Argomento 4. Calcolo dei limiti II: forme indeterminate

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1 Argomento 4 Calcolo dei iti II: forme indeterminate Confronto tra infiniti (forme indeterminate e ) Definizione 4 Una funzione f si dice un infinito per x P se =+ o Date le funzioni f e g, infiniti per x P, fare il confronto tra infiniti vuol dire calcolare (se esiste) il ite di un loro rapporto e dal risultato dedurre se uno prevale sull altro o se si equivalgono Definizione 4 Se =0,gsi dice infinito di ordine inferiore a f per x P e f infinito di ordine superiore a g per x P( ) Se = k 6= 0,fe g si dicono invece infiniti dello stesso ordine per x P Nel ite per x P della somma e del quoziente di due infiniti di ordine diverso prevale quello di ordine superiore, cioè, se f èuninfinito di ordine superiore a g : (+) = + =, =+ o Confronto tra potenze x α per x + Confrontando x α,x β per x +, sihache: x β x = α xβ α = 0seα > β + se α < β seα = β Perchè x α sia un infinito per x +, α deve essere > 0, quindi per x + x α èuninfinito di ordine superiore a x β α > β > 0 x α èuninfinito di ordine uguale a x β α = β > 0 Perciò nel ite per x + di una somma di potenze di esponente diverso, prevale quella con esponente maggiore Notare che, poichè f e g sono infiniti, se =0, =0+ o0, da cui si ha che =+ o, che è quindi un modo equivalente per esprimere che f èinfinito di ordine superiore a g

2 Esempio 4 (x3 x + 3) = x3 x + 3 x 3 + = x3 = + Esempio 44 3x 6 x 3 + x 5 x +5 = 3x 6 ( x 5 ( + + ) 3x 3 3x ) x 3 x 5 3x 6 3x = = x 5 = + Confronto tra esponenziali a x per x + Confrontando a x,b x per x +, sihache: b x a = x x b = a +, se a<b 0, se a>b, se a = b Perchè a x sia un infinito per x +, adeve essere >, quindi per x + a x èuninfinito di ordine superiore a b x a>b> a x èuninfinito di ordine uguale a b x a = b> Esempio 45 x 3 (3x 5 x ) = 5x + 5 = 5x = Confronto tra logaritmi log a x per x + Confrontando log a x, log b x per x + con a, b > 0, a, b 6=, si ha che: log a x log b x = log a x log a b =log log a x a b (6= 0, perchè b 6= ) Quindi per x + log a x elog b x sono infiniti dello stesso ordine, a, b > 0, a,b6= Esempio 46 (log x log 3 x) = = log x =+ log 3 log x log x log 3 poiché log 3 >, log 3 > 0

3 Confronto tra esponenziali, potenze e logaritmi per x + Confrontando a x,x α, log b x per x + con a, b >, α > 0, si hanno i seguenti iti (notevoli): x α a =0, x (per una verifica si veda Arg6) Quindi log b x log =0, b x =0, x α a x a x èuninfinito di ordine superiore a x α, α > 0, a> per x + x α èuninfinito di ordine superiore alog b x, α > 0, b>0, b6= a x èuninfinito di ordine superiore alog b x, b >0,b6=, a > Esempi 47 x 3 + x x x +3 = x 3 x x +logx x + = + x3 x + x 3 x x + log x x x + x x x 3 x 3 x + 3 x +log3x = 3 x + x = 3 = x = x + 3 x 3 log 3x 3 x x x =+ = x =0 3 x 3 3 x =0 Nota Il caso x si può trattare riportandolo al caso t + mediante il cambio di variabile t = x x 3 log x ( t) 3 log( t) t 3 + logt t Esempio 48 = = 3 = x 3x +5 x t + 3( t) +5 t t + 3t + 5 t 3t Esempio Si vuole calcolare x x x, che presenta una forma di indeterminazione del tipo +, noneinabileconilconfronto,inquanto x x ha lo stesso ordine di x = x e quindi le due funzioni che compaiono hanno lo stesso ordine di infinito all infinito Per iti di questo tipo, in cui compaiono radici, si ricorre al metodo della razionalizzazione : x x x x x x = x x + x x x x = x x + x x x + x = x x + x = x x = 3

4 Confronto tra infinitesimi: (forma indeterminata 0 0 ) Definizione 49 Una funzione f si dice un infinitesimo per x P se =0 Date le funzioni f e g, infinitesimi per x P, fare il confronto tra infinitesimi vuol dire calcolare, se esiste, il ite di un loro rapporto e da tale risultato dedurre se uno prevale sull altro o se si equivalgono Definizione 40 Se =0,gsi dice infinitesimo di ordine superiore a f e f infinitesimo di ordine inferiore a g per x P Se = k 6= 0f e g si dicono invece infinitesimi dello stesso ordine per x P Nel ite per x P della somma di due infinitesimi di ordine diverso prevale quello di ordine inferiore, (o, equivalentemente, quello di ordine superiore è trascurabile) cioè, se f èuninfinitesimo di ordine inferiore a g : ³ (+) = Confronto tra potenze x α per x = Confrontando x α,x β per x 0 + con α, β > 0, si ha che x α x 0 + x = β x 0 xα β = + 0seα > β + se α < β seα = β Perchè x α sia un infinitesimo per x 0 +, α deve essere > 0, quindi x α èuninfinitesimo di ordine superiore a x β α > β > 0 per x 0 + x α èuninfinitesimo di ordine uguale a x β α = β > 0 Perciò nel ite per x 0 + di una somma di potenze di esponente diverso, prevale quella con esponente minore Esempio 4 x 3 x x 0 + x 4 + x x = x + x = = x 0 x (x +) x 0 x Si utilizza lo stesso metodo per x 0 quando le potenze che compaiono nel ite sono definite anche per valori negativi NB Per confrontare infinitesimi diversi da potenze, avremmo bisogno di strumenti analitici più avanzati, come per esempio il Teorema di Tayor (Teorema 647, Arg 6) 4

5 Forma indeterminata 0 La forma indeterminata 0, che si ha per il ite del prodotto: con =0, =+ o, si può ricondurre alla forma 0 o, quando 0 =0+ o0, alla forma mediante = oppure = oppure mediante opportuni cambi di variabile (usando le regole sul ite della funzione composta) Esempio 46 Il ite notevole (9) x 0 + xα log(x β )=0 per α > 0 si calcola con il cambio di variabile x = t : xα log(x β ) = x 0 + t + t α log t β β log t = =0 t + t α Come si è visto in Arg3, iti del tipo, con > 0inunintornodiP, si riconducono a iti di prodotti, mediante la trasformazione = e log() nell intorno di P,quindi l unica eventuale forma indeterminata a cui si perviene è quella 0 : x ³ Esempio 48 =e x log x 0 x 4 + x x 4 +x = e x log ( ) x 0 x ( x log x = e x 0 ) (9) = e 0 = x 0 Asintoti La proprietà di una retta di avvicinarsi al grafico di una funzione quando i punti del dominio o dell immagine della funzione tendono a + o a si traduce nella definizione di asintoto Definizioni 49 La retta di equazione y = a è asintoto orizzontale per f per x + (o ) se =a (o =a) x La retta di equazione x = x 0 è asintoto verticale per f se =+ o (o = x x + x x0 0 + o ) La retta di equazione y = mx + q (con m 6= 0)è asintoto obliquo per f se per x + (o ) ( mx q) = 0 Esempi 430 x ha asintoto orizzontale y =0, ha asintoto obliquo y = (x ) per x + : (o ( mx q) =0) x x ha asintoto verticale x =0, + (x ) x 5

6 asintoto orizzontale y =0 asintoto verticale x =0 asintoto obliquo y = (x ) Esempio 43 La retta y = x è asintoto obliquo per = x + x + x + x + x + x + x +4 5 = = x + x + =0 per x +, inquanto Operativamente, per determinare gli eventuali asintoti obliqui di una funzione f si usano le due condizioni date dalla seguente Proposizione 43 La retta di equazione y = mx + q (con m 6= 0)è asintoto obliquo per f x + (o ) se e solo se valgono contemporaneamente le due condizioni seguenti: per () ( ) x = m 6= 0 () ( mx) =q ( ) Notiamo che la condizione () è equivalente a richiedere che f abbialostessoordinediinfinito di x per x + (o ) Il metodo per determinare gli eventuali asintoti obliqui di una funzione f è il seguente: se per x + (o ), =0, +, ononesiste ( ) x allora f NON ha asintoti obliqui per x + (o ); se per x + (o ), ( ) x = m 6= 0 allora f PUÒ avere asintoti obliqui per x + (o ), mapersapereselihaveramente,sideveverificare se vale la condizione (), cioè calcolare il ( mx) e vedere se esiste finito ( ) Esempio 433 Data =x log x, obliqui per x + x log x x = log x =+, quindi f NON ha asintoti 6

7 x log x +sinx x log x +sinx logx Esempio 434 Data =, logx x,quindi f potrebbe avere asintoti obliqui Dobbiamo calcolare quindi x log x +sinx = = x ( log x) x log x +sinx logx x x log x +sinx xlog x sin x Cor 35 = = = 0 logx log x da cui si deduce che anche la condizione () èsoddisfattaechey = x èasintotoobliquoperf, per x + x log x + x Esempio 435 Data = x log x + x logx, logx x per x +,quindi f potrebbe avere asintoti obliqui Dobbiamo calcolare quindi x log x + x logx x x log x + x x log x = = logx x log x + = x logx x log x =+ da cui si deduce che la condizione () non è soddisfatta, perciò possiamo concludere che f non ha asintoti obliqui per x + = 7