Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Secondo compitino e primo appello, 15 gennaio 2018 Testi 1

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1 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Testi Prima parte, gruppo.. Calcolare la velocità (intesa come vettore) e il modulo della velocità di un punto che si muove nel piano con la seguente legge oraria: (t) = + e t cos t; (t) = + e t sin t.. Calcolare i seguenti limiti: a) lim + log(log ) log ; b) lim cos( 3 ) sin ; c) lim 4 sin( ). 3. Dire per quali a R la funzione f() := sin() + a risulta essere crescente su tutto R. 4. Calcolare π cos d. 5. Dire per quali a > la serie n= n + n a a n + converge ad un numero finito. 6. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = et che soddisfa () =. 7. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze 8. Trovare una formula per la funzione f() il cui grafico è disegnato qui accanto. n= n n. n! 4 = f () Prima parte, gruppo.. Calcolare la velocità (intesa come vettore) e il modulo della velocità di un punto che si muove nel piano con la seguente legge oraria: (t) = 3 + t cos t; (t) = + t sin t.. Calcolare i seguenti limiti: a) lim 3 + log( ) ; b) lim + cos( ); c) lim sin(. ) 3. Dire per quali a R la funzione f() := sin(3) a risulta essere crescente su tutto R. d 4. Calcolare Dire per quali a > la serie n= n + n a n + converge ad un numero finito. 6. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = et che soddisfa () =. 7. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze 8. Trovare una formula per la funzione f() il cui grafico è disegnato qui accanto. n= 3 n n + n. = f () Prima parte, gruppo Calcolare la velocità (intesa come vettore) e il modulo della velocità di un punto che si muove

2 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Testi nel piano con la seguente legge oraria: (t) = e t cos t; (t) = 3 + e t sin t.. Calcolare i seguenti limiti: a) lim + 4 ; b) lim π sin 3 ; c) lim 3[ ep(/ 3 ) ] Dire per quali a R la funzione f() := sin() + a risulta essere decrescente su tutto R. 4. Calcolare d Dire per quali a > la serie n= n a + n a converge ad un numero finito. + n4a 6. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = et che soddisfa () = Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze 8. Trovare una formula per la funzione f() il cui grafico è disegnato qui accanto. n= n n n n. π = f () 4 Prima parte, gruppo 4.. Calcolare la velocità (intesa come vettore) e il modulo della velocità di un punto che si muove nel piano con la seguente legge oraria: (t) = + e t sin t; (t) = + e t cos t.. Calcolare i seguenti limiti: a) lim + log 3 log(log ) ; b) lim 4 sin( ) e sin ; c) lim cos( 3 ). 3. Dire per quali a R la funzione f() := sin(3) a risulta essere decrescente su tutto R. 4. Calcolare cos d. 5. Dire per quali a > la serie n= a n + n converge ad un numero finito. + na 6. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = et che soddisfa () = Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze 8. Trovare una formula per la funzione f() il cui grafico è disegnato qui accanto. n= n! n 4 n. 4 = f () Prima parte, gruppo 5.. Calcolare la velocità (intesa come vettore) e il modulo della velocità di un punto che si muove nel piano con la seguente legge oraria: (t) = + t sin t; (t) = 3 + t cos t.

3 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Testi 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim + sin( ) ; b) lim 4 cos( ); c) lim + log( ). 3. Dire per quali a R la funzione f() := cos() + a risulta essere crescente su tutto R. 4. Calcolare d Dire per quali a > la serie n= n 3 a n + n 3 3 n + converge ad un numero finito. 6. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = cos t che soddisfa () =. 7. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze 8. Trovare una formula per la funzione f() il cui grafico è disegnato qui accanto. n= n n n n. = f () Prima parte, gruppo Calcolare la velocità (intesa come vettore) e il modulo della velocità di un punto che si muove nel piano con la seguente legge oraria: (t) = + e t sin t; (t) = e t cos t.. Calcolare i seguenti limiti: a) lim 5 + ; b) lim + e sin ; c) lim 4[ cos(/ ) ] Dire per quali a R la funzione f() := cos(3) + a risulta essere decrescente su tutto R. d 4. Calcolare Dire per quali a > la serie n= n + n +a + n 3a converge ad un numero finito. 6. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = cos t che soddisfa () =. 7. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze 8. Trovare una formula per la funzione f() il cui grafico è disegnato qui accanto. n= n n + 4 n. π Seconda parte, gruppo. 4 = f () Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi, 3 e 4.. Consideriamo la funzione f() := a) Trovare la parte principale di f() per +. b) Per ogni a R trovare la parte principale di f() + a/ 4 per +.

4 4 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Testi. Consideriamo la funzione f() definita per ogni R dalla formula 5+ f() := 6 ep( t ) dt. a) Studiare il segno di f() (osservare che la funzione integranda è sempre positiva). b) Studiare i limiti significativi di f(). c) Disegnare un grafico approssimativo di f(). d) Determinare la parte principale di f() per e per Calcolare il volume del solido V dato dall unione di una sfera e di un cono come in figura, dove la sfera ha raggio e la distanza tra il vertice del cono e il centro della sfera è 4. V (Attenzione: come si vede dal disegno, nei punti di giunzione la sfera e il cono sono tangenti.) 4. Dato a R consideriamo l equazione differenziale ẍ + ( 6a)ẋ + (8a a) = e t + 4t. (*) a) Trovare la soluzione generale di (*) per a, 4,. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a =. c) Trovare gli a, 4 per cui tutte le soluzioni di (*) tendono a + per t +. Seconda parte, gruppo. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi, 3 e 4.. Consideriamo la funzione f() := a) Trovare la parte principale di f() per +. b) Per ogni a R trovare la parte principale di f() + a/ 4 per +.. Consideriamo la funzione f() definita per ogni R dalla formula 3+ f() := 4 ep( t ) dt. a) Studiare il segno di f() (osservare che la funzione integranda è sempre positiva). b) Studiare i limiti significativi di f(). c) Disegnare un grafico approssimativo di f(). d) Determinare la parte principale di f() per e per Calcolare il volume del solido V dato dall unione di una sfera e di un cono come in figura, dove la sfera ha raggio e la distanza tra il vertice del cono e il centro della sfera è. V (Attenzione: come si vede dal disegno, nei punti di giunzione la sfera e il cono sono tangenti.)

5 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Testi 5 4. Dato a R consideriamo l equazione differenziale ẍ + ( + 3a)ẋ + (a + a) = e t 4t. (*) a) Trovare la soluzione generale di (*) per a,,. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a =. c) Trovare gli a, 4 per cui tutte le soluzioni di (*) tendono a + per t +. Seconda parte, gruppo 3. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi, 3 e 4.. Consideriamo la funzione f() := a) Trovare la parte principale di f() per +. b) Per ogni a R trovare la parte principale di f() + a/ 3 per +.. Consideriamo la funzione f() definita per ogni R dalla formula 5+ f() := 6 ep( t ) dt. a) Studiare il segno di f() (osservare che la funzione integranda è sempre positiva). b) Studiare i limiti significativi di f(). c) Disegnare un grafico approssimativo di f(). d) Determinare la parte principale di f() per e per Calcolare il volume del solido V dato dall unione di una sfera e di un cono come in figura, dove la sfera ha raggio e la distanza tra il vertice del cono e il centro della sfera è 4. V (Attenzione: come si vede dal disegno, nei punti di giunzione la sfera e il cono sono tangenti.) 4. Dato a R consideriamo l equazione differenziale ẍ + ( 6a)ẋ + (8a a) = e t + 4t. (*) a) Trovare la soluzione generale di (*) per a, 4,. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a =. c) Trovare gli a, 4 per cui tutte le soluzioni di (*) tendono a + per t +. Seconda parte, gruppo 4. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi, 3 e 4.. Consideriamo la funzione f() := a) Trovare la parte principale di f() per +. b) Per ogni a R trovare la parte principale di f() + a/ 3 per +.

6 6 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Testi. Consideriamo la funzione f() definita per ogni R dalla formula 3+ f() := 4 ep( t ) dt. a) Studiare il segno di f() (osservare che la funzione integranda è sempre positiva). b) Studiare i limiti significativi di f(). c) Disegnare un grafico approssimativo di f(). d) Determinare la parte principale di f() per e per Calcolare il volume del solido V dato dall unione di una sfera e di un cono come in figura, dove la sfera ha raggio e la distanza tra il vertice del cono e il centro della sfera è. V (Attenzione: come si vede dal disegno, nei punti di giunzione la sfera e il cono sono tangenti.) 4. Dato a R consideriamo l equazione differenziale ẍ + ( + 3a)ẋ + (a + a) = e t 4t. (*) a) Trovare la soluzione generale di (*) per a,,. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a =. c) Trovare gli a, 4 per cui tutte le soluzioni di (*) tendono a + per t +.

7 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Soluzioni 7 Prima parte, gruppo.. La velocità è v(t) = ( e t (cos t sin t); e t (sin t + cos t) ), e quindi v(t) = e t.. a) ; b) + ; c). 3. La funzione f() è crescente per a. 4. Integrando per parti si ottiene π cos d = sin π π sin d = cos π =. 5. La serie si comporta come n= ( a ) n e quindi converge per a >. 6. La soluzione è (t) = 3 3e t. 7. Usando il criterio del rapporto si ottiene R = Una formula per la funzione in questione è f() = + sin(π). Prima parte, gruppo.. La velocità è v(t) = ( cos t t sin t; sin t + t cos t ), e quindi v(t) = + t.. a) ; b) non esiste; c). 3. La funzione f() è crescente per a Usando il cambio di variabile = 4 si ottiene d = d = / d = / + c = 4 + c La serie si comporta come n= 6. La soluzione è (t) = 3 3e t + 5. ( a 7. Usando il criterio della radice si ottiene R = 3. ) n e quindi converge per a >. 8. Una formula per la funzione in questione è f() = + sin(π). Prima parte, gruppo 3.. La velocità è v(t) = ( e t (cos t + sin t); e t ( sin t + cos t) ), e quindi v(t) = e t.. a) ; b) + ; c). 3. La funzione f() è decrescente per a. 4. Raccogliendo 4 al denominatore e usando il cambio di variabile = / si ottiene d 4 + = d 4 + (/) = d + = arctan = π 8.

8 8 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Soluzioni 5. La serie si comporta come n= 6. La soluzione è (t) = 4 4e t Usando il criterio della radice si ottiene R =. n a e quindi converge per a >. 8. Una formula per la funzione in questione è f() = + sin(). Prima parte, gruppo 4.. La velocità è v(t) = ( e t (sin t + cos t); e t (cos t sin t) ), e quindi v(t) = e t.. a) + ; b) ; c). 3. La funzione f() è decrescente per a Integrando per parti si ottiene cos d = sin sin d = sin + cos + c. 5. La serie si comporta come n= ( a ) n e quindi converge per a <. 6. La soluzione è (t) = 4 4e t Usando il criterio del rapporto si ottiene R =. 8. Una formula per la funzione in questione è f() = + cos(π). Prima parte, gruppo 5.. La velocità è v(t) = ( sin t + t cos t; cos t t sin t ), e quindi v(t) = + t.. a) + ; b) ; c). 3. La funzione f() è crescente per a. 4. Usando il cambio di variabile = 4 si ottiene 5. La serie si comporta come d = d = 4 n= ( a 3 6. La soluzione è (t) = 3 3 sin t +. / d = / ) n e quindi converge per a < Usando il criterio della radice si ottiene R = Una formula per la funzione in questione è f() = + cos(π). =.

9 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Soluzioni 9 Prima parte, gruppo 6.. La velocità è v(t) = ( e t ( sin t + cos t); e t (cos t + sin t) ), e quindi v(t) = e t.. a) ; b) non esiste; c). 3. La funzione f() è decrescente per a Raccogliendo 4 al denominatore e usando il cambio di variabile = / si ottiene d 4 + = d 4 + (/) = d + = arctan + c = ( ) arctan + c. 5. La serie si comporta come n= 6. La soluzione è (t) = 3 3 sin t Usando il criterio della radice si ottiene R = 4. n a e quindi converge per a > Una formula per la funzione in questione è f() = + cos(). Seconda parte, gruppo.. a) Usando il fatto che e per + ottengo che e quindi p.p. ( f() ) = 4 per +. f() := = 4, b) Per quanto appena visto ho anche che p.p. ( f() + a 4) = ( + a) 4 per ogni a. Per a = serve invece uno sviluppo più preciso di f(). Siccome tende a +, conviene mettere in evidenza 4 e 4 nei denominatori delle frazioni che compongono f(), cosa che permette poi di usare lo sviluppo di Talor /(+t) = t+o(t ): f() := = 4 + / /( 4 ) = 4 ( / 4 + O(/ 8 ) ) 4 ( /( 4 ) + O(/ 8 ) ) = O( / ). Da questo segue che p.p. ( f() 4) = a) Ricordo che f() := 5+ 6 ep( t ) dt. Poiché l integranda ep( t ) è strettamente positiva, la funzione f() è strettamente positiva quando l estremo di integrazione /(5+ 6 ) è strettamente maggiore dell estremo di integrazione, cioè quando >. Analogamente f() < per < e f() = per =. b) Siccome f() è ben definita (e continua) per ogni R, i limiti significativi sono quelli per ±. Siccome l estremo di integrazione /(5 + 6 ) tende a per ±, ottengo che lim f() = ep( t ) dt =. ±

10 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Soluzioni c) Per disegnare il grafico di f() osservo che la derivata di questa funzione è ( f () = ep( t ) ) = ep( t ) 5( 6 ) (5 + 6 ) con t = Il segno di f () è quindi quello del fattore 6, ed in particolare f() cresce per, e decresce per e per. Basandomi su quanto detto posso tracciare il grafico di f(). = f() d) Sia per che per + l estremo di integrazione superiore := converge a, che è l estremo di integrazione inferiore. Utilizzando quindi lo sviluppo di Talor ep( t ) = + O(t ) ottengo f() = ep( t ) dt = + O(t ) dt = + O ( 3). Osservo ora che per si ha /5 e quindi la parte principale di f() è 5. Invece per + si ha / 5 e quindi la parte principale è / Il solido V è dato dall unione dei solidi V e V ottenuti ruotando attorno all asse delle le figure piane A ed A disegnate qui sotto. Si noti in particolare che A è un pezzo della circonferenza con centro l origine e raggio r = e V è un pezzo di sfera, mentre A è un triangolo e V è un cono. = f () r r A α A d Per calcolare il volume di V e V dobbiamo innanzitutto determinare l angolo α ed il valore di. Usando la relazione r = d cos α ed il fatto che d = 4 e r = otteniamo cos α = /, e quindi α = π/3; infine = r cos α =. Tenendo conto che la parte superiore della circonferenza nel disegno è il grafico della funzione otteniamo f() := r = 4 ( ) d volume(v ) = π f() = π 4 d = 9π. r Invece il cono V ha altezza h uguale alla base del triangolo A, vale a dire h = d = 3, e raggio di base ρ uguale all altezza del triangolo A, vale a dire ρ = r sin α = 3, e quindi In conclusione volume(v ) = 3 πρ h = 3π. volume(v ) = volume(v ) + volume(v ) = 9π + 3π = π.

11 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Soluzioni 4. a), b) L equazione differenziale (*) è del secondo ordine, lineare, non omogenea e a coefficienti costanti. Pertanto la soluzione generale è (t) = om (t) + (t) + (t) dove om è la soluzione generale dell equazione omogenea ẍ + ( 6a)ẋ + (8a a) =, () è una soluzione particolare dell equazione non omogenea ẍ + ( 6a)ẋ + (8a a) = 4t, () è una soluzione particolare dell equazione non omogenea ẍ + ( 6a)ẋ + (8a a) = e t. (3) Comincio con le soluzioni dell equazione omogenea (). Le soluzioni dell equazione caratteristica associata λ + ( 6a)λ + (8a a) = sono λ = 4a, λ = a. In particolare λ e λ sono sempre reali, e coincidono solo per a =, nel qual caso λ = λ =. Quindi { c e (4a )t + c e at se a om (t) =, (c + c t)e t se a =, con c e c costanti arbitrarie. Cerco ora una soluzione particolare della () della forma (t) = b + b t, e trovo (t) = 4a a t + 6a (4a a) (attenzione, questa formula ha senso solo per a, 4 ). Per a cerco una soluzione particolare della () della forma (t) = be t e trovo (t) = (a ) et. Infine per a = ho che λ = λ = e quindi cerco una soluzione particolare della () della forma (t) = bt e t e trovo (t) = t e t. In conclusione per a, 4, mentre per a = (t) = c e (4a )t + c e at + la soluzione generale della (*) è (a ) et + 4a a t + 6a (4a a), (4) (t) = (c + c t + t )e t + 4t + 8. (5) c) Comincio dal caso a =. In questo caso la formula (5) mostra che la soluzione (t) soddisfa (t) t e t per t + e quindi (t) converge a + per t +. Distinguo i rimanenti valori di a in due classi, a seconda che le soluzioni dell equazione caratteristica λ = 4a e λ = a siano maggiori o minori di. Se a < ho che 4a < a < e dunque la formula (4) mostra che (t) (a ) et per t +, e poiché il coefficiente /(a ) è positivo, (t) converge a + per t +. Se invece a > ho che 4a > a >, e quindi, per c, (t) c e (4a )t per t +, e di conseguenza il limite di (t) per t + è ± a seconda del segno di c. In particolare non è più vero che tutte le soluzioni tendono a +. Riassumendo, le soluzioni di (*) tendono tutte a + se e solo se a.

12 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Soluzioni Seconda parte, gruppo.. a) Analogo al gruppo. p.p. ( f() ) = 4. b) Usando la formula precedente ottengo che p.p. ( f() + a 4) = (a ) 4 per a. Per a = procedo in modo simile al gruppo, raccogliendo / 4 da entrambe le frazioni che compongono f() e utilizzando quindi lo sviluppo di Talor /( + t) = t + t + O(t 3 ): f() = ( ) + 4 = 4( O( ) O( ) ) = 4 + O ( 6). Di conseguenza p.p. ( f() + 4) =.. Analogo al gruppo. a) La funzione f() è strettamente positiva quando l estremo di integrazione /(3 + 4 ) è strettamente maggiore dell estremo di integrazione, cioè quando <. Analogamente f() < per > e f() = per =. b) Siccome l estremo di integrazione /(3+ 4 ) tende a per ±, i corrispondenti limiti di f() sono uguali a. c) La derivata di f() è f () = ep( t ) 3(4 ) (3 + 4 ) con t = In particolare f() decresce per, e cresce per e per. Sulla base dei fatti raccolti fin qui traccio il grafico sottostante. d) Sia per che per + l estremo di integrazione := /(3 + 4 ) converge a e usando lo sviluppo di Talor ep( t ) = + O(t ) ottengo f() = + O(t ) dt = + O ( 3). Osservo infine che per si ha /3 e quindi la parte principale di f() è 3, mentre per + si ha / 3 e quindi la parte principale è / Analogo al gruppo. In questo caso r =, d =, da cui si ricava che α = π/4, =, e infine f() =. Facendo i dovuti calcoli si ottiene volume(v ) = volume(v ) + volume(v ) = π ( ( ) π = π + ) Procedo come per il gruppo. a), b) Le soluzioni dell equazione caratteristica sono λ = a e λ = a e quindi la soluzione generale dell equazione omogenea ẍ + ( + 3a)ẋ + (a + a) = è { om (t) = c e at + c e ( a )t se a, (c + c t)e t se a =. Per a, una soluzione dell equazione non omogenea ẍ + ( + 3a)ẋ + (a + a) = 4t è (t) = 4 a + a t a (a + a). Una soluzione particolare dell equazione non omogenea ẍ + ( + 3a)ẋ + (a + a) = e t è { (a+) e t per a, (t) = t e t per a =.

13 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Soluzioni 3 Infine la soluzione generale di (*) è { c e at + c e ( a )t (a+) e t 4 (t) = a +a t + 4+a (a +a) per a,,, (c + c t + t )e t 4t 8 per a =. c) Le soluzioni di (*) tendono tutte a + se e solo se a. Seconda parte, gruppo 3.. a) Analogo al gruppo p.p. ( f() ) = 3. b) Analogo al gruppo : p.p. ( {( f() + a 3) = + a) 3 per a /, per a = /.. Molto simile al gruppo ; in particolare il grafico di f() è sostanzialmente lo stesso mentre la parte principale è 5 per e /5 per Uguale al gruppo. 4. Uguale al gruppo. Seconda parte, gruppo 4.. a) Analogo al gruppo p.p. ( f() ) = 3. b) Analogo al gruppo : p.p. ( f() + a 3) = { (a ) 3 per a, 9 per a =.. Molto simile al gruppo ; in particolare il grafico di f() è sostanzialmente lo stesso mentre la parte principale è 3 per e /3 per Uguale al gruppo. 4. Uguale al gruppo. Commenti Seconda parte, esercizio. Nella domanda b) il caso più difficile, vale a dire a = per il gruppo, può anche essere risolto senza ricorrere agli sviluppi di Talor, mettendo a comun denominatore le varie frazioni: f() + 4 = = ( 4 )( + 4 ) 4. Lo stesso discorso vale anche per gli altri gruppi. Seconda parte, esercizio. Molti dei presenti hanno utilizzato lo sviluppo di Talor + t = ( + t) = t + O(t ) () nel seguente modo (mi riferisco per semplicità al gruppo ): f() = = ( O( 8 ) ) ( 4 + O( 8 ) ) = 4 + O( 8 ) 4. In particolare hanno usato lo sviluppo () prima con t = 4 e poi con t = 4. Questo è completamente errato, perché lo sviluppo () vale per t che tende a, ma in questi due casi t tende a ± perché +. Qualcuno ha giustificato questo passaggio invocando il fatto che le funzioni /( ± 4 ) tendono

14 4 Secondo compitino e primo appello, 5 gennaio 8 Soluzioni a, ma questo non è rilevante; quello che conta è che la quantità che si mette al posto di t tenda a. Esercizio. Vale la pena di notare che la funzione f() è dispari. La dimostrazione di questo fatto non è immediata, e utilizza sia che l integranda ep( t ) è una funzione pari della variabile t, sia che l estremo di integrazione superiore è una funzione dispari della variabile (e quello inferiore è ). Esercizio. Diversi dei presenti hanno calcolato (sbagliando) l integrale che definisce f(), trovando una formula esplicita per questa funzione. Questo nonostante che fosse stato detto in aula che quell integrale non si può calcolare. Esercizio. Incomprensibilmente, diversi dei presenti hanno studiato la funzione integranda ep( t ) invece della funzione f(). Esercizio 3. La maggior parte dei presenti ha avuto problemi a determinare il valore di (mi riferisco al disegno sopra) che è essenziale per il calcolo del volume. Alcuni hanno trovato a partire dall equazione della retta che contiene l ipotenusa del triangolo A, e per trovare questa equazione hanno imposto che la retta passasse per (d, ) e che fosse tangente alla circonferenza, cioè che ci fosse un unica intersezione. Non è l approccio più semplice ma va bene. Alcuni hanno scritto l equazione della retta suddetta senza dare spiegazioni. Ma spesso l equazione data è errata, perché descrive una retta secante alla circonferenza invece che tangente. Esercizio 4. Quasi nessuno dei presenti ha svolto correttamente il punto c). Stranamente, diversi hanno evidenziato il punto chiave senza però scrivere delle conclusioni chiare. Infine molti hanno scritto che il limite per t + di funzioni tipo ce t è +, senza accorgersi che il limite dipende invece dal segno di c.