Potenze reali, esponenziali e logaritmi
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- Virgilio Clemente
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1 Potenze reali, esponenziali e logaritmi Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 1 / 14
2 Potenza ad esponente intero positivo Assegnati un numero reale a ed un numero naturale n, si definisce potenza di base a ed esponente n il prodotto di n fattori uguali ad a: a n = a a a a a (n volte) Per convenzione si pone a 0 = 1. Ad esempio 5 4 = = = 1 (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 2 / 14
3 Potenza ad esponente intero negativo Assegnati un numero reale a ed un numero naturale n, si definisce potenza di base a ed esponente n: a ( n) = 1 a n Ad esempio: 5 ( 4) = = (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 3 / 14
4 Potenza ad esponente razionale positivo Assegnati un numero reale a non negativo e due numeri m e n interi positivi, si definisce potenza di base a ed esponente m n : a m n = n a m Ad esempio = = 7 16 (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 4 / 14
5 Potenza ad esponente razionale negativo Assegnati un numero reale a non negativo e due numeri m e n interi positivi, si definisce potenza di base a ed esponente m n : a m n = 1 n a m Ad esempio = = (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 5 / 14
6 Potenza ad esponente irrazionale Ricordiamo che un numero reale x è definito come un numero con infinite cifre decimali; pertanto esso è individuato da due classi di numeri razionali, separate ed indefinitamente ravvicinate, che rappresentano rispettivamente successive approssimazioni, per difetto e per eccesso, del numero stesso. Per esempio, il numero 2 puó essere individuato dalle due successioni: 1 1,4 1,41 1,414 1, ,5 1,42 1,415 1, Perció la potenza a 2 (a > 0) è definita dalle due successioni: a 1 a 1,4 a 1,41 a 1,414 a 1, a 2 a 1,5 a 1,42 a 1,415 a 1, (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 6 / 14
7 Ad esempio, consideriamo la potenza 3 2 è definita dalle due successioni: ,4 3 1,41 3 1, , ,5 3 1,42 3 1, , e, arrotondando gli elementi delle due successione, la potenza è univocamente determinata come elemento separatore dalle classi: : Quindi: 3 < 3 2 < 9 4,65 < 3 2 < 4,70 4,72 < 3 2 < 4,75 4,728 < 3 2 < 4, Dunque, le prime cifre della potenza 3 2 sono 4,72. (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 7 / 14
8 Consideriamo ora la potenza, avente come base il numero naturale 2 ed esponente irrazionale Il numero è un numero irrazionale 3, individuato dalle due successioni: 1 1,7 1,73 1, ,8 1,74 1, La potenza 2 3, risulta definita dalle successioni: ,7 2 1,73 2 1, ,8 2 1,74 2 1, (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 8 / 14
9 arrotondando le prime per difetto e le seconde per eccesso, la potenza è univocamente determinata come elemento separatore della nuova coppia di classi: 2 3, 249 3, , , , , Ossia: 2 < 2 3 < 4 3,249 < 2 3 < 3,4822 3,3173 < 2 3 < 3,3404 3,3219 < 2 3 < 3, Dunque, tali classi definiscono la potenza 2 3. che ha come come approssimazione ai centesimi 3, 32. (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 9 / 14
10 Proprietà delle potenze Le proprietà delle potenze studiate alle scuole medie per le potenze ad esponente intero positivo, continuano a valere per qualsiasi potenza. Cioè valgono le seguenti le proprietà: 1 a x a y = a x+y 2 (a x ) y = a xy 3 0 < a < b a x < b x 4 x < y, a > 1 a x < a y 5 x < y,0 < a < 1 a x > a y (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 10 / 14
11 Definizione di Logaritmo Il logaritmo in base a > 0 di un numero b > 0 l esponente x da dare ad a per ottenere b. (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 11 / 14
12 Definizione di Logaritmo Il logaritmo in base a > 0 di un numero b > 0 l esponente x da dare ad a per ottenere b. Pertanto le seguenti relazioni sono equivalenti. x = log a b e a x = b (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 11 / 14
13 Definizione di Logaritmo Il logaritmo in base a > 0 di un numero b > 0 l esponente x da dare ad a per ottenere b. Pertanto le seguenti relazioni x = log a b e a x = b sono equivalenti. I numeri a e b devono essere positivi in quanto a è la base della della potenza a x b = a x quindi positivo. (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 11 / 14
14 Definizione di Logaritmo Il logaritmo in base a > 0 di un numero b > 0 l esponente x da dare ad a per ottenere b. Pertanto le seguenti relazioni x = log a b e a x = b sono equivalenti. I numeri a e b devono essere positivi in quanto a è la base della della potenza a x b = a x quindi positivo. Dalla definizione di logaritmo seguono le due uguaglianze: log a a b = b e a log a b = b (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 11 / 14
15 Definizione di Logaritmo Il logaritmo in base a > 0 di un numero b > 0 l esponente x da dare ad a per ottenere b. Pertanto le seguenti relazioni x = log a b e a x = b sono equivalenti. I numeri a e b devono essere positivi in quanto a è la base della della potenza a x b = a x quindi positivo. Dalla definizione di logaritmo seguono le due uguaglianze: Si osservi inoltre che log a a b = b e a log a b = b log a a = 1 e log a 1 = 0. (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 11 / 14
16 Proprietà del Logaritmo 1 Logaritmo del prodotto log a (bc) = log a b + log a c Il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 12 / 14
17 Proprietà del Logaritmo 1 Logaritmo del prodotto log a (bc) = log a b + log a c Il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori 2 Logaritmo della potenza log a b x = xlog a b Il logaritmo della potenza di un numero è uguale dell esponente di tale potenza per il logaritmo della base (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 12 / 14
18 Conseguenze 1 Logaritmo del rapporto log a (b/c) = log a bc 1 = log a b log a c Il logaritmo del rapporto di due o pi numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore. 2 Cambiamento di base log c b = log ab log a c Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi 10 ed e). 3 log a b = log bb log b a = 1 log b a (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 13 / 14
19 Esempi 2 3 = 8 è equivalente alog 2 8 = = è equivalente a log = 4 log = 2 log = log3 3 ( 1 5 ) = 1 5 (Università di Bologna) Potenze reali, esponenziali e logaritmi 14 / 14
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