ESEMPI ED ESERCIZI SULLE DERIVATE

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1 ESEMPI ED ESERCIZI SULLE DERIVATE PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO

2 Indice DERIVATA DELLA SOMMA DERIVATA DEL PRODOTTO LA DERIVATA DELLA FUNZIONE RECIPROCA DERIVATA DEL QUOZIENTE DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA SOLUZIONE DELLE FORME INDETERMINATE CON IL TEOREMA DI L HOSPITAL LIMITI CON LA FORMULA DI TAYLOR ESEMPI BIBLIOGRAFIA di 2

3 Derivata della somma SI RICORDA: La derivata della somma di funzioni è uguale alla somma delle derivate della singole funzioni Esempi:. D( + sin + 3) = + cos D(sin ) = cos ; D(costante) = 2. D( log ) = 2 log 2 + in quanto D(a ) = a log a ; D(log ) = 3. D( + sin + cos ) = + cos sin in quanto D() = ; D(sin ) = cos ; D(cos ) = sin. D π + log 2 = π 2 in quanto D π = πd = πd( ) = π 2 = π ; D(log 2) = 0; 2 ricordando che log 2 è una costante. 5. D(at m + bt m+n ) = m at m + (m + n) bt (m+n) ricordando che D( α ) = α α 6. D = a a perché: D 53 a = 5 a D(3 ) = 5 a 32 = 52 a 3 di 2

4 SI RICORDA: La derivata del prodotto ESEMPI: 2 Derivata del prodotto D(fg) = f g + fg. D( sin ) = sin + cos = sin + cos in quanto le due funzioni coinvolte sono e sin le cui derivate sono, rispettivamente, cos. 2. D( 3 ) = 3 2 ; La funzione può essere pensata come il prodotto delle funzioni e 2, le cui derivate sono, rispettivamente,2. Applicando la formula, si ottiene il risultato. Ovviamente, la derivata può essere risolta anche con la formula nota: D( n ) = n n 3. D( 7 e ) = 7 6 e + 7 e = 6 e (7 + ) in quanto le due funzioni coinvolte sono 7 e e le cui derivate sono, rispettivamente 7 6, e perché D( n ) = n n ; D(e ) = e. D[( ) e ] = (2 2) e + e ( ) = e ( ) = e 2 in quanto le due funzioni coinvolte sono( ) e e le cui derivate sono, rispettivamente (2 2), e. Gli ultimi passaggi sono solo la messa in evidenza di coefficienti comuni. 5. D 3 log 3 = 3 D(3 log ) D 3 = 3 D(3 log ) 3 D(3 ) Si risolvono separatamente le due derivate. La prima D( 3 log ) è la derivata di un prodotto, dove le funzioni coinvolte sono 3 e log, le cui derivate sono rispettivamente, 3 2 e. Allora, applicando la formula del prodotto di 2

5 D( 3 log ) = 3 2 log + 3 = 32 log + 2 = 2 (3 log + ) La derivata D( 3 ) si risolve facilmente, ricordando la formula D( n ) = n n ed è uguale a 3 2. Allora: D 3 log 3 = 3 D(3 log ) D 3 = 3 D(3 log ) 3 D(3 ) = 2 (3 log + ) 3 (32 )= 2 (3 log + ) 2 = 2 (3 log + ) = 3 2 log 5 di 2

6 3 La derivata della funzione reciproca SI RICORDA: La derivata della funzione reciproca Esempi: D f = f f2. D 2 5 = ( 2 5) 2 (2) = (2) ( 2 5) 2 Perché la derivata della funzione 2 5 è 2, in quanto trattasi di derivata di una somma, quindi uguale alla somma delle derivate e la derivata della costante 5 è ovviamente nulla 2. D sin +cos = (cos sin ) (sin +cos ) 2 Perché la derivata della funzione sin + cos è cos sin, in quanto trattasi di derivata di una somma, quindi uguale alla somma delle derivate e la derivata del seno è cos, mentre la derivata del coseno è sin 3. D = D = 2 in quanto la derivata della funzione D ricordando che m n n = m Allora: si risolve come segue: = D = = 3 = D = D 2 = 2 = 3 2 = =. D D = 2 3 = 3 = La derivata della funzione è la derivata di un prodotto di funzioni. Ricordando che la derivata di è, mentre quella di è 2 si ha: 6 di 2

7 Allora D = + 2 D D = = = 2 = = 3 2 = = 3 Si osserva 2 = 3 2 = 3 equivalentemente si può dire 2 = 2 2 = 5. D 5 2 = D 52 (5 2 ) 2 = 0 5 = di 2

8 Derivata del quoziente SI RICORDA: La derivata del quoziente, si risolve mediante la formula f g = f g fg g 2, g 0 ESEMPI:. D e 2 2 = e 3 Infatti, la derivata dell esponenziale è l esponenziale stessa, mentre la derivata di 2 è 2. Applicando la formula D e 2 = e 2 2e = e ( 2) = e ( 2) 3 2. D 5 e = 5 5 e Infatti, la derivata dell esponenziale è l esponenziale stessa, mentre la derivata di 5 è 5. Applicando la formula D 5 e = 5 e 5 e e 2 = e (5 ) e 2 = (5 ) e = 5 5 e sin + cos 3. D = sin cos 2 (sin cos ) 2 Infatti, la derivata del numeratore è: D(sin + cos ) = cos sin la derivata del denominatore è: D(sin cos ) = cos + sin Applicando la formula: 8 di 2

9 sin 2 ) =. sin + cos (cos sin )(sin cos ) (cos + sin )(cos + sin ) D = sin cos (sin cos ) 2 = (cos sin cos2 sin 2 + sin cos ) (cos 2 + sin sin cos ) 2 (sin cos ) 2 = cos2 sin sin cos cos 2 sin 2 2 sin cos (sin cos ) 2 = 2cos2 2sin 2 (sin cos ) 2 = 2(cos2 + sin 2 ) 2 (sin cos ) 2 = (sin cos ) 2 Ricordando che per la prima relazione fondamentale della trigonometria (cos 2 +. D 2 (2 log ) = log log 2 Infatti, la derivata del numeratore è: la derivata del denominatore è: D( 2 ) = 2 D(log ) = Applicando la formula: D 2 log = 2log 2 log 2 = 5. D + z z = z z 2 Infatti, la derivata del numeratore è: 2log log 2 = (2log ) log 2 D + z = D() + D z = z = 2 z la derivata del denominatore è: D z = D() D z = 0 2 z = 2 z Applicando la formula: 9 di 2

10 D + z z = z + z 2 z 2 z z 2 = = 2 z z + 2 z 2 = z + + z 2 z 2 z z 2 z z 2 = z z 2 0 di 2

11 5 Derivata della funzione composta SI RICORDA: La derivata della funzione composta D g f() = g f() f () Con f derivabile in I e g derivabile in t = f() f(i) ESEMPI:. D((log 2 ) 3 ) = 3 (log 2 ) 2 D(log 2 ) Le funzioni che fanno la composta sono f(t) = t 3 e t = log 2 La derivata di f(t) = t 3 è f (t) = 3t 2 e la derivata di t = log 2 è t = log 2 Applicando la formula D((log 2 ) 3 ) = 3 (log 2 ) 2 D(log 2 ) = 3 (log 2 ) 2 log 2 ricordando che t = log 2 2. D(sin 2) La funzione g(t) = sin t ; f() = 2 Allora g (t) = cos t ; f () = 2 D(sin 2) = 2 cos 2, ricordando che t = f() = 2 3. D(log( 2 + )) La funzione g(t) = log t ;e t = f() = 2 + Allora g (t) = ; f () = 2 t Applicando la formula. D(log sin 3) D(log( 2 + )) = La funzione g(t) = log t ; t = z(y) = sin y; y = f() = 3 Allora g (t) = ; z () = cos y; f () = 3 t D(log sin 3) = cos 3 D(sin 3) = (3 cos 3) = 3 sin 3 sin 3 sin 3 = 3cotg3 di 2

12 5. D e sin 2+π è composta dalle funzioni Allora la derivata diventa: g(t) = e t ; t = z(y) = sin y; y = f() = 2 + π D e sin 2+π =e sin 2+π D sin 2 + π = = e sin 2+π cos 2 + π D 2 + π = esin 2+π cos 2 + π 2 SI RICORDA: Esiste un particolare tipo di funzione compostaf() g() la cui derivata si calcola mediante la formula: D f() g() = D e g() log f() = e g() log f() D(g() log f()) = = e g() log f() g ()log f() + g() f() f () si ricorda che e g() log f() = f() g() per le proprietà dell esponenziale. ESEMPI:. D Le due funzioni sono f() = e g() = le cui derivate sono: ( + ) f () = ( + ) derivata del 2 = e g() = 2 ( + ) 2 quoziente Applicando la formula D = e 2 2 log + 2 log + + (2 2) + + = e 2 2 log + 2 log + + (2 2) ( + ) 2 + = e 2 2 log + 2 log + + (2 2) + ( + ) 2 = e 2 2 log + 2 log ( + ) 2 di 2

13 2. D( ) = (log + ) Le due funzioni sono f() = e g() = le cui derivate sono: f () = e g () = Applicando la formula D( ) = e log log + = elog (log + ) 3. D(( 3 + ) tan ) = ( 3 + ) tan log 3 + cos tan 3 + Le due funzioni sono f() = 3 + e g() = tan le cui derivate sono: f () = e g() = cos 2 Applicando la formula D(( 3 + ) tan ) = e tan log 3 + cos 2 log(3 + ) + tan 3 + (32 + ) = ( 3 + ) tan log(3 + ) cos tan +. D cos sin = cos sin cos log(cos ) sin2 cos Le due funzioni sono f() = cos e g() = sin le cui derivate sono: Applicando la formula f () = sin e g() = cos D cos sin = e sin log(cos ) sin log(cos ) + sin ( sin ) cos = e sin log(cos ) cos log(cos ) sin2 cos = cos sin cos log(cos ) sin2 cos 3 di 2

14 infinitesime: 6 Soluzione delle forme indeterminate con il teorema di l Hospital TEOREMA DI L HÔPITAL: Siano f e g funzioni derivabili in un intorno di I { 0 } e Se g ( 0 ), g( 0 ) 0, I { 0 } Purché esista il secondo ite. f() = g() = f() 0 g() = f () 0 g () infinitesime: TEOREMA DI L HÔPITAL (CASO GENERALE): Siano f e g funzioni derivabili in [a, b] { 0 } e f() = g() = Se g ( 0 ) 0, [a, b] { 0 } e se f () 0 g () f() 0 g() = f () 0 g (), allora f() 0 g() e si ha ESEMPI:. e ( ) 2 Il ite si presenta nella forma indeterminata 0. Le due funzioni sono infinitesimi, quindi 0 D( e ) = e D(( ) 2 ) = 2( ) e ( ) 2 = D( e ) D(( ) 2 ) = di 2

15 D( e ) D(( ) 2 ) = e 2( ) Che si presenta ancora nella forma indeterminata 0. È possibile riapplicare de L Hôpital 0 2. e 2( ) = e + 2 e 2 = 2 È una forma indeterminata del tipo le funzioni sono due infiniti e per di l Hôpital + e 2 = + D(e ) D( 2 ) = + Ancora forma indeterminata. Riapplicando nuovamente l Hospital e + 2 = e + 2 = + 3. log + 3 È una forma indeterminata del tipo. Applicando l Hospital. log + 3 = = e = 0 che si presenta nella forma indeterminata 0. Le funzioni (numeratore e denominatore) sono 0 infinitesime. Si può applicare il teorema di l Hospital D( ) = 3 2 D( ) = Il ite diventa: 5 di 2

16 sin sin 2 = = log 3 che si presenta nella forma indeterminata. Le funzioni (numeratore e denominatore) sono infinite. Si può applicare il teorema di l Hospital: D(log ) = 3 D = D 3 = = Il ite diventa: + log 3 = l Hospital = proprietà frazioni 3 = di 2

17 7 Limiti con la formula di Taylor FORMULA DI TAYLOR: Sia f una funzione derivabile n volte 0. Risulta: n f() = f(k) ( 0 ) ( k! 0 ) k + R n (); k=0 0 R n (); ( 0 ) n = 0 ESEMPIO: sin cos e Il ite si presenta nella forma indeterminata 0 0 Come prima cosa si calcoli il mcm al denominatore (sin cos + ) e Applichiamo la formula di Taylor per portare in forma polinomiale le funzioni sin, ( cos ), ( e ), fermandosi al primo ordine. Mac-Laurin OSSERVAZIONE: Poiché lo sviluppo in serie si deve fare in = 0, si utilizza la formula di sin = sin ! cos = cos ! Ci fermiamo al secondo ordine. e = eo 0! 0 + D(e )(0)! D(sin )(0) = cos 0 =! D( cos )(0) +! cos ~ D (e )(0) 2! ; sin ~ 2 + D (e )(0) 3! e ~ D ( cos )(0) 2 2! 3 + D v (e )(0)! 7 di 2

18 (sin cos + ) e = = = = o( 2 ) o(2 ) Ci si ferma all ordine più basso che è quello che serve per einare la forma indeterminata = di 2

19 . 8 Esempi log log Il ite si presenta nella forma indeterminata. Poiché le funzioni sono infinite, è plausibile pensare l applicazione del teorema di l Hospital: 2. log log = 0 + log D =? + log = = 0 + Si tratta della derivata di un rapporto. Allora si può calcolare la derivata del numeratore e del denominatore e applicare la formula di derivazione del quoziente: Allora: log D + log = logaritmo 3. D( log ) = ; D( + log ) = ( + log ) ( log ) ( + log ) 2 = log log + ( + log ) 2 = 2 = ( + log ) 2 D log2 2 ( + log ) 2 E la derivata di un quoziente. Si calcolano le derivate del numeratore e del denominatore: D(log 2 ) = 2 log perché è la derivata della funzione composta dalla funzioni quadrato e D = 2 Applicando la regola di derivazione per il quoziente: 9 di 2

20 2 log D log2 = log2 2 2 = semplificando e razionalizzando. = 2 log log2 E la derivata di una funzione composta: Le derivate delle funzioni sono: D(log(e 2)) f(t) = log t ; t = (e 2) 2 2 log log2 f (t) = ; t = e t Per la regola di derivazione delle funzioni composte 5. e D(log(e 2)) = e 2 D(tan 2 log ) è la derivata del prodotto delle due funzioni tan 2 e log. Si calcolino le derivate: D(tan 2 ) è la derivata di una funzione composta dalle funzioni Le derivate delle funzioni sono: f(t) = t 2 ; t = tan f (t) = 2t; t = cos 2 Per la regola di derivazione delle funzioni composte D(tan 2 2 tan ) = cos 2 La derivata del logaritmo è. Applicando la regola di derivazione del prodotto si ottiene: D(tan 2 2 tan log ) = cos 2 log + tan2 20 di 2

21 Bibliografia Bartolucci, D. (s.d.). Tratto da mat.uniroma2: Cerri. (s.d.). diseqlog. Tratto da Demidovic. (200). Esercizi e problemi di analisi matematica. Editori Riuniti. Derivabilità. (s.d.). Tratto da Esercizi Limiti. (s.d.). Tratto da Lamberto, L., Mereu, L., & Nanni, A. (s.d.). Nuovo Matematica tre - Analisi. Etas Libri. M. Besostri, G. L. (s.d.). Algebra. Morano Editore. Marcellini P., S. C. (s.d.). Calcolo. Liguori Editore. Marcellini, & Sbordone. (992). Calcolo. Liguori Editore. Marcellini, & Sbordone. ( ). Elementi di Analisi Matematica. Liguori. 2 di 2