Esercizi di Matematica per le Scienze Funzioni: integrali indefiniti

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1 Esercizi di Matematica per le Scienze Funzioni: integrali indefiniti A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Una funzione g() derivabile su un intervallo (a, b) si dice primitiva della funzione f() se f() = g () per ogni (a, b). L integrale indefinito di f(), f() d, è l insieme di tutte le primitive di f(). Se f() è definita su un intervallo le sue primitive sono della forma g() + c dove g() è una primitiva di f() e c R. Se f() è definita su un unione di intervalli separati le costanti c sono indipendenti sui diversi intervalli. Per { esempio una primitiva di f() =, definita su R\{0}, cioè (, 0) ln() + 4 > 0 (0, + ), è g() = ln( ) + 7 < 0 infatti g () =. In generale scriveremo, impropriamente, f() d = g()+c, dove g() è una qualunque primitiva di f(). per k k d = k+ k + + c (f()) k f () d = (f())k+ + c k+ d = d = ln( ) + c d = ln( f() ) + c f () f() ep() d = ep() + c ep(f()) f () d = ep(f()) + c sin() d = cos() + c cos() d = sin() + c sin(f()) f () d = cos(f()) + c cos(f()) f () d = sin(f()) + c

2 Esercizio. Determinare una primitiva delle seguenti funzioni e verificare il risultato: (a) ( ) (b) ( 3) (c) (d) + (e) sin( ) (f) 3 sin( 3 + 4) Integrale di somma e di prodotto per costante f() + g() d = f() d + g() d a R : a f() d = a f() d Esercizio. (sol) d Esercizio cos() + 3e + 4 d Esercizio 4. Determinare una primitiva delle seguenti funzioni e verificare il risultato: (a) (3 ) (c) sin(π ) 6 5 (b) (d) 6 7 Esercizio 5. (sol) Esercizio 6. (sol) d + d +e (e) (f) 0 + Integrazione per parti (da derivata di prodotto) g()h () d = g()h() g ()h() d Esercizio 7. (sol) Determinare Esercizio 8. (sol) Determinare Esercizio 9. (sol) Determinare ep() d sin() d ln() d

3 3 Esercizio 0. (sol) Determinare ln() d Esercizio. Determinare ln( + 3) d Esercizio. (sol) Determinare (cos()) d Esercizio 3. (sol) Determinare ep() sin() d Integrazione per sostituzione (da derivata di funzione composta) f() d = f(h(t)) h (t) dt = h(t) Esercizio 4. (sol) Determinare una primitiva di sin( ) Esercizio 5. (sol) Determinare Esercizio 6. (sol) Determinare d + ep( ) d Integrazione di funzioni razionali Riepiloghiamo alcuni tipologie importanti che abbiamo trattato nei precedenti esercizi: a = ln( a ) + c ( a) d = a + c Esercizio 7. (sol) Determinare d (+5)( ) d + d + Esercizio 8. Determinare una primitiva di e di Esercizio 9. (sol) Determinare Esercizio 0. (sol) Determinare d ( 3 + ) d ( +) = arctan() + c = ln( + ) + c 3+. Esercizio. Determinare una primitiva delle seguenti funzioni e verificare il risultato:

4 4 (a) (b) 7 5 (c) ( ) ( ) ( ) (d) () + (e) ( 3) + (f) +9 Esercizio. Determinare una primitiva delle seguenti funzioni e verificare il risultato: (a) 3 (b) Esercizio 3. (sol) Determinare una primitiva delle seguenti funzioni e verificare il risultato: (a) 3 + (b) 5 + (c) Risposte di alcuni esercizi Esercizio : Esercizio 5: Esercizio 6: Esercizio 4: Esercizio 5: Esercizio 6: Esercizio 7: Esercizio 8: Esercizio 9: Esercizio 0: Esercizio : d = c. d = ln( + ) + c + d = ln( + e ) + c +e sin( ) d = cos( ) + sin( ) + c d = arctan() + c + ep( ) d = ep( )( ) + c ep() d = ep() ep() + c sin() d = cos() + sin() + c ln() d = ln() 4 + c ln() d = ln() + c (cos()) d = sin() cos()+ + c

5 5 Esercizio 3: ep() sin() d = ep()(sin() cos()) + c Esercizio 7: Esercizio 9: Esercizio 0: Esercizio : (b) (a) d = ln( ) + c (+5)( ) 7 +5 d = ( 3 + ln( ) ln( + ) + arctan() ) + c ( +) d = ln( ) ln( + ) + + c + d = (ln( 3 ) ln( + )) + c ; 3 4 d = + 3 ln() arctan() + c Esercizio 3: (a) 3 + = + ln( + ) + 3 ln( ) ln( ) + c ; 3 (b) = ln( + ) + c ; (c) = ln( ) + ln( ) + c. Soluzioni di alcuni esercizi Esercizio : Soluzione d = d + 5 d 3 d = c = c. Verifica: La derivata di è f () = = Esercizio 5: d = + Soluzione + d = + ( + ) d = d d = ln( + ) + c + e +e d il numeratore è la derivata del denominatore, quindi applichia- Esercizio 6: Soluzione +e d = e d = d +e +e Osserviamo che in f mo la formula () d = ln( f() ) + c f() e d = +e e +e d. d = ln( + e ) + c +e

6 6 Integrazione per parti Esercizio 7: Soluzione ep() d. Traccia: g() = e h () = ep() da cui h() = ep(). ep() d = ep() ep() + c Esercizio 8: Soluzione sin() d. Traccia: g() = e h () = sin() da cui h() = cos(). sin() d = cos() + sin() + c Esercizio 9: Soluzione ln() d. Traccia: g() = ln() e h () = da cui h() =. ln() d = ln() 4 + c Esercizio 0: Soluzione ln() d per (0, + ). Applichiamo il metodo dell integrazione per parti scrivendo ln() = g()h () con g() = ln() e h () =, da cui h() = : ln() d = g()h() g ()h() d = = ln() d = = ln() d = ln() + c Esercizio : Soluzione (cos()) d per R. Applichiamo il metodo dell integrazione per parti scrivendo (cos()) = g()h () con

7 7 g() = cos() e h () = cos(), da cui h() = sin(): (cos()) d = sin() cos() + (sin()) d = = sin() cos() + (cos()) d = = sin() cos() + (cos()) d Sembrerebbe che siamo tornati al punto di partenza, invece il segno dell integrale è cambiato e quindi ricaviamo (cos()) d = sin() cos() + (cos()) d = sin() cos()+ + c Esercizio 3: Soluzione ep() sin() d. Traccia: g() = sin() e h () = ep() da cui h() = ep(). Applicando in modo analogo una seconda volta il metodo per parti si ottiene l opposto dell integrale di partenza, quindi si conclude come nell Es.. ep() sin() d = ep()(sin() cos()) + c Integrazione per sostituzione Esercizio 4: Soluzione sin( ) d per [0, + ) Applico il metodo dell integrazione per sostituzione ponendo = h(t) = t con t 0. Allora f(h(t)) h (t) dt = t sin(t) dt. Ora applico il metodo di integrazione per parti scrivendo t sin(t) = g(t)h (t) con g(t) = t e h (t) = sin(t), da cui h(t) = cos(t) t sin(t) dt = t cos(t) + cos(t) dt = t cos(t) + sin(t) + c Sostituisco t = h () = per [0, + )

8 8 sin( ) d = cos( ) + sin( ) + c Esercizio 5: Soluzione d. Sostituisco = tan(t) per t ( π, π) d = = = (tan(t)) + tan (t) dt = (sin(t)) + (cos(t)) (sin(t)) +(cos(t)) (cos(t)) dt = (cos(t)) (cos(t)) (cos(t)) dt = dt = t + c (cos(t)) dt = (cos(t)) dt = (cos(t)) L inversa di tan : ( π, π) R è arctan : R ( π, π) (che significa l arco la cui tangente è ). Quindi = tan(t), per t ( π, π ), implica t = arctan(), per R. d = arctan() + c Esercizio 6: Soluzione ep( ) d. Traccia: = h(t) = t con t 0. ep( ) d = ep(t)t dt = t ep(t) dt e integrazione per parti come in Es. 7. ep( ) d = ep( )( ) + c Integrazione di funzioni razionali

9 9 Esercizio 7: d (+5)( ) Soluzione A + B : per determi- +5 Scriviamo la funzione integranda come somma di funzioni razionali nare A e B sommiamo le frazioni: Le soluzioni sono Allora A B = A( ) + B( + 5) ( + 5)( ) = (A + B) + ( A + 5B) ( + 5)( ) (A+B)+( A+5B) e imponiamo l uguaglianza dei numeratori di e di che equivale, (+5)( ) {(+5)( ) A + B = 0 per il principio di identità di polinomi, a risolvere il sistema lineare. A + 5B = { A = 7 (verifica..) B = 7 Esercizio 9: d 3 + d = (+5)( ) (+5)( ) d = 7 Soluzione d = ln( + 5 ) + ln( ) + c 7 7 ln( ) + c +5 Scomponiamo in fattori il denominatore: 3 + = ( )( + ) e scriviamo la funzione integranda come somma A + B+C. + A Per determinare A, B, C sommiamo le frazioni + B+C = A( +)+(B+C)( ) + ( +)( ) e imponiamo l uguaglianza dei numeratori: = A( + ) + (B + C)( ), cioè = (A + B) + (C B) + A C A + B = 0 quindi risolviamo il sistema lineare C B = e otteniamo A C = 0 In conclusione 3 + = = { A = C = B = Dunque 3 + d = d + d = = ( d + d + ) + d d = ( 3 + ln( ) ln( + ) + arctan() ) + c

10 0 Esercizio 0: d ( +) Soluzione A + B + C + + D + E ( + ) = ( + ) fissato il denominatore comune ( + ) imponiamo l uguaglianza dei numeratori A( + ) + (B + C)(( + )) + D + E = svolgiamo i conti e otteniamo il sistema: A + B = 0 B = C = 0 C = 0 A + B + D = 0 D = C + E = 0 A = Quindi ( + ) d = E = 0 A = d + ( +) d = ln( ) ln( + ) + ( +) + d + + c + = ( + ) d ( +) Esercizio 3: Soluzione (a) : Traccia: Dividendo il numeratore per il denominatore si ottiene 3 + = ( 3 ) + +, da cui 3 + = Imponendo + (b) = A + B C si ottiene A =, B = 3, C =. 3 + d = + ln( + ) + 3 ln( ) ln( ) + c ; 3 : Traccia: Dividendo il numeratore per il denominatore si ottiene 5 + = Imponendo 3 = A+B C + + D si ottiene A = 3, B = 0, C = D = d = ln( + ) + c (c) : Traccia: Dividendo il numeratore per il denominatore si ottiene Imponendo + = A + B si ottiene A =, B = d = ln( ) + ln( ) + c =

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