Esercizi 2: Curve dello spazio Soluzioni
|
|
- Filiberto Volpi
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esercizi 2: Curve dello spazio Soluzioni. Esercizio Si consideri la curva (elica circolare): a α(t) = a sin t, t R, bt dove a >. a) Calcolare curvatura e torsione di α nel generico punto t. b) Determinare la funzione ascissa curvilinea s = s(t) con origine in t = ; determinare quindi la lunghezza dell arco corrispondente all intervallo t [, 2π]. Soluzione. Si ha: a sin t α (t) = a, a α (t) = a sin t, a sin t α (t) = a b Dunque da cui Poiché α (t) = a 2 + b 2, α (t) α (t) = a a 2 + b 2, k(t) = α (t) α (t) α (t) 3 = a a 2 + b 2 det(α (t), α (t), α (t)) = a 2 b Otteniamo τ(t) = b a 2 + b 2 In conclusione curvatura e torsione sono entrambe costanti. k(t) = a a 2 + b 2, τ(t) = b a 2 + b 2
2 .2 Esercizio a) Verificare che la curva x = a + b t + c t 2 y = a 2 + b 2 t + c 2 t 2 z = a 3 + b 3 t + c 3 t 2 è piana, per ogni scelta di a i, b i, c i. b) Determinare l equazione cartesiana del piano contenente la curva x = + t y = + t 2 z = t + t 2 Soluzione. a) Basta osservare che α (t) è identicamente nulla, dunque la torsione è identicamente nulla e la curva è piana. b) Dobbiamo studiare l equazione in a, b, c: a( + t) + b( + t 2 ) + c(t + t 2 ) + d = che deve risultare valida per ogni t. La riscriviamo: (a + b + d) + (a + c)t + (b + c)t 2 = e otteniamo il sistema omogeneo: a + b + d = a + c = b + c = che ammette soluzioni, tutte proporzionali a a =, b =, c =, d = 2. Dunque il piano cercato è x + y z 2 =..3 Esercizio Studiare la curva dove φ(t) è una funzione positiva di t. α(t) = sin t, t > φ(t) 2
3 a) Calcolare la curvatura k(t) in funzione di φ(t), e determinare lim k(t) nel caso in cui φ(t) = t 2. b) Trovare una funzione φ(t) per la quale α risulti piana. c) Scrivere un equazione differenziale che deve essere soddisfatta da φ(t) affinche α sia una curva piana. Soluzione. a) Abbiamo: sin t sin t α (t) =, α (t) = sin t, α (t) = φ φ φ Dunque: φ sin t + φ α (t) α (t) = φ sin t φ, α (t) α (t) = + φ 2 + φ 2 Poiché si ha: α (t) = + φ 2 k(t) 2 = + φ 2 + φ 2 ( + φ 2 ) 3 = Se φ(t) = t 2 allora φ = 2t, φ = 2 e: k(t) 2 = che evidentemente tende a zero quando t. ( + φ 2 ) 2 + φ 2 ( + φ 2 ) t2 ( + 4t 2 ) 3 b) φ(t) = e in tal caso α è contenuta nel piano x z =. c) La curva è piana se e solo se τ(t) quindi se e solo se per ogni t. Un calcolo mostra che dunque l equazione differenziale cercata è La soluzione generale è det(α (t), α (t), α (t)) = det(α (t), α (t), α (t)) = φ (t) + φ (t), φ (t) + φ (t) =. φ(t) = a + b sin t + c con a, b, c R; in tal caso la curva è contenuta nel piano z = ax + by + c. 3
4 .4 Esercizio Data una funzione differenziabile ψ(t) definita per t >, si consideri la curva: ψ(t) α(t) = ψ(t) sin t, t >. t Dimostrare che, se ψ(t) converge a zero, per t, insieme alle sue derivate ψ (t), ψ (t), allora si ha lim k(t) =. Soluzione. Si ha: ψ ψ sin t ψ 2ψ sin t ψ α (t) = ψ sin t + ψ, α (t) = ψ sin t + 2ψ ψ sin t Se ψ(t), ψ (t) e ψ (t) convergono a zero per t, allora α (t) tende a zero ma α (t). Questo implica (verificare) che k(t) tende a zero..5 Esercizio Si consideri la curva Determinare: 2t α(t) = t 2 t. log t a) La funzione ascissa curvilinea s(t), con origine in t =. b) La curvatura e la torsione di α. Calcolare inoltre lim k(t), lim τ(t). c) È vero che il piano osculatore π t tende a un piano limite quando t? d) È vero che la terna di Frenet (T (t), N(t), B(t)) tende a una terna limite quando t? Soluzione. a) Si ha: Dunque: 2 α (t) = 2t, α (t) = 2 t t 2, α (t) = α (t) 2 = 4 + 4t 2 + t 2 = 4t4 + 4t 2 + t 2 = 4 2 t 3 ( 2t 2 + t ) 2
5 ovvero Abbiamo: b) Si ha: s(t) = t α (t) = 2t + t. (2u + u ) du = t2 + log t. 4 α (t) α t (t) = 2 t 2 4 e un calcolo mostra che Ne segue che α (t) α (t) = 4t2 + 2 t 2. k(t) = 2t (2t 2 + ) 2. e dunque k(t) quando t. Ora la torsione. Si ha: e otteniamo det(α (t), α (t), α (t)) = 8 t 3, τ(t) = ed evidentemente τ(t) quando t. 8 t(4t 2 + 2) 2 c) Poiche B(t) è il versore del vettore α (t) α (t), si vede che lim B(t) =. In modo analogo, si dimostra lim T (t) =, lim N(t) =. Dunque ( lim (T (t), N(t), B(t)) =,, ). 5
6 .6 Esercizio È data la curva e t α(t) = e t sin t e 2t t [, + ). a) Verificare che α è regolare, e che la sua traccia è contenuta in una sfera. b) È vero che esiste una costante c tale che α (t) ce t per ogni t? È vero che l arco da a + ha lunghezza totale costante?.7 Esercizio Si consideri la curva (cubica gobba): 6t α(t) = 6t 2, t. 4t 3 Dopo aver osservato che α è regolare per ogni t R, determinare la funzione ascissa curvilinea s : [, ) R e calcolare la lunghezza della curva da t = a t = 2. Determinare inoltre: b) curvatura e torsione nel punto α(t); c) il triedro di Frenet nell origine; d) l equazione della retta tangente nel punto α(2); e) l equazione del piano osculatore e del piano normale nel punto α()..8 Esercizio È data la curva α(t) = 2 t 2 + t 4 + 2t t 2 a) Dopo aver osservato che α è regolare per ogni t R, determinare l equazione della retta tangente nel punto α(). b) Determinare curvatura e torsione della curva nel punto generico α(t). c) Determinare il triedro di Frenet per il valore t = e l equazione di ciascuno dei piani: osculatore, normale rettificante. d) È vero che α è piana? In tal caso, determinare l equazione del piano che la contiene..9 Esercizio È data la curva α(t) = e t, t. sin t 6
7 a) Determinare la curvatura k(t) e la torsione τ(t) di α al variare di t [, ). b) Stabilire se esistono i seguenti limiti: lim k(t), t + lim τ(t). t + c) Sia π t il piano osculatore di α nel punto α(t). È vero che π t tende a un piano limite quando t? È vero che la terna di Frenet (T (t), N(t), B(t)) converge a una terna specifica? Soluzione. Si ha: sin t sin t α (t) = e t, α (t) = e t, α (t) = e t. sin t Quindi: Si ha poi: Otteniamo α (t) = + e 2t. e t ( sin t) α (t) α (t) =, α (t) α (t) = + 2e 2t. e t ( + sin t) + 2e 2t k(t) = ( + e 2t ) 3. Si vede che lim k(t) =. Ora la torsione. Si ha: det(α (t), α (t), α (t)) = 2e t. Dunque τ(t) = 2e t + 2e 2t e τ(t) quando t. c) È evidente che il versore binormale B(t) converge al versore, quindi il piano osculatore converge al piano y =. La terna di Frenet non converge a nessuna terna specifica.. Esercizio Sia α : [ L, L] R una curva biregolare dello spazio, parametrizzata dall ascissa curvilinea s. a) Scrivere lo sviluppo di Taylor, fino al terzo ordine, della funzione vettoriale α(s) nell intorno di s =, esprimendo i coefficienti in funzione del riferimento di Frenet in s = (vale a dire, in funzione della terna ortonormale (T (), N(), B()); usare le formule di Frenet). b) Determinare lo sviluppo di Taylor intorno a s =, fino al terzo ordine, di ciascuna delle seguenti funzioni scalari: ψ (s) = α(s) α(), T (), ψ 2 (s) = α(s) α(), N(), ψ 3 (s) = α(s) α(), B(). 7
8 . Esercizio Dato λ >, l applicazione lineare F λ : R 3 R 3 : x λx F λ y = λy z λz λ di matrice canonica A = λ è detta omotetia di fattore λ. Data una curva α : [a, b] λ R 3, si consideri la curva β(t) = F λ (α(t)) ottenuta componendo α con l omotetia F λ. a) Determinare β(t) se α è l elica: α(t) = sin t. t b) Se α è una curva qualunque, calcolare k β (t) e τ β (t) in funzione di k α (t) e τ α (t). c) È vero che la proprietà di essere una curva piana è invariante per omotetie? Soluzione. b) Possiamo scrivere F λ (x) = λx, dunque: Otteniamo con facili calcoli β(t) = λα(t). k β (t) = λ k α(t), τ β (t) = λ τ α(t). Poiche τ β (t) = se e solo se τ α (t) = la proprietá di essere una curva piana è invariante per omotetie..2 Esercizio Studiare curvatura e torsione della curva α(t) = sin t, t R e stabilire i valori massimi e minimi che puo assumere la sua curvatura. 8
9 .3 Esercizio Studiare curvatura e torsione della curva α(t) = sin t, t R. cos(2t).4 Esercizio Sia α : [, L] R 3 una curva parametrizzata dall ascissa curvilinea, sia f un isometria di R 3 e sia β l immagine di α tramite f, cioè β = f α. a) Dimostrare che k β (s) = k α (s) per ogni s. b) Dimostrare che τ β (s) = { τα (s) se f è diretta, τ α (s) se f è inversa. Si assuma noto il seguente fatto. Se A è una matrice ortogonale di ordine 3 e u, v R 3, allora: { A(u v) se det A =, Au Av = A(u v) se det A =..5 Esercizio Sia α : [, L] R 3 una curva biregolare dello spazio parametrizzata dall ascissa curvilinea: α = α(s), e sia B(s) il versore binormale di α. Fissato un parametro λ >, si consideri la curva α λ : [, L] R 3 definita da: α λ (s) = α(s) + λb(s) per ogni s [, L]. a) Discutere la regolarità di α λ, e dimostrare che la lunghezza di α λ sull intervallo [, L] risulta maggiore o uguale della lunghezza di α su [, L] per ogni scelta di λ. Dare inoltre una condizione geometrica necessaria e sufficiente affinche si abbia l uguaglianza tra le due lunghezze. b) Supponiamo ora che α abbia curvatura e torsione costanti, diciamo k(s) = p, τ(s) = q per opportuni numeri reali p, q, e per ogni s [, L]. Calcolare la lunghezza di α λ e stabilire se α λ ha anch essa curvatura costante oppure no. c) Supponiamo che α sia una curva piana. È vero che α λ si ottiene applicando ad α un opportuna isometria dello spazio? Se è cosi, quale? d) Calcolare la lunghezza di α λ se α : [, 2π] R 3 è cosi definita: α(s) = cos s sin s. 2 s 9
10 Soluzione. a) α λ (s) = α (s) + λb (s) e per le formule di Frenet otteniamo dunque α λ (s) = T (s) + λτ(s)n(s), α λ (s) = + λ 2 τ(s) 2 che è sempre positivo. Dunque α λ è regolare per ogni λ; inoltre α λ (s) = α (s), e vale l uguaglianza se e solo se τ(s) =. Cio implica L(α λ ) = L + λ 2 τ(s) 2 ds L ds = L = L(α) per ogni λ, e vale l uguaglianza se e solo se τ(s) = per ogni s, quindi se e solo se α è piana. b) Se τ(s) = q abbiamo L(α λ ) = L + λ 2 q 2 ds = L + λ 2 q 2. Si ha, usando le formule di Frenet: T = pn, N = pt qb, B = qn, dunque α λ (s) = ( λpq)t (s) + pn(s) λq2 B(s); poiche le coordinate, rispetto alla terna di Frenet, di α λ e α λ (e, come si vede facilmete, di tutte le derivate di α) sono funzioni costanti di s, saranno costanti anche curvatura e torsione di α λ. c) Se α è piana, il versore binormale è un vettore costante; dunque α λ si ottiene da α per traslazione lungo il vettore λb, che è effettivamente un isometria dello spazio. d) La curva in questione è un elica, con torsione costante q = 2/4. Dunque la lunghezza di α λ è L(α λ ) = L + 2λ2 6
Geometria Differenziale: Parte 2
Geometria Differenziale: Parte 2 A. Savo Indice delle sezioni 1. Curve dello spazio 2. Curvatura e torsione, formule di Frenet 3. Teoremi di rigidità 4. Esercizi 1 Curve dello spazio La definizione di
DettagliGeometria Differenziale: soluzioni test
Geometria Differenziale: soluzioni test Esercizio. Sia α : I R 3 una curva biregolare dello spazio, parametrizzata dall ascissa curvilinea. a) Definire curvatura, torsione e riferimento di Frenet di α.
DettagliGeometria Differenziale: Parte 2
Geometria Differenziale: Parte 2 A. Savo Indice delle sezioni 1. Curve dello spazio 2. Curvatura e torsione, formule di Frenet 3. Teoremi di rigidità 4. Esercizi 1 Curve dello spazio La definizione di
DettagliGeometria Differenziale 2017/18 Esercizi I
Geometria Differenziale 17/18 Esercizi I 1 Esercizi sulle curve piane 1.1 Esercizio Si consideri la curva parametrizzata sin t, t [, π]. cos(t) a) Stabilire per quali valori di t la parametrizzazione è
DettagliGeometria Differenziale
Geometria Differenziale Prova scritta di Geometria Differenziale 18.03.2016 Ingegneria Meccanica, a.a. 2015-2016 Cognome...................................... Nome......................................
DettagliEsercizi I : curve piane
Esercizi I : curve piane. Esercizio Si consideri la curva parametrizzata sin t, t [, 2π]. cos(2t) a) Stabilire per quali valori di t la parametrizzazione è regolare. b) Sia Γ la traccia di α. Descrivere
DettagliCurve parametrizzate. Esercizi. 1 Curve parametrizzate con parametri arbitrari. Curvatura. Torsione
Curve parametrizzate. Esercizi Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 014. 1 1 Curve parametrizzate con parametri arbitrari. Curvatura. Torsione Qui di seguito si riporta
DettagliEsercizi su curvatura e torsione.
Esercizi su curvatura e torsione. e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 016. 1 Indice 1 Curvatura e torsione 1.1 Curve parametrizzate alla lunghezza d arco................... 1.
DettagliVi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a
ESERCIZI DI GEOMETRIA 4 Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a mll@unife.it Geometria proiettiva Esercizio 1. Dire quali tra le seguenti coordinate omogenee dei punti in P 2 rappresentano
DettagliCurve nel piano ane euclideo e nello spazio ane euclideo
Curve nel piano ane euclideo e nello spazio ane euclideo 13 Dicembre 2018 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Curve nel piano e nello spazio. 1/29 Curve parametrizzate regolari e biregolari. Denizione
DettagliEsercizi di ripasso. 17 Dicembre Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Esercizi di ripasso (1) 1/10
Esercizi di ripasso 17 Dicembre 2018 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Esercizi di ripasso (1) 1/10 1 Trovare l integrale generale dell equazione: y + 1 y = 0, x ( 1, + ) (1) x + 1 2 Verificare,
DettagliCU. Proprietà differenziali delle curve
484 A. Strumia, Meccanica razionale CU. Proprietà differenziali delle curve Richiamiamo in questa appendice alcune delle proprietà differenziali delle curve, che più frequentemente vengono utilizzate in
Dettaglia. Si enunci e dimostri il teorema della media integrale per funzioni continue. (5 punti)
COMPITO A a. Si enunci e dimostri il teorema della media integrale per funzioni continue. 5 punti b. Si scriva l equazione di un piano generico, specificando qual la direzione normale ad esso, e si scriva
DettagliGEOMETRIA B Esercizi
GEOMETRIA B 2016-17 BARBARA NELLI A.A. 2016-17 Alcuni degli esercizi sono presi dal libro DC [1]. 1. Esercizi Esercizio 1.1. Sia α : I R 3 una curva parametrizzata e sia v R 3 un vettore fissato. Assumiamo
DettagliGennaio 17. January 24, 2017
Gennaio 7 January 24, 207 Prova scritta di Geometria Differenziale 7.0.207 Ingegneria Meccanica, a.a. 206-207 Cognome...................................... Nome...................................... L
DettagliGeometria 3 A.A Esercizi. Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante.
Geometria 3 A.A. 2015 2016 Esercizi Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante. Risultante. Si dimostri che il polinomio di Fermat f(x 1,..., x n ) = x d 1 + + x d n è irriducibile in C[x
DettagliGeometria 3 A.A Esercizi. Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante.
Geometria 3 A.A. 2016 2017 Esercizi Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante. Risultante. Si dimostri che il polinomio f(x, y) = x 2 y +x 5 +1 è irriducibile in C[x, y]. Sia K un campo.
DettagliGEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 11 Gennaio 2012
GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del Gennaio ) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: x + y 5z = 3x y + z = x y + 8z =. Il sistema può essere scritto in forma
DettagliGeometria Differenziale 2017/18 Esercizi 3
Geometria Differenziale 217/18 Esercizi 3 1 Superfici I 1.1 Esercizio a) Verificare che l ellissoide Σ : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 è una superficie regolare in tutti i suoi punti. b) Dare una parametrizzazione
DettagliGeometria 3 A.A Esercizi. Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante.
Geometria 3 A.A. 2017 2018 Esercizi Irriducibilità di polinomi di più variabili. Discriminante. Risultante. Sia K un campo. Si dimostri che un polinomio f(x) K[x] di grado d, dove 2 d 3, è riducibile se
DettagliEsercizi 5 soluzioni
Esercizi 5 soluzioni Alessandro Savo, Geometria Differenziale 27-8 Esercizi su geodetiche e curve su superfici. Esercizio Determinare l area della regione del paraboloide z = x 2 + y 2 compresa tra i piani
DettagliCapitolo 18 ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE Funzioni a valori vettoriali
Capitolo 18 ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE 18.1 Funzioni a valori vettoriali Siano a e b due numeri reali con a < b. Sono allora individuati i seguenti sottoinsiemi dell asse reale: (a, b) = { x R
Dettagli0.1 Arco di curva regolare
.1. ARCO DI CURVA REGOLARE 1.1 Arco di curva regolare Se RC(O, i, j, k ) è un riferimento cartesiano fissato per lo spazio euclideo E, e se v (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k è una funzione a valori vettoriali
DettagliCurve e superfici parametrizzate. R. Notari
Curve e superfici parametrizzate R. Notari 17 Aprile 2006 1 1. Cambi di parametro. Proposizione 1 Sia L : t (a, b) P (t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3 una curva regolare, e sia ϕ : s (c, d) ϕ(s) (a, b) una
DettagliProva scritta di Geometria differenziale - 27/2/2012
Prova scritta di Geometria differenziale - 27/2/2012 Tempo disponibile: 3 ore Non sono ammesse calcolatrici, appunti o libri di testo. Una copia degli appunti è disponibile per libera consultazione alla
DettagliCurve. Hynek Kovarik. Analisi Matematica 2. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 1 / 28
Curve Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 1 / 28 Curve Definizione (Curva in R n ) Chiamiamo curva a valori in R n
DettagliEs. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria. Punteggi degli esercizi: Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 6 punti.
Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. Totale Teoria Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 0 Febbraio 2013 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Terzo Appello 8 Settembre 2014
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Terzo Appello 8 Settembre 24 Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es.: 9 punti Es.2: 8 punti Es.3: 8 punti Es.4: 8 punti Totale. Sia F la
DettagliFunzioni vettoriali di variabile scalare
Capitolo 11 Funzioni vettoriali di variabile scalare 11.1 Curve in R n Abbiamo visto (capitolo 2) come la posizione di un punto in uno spazio R n sia individuata mediante le n coordinate di quel punto.
Dettaglix = t y = t z = t 3 1 A = B = 1 2
11/1/05 Teoria: Enunciare e discutere il teorema di Lagrange. Esercizio 1. Determinare l equazione cartesiana del piano passante per P 0 = (1,, 1) e contenente i vettori u = (,, ) e v = (1, 5, 4). Risposta
DettagliParte 1: Curve piane
Parte 1: Curve piane A. Savo 1 Curve Generalmente, per curva si intende: Un insieme di livello di una funzione di due variabili (ad esempio, se la funzione è f(x, y) = x 2 + y 2, allora f 1 (1) = {(x,
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Domande Vero/Falso (seconda parte) 1. (a) Se f è una funzione derivabile, allora (b) Se un vettore x R n ha norma nulla, allora x = 0.
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria. Curve nello spazio Gennaio Lunghezza d arco
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria Curve nello spazio Gennaio 013 Indice 1 Lunghezza d arco 1 1.1 Parametrizzazione alla lunghezza d arco..................... 1. Ogni
Dettaglix + 2y = 0 Soluzione. La retta vettoriale di equazione cartesiana x + 2y = 0.
Algebra Lineare. a.a. 4-5. Gruppo A-H. Prof. P. Piazza Soluzioni del compito pomeridiano del //5 Esercizio. Sia V = R il piano vettoriale euclideo con base ortonormale standard {e, e }. Determinare le
DettagliGeometria Differenziale
Geometria Differenziale Foglio 4 - Superfici Esercizio 1. Si considerino la curva α : R R 3 definita ponendo α(t) = (cos(t), sin(t), t) e la superficie elementare P : R (0, + ) R 3 di equazioni parametriche
DettagliVETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI R 3. FASCI E STELLE. FORMULE
DettagliCognome: Nome: Matricola: a. Si enunci e dimostri il teorema della media integrale per funzioni continue. (5 punti)
Analisi e Geometria Seconda Prova 3 gennaio 207 Docente: Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell Informazione Cognome: Nome: Matricola: a. Si enunci e dimostri il teorema della media
DettagliLe curve differenziabili. (Appunti per il corso di geometria III) Vincenzo Ancona Una curva differenziabile regolare e un applicazione
Le curve differenziabili (Appunti per il corso di geometria III) Vincenzo Ancona 1. Curve differenziabili. Definizione 1.1. Una curva differenziabile regolare e un applicazione α(t) = (α 1 (t), α 2 (t),
Dettagli1 Rette e piani nello spazio
1 Rette e piani nello spazio Esercizio 1.1 È assegnato un riferimento cartesiano 0xyz. Sono assegnati la retta x = t, r : y = t, z = t, il piano π : x + y + z = 0 ed il punto P = (1, 1, 1). Scrivere le
DettagliEsercizi sulle funzioni f : R 2 R. Soluzioni
Esercizi sulle funzioni f : R R Soluzioni. Disegnare il grafico della funzione f : R R, nei casi: (a) f(, ) =. La funzione dipende solo dalla coordinata. In questo caso il grafico rappresenta un piano
DettagliCorso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni
Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare
DettagliPolitecnico di Torino II Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche I 15 gennaio 2004
Esame di Istituzioni di Matematiche I 5 gennaio 2004 Monaco 02BJVa W0034 60 De ngelis 02BJVb W003 630 Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria: teoremi sulle funzioni continue.
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliCurve. Geometria course, part 2/3 outline and diary of notes day by day. Warning: notes very likely contain typos! May 21, 2014.
Curve Geometria course, part /3 outline and diary of notes day by day Warning: notes very likely contain typos! May, 04 Contents I Curve Definizioni e terminologia. Prime definizioni..............................................
DettagliProva scritta di Geometria differenziale - 27/9/2012
Prova scritta di Geometria differenziale - 27/9/2012 Tempo disponibile: 3 ore Non sono ammesse calcolatrici, appunti o libri di testo. Una copia degli appunti è disponibile per libera consultazione alla
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliAnalisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, 5 febbraio 2018 Testi 1
Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare r > e α [ π, π] per cui vale l identità 3 sin 3 cos = r sin( + α)..
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 11
Geometria BAER 6-7 Canale A-K Esercizi Esercizio. Scrivere la matrice delle seguenti trasformazioni ortogonali del piano (a Proiezione ortogonale sulla retta x + y = (b Rotazione di π/4 seguita da riflessione
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 3: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Rango e teorema di Rouché-Capelli Esercizio. Calcolare il rango di ciascuna delle seguenti matrici: ( ) ( ) ( ) A =, A =, A =, A 4 = ( ). a a a Soluzione.
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 29 settembre 2012
Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9 settembre A) Data la funzione f(x, y) = { xy x se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ), i) stabilire se risulta continua
DettagliESERCIZI SULLE CURVE
ESERCIZI SULLE CURVE VALENTINA CASARINO Esercizi per il corso di Fondamenti di Analisi Matematica, (Ingegneria Gestionale, dell Innovazione del Prodotto, Meccanica e Meccatronica, Università degli studi
Dettagli= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ
Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti
DettagliUniversita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)
Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................
DettagliCurve e integrali curvilinei
6 Curve e integrali curvilinei 6.1. Esempi ed esercizi svolti e/o proposti Esempio 6.1.1. Si consideri la curva parametrica ϕ: t [0,2π] ϕ(t) = (acos(t),asin(t),bt) R 3 dove a e b sono due costanti positive.
DettagliCorso interno di Matematica compito scritto del n n+1
Corso interno di Matematica compito scritto del 4.07.05 1. Dire se la serie converge e giustificare la risposta. n=1 1 n n+1 n Soluzione: Il criterio della radice o del rapporto falliscono; proviamo col
DettagliDEFINIZIONE. u (u; v); α 3. v (u; v); α 3. ha rango 2 in ogni punto della parametrizzazione. DEFINIZIONE
DEFINIZIONE Una superficie in R 3 è un applicazione α : U R 3, di classe almeno C. In realtà, tratteremo solamente superfici di classe C. Inoltre, U R deve essere un aperto, e α deve essere iniettiva.
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Corsi dei Proff. M. BORDONI, A.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A. - PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL -- Corsi dei Proff. M. BORDONI, A. FOSCHI Esercizio. E data l applicazione lineare L : R 4 R 3 definita dalla matrice A = 3
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria. Curve nello spazio 18 Gennaio 2016
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria Curve nello spazio 18 Gennaio 016 Indice 1 Introduzione euristica alla curvatura di una curva piana Lunghezza d arco 3.1 Parametrizzazione
DettagliArgomento 6: Derivate Esercizi. I Parte - Derivate
6: Derivate Esercizi I Parte - Derivate E. 6.1 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 1) log 5 3 + cos ) + 3 + 4 + 3 3) 5 tan 4) ( + 3e ) sin 5) arctan( + 1) 6) log 7) 10) + + 3 8) 3 3 1 + 16 11)
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI GENNAIO 2015 DOCENTE: M. LONGO
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI GENNAIO 2015 DOCENTE: M. LONGO 1. Domande Domanda 1. Dire quando una funzione f : X Y tra dee insiemi X ed Y si dice iniettiva.
DettagliPolitecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Secondo Appello 9 Luglio 2014
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Secondo Appello 9 Luglio Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es: punti Es: 6 punti Es: 8 punti Es: 8 punti Totale Data la funzione f : D
DettagliEsercizi di riepilogo sulle curve. 1. Si fornisca una parametrizzazione per le seguenti curve:
Esercizi di riepilogo sulle curve. Si fornisca una parametrizzazione per le seguenti curve: (a) l ellisse = {(x, y) R x + y = } α(t) = (3 cost, sin t), t [, π]. (b) = {(x, y) R x + y =, x } α(t) = (3 cost,
DettagliCorso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso?
A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 1 A: Vettori geometrici Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni
DettagliCurve nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Introduzione alla geometria 16 Gennaio 2017 Indice 1 Introduzione euristica alla curvatura di una curva
DettagliGeometria 3 A.A Esercizi
Geometria 3 A.A. 2014 2015 Esercizi Equivalenza omo- Omotopia di applicazioni contiue. topica. Si dimostri che lo spazio X = {x R 2 : x 1} è connesso. Si dimostri che lo spazio topologico è connesso. X
DettagliDom. 1 Dom 2 Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale. Cognome: Nome: Matricola:
Dom. Dom Es. Es. Es. Es. 4 Totale Analisi e Geometria Terzo appello 05 settembre 06 Compito A Docente: Numero nell elenco degli iscritti: Cognome: Nome: Matricola: Prima parte. Nel campo complesso C, l
Dettagli1 Esercizi di ripasso 4
Esercizi di ripasso 4. Determinare k in modo che il piano kx + 2y 6z + = 0 sia parallelo al piano x + y z + = 0. Soluzione. La condizione di parallelismo richiede che ( ) k 2 6 rg = Ne segue che k = e
Dettaglid (x; y) = 0 se e solo se d 1 (x; y) = d 2 (x; y) = 0, dato che entrambe le distanze hanno valori positivi. Ma questo è possibile solo se x = y.
Distanze. a) d (x; y) = se e solo se d (x; y) = d (x; y) =, dato che entrambe le distanze hanno valori positivi. Ma questo è possibile solo se x = y. d (y; x) = d (y; x) + d (y; x) = d (x; y) + d (x; y)
DettagliAnalisi II, a.a Soluzioni 4
Analisi II, a.a. 17-18 Soluzioni 4 1) Consideriamo le curve in forma parametrica in R φ : R R, φ(t) = (cos t, cos(t)), φ : R R, φ(t) = (1 + cos t, sen t) φ :], π/[ R, φ(t) = (sen t, cos t) φ : R R, φ(t)
DettagliPolitecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte
Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro
DettagliFacoltà di Scienze. Appello A
Facoltà di Scienze Appello -2-28-A SOLUZIONI Esercizio. Discutere e risolvere almeno 3 dei seguenti esercizi. Giustificare sempre le risposte, fornendo una dimostrazione nel caso l affermazione sia vera
DettagliCorso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1. Prova scritta del 7 settembre 2015
Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 Prova scritta del 7 settembre 215 Cognome Nome Numero di matricola Voto ATTENZIONE. Riportare lo svolgimento completo degli esercizi. corretti, non
DettagliCINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE
CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE Regole di derivazione per il prodotto scalare e per il prodotto vettore Sia v funzione di un parametro reale t, t.c. 5 v : R R 3 t 7 v (t). (1) Proprietà: 1. Limite. Il concetto
DettagliESERCIZI sui VETTORI
ESERCIZI sui VETTORI 1. Calcolare la somma di v 1 (2, 3) e v 2 (1, 4). 2. Calcolare la somma di v 1 (1, 5, 4) e v 2 (6, 8, 2). 3. Calcolare il prodotto di α = 2 e v 1 (1, 4). 4. Calcolare il prodotto di
DettagliIstituzioni di geometria superiore - prova scritta del 4 febbraio y 2 ) 4xe (x. e γ(t) = t2 + 1 log (t 4 + 2) div g (X) ω g.
Istituzioni di geometria superiore - prova scritta del 4 febbraio 6 Prima parte Su R dotato delle coordinate cartesiane {x, y} si considerino la metrica g data da e il campo vettoriale g = dx dx + e x
DettagliEsercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica
Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica Foglio 3 - Soluzioni Esercizio. Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi vettoriali: (a) S = {(x y z) R 3 : x + y + z = }. (b)
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Esercizio. x = 0 x = Date le rette r : y = t e s : y = t, si verifichi che sono sghembe e si scrivano le equazioni z = t z = t parametriche di una retta r ortogonale ed
DettagliEsame di Complementi di Matematica (STC) e Parziale di Matematica II (SMat). 3 Maggio Soluzioni
Esame di Complementi di Matematica (STC) e Parziale di Matematica II (SMat). 3 Maggio 2006. Soluzioni In questo documento sono contenuti gli svolgimenti del tema d esame del 05/06/2006. Alcuni esercizi
DettagliCompito di Geometria e Algebra per Ing. Informatica ed Elettronica
Compito di Geometria e Algebra per Ing Informatica ed Elettronica 17-02-2015 1) Sia f : R 4 R 3 la funzione lineare definita da f((x, y, z, t)) = ( x + y 2z + kt, x + y + t, 2x + y + z) (x, y, z, t) R
DettagliCognome: Nome: Matricola: Prima parte
Analisi e Geometria 1 Primo appello 14 Febbraio 217 Compito B Docente: Numero di iscrizione all appello: Cognome: Nome: Matricola: Prima parte a. Scrivere la condizione di ortogonalità tra il piano (X
Dettaglix1 + 1 x T p. x 2
Geometria e Algebra Trasformazioni del piano Soluzioni Siano p e q i Trovare le formule per la traslazione T p ii Calcolare T p T p iii Calcolare T p T p iv Calcolare T q T p T p T q Sol i Si ha ii iii
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni Esercizio 1. Nello spazio sono dati i punti A = (1, 2, 3), B = (2, 4, 5), C = (1, 1, 4). a) Scrivere equazioni parametriche della retta r 1 passante
DettagliAnalisi e Geometria 1 - Seconda Prova - 2 Febbraio 2016 Terza parte (Compito A)
Politecnico di Milano, Scuola di Ingegneria Industriale e dell Informazione Analisi e Geometria 1 - Seconda Prova - 2 Febbraio 216 Terza parte (Compito A) Sia data, per ogni valore del parametro reale
DettagliEs. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale. Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti.
Es Es Es Es Totale Analisi e Geometria Secondo compito in itinere 0 Gennaio 0 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es: 8 punti;
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni
Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)
DettagliANALISI B alcuni esercizi proposti
ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la
Dettagli0.1 Spazi Euclidei in generale
0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo
DettagliDerivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) =
Derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità 1. a) Calcolare le derivate direzionali e le derivate parziali in (0, 1) di f(x, y) = 3 x (y 1) + 1. b) Calcolare D v f(0, 1), dove v è il versore
DettagliAnalisi Matematica 2. Michele Campiti. Prove scritte di. Ingegneria Industriale a.a
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 2 Ingegneria Industriale a.a. 20 202 Grafico della funzione f(x, y) := sin(2x 2 y) cos(x 2y 2 ) in [ π/2, π/2] 2 Raccolta delle tracce di Analisi Matematica
DettagliProvadiprova 1 - aggiornamento del 23 Ottobre 2013
Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Analisi matematica - a.a. 03-4 - Prof. Gabriele Anzellotti Provadiprova - aggiornamento del 3 Ottobre 03 a) Curve: rappresentazione
Dettagli1. Riconoscere la natura delle coniche rappresentate dalle seguenti equazioni e disegnarle:
Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 204-205 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi proposti n. 3: Funzioni a due variabili. Riconoscere
DettagliESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 2006/2007
ESERCIZI I ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 006/007 1 FUNZIONI IN UE VARIABILI (I parte) Insiemi di definizione eterminare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni in due
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea in Fisica a.a.2001/02
I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA INDUSTRIALE 27 GENNAIO 2014
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA INDUSTRIALE 27 GENNAIO 2014 DOCENTE: MATTEO LONGO Rispondere alle domande di Teoria in modo esauriente e completo. Svolgere il maggior numero di esercizi
DettagliEsame di GEOMETRIA (Appello del 30 gennaio 2018)
Esame di GEOMETRIA (Appello del 3 gennaio 28) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Siano dati i sottospazi di R 4 : W = L, 4, 5 2 2. Scrivere equazioni cartesiane per W. {, U : x +
DettagliProva scritta di Geometria - 16 Gennaio 2019
Prova scritta di Geometria - 16 Gennaio 2019 COGNOME e NOME(stampatello): 1. Supponiamo di sapere che l invariante cubico di una conica è A 24, quello quadratico è α 00 3, e quello lineare è I 4. (a) Classificare
Dettagli