Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica. Tutorato di AM120
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- Sibilla Casagrande
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1 Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di AM A.A. - - Docente: Prof. G.Mancini Tutore: Matteo Bruno ed Emanuele Padulano Soluzioni - 9 Maggio. Se f é pari abbiamo che f(t f( t, dunque F ( f(t ( f( y dy f(y dy F (, cioé F ( é dispari. NB. In ( abbiamo effettuato la sostituzione t y. Inoltre l ultimo integrale é pari a F ( perché la variabile di integrazione é muta. Se f é dispari abbiamo che f(t f( t, dunque F ( cioé F ( é pari. f(t ( f( y dy f(y dy F (,. Ricordiamo come applicare la regola di integrazione per sostituzione : ponendo f( g(t possiamo cosí sostituire all interno dell integrale ogni con la t. Per fare ció dobbiamo, peró, modificare anche il in funzione del e gli estremi di integrazione : da f( g(t otteniamo (derivando il termine sulla sinistra in ed il termine sulla destra in t f ( g (t. Gli estremi di integrazione variano, invece, nella seguente maniera : se la varia tra α e β, sostituendo tali valori in f( g(t otterremo che la t varierá tra g (f(α e g (f(β. Se l integrale é indefinito, una volta completata l operazione di integrazione bisognerá ritornare nella variabile di integrazione di partenza, cioé riporre t g (f(. Il primo passaggio di ogni integrale di questo esercizio sará l applicazione della sostituzione indicata: ( (a a t + c arcsin + c ; a (b (c (d a a + a + a a a ( sinh(t + t ( a + a a a + ( ( + t + c settcosh + c c + ln a a a ( ( + t + c settsinh + c c + ln + a a a cosh (t a cosh(t + + c a (sinh(t cosh(t + t + c ( + a + ln + + c a + a ln ( + a + + c ; a ; ;
2 (e (f a a cos (t a (t + sin(t cos(t + c ( a arcsin + a + c ; a a a sinh (t a cosh(t ( a sinh(t t + c a (sinh(t cosh(t t + c ( a a + ln a + c. a. Con la sostituzione t tan ( abbiamo che cos( t +t sin( t +t +t Usiamo queste nozioni per svolgere i seguenti esercizi : + sin( + t (a + cos( +t t + t + t + t + t + +t + t ( t + t + ln(t + + c c + tan (b (c t sin( + cos ( +t + t t t +. + ( t (+t Effettuiamo la sostituzione t s per ottenere che t t + cos( sin( ( ( ln cos ( ( ds s + arctan(s+c arctan(t +c arctan tan + c ; t (t (t +. t +t t +t + t t t t + + t t (t (t + A t + Bt + C t + t (A + B + t( B + C + A C (t (t + ln(t A + B C B A C t (t (t + t t + ( t ln + arctan(t+c ln t + A B C t t ; t + t + ln(t ln(t ++ arctan(t+c ( ( ( sin cos + +c ;
3 (d. (a sin( + cos( +t t + t +t +t (t (t +. (t (t + A t + A + B A B t 8t B t(a + B + A B t + (t (t + (t (t (ln(t ln(t + +c 5 ln ( t + t A B t t + +c ( ( tan 5 ln + tan ( +c. e e e + : Effettuiamo la sostituzione e t ottenendo che e e e + t t + (t (t. (t (t A t + B t(a + B A B t (t (t (b (t (t A + B A B t t ln ( t t A B + c ln : Effettuiamo la sostituzione t tan( ( + tan( ottenendo che ( + tan( t + ( + t (t + (t +. ( e e + c ; (t + (t + At + B t + + Ct + D (t + t (A + C + t (A + B + D + t(a + B + C + B + D (t + (t + A + C A A + B + D B A + B + C C quindi B + D D t + t + t + t t + (t + (t + t + t + t + + (t + t t +
4 (c ( t ln + t + t + t + c ( (tan( + ln tan ( + tan( + c ln(sin( + cos( cos( sin( + cos( + c ; ( + : Effettuiamo la sostituzione t6 ottenendo che ( + t t + t + t arctan(t + c 6 ( 6 arctan + c ; (d (e (f + : Effettuiamo la sostituzione t ottenendo che 5 + t + t + t 5 t t + + 5t + t. 5t + (t (t + A t + B t(a + B + A B t + (t (t + A + B 5 A 7 A B B quindi t + + 5t + t 7 t +t+ t + t + t +t+7 ln (t + ln (t + +c + ( ( + 7 ln + ln + + c ; + : Effettuiamo la sostituzione sinh (t cosí da ottenere + sinh (t cosh(t sinh(t t + c sinh(t cosh(t t + c cosh ( settsinh( settsinh( + c + ln( c + ln( c ; ( ( Effettuiamo la sostituzione + sinh(t ottenendo che ( cosh (t 9 cosh(t + 9 sinh(t + 9 t + c 9 (sinh(t cosh(t + t + c 9 ( ( ( ln c ( ( + + ln c.
5 5 5. (a π masin(, cos(} : Come possiamo notare nella Figura, cos( > sin( fino a che i grafici non si intersecano: come sappiamo bene, tale intersezione é il punto π ove entrambe le funzioni assumono il valore. Successivamente sin( > cos( fino al punto di intersezione successivo, che altro non é se non 5 π, ove entrambe le funzioni assumono il valore. Dopo tale punto torna ad essere cos( > sin( fino alla fine (ed oltre dell intervallo considerato. Dunque π masin(, cos(} [sin(] π [cos(] 5 π π π 5 cos( + π π sin( + π 5 π cos( + [sin(] π 5 π ; Figura : Grafico delle funzioni sin( (Blu e cos( (Rosso. (b (c 6 : Effettuiamo una sostituzione che ci permetta di non avere + piú radici di alcun tipo, cioé t mcm(,,6 t. Cosí facendo otteniamo che π 6 + t ( t + t t t 9 t ; sin( + cos( : La sostituzione da effettuare in questo caso é t tan (, cosí da ottenere che π sin( + cos( t + t t + + t t + t t (t (t + (t (t + A t + B t + t(a + B + A( B( + (t (t +
6 6 (d A + B A( B( + (t (t + t + [ln t ] A B quindi t + t ( ln ln( + ; : Effettuiamo la sostituzione (t 6 in maniera da avere che 6 + t. Con tale sostituzione abbiamo che 6 + t (t 5 t 5t + t 8 t 6 + 5t t (e [ t 5 t + 9 t9 ] 7 t7 + t 5 t ( 6 5( + (6 9 ( ( ( ( ( ( (8 7 ( ; Effettuiamo la sostituzione + sinh(t ottenendo che + ( + (. + + ( ln(+ sinh(t + [ cosh(t + t] ln(+ cosh(ln(+ + ln(+ ( + ln(+ ; (f Per calcolare π sin ( + dobbiamo inanzitutto osservare (vedere Figura che π π sin ( + sin ( +. Per vedere questo basta pensare che la funzione integranda é sempre positiva, che assume il suo minimo,, in, π, π e che assume il suo massimo,, in π e π (se non si crede a questo basta studiare la funzione.
7 7 Figura : Grafico della funzione +sin (. Applichiamo ora all integrale la sostituzione t tan ( π per ottenere che π Osserviamo che sin ( + e cerchiamo A, B, C e D tali che Abbiamo che t + t + 6t + t + t + 8 (t + t + 6t + (t + + (t + At + B t Ct + D t + t + t + 6t +. At + B t Ct + D t + t + t + 6t + (A + Ct + (B + Dt + [( A + ( + C]t + ( B + ( + D t + 6t + A + C A B + D ( A + ( + B + C ( B + ( + C D D t + + t + 6t + t t +
8 8 [ t t + 6t + 8 t t + ( + + ( + ( t + + ( t + ( ( + ( t + + ( t + ( + t + arctan + + ( t arctan ( + + arctan + + ( arctan Ma, tramite la formula del doppio radicale, abbiamo che + + pertanto π sin ( + arctan + + arctan essendo ( arctan + + arctan + π ( arctan( + arctan π >. ]
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