Curve e superfici parametrizzate. R. Notari

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1 Curve e superfici parametrizzate R. Notari 17 Aprile

2 1. Cambi di parametro. Proposizione 1 Sia L : t (a, b) P (t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3 una curva regolare, e sia ϕ : s (c, d) ϕ(s) (a, b) una funzione di classe C 2 ((c, d)) invertibile. Allora L ϕ : s (c, d) (x(ϕ(s)), y(ϕ(s)), z(ϕ(s))) è una curva regolare con lo stesso supporto di L. Proposizione 2 Sia L : t (a, b) P (t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3 una curva regolare, e sia A = P (t 0 ) un suo punto. La funzione s(t) = t t 0 P (t) dt è monotona di classe C 2, e viene chiamata ascissa curvilinea. 2

3 2. Geometria delle curve. Teorema 3 Sia L : t (a, b) P (t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3 una curva regolare, e sia A = P (t 0 ) un suo punto. La retta tangente ad L in A ha equazione vettoriale AP = τp (t 0 ), τ R. Teorema 4 Sia L : t (a, b) P (t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3 una curva biregolare, e sia A = P (t 0 ) un suo punto. Il piano osculatore ad L in A ha equazione vettoriale AP = up (t 0 ) + vp (t 0 ), (u, v) R 2. 3

4 3. Curve piane. Teorema 5 Sia L : t (a, b) P (t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3 una curva regolare. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1. L è piana; 2. il vettore binormale è costante; 3. il piano osculatore ad L in un suo punto A contiene L; 4. le funzioni x(t), y(t), z(t), 1 sono l.d.. 4

5 4. Triedro fondamentale. Lemma 6 Sia v (s) = (v 1 (s), v 2 (s), v 3 (s)) un vettore con componenti di classe C 1. Se v ha modulo costante, il suo vettore derivato primo v (s) = (v 1 (s), v 2 (s), v 3 (s)) è ortogonale a v per ogni valore di t [a, b]. Teorema 7 (Formule di Frenet) Sia L : s (a, b) P (s) = (x(s), y(s), z(s)) R 3 una curva biregolare parametrizzata con l a- scissa curvilinea, e sia ( t (s), n (s), b (s)) il triedro fondamentale. Allora d ds d t = κ n ds n = κ t τ b b = τ n. d ds 5

6 5. Esistenza di curve. Teorema 8 Sia κ = κ(s) una funzione positiva di classe C 2 ([a, b]), e sia τ = τ(s) una funzione di classe C 2 ([a, b]). A meno di movimenti rigidi di R 3 esiste una ed una sola curva biregolare L avente κ come curvatura in ogni suo punto, ed avente τ come torsione in ogni suo punto. 6. Superfici parametrizzate. Proposizione 9 Sia S : (u, v) D P (u, v) R 3 una superficie regolare, e sia ϕ : (s, t) D (u(s, t), v(s, t)) D una funzione iniettiva di classe C 1 con jacobiana invertibile in ogni punto di D. Allora S ϕ è una parametrizzazione regolare di S. 6

7 Proposizione 10 Sia data la superficie regolare S : (u, v) D P (u, v) R 3, dove P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Le linee coordinate e L u : (u, v 0 ) P (u, v 0 ) L v : (u 0, v) P (u 0, v) sono curve regolari che dipendono dalla parametrizzazione scelta. Proposizione 11 Sia S : (u, v) D P (u, v) R 3 una superficie regolare, e sia A = P (u 0, v 0 ) un suo punto. Il piano tangente ad S in A ha equazione vettoriale AP = sp u (u 0, v 0 ) + tp v (u 0, v 0 ), (s, t) R 2, e non dipende dalla parametrizzazione scelta. 7

8 7. Cilindri. Proposizione 12 Sia L : t (a, b) (x(t), y(t), z(t)) R 3 una curva regolare, e sia v = (a, b, c) un vettore non nullo. Il cilindro avente L come direttrice e generatrici parallele a v ha equazione parametrica (t, s) (a, b) R P (t, s) R 3 dove P (t, s) = (x(t) + sa, y(t) + sb, z(t) + sc). Le sue linee coordinate sono rette (fissata t), e curve traslazioni di L (fissata s). Il piano tangente è parallelo ai vettori P (t) e v, e quindi è costante su ogni generatrice. Proposizione 13 Ogni cilindro S con generatrici parallele all asse x può essere descritto tramite una funzione f(y, z) = 0. 8

9 8. Coni. Proposizione 14 Sia L : t (a, b) (x(t), y(t), z(t)) R 3 una curva regolare, e sia V (x V, y V, z V ) un punto di R 3. Il cono di vertice V avente direttrice L ha equazione parametrica (t, s) (a, b) R P (t, s) R 3 con P (t, s) = (x V + s(x(t) x V ), y V + s(y(t) y V ), z V + s(z(t) z V )). Le linee coordinate sono rette (fissato t), ed omotetie di L (fissato s). Il piano tangente è parallelo ai vettori V P (t) e P (t) in tutti i punti del cono tranne che nel vertice, e quindi il piano tangente è costante sulle generatrici. Il vertice è un punto singolare del cono. Proposizione 15 Ogni cono con vertice nell origine può essere rappresentato da un equazione omogenea f(x, y, z) = 0. 9

10 9. Superfici di rotazione. Proposizione 16 Sia L : t (a, b) (ρ(t), 0, z(t)) R 3 una curva regolare contenuta nel piano [xz] che non incontra l asse z. La superficie che si ottiene ruotando L attorno all asse z ha equazione parametrica (t, s) (a, b) [0, 2π] P (t, s) R 3 con P (t, s) = (ρ(t) cos s, ρ(t) sin s, z(t)). Le linee coordinate sono circonferenze (fissato t), e copie di L in piani ottenuti ruotando [xz] (fissato s). Il piano tangente in un suo punto A è parallelo al vettore tangente alla circonferenza coordinata per A ed al vettore tangente alla copia di L per A. I piani tangenti ai punti di una circonferenza coordinata intercettano l asse z tutti nello stesso punto. Proposizione 17 Ogni superficie di rotazione attorno all asse z può essere rappresentata da un equazione f( x 2 + y 2, z) = 0. 10