Matematica - Prova d esame (09/02/2004)

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1 Matematica - Prova d esame (//4) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. /4. (a) Disegnare sul piano di Gauss i numeri complessi α = +i, β = i, γ = α+i, δ = α β. Calcolare le forme trigonometriche di α e δ, la potenza (δ) e le radici quadrate di α. (b ) Risolvere le equazioni z z + 7 = e z + iz = z nell incognita z C.. (a) Risolvere il seguente sistema lineare al variare di λ R, usando i metodi appresi a lezione (se non si sa trattare il caso generale, si consideri almeno il caso λ = ): + y + z y + z = 5 + y + λz = 7 = (b) Dati i punti P = (,, ), Q = (,, ) e R = (,, ) determinare il volume del parallelepipedo individuato dai loro vettori posizione, e le forme parametrica e cartesiana del piano Π che li contiene. +. (a) Calcolare lim + e e lim. sin(π) log( + ) +. (b α + 5 ) Calcolare il limite lim al variare di α R. + α 4. Studiare la funzione f() = tg nel dominio ] π, π [, e tracciarne il grafico. 5. (a) Calcolare gli integrali ( )arctg ( ) d e π ( sin ) d. (b) Disegnare S = {(, y) R : 7 y } sul piano cartesiano, e calcolarne l area. (c ) Mostrare che l integrale generalizzato + ( )e d converge, e calcolarlo. 6. Sia f(, y) = + y y. Calcolare e disegnare il dominio di f. Calcolare le derivate parziali di f. Scrivere df (, ) (, y) e calcolare l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f nel punto P = (, ). 7. (a) Si consideri l equazione differenziale ( + )y y =. Ci sono soluzioni costanti? Dire in quali zone del piano le soluzioni saranno crescenti. Determinare infine la soluzione con condizione iniziale y() =. (b) Risolvere l equazione differenziale y + y = ( )e con dato iniziale y() =.

2 Matematica - Primo appello scritto del //4 - Soluzioni. (a) Dal calcolo si ricava γ = α+i = +i = i 5 e δ = α β = ( + i) i = i + i = ( i) = ( i) = 6(cos( π 6 ) + i sin( π 6 )). Pertanto (δ) = (6(cos(+ π 6 ) + i sin(+ π 6 ))) = 6(cos ( π 6 ) + i sin ( π 6 )) = 6(cos π + i sin π = 6i. La forma trigonometrica di α è α = + i = ( + i) = (cos π 4 + i sin π 4 ), da cui le radici quadrate sono ± 4 (cos π 8 + i sin π 8 ). Si può fare il conto anche direttamente: da ( + iy) = α si ricava ( y ) + (y)i = + i, da cui y = e y =, con soluzioni = ± e y = ± +. (b) (i) Da z z + 7 = si ha z = ± 7 = ± 4i. (ii) Posto z = + iy con, y R, da z +iz = z si ricava iy +i y = iy, ovvero +iy i y = iy, ovvero ( y) + i(y ) = ( ) + i( y), da cui y = e y = y, cioè = 4 e y =. Dunque l unica soluzione è z = 4 i.. (a) Il sistema è quadrato (tre equazioni, tre incognite): vediamo se è possibile applicare il teorema di Cramer. Il determinante della matrice dei coefficienti è A = 8 λ: λ pertanto, il teorema si può applicare se λ 8, dando = 8 λ 5 A = 4λ 8 λ = 4, y = 8 λ 5 7 λ A = 4 λ 8 λ = e z = 8 λ λ =. Se invece λ = 8, portando la matrice completa in forma di Gauss-Jordan si ricava A = 8 5 j + y + z = ovvero il sistema, che dà y = 5z+ e = y+z+ = ( 5z+)+z+ = y + 5z = z + 4, da cui le soluzioni {( α + 4, 5α +, α) : α R} = {(4,, ) + α(, 5, ) : α R}. (b) Il volume del parallelepipedo è A =. Due vettori paralleli al piano Π sono (,, ) (,, ) = (,, ) e (,, ) (,, ) = (,, ), da cui la forma parametrica Π = {(,, ) + α(,, ) + β(,, ) : α, β R} = {( + α + β, α β, α β) : α, β R}. Quanto all equazione cartesiana, si ottiene () y () z ( ) y z + ( ) () () A =, ovvero A =, ovvero + 4y ( ) () () z = (naturalmente si arriva allo stesso risultato anche eliminando α e β dalla forma parametrica).. (a) Ponendo t = si ha lim + + e t+ = lim t + e = +. L altro limite è nella forma t ; applicando de l Hôpital, si ottiene lim π cos(π) = π (b) Esaminiamo il numeratore: se α > esso è asintotico a α, se α = esso è uguale a 5 e se α < esso è asintotico a. Quanto al denominatore, se α > (ovvero se α < ) esso è asintotico a α, se α = (ovvero se α = ) esso è uguale a =, mentre se α < (ovvero se α > ) esso è asintotico a. Dunque, per α < il limite è uguale a lim + = α lim + α, che vale + per α <, vale per α = e vale + per < α < ; per α = il limite è uguale a lim + = ; per < α < il limite è uguale A,

3 a lim + = ; per α = il limite è uguale a lim + 5 = 5 ; infine, per α > il limite è uguale a lim α + = L andamento della funzione è mostrato nella figura qui a fianco. Essa è definita in tutto ] π, π [, e vale lim π + f() = lim π f() = +. Si ha f() se e solo se tg, ed un semplice confronto grafico mostra che esiste un unico punto a in ], π [ (ma più vicino a π che a ) tale che f() = per = e = a, f() < per < < a e f() > per π < < oppure a < < π. La derivata è f () = cos = cos se >, ed è f () = cos cos = + cos se < : dunque, se < la funzione è strettamente cos decrescente, mentre per > essa ha punti stazionari per cos =, ovvero per cos =, che dà = π 4, ed è strettamente crescente se cos >, ovvero per cos <, ovvero per π 4 < < π. Dunque = π 4 è un punto di minimo relativo (che vale f( π 4 ) = π, 5). Nel punto = la funzione non è derivabile; tuttavia, poiché essa è decrescente subito prima e subito dopo, tale punto non sarà d estremo locale. Si ha inoltre f () = = e f +() = =. La derivata seconda è f () = sin cos > se >, ed è f () = sin > se < : dunque la funzione è cos strettamente convessa sia per < che per <, e poiché f () = < f +() = lo è anche in =. 5. (a) Ponendo t = si ha ( )arctg ( ) d = (t +4t+)arctg t dt. Integrando per parti, si ha (t + 4t + )arctg t dt = (t + t + t)arctg t t +t +t t + dt; essendo t +t +t t + = t + t +, si ricava t +t +t dt = t t + + t arctg t + k da cui [(t + t + t + )arctg t t t] = (( )arctg (t + 4t + )arctg t dt = π 5 ) () =. Si ha poi (per parti) ( sin ) d = sin d = ( cos ) ( cos ) d = cos + sin cos sin +k = +k, da cui π sin cos ( sin ) d = [ ] π = ( sin π π cos π π ) () = π, 6. (b) La funzione f() = ha per grafico la retta y = per e la retta y = + 6 per >, pertanto S è la regione di piano compresa tra queste due semirette (sopra) e la parabola y = 7 (sotto). Il grafico di f incontra la parabola in = e = 4: pertanto l area di S risulta d + 4 (6 ) d + 4 ( 7 ) d = [ ] + [6 ]4 + [ 7 4 ] 4 = + (4 8) (8 ) + ( 64 8) = 4, 7. (c) La funzione integranda f() = ( )e ha limite finito ( ) per +, è continua su ], + [ ed è o + ( ) (infatti decresce rapidissimamente verso + quando + ): poiché è integrabile in senso generalizzato a +, tale sarà anche f per il criterio del confronto. Per il calcolo, per parti si ha ( )e d = ( )e + e d = ( )e e +k = ( + )e + k, e dunque + ( )e d = [ ( + )e ] + = ( ) =. 6. Il dominio di f è dato da {(, y) R : y }: sul piano cartesiano, si tratta del luogo dei punti sotto la parabola y = (compresi quelli della parabola). Le derivate parziali sono = e y = y + ; vale allora df (, )(, y) = y (, ) + (, ) y = 7 4y, e l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f nel punto P = (, ) è data da z = f(, ) + (, ) ( ) + (, ) (y ( )) = + 7 (y + ) = 7 y 4, ovvero 7y z 8 =. 7. (a) Sia y() k una soluzione costante dell equazione differenziale (+)y y = : essendo y =, si ha allora k = per ogni R, da cui k =. Dunque l unica soluzione costante

4 è la funzione y(). Avendosi (per ogni ) y = y +, le altre soluzioni saranno strettamente crescenti per < oppure >, e strettamente decrescenti per < < : ne deduciamo che = è un punto di minimo relativo. Separando le variabili si ha y = y + ; integrando tenendo conto della condizione iniziale, si ha y() dy = t y t+ dt, da cui (essendo t t+ = t+ ) si ottiene [ y ]y() = [t log t+ ], ovvero y + = log +, da cui y() = +log +. L andamento della soluzione è mostrato nella figura qui a fianco. (b) Si tratta di un equazione lineare del primo ordine. Scritta in forma y +p() y = q() e trovata una primitiva P () di p(), sappiamo che l integrale generale è y() = e P () ( e P () q() d +k) (con k R). Nel caso presente abbiamo p() = (da cui P () = ) e e P () q() d = e ( )e d = ( )e d = e e d = ( )e, e l integrale generale diventa y() = e (( )e + k) = ( )e + ke (con k R). Imponendo la condizione iniziale y() = si ha + k =, da cui k = : la soluzione cercata è dunque y() = ( )e e. 4

5 Matematica - Prova d esame (5//4) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. /4. (a) Disegnare sul piano di Gauss i numeri complessi z = + i e t = z + i. Scrivere la forma trigonometrica di t e calcolare z t e t 4. Calcolare il numero complesso w tale che w + w = 5 i. (b ) Calcolare le radici cubiche di t.. (a) Risolvere il seguente sistema lineare al variare di λ R, usando i metodi appresi a lezione (se non si sa trattare il caso generale, si consideri almeno il caso λ = ): { + y z = + λy + z = 4. (b) Sia r la retta del piano cartesiano di equazione y =. Calcolare la forma parametrica di r, e la distanza del punto P (, ) da r.. Un agricoltore deve scavare nel terreno una vasca, a forma di piramide retta con base quadrata e la punta in giù, che possa contenere esattamente un volume V di acqua. Per impermeabilizzare i lati della vasca, egli userà dei teli di linoleum, che pagherà al negoziante in base alla superficie acquistata. Quale sarebbe la lunghezza del lato di base della vasca che gli permetterebbe di risparmiare al massimo sull acquisto di linoleum? 4. Studiare la funzione f() = ( + ) log, tracciandone il grafico (si può tralasciare lo studio della derivata seconda). 5. (a) Calcolare gli integrali π (e sin ) d e ( + ) log( + ) d. (b) Disegnare S = {(, y) :, y + } {(, y) : >, y } sul piano cartesiano, e calcolarne l area. + (c arctg ) Mostrare che l integrale generalizzato d converge, e calcolarlo. (Durante la risoluzione, servirà sapere che vale ( +) d = log + + k.) 6. Sia f(, y) = y + tg y. Calcolare e disegnare il dominio di f, e le derivate parziali e. Ci sono punti del tipo (, α) con α < in cui (, α) =? Se sì, calcolare il differenziale di f e l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f in tali punti. 7. (a) Si consideri l equazione differenziale e y y ( )(+e y ) =. Dire in quali zone del piano le soluzioni saranno crescenti. Si può dimostrare che esse hanno unico punto di minimo assoluto? Determinare infine la soluzione con dato iniziale y() =. (b) Risolvere l equazione differenziale y + 4y + 4y = 5 cos con condizione iniziale y() = e y () = 5. 5

6 Matematica - Prova d esame del 5//4 - Soluzioni. Si ha t = z +i = +i +i = +i: essendo t = si ricava t = ( + (cos π 4 + i sin π 4 ). Si ha poi z t = (z ) t = ( + i) t t t 4 = ( ) 4 (cos 4 π 4 + i sin 4 π 4 i) = = ( + i) i 8 = +i e ) = 4( ) = 4. Se w = + iy con = Re w e y = Im w, da w + w = 5 i si ricava + iy + iy = 5 i, ovvero 5 iy = 5 i, da cui = e y = : si ha pertanto w = + i. Infine, essendo t = ( ) (cos π 4 + i sin π 4 ) = 8(cos π + i sin π ) = 8( i) = 8i, si ricavano le radici cubiche w = 8(cos π + i sin π ) = 8i, w = 8(cos( π + π ) + i sin( π + π )) = 8(cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) = 8 ( + i) e w = 8(cos( π + 4π ) + i sin( π + 4π )) = 8(cos π 6. (a) Il sistema si scrive nella forma A = b con A = + i sin π 6 ) = 8 ( i). λ «, y z A e b = 4 «la matrice completa è A b = che, ridotta col metodo di Gauss-Jordan, diventa λ 4 «. Se λ 6 si ha rg A λ + 6 b = rg A =, ed il sistema sarà risolubile con un j + y z = solo parametro libero: dal sistema semplificato si ricava infatti y = e (λ + 6)y = = z, da cui le soluzioni {( α,, α) : α R}. Se invece α = 6 si ha rg A b = rg A =, ed il sistema sarà risolubile con = parametri liberi: infatti, l unica equazione che resta è + y z =, che dà = + y z, ovvero le soluzioni {( + α β, α, β) : α, β R}. (b) Due punti di r sono ad esempio A a = (, ) e B b = (, ), pertanto un vettore parallelo ad r è v = b a = (, ). Dunque la forma parametrica cercata è r = {(, y) = (, ) + α(, ) : α R} = {(( + α, + α) : α R}. La distanza di P (, ) da r è = 4 () +( ). () (). Si tratta di vedere quando l area laterale della piramide (ovvero, la superficie da rivestire di linoleum) è minima. Sia la lunghezza del lato di base della vasca: l altezza h della piramide (profondità centrale della vasca) soddisfa V = h V, da cui h =. L apotema della piramide (altezza delle quattro facce triangolari laterali) è dato da a = h + ( ) = 6 +6V : dunque l area laterale della piramide è data da S() = 4 a = 6 +6V, definita per >. La derivata V 6 +6V è S () = = (6 8V ), e si ha 6 +6V S () = per = 6 8V e S () > per > 6 8V. Dunque il massimo risparmio si ottiene quando il lato della vasca è lungo 6 8V. 4. L andamento della funzione f() = ( + ) log è mostrato nella figura qui a fianco. La funzione non è periodica, non ha parità, ed ha come dominio R \ {}; vale poi, lim ± f() = + e (usando il noto lim t ± t log t = ) lim ± f() =. Si ha f() = se e solo se (nel dominio) + = oppure log =, ovvero se e solo se (nel dominio) =,,. Vediamo ora il segno. Si ha + > se e solo se < oppure >, mentre log > se e solo se >, cioè se e solo se < oppure > : da ciò deduciamo che sarà f() > se e solo se <, < < oppure >. La funzione è di classe C nel suo dominio, ed è priva di asintoti lineari. La derivata risulta f () = ( + ) log + + = ( + ) log + +. Si ha allora f () = se e solo se ( + ) log + + = ; se = ciò è falso, e se, dividendo per +, ciò vale se e solo se log = + (+). La funzione al primo membro è «: 6

7 la nota log (il cui grafico si ottiene riflettendo quello di log rispetto all asse y ), mentre la funzione al secondo membro è la funzione affine con asintoto orizzontale y =, asintoto verticale = e che vale per = ; un semplice confronto grafico tra le due funzioni mostra chiaramente l esistenza di tre punti a, b, c con < a < < b < < c < in cui i loro grafici si intersecano. Per il segno di f (), notiamo che f ( ) = > ; se invece, nel dividere per + bisogna fare attenzione al segno di quest ultimo, e dunque se si ha f () = ( + ) log + + > se e solo se log + (+). Usando ancora il suddetto confronto grafico, ricaviamo dunque che f () > se e solo se a < < b oppure > c: ne deduciamo che = a e = c sono punti di minimo relativo, mentre = b è un punto di massimo relativo. È altresì interessante notare che lim ± f () = : la funzione si verticalizza mentre tende a zero per. Se si vuole (ma non era richiesto) si può derivare ulteriormente, ottenendo f () = log = log +, che si può studiare coi metodi già usati per f. 5. (a) Si ha (e sin ) d = e sin d. Usando due volte l integrazione per parti, si ha poi e sin d = e ( cos ) (e )( cos ) d = e cos + e cos d = e cos + (e sin (e )(sin ) d) = ( sin cos )e 4 e sin d, da cui (portando gli integrali al primo membro e dividendo per 5) si trova e sin cos sin d = 5 e +k. Si ricava dunque π (e sin cos sin ) d = [ 5 e ] π = ( 5 eπ π ) ( 5 ) = 5 (eπ + ) π 7, 4. Posto t = +, si ha poi ( + ) log( + ) d = (t ) log t dt = [(t t) log t] t t t dt = log (t )dt = log [ t t] = log.. (b) Il pezzo di S a sinistra dell asse y è formato dai punti compresi tra la retta y = + (sopra) e la retta y = (sotto); quello a destra dell asse y è invece formato dai punti compresi tra la retta y = + (sopra) e la parabola y = (sotto). Ne ricaviamo che l area di S risulta (+) d+ ( ) d+ ( ) d+ ( ) d = [ +] +[ ] +[ ] +[ ] = ( ) + ( ) + ( ( )) + ( ) = + + = 6,. (c) A +, f() = arctg ha lo stesso ordine di : poiché quest ultima è integrabile, basta appli- care il criterio di asintoticità. Quanto al calcolo, per parti si ha (usando anche il suggerimento) arctg d = ( )arctg ( ) arctg d = + + arctg d = ( +) + log + k, + dunque + arctg d = [ arctg + log + ]+ = ( π 4 + log ) = log + π 4,. 6. Il dominio di f(, y) = y+ tg y è {(, y) R : y π +kπ, k Z}: sul piano cartesiano, si tratta dei punti che non stanno sulle rette del tipo y = π + kπ con k Z, parallele all asse. Le derivate parziali sono = +tg y e = + ; da cos y (, α) = + = si ricava cos α cos α =, ovvero cos α = ±: questo dà α = kπ con k Z, e dovendo essere α < si ottiene α =, da cui il solo punto A(, ). Si ha poi df (,) (, y) = (, ) + (, ) y = 4+y = 4, mentre l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f in A è z = f(, ) + (, ) ( ) + (, ) (y ) = 4 + 4( ) + y = 4 4, ovvero 4 z 4 =. 7. (a) Da y = ( ) +ey e, le soluzioni dell equazione saranno strettamente crescenti per y >, ovvero >, e strettamente decrescenti per < ; per = la loro derivata si annulla e dunque, per quanto appena detto, esse avranno un punto di minimo assoluto. e y Separando le variabili si ha +e y = ; integrando tenendo conto della y condizione iniziale, si ha y() e y +e dy = y (t ) dt, da cui si ottiene [log( + e y )] y() = [t t], ovvero log( + ey ) log =, da cui log( +ey ) =, che dà +ey = e, da cui infine si ricava y() = log(e ). L andamento 7

8 della soluzione è mostrato nella figura qui a fianco. (b) Si tratta di un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. L equazione caratteristica t + 4t + 4 = ha la soluzione reale doppia t =, pertanto l insieme delle soluzioni dell equazione omogenea associata è y() = Ae + Be = (A + B)e, con A, B R. Per una soluzione particolare dell equazione completa notiamo che + i = i non è soluzione dell equazione caratteristica: pertanto una soluzione particolare è della forma ỹ() = α cos + β sin, con α, β R da determinare. Essendo ỹ () = β cos α sin e ỹ () = α cos β sin, dalla condizione ỹ + 4ỹ + 4ỹ = 5 cos si ricava ( α + 4β + 4α) cos + ( β 4α + 4β) sin = 5 cos, ovvero (α + 4β) cos + ( 4α + β) sin = 5 cos, che dà α+4β = 5 e 4α+β =, con unica soluzione (α, β) = (, 4). Pertanto ỹ() = cos +4 sin, e l insieme delle soluzioni dell equazione completa è y() = (A + B)e + cos + 4 sin, con A, B R. Dalla condizione y() = si ricava A + =, da cui A = ; derivando y() = ( + B)e + cos + 4 sin si ottiene allora y () = ( B)e + 4 cos sin, e dalla condizione y () = 5 si ricava B + 4 = 5, da cui B =. La soluzione cercata è dunque y() = ( )e + cos + 4 sin. 8