Matematica - C.d.L. in Scienze Biologiche A.A. 2013/2014 Università dell Aquila Prova Scritta di Matematica del 3 febbraio Canale B Soluzioni

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1 Matematica - C.d.L. in Scienze Biologiche A.A. 3/4 Università dell Aquila Prova Scritta di Matematica del 3 febbraio 4 - Canale B Soluzioni Esercizio. Sia r la retta di equazione +y =. Scrivere un equazione cartesiana per la retta s = T (r) ove T è la trasformazione lineare del piano associata alla matrice [ ] A =. 4 (Suggerimento: passare attraverso l equazione parametrica di r.) Soluzione. Otteniamo un equazione parametrica (o vettoriale) di r ad esempio esplicitando la y rispetto alla nell equazione cartesiana. Così y = + e ponendo = t si ha { = t () y = t +. Otteniamo poi un equazione parametrica di s = T (r) semplicemente applicando T al vettore () dipendente dal paramentro t R, cioè moltiplicando a sinistra per la matrice A associata a T : [ ] [ ] [ ] t 3t + =. 4 t + 8t + 4 Quindi un equazione parametrica di s è { = 3t + y = 8t + 4. L equazione cartesiana di s si ottiene infine ricavando t da una delle equazioni precedenti e sostituendo nell altra: s : y =

2 Esercizio. Per quale α R esiste una funzione quadratica f tale che f( ) = f( ) = e f() = α? () Determinare poi la funzione quadratica che soddisfa la condizione () con α =. Soluzione. Ragionando dal punto di vista geometrico, siccome traslando e riscalando una parabola si ottiene ancora una parabola (cioè il grafico di una funzione quadratica), è immediato concludere che l unico caso vietato è quello in cui i tre punti sono allineati, cioè α =. Procediamo tuttavia algebricamente: le funzioni quadratiche sono del tipo f() = a + b + c con a, b, c R e a. imponendo le condizioni () otteniamo a b + c = a + b = b + c =, da cui a = α. c = α c = α Pertanto solo nel caso α = non si ottiene una funzione quadratica (si avrebbe a = ). Ponendo α = si ottiene invece la funzione quadratica f() = +. Esercizio 3. Dare un esempio esplicito di funzione derivabile f : [, + ) R che sia monotona crescente e tale che Im (f) = [, ). (Attenzione: l insieme naturale di definizione di f non deve necessariamente coincidere con [, + )). Soluzione 3. Ovviamente ci sono molte possibili soluzioni a questo esercizio. Un idea è partire da una funzione nota derivabile e monotona con un asintoto orizzontale a destra e poi effettuare eventuali operazioni elementari (simmetrie, traslazioni, omotetie, ecc.) in modo che si abbia f() = e f() =. Possiamo partire ad esempio da g() = e. Innanzitutto per ottenere una funzione decrescente cambiamo segno, dopodiché per avere f() = effettuiamo una traslazione verticale di unità ottenendo f () = e. Poiché automaticamente abbiamo ottenuto f () = abbiamo finito e la nostra f ha le caratteristiche richieste dall esercizio. Ancora più facile sarebbe stato partire da g() = arctg() che, essendo ovunque crescente e nulla in =, necessita solo di un riscalamento (omotetia) per ottenere la condizione all infinito. Poiché g() = π/, il fattore del riscalamento necessario è /π, pertanto anche f () = (/π)arctg() ha le caratteristiche richieste dall esercizio.

3 Esercizio 4. Studiare la funzione f() = e determinandone in particolare dominio, simmetrie, comportamento agli estremi, positività e monotonia. Trovare il più ampio intervallo contenente in cui f è iniettiva. Calcolare infine l integrale improprio + f()d. Soluzione 4. Dominio: la funzione è chiaramente definita in tutto R. Simmetrie: la funzione è dispari, infatti per ogni R si ha f( ) = e ( ) = e = f(), pertanto sarebbe sufficiente studiarla per per conoscere il suo comportamento in tutto R. Segno: poiché e > per ogni R si ha f() > se e solo se >. E ovviamente f() = se e solo se =. Limiti: usando il teorema di de l Hôpital si calcola f() = e = e =, e per simmetria anche f() =. Concludiamo quindi che la retta orizzontale y = è un asintoto per f sia a destra che a sinistra. Derivata: f () = e e = ( )e. f () > > < <, quindi f ha un punto di massimo in = e un punto di minimo in = =. Inoltre si ha f( ) = f( ) = e. Confrontando questo risultato con il comportamento della funzione all infinito abbiamo che e sono massimi e minimi assoluti per f e Im (f) = [ e, e ]. Il seguente grafico qualitativo riassume l andamento della funzione: L intervallo più ampio contenente in cui f è iniettiva è [, ]. 3

4 Per calcolare l integrale richiesto troviamo prima una primitiva di f: F () = e d = e d = e + c. (Lo stesso risultato si poteva raggiungere anche tramite la sostituzione t = ). Ora è immediato + f()d = b + b e d = (F (b) F ()) = ( b + b + e b + ) =. Esercizio 5. Si considerino le seguenti funzioni nell intervallo I = [, + ) : f() = e g() = ln h() = sin. Per ognuna di esse stabilire se si tratta di una funzione itata superiormente e/o inferiormente nell intervallo I. Soluzione 5. Poiché le tre funzioni proposte sono continue in tutto I = [, + ), esse sono itate sia superiormente che inferiormente in ogni intervallo chiuso e itato del tipo [, k] con k > (Teorema di Weierstrass). Di conseguenza è sufficiente studiarne il comportamento per +. Ora è immediato calcolare f() = + (usando il teorema di de l Hôpital), g() = (ancora de l Hôpital), h() = (usando il teorema del confronto), quindi g e h sono itate sia inferiormente che superiormente, mentre f è itata solo inferiormente. Esercizio 6. Calcolare l area della regione itata di piano individuata dai grafici delle funzioni f() = e g() = 3 +. Soluzione 6. Innanzitutto è utile avere un idea dell andamento delle due funzioni (facile, poiché f è lineare e g è quadratica) e necessario determinare le ascisse dei punti di intersezione dei loro grafici. Per fare ciò basta porre f() = g() e risolvere l equazione di secondo grado che ne risulta. Così facendo troviamo = e = 3. Siccome nell intervallo [, 3] si ha f() g() l area della regione di piano cercata è data dall integrale 3 3 ] 3 (f() g())d = ( + 4 3)d = [ =

5 Esercizio 7. Determinare, al variare di α R, il numero di soluzioni del sistema lineare A = b, ove α A = α, b =. α Risolvere infine il sistema A = b nel caso α = 3. Soluzione 7. Possiamo risolvere la prima parte dell esercizio in almeno due modi. Il primo consiste nel procedere direttamente alla sostituzione nel sistema lineare αy = y + (α )z = y + (α )z =, ove abbiamo chiamato nell ordine, y e z le incognite, come d abitudine. Esplicitando e y nelle prime due equazioni e sostituendo nella terza ricaviamo = + αy y = (α )z α(α )z + (α )z + (α )z =. (3) Le prime due sono sempre determinate se lo è z, mentre la terza diventa ( α)(α )z =, (4) che è determinata se e solo se α,. Di conseguenza il sistema è determinato (cioè ha una e una sola soluzione) esattamente quando α,. Se α =, la (4) diventa indeterminata (non impossibile!) e sostituendo ad esempio nella (3) si ottiene = e y = pertanto l insieme S delle soluzioni è infinito e precisamente si ha S = {(,, z) : z R}. Se α =, la (4) è ancora indeterminata e sostituendo nella (3) si ottiene y = z e = z pertanto l insieme S delle soluzioni è ancora infinito e precisamente si ha S = {( z, z, z) : z R}. Infine, per quanto riguarda il caso α = 3, il sistema è determinato e dalla (3) ricaviamo subito che l unica soluzione è data dalla terna (,, ). Un modo alternativo per studiare il numero di soluzioni del sistema lineare consiste nell osservare che la matrice associata è quadrata (in altre parole il numero delle equazioni uguaglia il numero delle incognite) e di conseguenza il sistema è determinato se e solo se A è invertibile, cioè se det A. Facendo i conti usando la formula di Laplace si ottiene det A = det [ ] α α + α det [ ] α α = (α ) α(α ) = ( α)(α ). Così riotteniamo che il sistema è determinato se e solo se α,. Tuttavia per quanto riguarda i casi α = e α = è necessario studiare esplicitamente il sistema (per esempio usando ancora la sostituzione) per capire se questo è impossibile o indeterminato. 5