REGISTRO DELLE LEZIONI

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA Facoltà di INGEGNERIA REGISTRO DELLE LEZIONI Del Corso Geometria 2 (Parte del corso Analisi matematica e Geometria) - Codice Laurea Magistrale in Ingegneria Navale tenute dal Prof. Anna Oneto nell anno accademico RIEPILOGO DEL CORSO N. delle lezioni 28 per totale ore 28. N. delle esercitazioni per totale ore 14. Annotazioni. Il Docente Il Preside Art. 39 del regolamento generale universitario: Ciascun Professore, sia di ruolo sia incaricato, e ciascun libero Docente deve tenere per ogni corso un registro nel quale nota giorno per giorno l argomento della lezione o lezione tenuta, apponendovi la firma. Questo registro, munito del visto del Preside della Facoltà o del Direttore della Scuola, deve essere alla fine delle lezioni o ad ogni richiesta del Rettore, consegnato alla Segreteria dell Università. Esso è ostensibile ad ogni richiesta del Preside o del Rettore e viene consegnato alla Segreteria dell Università alla chiusura dei corsi.

2 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 1 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 2 Ripasso spazi vettoriali e sistemi lineari.. Basi-sistema di generatori-dimensione-coordinate. In K^n: max n. vettori indipendenti = rango matrice associata. Teorema su base, numero vettori n. sistema di generatori. addì addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE 3-4 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 5 Sottospazi: soluzioni di sistemi lineari omogenei e non. Spazi euclidei: prodotti scalari e ortogonalità. Ortogonalità in spazi euclidei: Sottospazi ortogonali, Complemento ortogonale, Basi ortonormali. addì addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE 6 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 7-8 Algoritmo di ortonormalizzazione di Gram Schmidt. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Diagonalizzazione di matrici simmetriche Teorema Spettrale. addì addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE 9-10 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 11 Forme quadratiche, prime definizioni. Forme quadratiche e matrici associate. Matrici antisimmetriche. Matrici simmetriche congruenti e forme quadratiche associate. Criterio degli autovalori. addì addì

3 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 14 Similitudine e congruenza di matrici. Algoritmo di Gauss "Gauss simmetrico" per determinare il carattere di definizione di una Forma Quadratica ed esercizi Criterio dei minori principali. Regola di Cartesio. ed esercizi su cambiamenti di coordinate nello spazio. addì addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 17 Coniche: definizioni e Teorema di riduzione a forma canonica: caso ellissi e iperboli. Gli autovalori della matrice 2x2 associata. Teorema di invarianza di traccia e determinanti per roto-traslazioni. Equazioni di coniche e forma canonica: gli autovalori delle matrici associate. Teorema di invarianza di traccia e determinanti per roto-traslazioni. addì addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 20 Superfici e curve nello spazio: introduzione. Forma cartesiana e parametrica. Matrice Jacobiana. Funzioni omogenee. Coni: riconoscimento, vertice, esempi. Cono in equazioni cartesiane e parametriche. un esempio Cono: x=u,y=uv^2 z=uv oppure x=u^2, y=v^2, z=uv.linee coordinate. Cilindri: equazioni parametriche e cartesiane.. Proiezione di una linea su piani coordinati, o lungo una qualsaiasi direzione. addì addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 23 Conoidi. Superfici di rotazione, esempi. Ottoenuto parabolide ellittico, o di rotazione di una retta attorno ad una sghemba. Studio iperboloide ottenuto e delle sue schiere di rette. Quadriche definizioni, matrici associate Quadriche dimostrazione di invarianza di Det A, det B Con rototraslazioni. Metodo riduzione a forma canonica: primo caso tre autovalori diversi da 0 addì addì

4 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 26 Classificazione delle Quadriche Piano tangente ad una superficie o di riduzione a forma canonica di una quadrica. addì addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 29 Esercizi vari su superfici in parametriche e cartesiane. Schiere di rette su una quadrica. Quadriche di rotazione. Svolgimento prova scritta del addì addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 32 Esercizi su superfici (costruzioni di quadriche Schiere di rette ) Quadriche a punti ellittici parabolici iperbolici addì addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE Cono tangente ad una curva piana singolare con punto doppio Tipo di punti su suoerficie: caso generale. o con Equazioni parametriche. Tipo di punti su una superficie. Il caso z=f(x,y), mediante lo studio della matrice Hessiana. Utilizzo quadrica osculatrice. addì addì

5 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 37 ARGOMENTO DELLA LEZIONE Quadriche e piani tangenti. o esame scritto del : 2(k+1)xy-2xz+ 3y^2+2kyz+2 x =0; da risolvere studiando il tipo dell'origine al variare di k in R Per ogni k in R studiare il carattere di definizione della forma quadratica associata e dire se ci sono paraboloidi. addì Curvatura di curva in un puno, cerchio osculatore. Curvatura di una superficie in un punto, prime definizioni. Curvatura di circonferenza e di parabola in O(0,0,0) Sezioni normali. Curvatura di Gauss e curvatura media. Teorema funzioni implicite (solo enunciato) addì ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 42 Curvature e matrice hessiana quando l'equazione di superficie viene scritta z=f(x,y) Dimostrazione teorema esistenza sezioni normali con curvatura max e minima su piani ortogonali. : z=e^(xy) Sella di scimmia z=x(x^2-y^2) Forma esplicita del cilindro x^2+z^2-2z=0 in (0,0,0) addì Cenno sulle superfici sviluppabili (cio\`e aventi curvatura di Gauss nulla in ogni punto): condizioni equivalenti. Solo enunciato. addì