8. Il teorema dei due carabinieri

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1 8. Il teorema dei due carabinieri Teorema del confronto (o dei due carabinieri) Consideriamo due funzioni f( ), g( ) per le quali risulti, in un punto di accumulazione per i loro domini : f ( ) g( ) Se abbiamo una terza funzione h( ) per la quale risulti, in un intorno del punto, che: allora è anche: f( ) h( ) g( ) h( ) Il significato intuitivo del teorema è chiaro: f( ) e g( ) sono i due carabinieri, h( ) è l arrestato ed il ite la prigione verso cui lo stanno conducendo. Dovendo l arrestato rimanere sempre compreso fra i due carabinieri (cioè f( ) h( ) g( ) ) per forza di cose sarà costretto anch egli a tendere al valore del ite. Dimostrazione. g( ) h( ) f ( ) Dalla definizione di ite finito in un punto risulta che: se f ( ), f, f se g( ), g, g dove abbiamo esplicitato che il relativo alla funzione f( ) è differente dal relativo alla funzione g( ), aggiungendo un pedice a ciascuno. Le disuguaglianze f ( ) e g( ) sono quindi soddisfatte in due intorni differenti di, uno avente raggio e l altro raggio. Se tuttavia prendiamo il più,f,g piccolo di essi, cioè l intorno avente raggio min, Esplicitandole otteniamo che in I(, ) si ha: f ( ) g( ), entrambe le disuguaglianze sono vere., f, g Sfruttando l ipotesi f( ) h( ) g( ) risulta allora: f ( ) h( ) g( ) h( ) e quindi abbiamo verificato che h( ). 36

2 Esempio f ( ) 3 3 g( ) 5 3 f( ) g( ) I iti notevoli trigonometrici Teorema Si dimostra che se con indichiamo la misura in radianti dell angolo: sin Il ite si presenta evidentemente indeterminato: sin sin ma l indeterminazione si risolve tramite una applicazione del teorema del confronto. sin Osserviamo innanzitutto che la funzione h( ) è pari: sin( ) sin sin h( ) h( ) il che ci consente di itare la dimostrazione al solo caso. Prendiamo in esame il primo quadrante della circonferenza goniometrica. Sappiamo che una corda è sempre più corta dell arco che la sottende, e che il seno di un angolo e la parte di circonferenza individuata dall angolo sono rispettivamente metà della corda e metà dell arco che la sottende. Se con indichiamo la misura in radianti dell angolo, vale la disuguaglianza: sin tan sin tan Essendo nel primo quadrante sin possiamo dividere per sin la disuguaglianza senza che il verso ne risulti alterato: sin sin sin sin sin cos sin cos 37

3 Passiamo ai reciproci delle quantità coinvolte. Il verso della disuguaglianza si ribalta, proprio come accade nel seguente esempio numerico: Si ottiene quindi: sin cos sin Possiamo applicare ora il teorema del confronto con f( ) cos, h( ) e g( ). Dato che risulta: si conclude che: cos e sin Dalla parità della funzione sin segue poi che è anche sin. Corollario: E possibile anche dimostrare che se: allora: ( ) f( ) ( ) sin f( ) e f ( ) f ( ) sin f( ) ( ) Esempio sin Il ite si presenta indeterminato: sin sin Possiamo facilmente ricondurlo al caso sin f( ) f ( ) sin sin sin con f( ) moltiplicando e dividendo per : 38

4 Esempio sin 5 sin 3 Il ite si presenta indeterminato: sin 5 sin sin 3 sin Moltiplichiamo e dividiamo per 5 3 : sin 5 5 sin sin sin sin sin Esempio 3 tan Il ite si presenta indeterminato: tan tan Risolviamo: tan sin cos Esempio 4 tan sin 4 Il ite si presenta indeterminato: tan tan sin 4 sin Risolviamo moltiplicando e dividendo per 4 : tan tan 4 sin 4 4 sin

5 Esempio 5 sin sin 3 Il ite si presenta indeterminato: sin sin sin 3 sin Risolviamo riconducendo al ite notevole del seno raccogliendo opportunamente: sin sin sin 3 sin 3 sin 3 3 sin Esempio 6 e sin Il ite si presenta indeterminato: e sin e sin e Risolviamo riconducendo al ite notevole del seno raccogliendo opportunamente: e sin e sin e e e sin Dove si è fatto uso del fatto che, essendo sin, allora visto che si tratta di una frazione di segno positivo in cui il numeratore è sempre più piccolo del denominatore. Esempio 7 sin tan Il ite si presenta indeterminato: sin sin tan tan Risolviamo riconducendo al ite notevole del seno: 4

6 sin sin ( ) sin tan ( ) tan tan La forma indeterminata Anche l espressione risulta essere indeterminata, infatti se riscritta opportunamente si riconduce al rapporto fra infiniti: risulta: tuttavia: da cui: f ( ) e g( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f( ) Esempio 8 sin Il ite si presenta indeterminato: sin sin Riscriviamo: sin sin Che può essere ricondotto al caso sin f( ) dove f ( ) f( ) soddisfa la condizione f( ). Il cambio di variabile E possibile a volte semplificare il calcolo di un ite attraverso l introduzione di una variabile ausiliaria. Vediamo un esempio. Il ite è indeterminato: cos 4

7 cos cos se poniamo y, e quindi y risulta che: y. Sostituiamo: cos y cos sin y y y y y Teorema Si dimostra che se con indichiamo la misura in radianti dell angolo: cos e cos I due iti si presentano entrambi indeterminati: cos cos cos cos Risolviamo l indeterminazione nel primo moltiplicando e dividendo per cos : cos cos cos cos sin cos cos cos Risolviamo il secondo: cos cos cos cos sin cos cos cos sin cos Corollario: E possibile anche dimostrare che se: allora: ( ) f( ) ( ) cos f ( ) e f ( ) cos f( ) f ( ) ( ) 4

8 Esempio 9 cos 4 3 Il ite si presenta indeterminato: cos 4 cos 3 Riscriviamo: cos 4 4 cos Esempio cos sin Il ite si presenta indeterminato: cos sin cos sin Riscriviamo: cos sin cos sin Esempio cos Il ite si presenta indeterminato: cos cos Riscriviamo considerando che quando tende a : cos cos 43

9 Esempio cos cos f ( ) Sapendo che,con f ( ) che soddisfa condizione di tendere a zero: f( ) cos cos Esempio 3 cos 3 cos Il ite si presenta indeterminato: cos cos 3 cos cos Risolviamo: cos 3 cos cos 3 3 cos ReF sui iti notevoli trigonometrici pp da 8 a 38 44