} e infinitesima per che tende a 0. Dalla relazione segue che f si annulla in un punto U A\{ 0 } se e solo se g si annulla in e quindi, in un intorno di 0, f e g sono entrambe diverse da zero oppure hanno gli stessi zeri. Supponiamo che f e g siano diverse da zero in un intorno di 0. In questa ipotesi Proposizione. f e g sono infinitesimi dello stesso ordine per che tende a 0 se e solo se la funzione f g, che è definita in un intorno di 0, è convergente per che tende a 0 ed il ite è un numero reale diverso da 0 f 0 g K 0 4 Questa proposizione è assai utile perchè suggerisce un procedimento semplice per stabilire se due infinitesimi sono dello stesso ordine. La dimostrazione di questa proposizione è elementare. Supponiamo che valga la e supponiamo che in un intorno di 0 sia f 0 e g 0 allora esiste un intorno W di 0 tale che e quindi f g K + h W A \ { 0} f 0 g K 0 Viceversa, supponiamo che f e g siano diverse da 0 in un intorno U di 0 e che valga la 4. Per U A possiamo scrivere { } f f g K + g K K + h e quindi f g{k + h} Per l ipotesi 4, la funzione h f g K è infinitesima per che tende a 0. Considerazioni della stessa natura si possono fare in relazione alla Definizione. Supponiamo che f e g siano diverse da zero in un intorno U di 0 e quindi le funzioni f g e g sono definite f per U A \ { 0 }. In tali ipotesi vale la seguente proposizione Proposizione. Condizione necessaria e sufficiente perchè f sia infinitesima di ordine superiore a g è che valga f 0 oppure g 0 g 0 f + 5

3 Infatti se f e g sono diverse da zero in un intorno di 0 e se è vera, allora esiste un intorno W di 0 tale che f g h, W A e quindi 0 f g 0 h 0. Viceversa supponiamo che f e g siano diverse da zero in un intorno U di 0 e che 0 0. Per U A possiamo scrivere f g f g f g g h e la funzione h f g è infitinitesima per che tende a 0. ESEMPIO Consideriamo le funzioni f : sin e g : R ed entrambe infinitesime per che tende a 0. f e g sono infintesime dello stesso ordine, infatti sin ESEMPIO Siano A [, ], f, g. f e g sono infinitesime per 0 e f è infinitesimo di ordine superiore a g; infatti [, ] si può scrivere Altra verifica f g. f g 0. ESEMPIO 3 Siano A 0, ], f sin e g. f e g sono infinitesime per che tende a zero ma f e g sono infinitesimi non confrontabili tra loro. Siano f e g due funzioni reali definite in A R, entrambe infinitesime per che tende a 0, e sia α un numero reale positivo. Supponiamo che in un intorno di 0 sia definita la funzione [g] α. Definizione 3. Si dice che f è un infinitesimo per che tende a 0 di ordine α rispetto a g se f e g α sono infinitesimi dello stesso ordine. Se ciò avviene devono esistere una costante K 0, un intorno U di 0 ed una funzione h definita in U A \ { 0 } infinitesima per che tende a 0 tali che f g α [K + h] U A \ { 0 } 6 3

4 o anche 0 f K. 7 [g] α In tal caso diremo che K g α è la parte principale dell infinitesimo f rispetto all infinitesimo all infinitesimo g. Se esistono due numeri K e α che rendono vera la 6 o la 7 essi sono univocamente determinati. ESEMPIO 4 Siano A [0, ], f cos, g. f e g sono infinitesime per che tende a zero f è di ordine rispetto a g e la parte principale di f rispetto a g è. Infatti: cos. Il seguente teorema è molto utile nello studio del ite del rapporto f g nel caso di indeterminazione 0 0. Teorema. Principio di sostituzione degli infinitesimi Siano f,g,f,g quattro funzioni definite in A R e infinitesime per che tende a 0. Supponiamo che f, g, f + F, g + G siano diverse da zero in un intorno di 0 e inoltre. F è infinitesimo di ordine superiore ad f,. G è infinitesimo di ordine superiore a g. In tali ipotesi 0 f + F g + G L 0 f g L, L R. 8 Dimostrazione. Esiste un introno U di 0 tale che f 0, g 0, f + F 0, g + G 0, U A \ { 0 }. Per ogni U A \ { 0 } risulta f + F g + G f g + F f. 9 + G g Poiché 0 F f 0 G g 0, si ha che 0 + F f + G g. 0 4

5 Da 9 e 0 segue la tesi. ESEMPIO 5 Si calcoli il ite Poiché + +. è un infinitesimo per 0 di ordine superiore a.. è un infinitesimo per 0 di ordine superiore a, risulta ESEMPIO 6 Siano f + e g + ; f e g definite R. Si calcoli il ite Consideriamo l infinitesimo per h f è di ordine rispetto ad h in quanto f h 0 g è di ordine rispetto ad h in quando g h 0 Ne segue che in 0 sarà f + F, g + G con F e G infinitesimi di ordine superiore a f e g rispettivamente. Conclusione: f g. 5

6 . Il simbolo di Landau Siano f,g : A R, A intervallo di R e 0 punto di accumulazione per A. Supponiamo inoltre che f,g siano infinitesime per che tende a 0. Se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g per che tende a 0 ovvero 0 f g 0 scriveremo f og che si legge f è o-piccolo di g per che tende a 0. Quindi 0 og g 0 ESEMPIO sin o per 0 perché Possimo scrivere quindi sin 0 in quanto sin. sin + o. In maniera analoga si deducono le seguenti eguaglianze per che tende a zero. a + log a + o e + + o log + + o perché a perché e log a perché log + cos + o perché cos tan + o perché tan Analogamente + α + α + o perchè + α α 6

7 Infatti + α e α log+ + α log + + oα log + per il Principio di sostituzione degli infinitesimi α log + α Nel ite sopra abbiamo posto α log+ ed utilizzato lo sviluppo e ++ovedi gli sviluppi, tenuto conto che per 0 si ha che 0. Si osservi che con la scrittura f og non si indica una eguaglianza tra funzioni ma l appartenenza di f ad un insieme di funzioni. Sarebbe quindi più corretto scrivere f og. Ad esempio, scriveremo 3 o, 4 3 o per 0 perché 0 e 4 0, naturalmente, per quanto osservato sopra, non potremo applicare in questo caso la proprietà transitiva dell uguaglianza e dedurre che le funzioni 3 e 4 sono uguali. Nel calcolo dei iti è utile disporre di alcune regole di calcolo con gli o-piccoli. Riportiamo qui sotto le principali nel caso degli o m per 0. In maniera analoga si procederà negli altri casi. k o n o n 3 o m ± o n o n, n m 4 o n o m o m+n 5 [o n ] m o mn 6 m o n o m+n 7 o n + o n o n 8 Dimostriamo 3 Dimostriamo 4 k o n n k o n n 0 Dimostriamo 5 o n ± o m n o n o m n+m o n ± om n n o n o m n m 7 0 ± om m m n 0 o n n o m m 0

8 Dimostriamo 6 Dimostriamo 7 Dimostriamo 8 o n + o n n [o n ] m nm m o n n+m o n + o n n + o n [ o n n ] m 0 o n 0 n n + o n n 0 + on 0. n 8

9 ESERCIZI SUI LIMITI CALCOLARE IL VALORE DEI SEGUENTI LIMITI arctan π a a a, a,a > 0 a 3 + log [ ] log + log 4 a a a, a > 0 5 sin a + log + log sin sin 6 + sin 7 log 4 8 log log + + tan sin π arctan arctan π cos cos arctan arctan 4 + arccos 7 log + sin cos 8 + e sin log cos[log + ] log cos 33 cos 3 9

10 34 + sin log e log 36 + sin + log cos sin log sin cos e log + cos esin log [log logsin ] 4 + e + [log tan 4 log ] 4 + sin + 4 [ log log cos] 43 + tan + [log loge ] sin e + log4 3 cos 45 log + tan arctan log + sin + arcsin Calcolare al variare di R il valore dei seguenti iti di successioni: 47 log cos n n 48 3 n n n 49 n log + n 50 n sin n 3 5 n n 5 n n n RISULTATI e 3 e e 4 e log /3 7 log a log a log 3/ a a log a 5 6 e log log log 4/3 9 log log log 4 log 4 4 log 47 per, per > 0 per < 48 + per > 0, per 0, log 3 per < 0 49 per, 0 per <, + per > 50 per 3, 0 per < 3, + per > 3 ; 5 log per < 0, + per > 0, per per, 0 per <. 0

11 Svolgimento Esercizio e3 log+ Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: log+ 0+ e3 e 3 log + perchè 0 Svolgimento Esercizio elog+ Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: elog+ e+o e o Perchè Svolgimento Esercizio 3 +. elog 0+ + elog Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: e +o e 0+ + o Perchè Svolgimento Esercizio e3 log3+ Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: e3log3+ 0+ e3log[3+ 3 ] 0+ e3log 3 +3 log elog 7 + +o + 0+ Perchè 0+ + o 0+, mentre elog

12 Svolgimento Esercizio elog3 Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: elog3 0+ elog[3 3 ] 0+ elog 3 +log 3 0+ elog o o 0+ Perchè 0+ Svolgimento Esercizio 6 3, mentre elog [ ] e log e log e4 Perchè e + 3, mentre per il calcolo del ite relativo + agli altri termini si procede come negli esercizi precedenti. Svolgimento Esercizio 7 Utilizziamo nel ite lo sviluppo della funzione esponenziale vedi gli sviluppi con a e a 3 : + Principio di sostituzione degli infinitesimi + log + o + + log 3 + o + log + log 3 log 6. Svolgimento Esercizio 8 Utilizziamo nel ite lo sviluppo della funzione esponenziale vedi gli sviluppi con a, a 3 e a 4 : + + log log 3 + o + log 3 log 4 + o Abbiamo utilizzato il fatto che o o o. Quindi per il Principio di sostituzione degli infinitesimi: log log 3 + log 3 log 4 log 3 log 3. 4 Svolgimento Esercizio 9 Scriviamo il ite proposto nella forma + elog, perché + log 0. Svolgimento Esercizio 0 log Scriviamo il ite proposto nella forma + e 0, perché +, vedi Esercizio 9 e + log, quindi il ite assume la forma e che dà 0.

13 Svolgimento Esercizio Imetodo Effettuiamo il seguente cambiamento di variabile: arctan. Quindi per + si ha π, il ite proposto diventa π π tan π π sin cos π π cos, posto z π ed osservato che per π si che z 0, otteniamo z 0 z cos z + π z 0 z sin z. II metodo Scriviamo il ite nella forma seguente + arctan π in modo da ottenere una forma indeterminata, del tipo 0, possiamo applicare il Teorema 0 dell Hospital: + Perché + D arctan π D 0. Esercizio Scriviamo il ite nella forma + a aa a + + a 0 a + + a log a, +. perchè abbiamo posto a, e per 0, 0, vedi i iti notevoli Esercizio 3 log + { [ log + log ]} + log + log [ log + log + log [ + log + log Si pone log + e si osserva che per + si ha che 0, si può quindi utilizzare log lo sviluppo log + + o. 3 ] ]

14 + log + log Perché log + + log + log + log + log + log log + o log log + + log log + + o log [ log + ] 0 log + log 0. Esercizio 4 I metodo Sviluppo di Talor Osservato che per a si ha che a 0 possiamo utilizzare gli sviluppi dell esponenziale e del logaritmo: a a a a a a a a a a a a a a + o a aa a a a log a + o a a + o a a log a + o a a + o a e alog a a + a log + olog a a a a a a a log a a + + olog [ a a + ] a log a + o a a + o a + a o a + o a a + o a a log a + o a a + o a Tenuto conto delle proprietà 4 e 8 degli o-piccoli ed utilizzando il Principio di sostituzione degli infinitesimi, si ha infine a a a a a log a + o a a + o a a a a a log a a II metodo Teorema dell Hospital, notare in questo caso la differenza!! a a log a. a D a a D sin a a a a a log a cos a a a log a. Esercizio 5 + log + log + + o + o +. Perché per 0+,si applica quindi lo sviluppo del logaritmo vedi. Esercizio 6 Scriviamo l espressione nella forma e sin sin log sin + 4

15 e consideriamo l argomento dell esponenziale: + sin sin log sin + + Il valore del ite assegnato è quindi e. Esercizio 7 sin sin [ ] sin sin + o sin o sin sin + + sin sin log + log + o + + log 4 + o log + o Perché + log + o log 4 log + o + log + log log log + o log 4 log + o 0 Esercizio 8 log + log + o + + log 4 + o log 3 + o Perché + log + o log 4 log 3 + o + log + log log 4/3 log log 4/3. log + o log 4 log 3 + o log log log 4/3 Esercizio 9 Esercizio 0 Applicando il teorema dell Hospital si ha log Perché assume la forma

16 Utilizzando invece lo sviluppo della funzione logaritmo, cioè log + + o, con +, si ha o + principio di sostituzione degli infinitesimi Esercizio sin cos sin 4 cos sin cos 4 sin 4 cos 4 4 sin Esercizio Poniamo arctan, quindi, in particolare per + si ha che 0+ tan + tan Esercizio 3 arctan Osserviamo che. Infatti basta porre arctan, da cui tan, di conseguenza per 0 si ha che 0. Il ite diventa. Ragionando quindi 0 tan come abbiamo fatto per ottenere gli sviluppi si ha arctan + o. Quindi il ite proposto si può risolvere nel modo che segue. + + cos arctan + + o + o + [ + o ] [ + o] Esercizio 4 Poniamo arccos, da cui cos. Per si ha che 0. Il ite proposto si scrive nella forma cos 0 Esercizio 5. 6

17 Poniamo π. Di conseguenza per π, 0. Il ite si scrive nella forma 0 arctan cos + π 0 arctan sin 0 + o o 0. Perché vedi Esercizio arctan + o. Esercizo 6 Vedi la risoluzione dell Esercizio Esercizio 7 Osserviamo che posto sin dalla scomposizione log+ +o vedi otteniamo log+sin sin +osin. Inoltre tenuto conto che sin +o +o+ o + o, possiamo scrivere log + sin + o + o + o da questa per 8 otteniamo log + sin + o. Di conseguenza il ite proposto diventa + o + o + o + o. Esercizio 8 Scriviamo lo sviluppo delle funzioni che compaiono nell espressione vedi ed esercizi precedenti: e sin + sin + osin + + o + o + o + + o. log o + + +o + + +o. Sostituendo: + + o + + o + 0. Esercizio 9 Scriviamo lo sviluppo delle funzioni che compaiono nell espressione vedi ed esercizi precedenti: log + + o coslog + cos + o + o + o + o 4 + o 4 + o 4 + o o4 Perché o4 + o 4 + o 4 o 4 + o 4 o 4. Sostituiamo nel ite: 4 + o Esercizio 30 7

18 e log Perché il ite assume la forma e in quanto + +. Eseercizio 3 Osserviamo che log, si tratta di una forma + e log+ + log + + o log + + [ + o] + o[ + o] + + o + o + o + + o + o + + o Sostituamo nel ite + + o. Esercizio 3 Osserviamo che log cos log Sostituiamo nel ite [ + o ] +o +o +o +o +o +o. + o. Esercizio 33 Tenuto conto che ] cos e logcos + logcos + o logcos + log [ + o + ] ] [ ] +o log [ + o + [ + o + o + o sostituamo nel ite 3 + o3 + o 3 + o o3 + o o3, 3 + o Esercizio 47 Poiché per n che tende ad infinito tende a zero possimo sviluppare cos come segue n cos n n + o. n 8

19 Onde log cos [ log ] n n + o n n + o n [ ] + o n + o n n + o Il ite proposto si può scrivere nella forma [ ] + n + o n n + n + n o 0 se <. n Se invece il valore del ite è. Se > si invece Esercizio 48 [ ] + n + o n n + + o n n n principio di sostituzione degli infinitesimi + n n n Sia > 0. Osserviamo che per n + n +. Possiamo porre n ottenendo 3 n n n perchè + Sia n0 n0 n 0. Sia < 0. Osserviamo in questo caso che per n + si ha n se < 0 allora Possiamo porre n ottenendo n 0. Ricordare che 3 n n n log 3 + o log + o log 3 log + o 0 principio di sostituzione degli infinitesimi 0 log 3 log log 3. 9

20 Abbiamo utilizzato gli sviluppi vedi 3 + log 3 + o, + log + o. Esercizio 49 Osserviamo che se 0 il ite è banalmente 0. Se > 0 si presenta invece una forma indeterminata + 0 che risolviamo utilizziando lo sviluppo di log : log + o e ponendo n. Tenuto conto che per n + si ha 0+, il principio di sostituzione degli infinitesimi ci consente di scrivere n log + n o se > se 0 se <. Esercizio 50 Osserviamo che se 0 il ite è banalmente 0. Se > 0 si presenta invece una forma indeterminata + 0 che risolviamo utilizziando lo sviluppo di sin : sin + o e ponendo n. Tenuto conto che per n + si ha 0+, il principio di sostituzione degli infinitesimi ci consente di scrivere n sin n o se > 3 se 3 0 se < 3. Esercizio 5 Sia > 0. Osserviamo che per n + n +. Possiamo porre n ottenendo Sia 0. n n n n n0 n0. Sia < 0. Osserviamo in questo caso che per n + si ha n se < 0 allora Possiamo porre n ottenendo n n 0 log. n 0. Ricordare che 0

21 Vedi Esercizio 5 n n n n e log n n n [ log n ] log n n + o n Dove abbiamo utilizzato lo sviluppo e + + o, tenendo presente il fatto che, posto log n, per n + si ha 0. n Il principio di sostituzione degli infinitesimi ci consente di scrivere: ovvero n [ log n ] log n n + o n n log n + se 0 se < log n n n.