QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica

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1 Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei AA / Quaderno # 8 - Settembre

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3 Gli esercizi proposti in questa raccolta sono stati assegnati come temi d esame dei corsi di Geometria tenuti negli ultimi anni presso il Corso di Laurea in Fisica dell Università di Torino La suddivisione in capitoli rispetta l andamento del programma del Corso di Geometria e Algebra Lineare I, per la Laurea in Fisica (di primo livello), relativo agli AA 999/ e / Il capitolo 7 è riferito al programma del Corso di Complementi di Geometria e Algebra lineare I per l AA / Negli ultimi capitoli sono riportate alcune soluzioni e qualche svolgimento ottenuto per lo più usando il pacchetto di calcolo simbolico Mathematica, versione 4 Si ringraziano i Proff PM Gandini, S Garbiero e A Zucco per aver permesso l inserimento in questa raccolta degli esercizi da loro assegnati e svolti negli anni in cui essi tenevano l insegnamento del Corso di Geometria presso il Corso di Laurea in Fisica Grazie di cuore a Simon M Salamon per i suoi preziosi consigli iii

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5 Indice Sistemi lineari Matrici e determinanti 6 3 Calcolo vettoriale 9 4 Autovalori e autovettori 4 Geometria analitica nel piano 3 6 Geometria analitica nello spazio 3 7 Sottospazi vettoriali 8 Soluzioni - Sistemi lineari 66 9 Soluzioni - Matrici e determinanti 76 Soluzioni Calcolo vettoriale 8 Soluzioni - Autovalori e autovettori 89 Soluzioni - Geometria analitica nel piano 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 49 4 Soluzioni - Sottospazi vettoriali 87 v

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7 Capitolo Sistemi lineari Risolvere e discutere, al variare degli eventuali parametri reali, i seguenti sistemi lineari: [] x x x 3 x x x 3 x x x 3 [] x x x 3 x x x 3 x x x 3 4 [3] x x x 3 4x 4 9 4x 3x 3 x 4 8x x x 3 9x 4 8 [4] x y z 4t x y 4z t x y 3z t 3x 3y z 6t [] x y az x y bz 3 y cz [6] x y z x y z 3x y z x y z k [7] ax y z x ay z 3 a x y az a

8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [8] x y z a x ay z x y az a [9] x y Λz Λ x Λy z Λ Λx y z [] x az 3x ay z ax z [] x y z x 3y kz 3 x ky 3z h [] kx y z x ky z x y kz h [3] x y z x y z b 3x 3y az [4] x 3y z x y z 4x y az b [] 3 kx y z a x 4 ky z b 3x 3y kz c [6] kx ky kz k 4 kx 3ky kz k kx ky kz k [7] h x hy h z 3 h h x hy hz 3h h x h z 3h [8] m x y mz m mx my m z m x y z m 3 Università di Torino

9 Capitolo Sistemi lineari 3 [9] k x k y z x ky z kx k z [] kx k y z 4 k k y z k 3 kx k y z 8 9k [] kx y kz kx 3 ky 3kz kx k y kz [] x x x 3 a ax x x 3 x ax x 3 4 [3] x y z t a x y z 4t a x z t [4] x ax x 3 x x ax 3 4 x x x 3 a [] x z t x y z t a 4x y z t a [6] x y 3z t 4x y z t x y az t [7] x x x 3 Λx 4 x Λx x 3 x x 3 x x x 3 Λx 4 [8] x y z x Λy Λz Λ x Λy z Λ [9] x y z 3x y z 4x Λy Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

10 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [3] 3x y z x 3y 3z 7x 4y z 3 x y z [3] x y hz h x y z x hy 4z [3] hx y hz x y z h 3x 3y h z h [33] Verificare che per a il seguente sistema lineare è incompatibile: x y z x z x 4y az [34] Discutere la compatibilità del seguente sistema lineare, al variare dei parametri h, k Determinare esplicitamente le soluzioni (quando è possibile) usando anche (quando è possibile) il teorema di Cramer: hx y z x y hx y z k [3] Discutere la compatibilità del seguente sistema lineare, al variare dei parametri h, k Determinare esplicitamente le soluzioni (quando è possibile) usando anche (quando è possibile) il teorema di Cramer: x x x 3 x hx hx 3 x 3hx hx 3 k [36] Discutere la compatibilità del seguente sistema lineare, al variare dei parametri h, k Determinare esplicitamente le soluzioni (quando è possibile) usando anche (quando è possibile) il teorema di Cramer: x x x 3 hx hx x 3 3hx hx x 3 k [37] Dato il sistema lineare: x x x 3 hx hx x 3 3hx hx x 3 k, i) determinare tutte le soluzioni nel caso di h k ; ii) discutere l esistenza delle soluzioni e determinarle (quando è possibile) al variare di h, k Università di Torino

11 Capitolo Sistemi lineari [38] Dato il sistema lineare: x x x 3 k x kx x 3 x kx x 3 k, i) determinare tutte le soluzioni nel caso di k ii) Discutere l esistenza delle soluzioni, al variare di k Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

12 Capitolo Matrici e determinanti [] Dopo aver verificato che la matrice: A è invertibile, calcolare A [] Dopo aver verificato che la matrice: A 3 è invertibile, calcolare A [3] Data la matrice: A 3 4 h, al variare del parametro reale h discutere l esistenza della matrice A e calcolarla, quando è possibile, usando due metodi diversi [4] Data la matrice: A 3 h h, determinare i valori di h per cui A è invertibile, e in questi casi, scrivere A [] i) Stabilire per quali valori di h la matrice: A h 3 6

13 Capitolo Matrici e determinanti 7 è invertibile ii) Posto h, determinare l inversa di A [6] Stabilire per quali valori di h la matrice: è invertibile A h h 3 Calcolare il determinante delle seguenti matrici, riducendole, eventualmente, a forma triangolare supe- riore [7] A 3 4 [8] A [9] A [] A [] A k k k 3 3 k k 3 k [] A x x x x x 3 x 4 6 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

14 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [3] Date le matrici: A a, X x x x, B 3 a, determinare le soluzioni del sistema lineare AX B, al variare di a in [4] Date le matrici: A 3 a 4 4 3, X x x x, B 4 a, determinare le soluzioni del sistema lineare AX B, al variare di a in [] Date le matrici: A B , B 3, X, B 3 x x x 3 x 4,, determinare le soluzioni dei sistemi lineari AX B,AX B,AX B 3 Università di Torino

15 Capitolo 3 Calcolo vettoriale Tutti gli esercizi, a meno di esplicita dichiarazione contraria, sono da considerarsi nello spazio vettoriale reale V 3 dei vettori ordinari, riferito ad una base ortonormale positiva B,, I simboli:, indicano, rispettivamente, il prodotto scalare e il prodotto vettoriale (esterno) tra due vettori [] Dati i vettori: h 3, h k, k, h,k, trovare per quali valori di h, k esistono dei vettori Ü V 3 tali che: Ü Ü e determinare, quando è possibile, le componenti di Ü [] Se e sono vettori non nulli, ortogonali, calcolare: [3] Dati i vettori:,, e,,, determinare una base ortogonale positiva di V 3 contenente eun vettore complanare ad ea [4] i) I vettori:,, e,, possono rappresentare i lati di un rettangolo? ii) Determinare i vettori Ú che rappresentano le altezze del parallelogramma individuato da e [] i) I vettori:,, e,, possono rappresentare i lati di un rombo? ii) Determinare le rette vettoriali bisettrici degli angoli individuati da eda [6] Dati i vettori:,, e,,, determinare una base ortogonale positiva contenente eun vettore ortogonale sia ad sia a 9

16 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [7] Dati i vettori:, 3,h,,,,,,, determinare per quali valori di h, esiste un vettore Ü di V 3 che verifica tutte le seguenti condizioni: i) Ü sia complanare ad ea; ii) Ü sia perpendicolare a ; iii) il vettore proiezione ortogonale di Ü su sia [8] Dati i vettori: Ù,, 3 e Ú,, 3, determinare il vettore Ü simmetrico di Ù rispetto a Ú [9] Dati i vettori: Ù,, 3 e Ú,, 3, determinare i vettori bisettori degli angoli individuati da Ù e Ú [] Dati i vettori:,, 3,, 3,,,,, determinare, se esistono, i vettori Ü tali che: Ü Ü [] Calcolare il valore della seguente espressione:, dove,, sono vettori qualsiasi dello spazio vettoriale reale V 3 [] Dati i vettori: Ù,, e Ú,,, scomporre il vettore Ú nella somma di un vettore parallelo ad Ù e di un vettore ortogonale ad Ù [3] Siano Ù, Ú vettori di V 3, provare che: Ù Ú Ù ÙÚ ÚÙ Ú [4] Verificare che i vettori: Ù e Ú sono ortogonali e determinare le componenti del vettore Û 3 rispetto alla base B Ù, Ú, Ù Ú [] Dati i vettori: Ù e Ú, determinare i vettori Ü di V 3, complanari a Ù eaú, ortogonali a Ù Ú e di norma [6] Dati i vettori: Ù e Ú, i) verificare che Ù è ortogonale a Ú; ii) determinare i vettori Ü tali che Ù Ü Ú Università di Torino

17 Capitolo 3 Calcolo vettoriale [7] Dati i vettori: Ù,, e Ú,,, determinare i vettori Ü di V 3 tali che la loro proiezione ortogonale sul piano individuato da Ù e Ú sia il vettore 3Ù 4Ú [8] Dati i vettori: Ù,,h, Ú,,h, Û,,, determinare per quali valori di h esistono uno o più vettori Ü V 3 che verificano simultaneamente le seguenti condizioni: i) Ü è perpendicolare ad Ù; ii) il vettore proiezione ortogonale di Ü su Ú è Ú; iii) il volume con segno del tetraedro individuato dai vettori Ü, Ú, Û vale 8 [9] i) Dati i vettori:,, e,,, si determini il vettore Ü tale che: a) l area del parallelogramma individuato da edaü sia 6 b) B,, Ü sia una base ortogonale positiva ii) Si determinino le componenti del vettore 4 3 rispetto alla base B [] i) Dati i vettori:,, e,,, si determinino tutti i vettori Ü tali che la proiezione ortogonale di Ü sul piano vettoriale generato da eda sia il vettore ii) Scelto un vettore Ü particolare, si determinino le componenti del vettore 4 3 rispetto alla base B,, Ü [] Dati i vettori: Ü Λ, Ý Λ Λ, Þ, i) esistono dei valori di Λ per cui i tre vettori risultino complanari? ii) Esistono dei valori di Λ per cui il vettore Ü bisechi l angolo formato da Ý e da Þ? [] Dati i seguenti vettori:, 3,,,a 6,a 4, 3,a 3,a a,,,a, a, i) determinare i valori del parametro a per cui i vettori,, 3 sono linearmente indipendenti ii) Posto a, determinare le componenti del vettore rispetto alla base,, 3 [3] Dati i vettori: Ù,,, Ù,, 3, Ù 3 3,,h, dire per quali valori di h i vettori Ù, Ù, Ù 3 sono linearmente indipendenti [4] Dati i vettori: Ù, 3,, Ú,,, verificare che V LÙ, Ú ha dimensione Trovare per quali valori di t il vettore Û t,, appartiene allo spazio V e, per tali valori, determinare le sue componenti rispetto ai vettori Ù e Ú Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

18 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] Siano E il sottospazio di V 3 generato dai vettori: Ù e Ù, E il sottospazio di V 3 generato dai vettori: Ú e Ú Determinare una base e la dimensione di E E [6] Dati i vettori,,, 3,,,,,, determinare la proiezione ortogonale di sul piano individuato da e [7] Dati i vettori: Ú, k,, Ú, k, 6, Ú 3 4, 7 k, 8, k, i) per quali valori di k i vettori Ú, Ú, Ú 3 sono linearmente dipendenti? ii) Per tali valori provare che B Ú, Ú è una base e trovare le componenti di Ú 3 rispetto a B [8] Dati i vettori:,,, i) verificare che,, è una base di V 3 ii) Costruire una base ortonormale,, 3 di V 3 tale che sia parallelo ad ed sia complanare ad e a (Si può usare indifferentemente il calcolo vettoriale elementare o il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt) [9] Dati i vettori: Ù h, Ú h, Û h h, h, i) determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori Ù, Ú, Û siano complanari ii) Determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori Ù e Ú siano paralleli iii) Determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori Ù, Ú, Û costituiscano una base ortogonale iv) Posto h, determinare il vettore proiezione ortogonale di Ù sul piano generato da Ú e da Û [3] Determinare un vettore unitario perpendicolare a Ù eaú, con componente positiva lungo [3] Dati i vettori: Ù h h, Ú h, Û h, h, i) determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori Ù, Ú, Û siano complanari ii) Determinare, se esiste, un valore di h per cui i vettori Ù e Ú siano paralleli [3] Dati i vettori: h, h, h, i) determinare h in modo che 6 ii) È possibile determinare h in modo che sia ortogonale a? E in modo che sia parallelo a? Giustificare le risposte [33] Dati i vettori: Ù,, e Ú,,, i) determinare i vettori complanari a Ù eaú, ortogonali ad Ù e aventi norma ii) Determinare le componenti del vettore rispetto alla base formata da Ù, Ú, Ù Ú Università di Torino

19 Capitolo 3 Calcolo vettoriale 3 [34] Dati i vettori: Ù,,, Ú,,, Û t,t,t, t, i) determinare il valore di t in modo tale che Ù, Ú, Û siano complanari ed esprimere Û come combinazione lineare di Ù ediú ii) Posto t, determinare il vettore Û perpendicolare a Ù, aú, avente norma uguale alla norma di Û e formante un angolo ottuso con [3] Utilizzando il prodotto scalare, dimostrare che: un parallelogramma ha quattro lati uguali se e solo se le diagonali sono perpendicolari [36] Utilizzando il prodotto scalare, dimostrare che le diagonali del rombo sono bisettrici degli angoli Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

20 Capitolo 4 Autovalori e autovettori Trovare gli autovalori e gli autovettori delle seguenti matrici: [] A [] A [3] A [4] A [] A [6] A 4 [7] A 4

21 Capitolo 4 Autovalori e autovettori [8] A [9] A [] A [] A [] A [3] A [4] A 3 [] A [6] Data la matrice: A a a 3 4 4,a, i) determinare per quali valori del parametro a la matrice A ammette l autovalore Λ ii) Posto a, esistono 3 autovettori di A linearmente indipendenti? Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

22 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [7] Si considerino le seguenti matrici: A 3, B i) Determinare (se esiste) una matrice P tale che P AP B ii) Esiste una matrice ortogonale Q tale che Q AQ B? [8] Data la seguente matrice: A h h h h h h,h, i) trovare il valore di h per cui A abbia rango minore di 3 Posto h nella matrice A: ii) determinare autovalori ed autovettori di A; iii) A è diagonalizzabile? [9] Data la matrice: A 4 4, trovare: i) gli autovalori e gli autospazi di A; ii) una base ortonormale di V 3 costituita da autovettori di A; iii) una matrice ortogonale P tale che P AP sia una matrice diagonale [] Sia data la matrice: A 3 3 h 6 4,h, i) trovare il valore di h per il quale la matrice A ha un autovalore eguale a 3 ii) Posto h, provare che A è diagonalizzabile, trovare una matrice diagonale D ed il cambiamento di base che la realizzi [] Dire se la matrice: A , ammette l autovalore Λ Università di Torino

23 Capitolo 4 Autovalori e autovettori 7 [] Al variare di a, discutere e risolvere il sistema lineare omogeneo AX dove: A a a a, X Posto a, scrivere la matrice B t A A e trovare gli autovalori di B x x x 3 [3] È assegnata la matrice: A a a a,a i) Dire per quali valori del parametro a, la matrice ha rango massimo ii) Posto a, trovare autovalori ed autovettori di A [4] Data la matrice: A a a,a, i) trovare i valori di a per i quali il rango di A è ii) Posto a, trovare autovalori ed autovettori di A [] Data la matrice: A a a,a, i) trovare i valori di a per i quali il rango di A è ii) Posto a, trovare autovalori ed autovettori di A [6] Sono date le seguenti matrici: A h h h, X x y z, B h,h i) Discutere, al variare del parametro h, le soluzioni dell equazione AX B Posto h nella matrice A: ii) scrivere la matrice C A t A e ridurla a forma diagonale; iii) dire se i vettori rappresentati dalle righe della matrice A costituiscono una base ortonormale dello spazio V 3 [7] Sono date le seguenti matrici: A h h h h Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica, X x y z, B h,h

24 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I i) Discutere, al variare del parametro h, le soluzioni dell equazione AX B Posto h nella matrice A: ii) scrivere la matrice B A t A e ridurla a forma diagonale iii) dire se i vettori rappresentati dalle righe della matrice A costituiscono una base ortonormale dello spazio V 3 [8] È data la matrice: A k h k, h,k i) Determinare per quali valori di h, k A è invertibile Posto h,k, ii) verificato che A è diagonalizzabile, determinare una matrice diagonale D e una matrice invertibile P tale che D P AP iii) Dire perché la matrice A è ortogonalmente diagonalizzabile e trovare una matrice ortogonale che la diagonalizzi [9] Sia A n,n una matrice invertibile i) Stabilire la relazione che intercorre tra gli autovalori di A e gli autovalori di A ii) Supponendo che A sia diagonalizzabile, vale a dire che esistano una matrice invertibile P e una matrice diagonale D tali che P AP D, verificare che A è diagonalizzabile e determinare una matrice P e una matrice D tali che P A P D [3] Sia A n,n Si consideri A AA i) Stabilire la relazione che intercorre tra gli autovalori di A e gli autovalori di A ii) Supponendo che A sia diagonalizzabile, vale a dire che esistano una matrice invertibile P e una matrice diagonale D tali che P AP D, verificare che A è diagonalizzabile e determinare una matrice P e una matrice D tali che P A P D [3] Data la matrice: A, determinarne autovalori e autospazi e dire se è diagonalizzabile [3] Data la matrice: A, i) determinarne gli autovalori ii) A diagonalizzabile? In caso affermativo, determinare una matrice B tale che B AB sia una matrice diagonale Università di Torino

25 Capitolo 4 Autovalori e autovettori 9 [33] i) Per quali valori del parametro h il sistema: ammette infinite soluzioni? Detta A la matrice dei coefficienti del sistema: ii) trovare per quali valori di h esiste A ; iii) posto h, dire se A è diagonalizzabile x hy z x hy z 3x y z, h, [34] Sia A n,n, dimostrare, oppure dare un controesempio alle seguenti implicazioni: i) A diagonalizzabile A invertibile; ii) A invertibile A diagonalizzabile [3] Sia: A 3 3 4, determinare la matrice B A t A Verificare che B è diagonalizzabile e scrivere una matrice B diagonale, simile a B [36] Sia: A k, k i) Per quali valori di kaè invertibile? ii) Per quali valori di kaè diagonalizzabile? [37] Si consideri la matrice simmetrica: A i) Decidere se A è invertibile e, in caso affermativo, determinare A ii) Calcolare gli autovalori e gli autospazi di A iii) Determinare una matrice P (non ortogonale) tale che P AP D, dove D è una matrice diagonale iv) Determinare una matrice ortogonale Q tale che Q AQ D [38] Determinare, al variare del parametro reale h, i casi in cui la seguente matrice A 3,3 è diagonalizzabile: A h Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

26 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [39] Verificare che la matrice: A 4 è diagonalizzabile e determinare una matrice A diagonale, simile ad A [4] Verificare che la matrice: A 3 è diagonalizzabile e determinare una matrice A diagonale, simile ad A [4] Verificare che la matrice: A è diagonalizzabile e determinare una matrice B tale che B AB sia diagonale [4] Verificare che la matrice: A è diagonalizzabile e determinare una matrice B tale che B AB sia diagonale [43] Determinare per quali valori del parametro reale k la matrice: è: i) invertibile, ii) diagonalizzabile A k k 3 k 3k 3 k k k k 3 k [44] i) Data la matrice: A h, h, determinare il rango di A, al variare di h ii) Posto h, trovare autovalori e autospazi della matrice B A t A e scrivere una matrice P che diagonalizzi ortogonalmente B Università di Torino

27 Capitolo 4 Autovalori e autovettori [4] Data la matrice A 4 h, h, stabilire per quali valori di h la matrice A è, rispettivamente: i) invertibile, ii) diagonalizzabile [46] Sia A una matrice quadrata qualsiasi i) Provare che A e la matrice trasposta t A hanno gli stessi autovalori ii) Trovare gli autospazi da A e t A dove: A e stabilire se coincidono oppure no (ricordare il punto i) [47] Stabilire per quali valori di h la matrice: è diagonalizzabile A 3 3 h 4 6 [48] Si consideri la matrice: A a b Determinare per quali valori di a, b A è diagonalizzabile, e, in questi casi, determinare una matrice diagonale A simile ad A e una matrice B tale che A B AB [49] Si considerino le matrici: A 3, B i) Dire se A e B sono matrici simili, giustificando la risposta ii) Determinare (se esiste) una matrice invertibile P tale che P AP B [] Stabilire per quali valori di h la matrice: è diagonalizzabile A h h Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

28 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] Stabilire per quali valori di h la matrice: è diagonalizzabile A h h h h Università di Torino

29 Capitolo Geometria analitica nel piano Tutti gli esercizi di questo capitolo sono assegnati nel piano ordinario, rispetto ad un riferimento cartesiano R O, x, y Ridurre a forma canonica le seguenti coniche, studiarle e scrivere esplicitamente il cambiamento di riferimento usato: [] x y 4x y 3 [] 3x y 6x [3] x y [4] x xy y x [] x y x 4y [6] x y [7] x 4xy y x 4y [8] x y [9] x 3y 4x 6y [] x xy x y [] y xy 3

30 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] x 3xy y 4 x y6 [3] x y [4] 4x y 3x 4 [] x 6xy 7y x 6y 9 [6] 3x 4xy 3y x y 3 [7] 3x 4xy 3y x y 3 [8] 3x xy 3y 6x y [9] x xy y x y [] x xy y y [] x xy y [] x xy 4 y x 6y 6 [3] 7x 8xy y 9x [4] x 4y 4x 8y 7 [] 4x y 8x 4y 7 [6] x 4xy 4y y 9 [7] 7x 8xy y 9x 6y [8] x 4xy y 6y 8 [9] 3x xy 3y x y 9 [3] x xy 4y Università di Torino

31 Capitolo Geometria analitica nel piano [3] x 3xy y x y [3] x xy 3y 7y [33] 3x xy 3y 4x 4y [34] x 4xy y 4x y [3] x 4xy y x 4y [36] x 3yx 4x 6y [37] Dati i punti A, e B 4, 3, i) scrivere l equazione del fascio di circonferenze passanti per A e B ii) Determinare la circonferenza del fascio avente centro sulla retta s passante per A parallela all asse y iii) Riconoscere e disegnare la conica di equazione: x 4y 4x 8y [38] Dati la circonferenza Γ di equazione: x y ed il vettore Ú 3 6, i) utilizzando il calcolo vettoriale, calcolare l area del triangolo individuato dai vettori Ú e ii) Verificare che la retta per l origine e parallela a Ú è tangente alla circonferenza Γ iii) Determinare le circonferenze del piano, tangenti a Γ nell origine e di raggio [39] Date le rette r y eds x y, determinare: i) la circonferenza tangente alla retta r nel suo punto P, ed avente centro su s; ii) il punto Q simmetrico di P rispetto ad s; iii) la distanza di P da s; iv) l equazione della parabola di fuoco P e direttrice s [4] Determinare l area del triangolo ABC, con A,,B 4,,C, 3 [4] Scrivere l equazione della circonferenza tangente nell origine alla retta r x3y e avente il centro sulla retta s: x y [4] Dati i punti O,,A 3, e B, 3, determinare le coordinate del punto d incontro delle altezze (ortocentro) del triangolo OAB [43] Determinare l equazione della circonferenza tangente alle due rette r y, s y e con centro sulla retta t 3x 7y 7 [44] Dati i punti O,,A 4, e B, 4, determinare le coordinate del punto d incontro degli assi (circocentro) del triangolo OAB Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

32 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [4] Scrivere l equazione della circonferenza passante per l origine, per il punto A, e che stacca sulla retta r x y una corda di lunghezza [46] Determinare le coordinate del vertice D del parallelogramma ABCD con A,,B, 3 e C, 4 [47] Determinare le equazioni delle circonferenze passanti per l origine, per il punto A, e tangenti alla retta r x y [48] Dato il triangolo T di vertici A 4,,B,,C, 3, i) determinarne l area ed il perimetro ii) Determinare il vertice V di un triangolo isoscele avente la stessa area di T e la stessa base AB iii) Osservato che il triangolo T è ottusangolo in B, determinare il cerchio di area minima contenente T iv) Determinare l equazione della parabola di fuoco il punto A e direttrice BC [49] Dati i punti P, 4 e P 3, 4, i) determinare l area e il perimetro del quadrato Q avente come diagonale P P ii) Determinare l equazione della circonferenza circoscritta a Q iii) Determinare l equazione dell ellisse E di fuochi P e P e semiasse maggiore di lunghezza pari al lato del quadrato Q (Non occorre sviluppare i calcoli) iv) Dire se gli altri due vertici di Q sono contenuti in E, giustificando la risposta [] Data la famiglia di curve: Γ a a x axy x xy, a, i) determinare per quali valori del parametro a Γ a è degenere ii) Posto a, verificare che Γ è un iperbole Determinare la sua forma canonica e scrivere le equazioni del cambiamento di riferimento usato [] Per quali valori di h la conica: h x h y 3h 3xy x y 6 è una parabola non degenere del piano? Determinare, rispetto ad un opportuno riferimento cartesiano, la forma canonica di tale parabola Scrivere, inoltre, esplicitamente il cambiamento di riferimento usato [] Data la matrice: A, i) determinare, se esiste, una matrice ortogonale P (con determinante positivo) in modo tale che P AP sia una matrice diagonale Università di Torino

33 Capitolo Geometria analitica nel piano 7 ii) Considerata la conica: x 4xy y classificarla, ridurla a forma canonica e scrivere le equazioni del cambiamento di riferimento usato [3] Data la conica: x 4xy y 6x 4y, i) riconoscere che si tratta di un iperbole e scrivere esplicitamente le equazioni del cambiamento di riferimento che permettono di rappresentarla in forma canonica ii) Determinarne (nel riferimento R O, x, y) le coordinate del centro, le equazioni degli assi e degli asintoti [4] Determinare vertice, asse e forma canonica della parabola Γ di equazione: 4x 4xy y y [] Ridurre a forma canonica l equazione della conica: x 4xy y 6x e scrivere le equazioni dei suoi assi [6] Ridurre a forma canonica l equazione della conica: 7x 8xy y 6x 6y, e determinarne le equazioni degli assi [7] Si consideri il fascio di coniche: x y x y tx y x y, t i) Per quali valori di t si ottengono coniche degeneri? ii) Verificare che tutte le coniche non degeneri del fascio hanno lo stesso centro iii) Ridurre a forma canonica la conica del fascio passante per il punto P, [8] Data la famiglia di coniche: 3x axy 3y x y 3, a, i) si studi il tipo di conica, al variare di a ii) Si trovi l equazione in forma canonica della conica corrispondente al valore a del parametro ed il relativo cambiamento di riferimento Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

34 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [9] Data la famiglia di coniche: C t tx txy y y t, t, i) classificare le coniche di C t, al variare di t ii) Scrivere in forma canonica le equazioni delle parabole appartenenti a C t iii) Posto t 4, scrivere in forma canonica la conica appartenente a C t così ottenuta [6] Data la famiglia di coniche: C Λ x Λxy Λy x Λ, Λ, i) classificare le coniche di C Λ, al variare di Λ ii) Scrivere in forma canonica le equazioni delle parabole appartenenti a C Λ iii) Posto Λ 4, scrivere in forma canonica la conica appartenente a C Λ così ottenuta [6] Sono date le coniche di equazione: x hxy y x h, h, i) riconoscere il tipo di conica al variare del parametro h ii) Trovare per quali valori di h la conica ha il centro sulla retta di equazione x [6] Data la conica: x xy 4 y x 6y 6, i) verificare che non è riducibile; ii) verificare che è una parabola; iii) sapendo che il vertice è V 9, 6, trovare l asse e la tangente nel vertice; iv) verificare che è la parabola di fuoco F, e direttrice d x y [63] Classificare e scrivere in forma canonica la conica: x y 4x 4y, determinare centro, assi ed eventuali asintoti [64] Data la conica: 3x xy 3y x y, i) è reale? ii) È riducibile? iii) Ha centro? iv) Di che conica si tratta? v) Ricavarne l equazione canonica Università di Torino

35 Capitolo Geometria analitica nel piano 9 [6] Data la conica: xy x y, i) verificare che non è riducibile; ii) verificare che è un iperbole equilatera; iii) trovarne il centro; iv) determinarne gli asintoti; v) verificare che la conica passa per P, e trovarne la tangente in P [66] Studiare la conica di equazione: 4xy 3y 8, ridurla a forma canonica e determinare le equazioni degli assi e degli asintoti [67] Riconoscere che, nel piano, l equazione: x xy y x y 7 rappresenta una parabola di cui si chiedono le coordinate del vertice e l equazione dell asse [68] Riconoscere che, nel piano, l equazione: 7x xy 7y 34x y 3 rappresenta un ellisse di cui si chiedono le coordinate dei vertici [69] Classificare, al variare del parametro h, la conica: x hxy 4y 8x 6y Posto h, ridurre la conica così ottenuta a forma canonica e determinare il cambiamento di riferimento usato per tale riduzione Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

36 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio Tutti gli esercizi di questo capitolo sono assegnati nello spazio ordinario, rispetto ad un riferimento cartesiano R O, x, y, z R O,,, [] Date le rette: r x y x z, s x y 6 x y z 6 et 3x z 3y z 4, i) scrivere le equazioni della retta l incidente r ed s e parallela a t ii) Trovare l equazione della sfera passante per i punti A,, e B,, e tangente alla retta t nel punto C,, iii) Determinare le equazioni delle circonferenze contenute nella sfera, aventi raggio r 4 3 e tangenti alla retta t [] Determinare le equazioni della circonferenza tangente nell origine alla retta: e passante per il punto A,, r x t y 3t z t, t [3] Dati i piani: Π x y z h, Π x ky, Π 3 x y z, h,k, i) studiare, al variare di h e k in campo reale, la loro posizione reciproca ii) Posto h, k, si consideri la retta r Π Π Determinare le equazioni della retta s, simmetrica di r rispetto al piano Π 3, e scrivere l equazione del piano che contiene r ed s iii) Trovare l equazione della sfera passante per il punto A 3,, e tangente al piano Π 3 nel punto B,, [4] Dati i punti: C,, 3,P,,,Q,, 3,R,, ed il piano Π x y, 7 i) determinare l equazione della sfera di centro C e raggio ii) Trovare l equazione del piano Α passante per i punti P, Q e R iii) Determinare l equazione della sfera avente il centro sul piano Π, e contenente la circonferenza Γ intersezione della sfera con il piano Α 3

37 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 3 [] Dati il punto A 3, 3, e le rette: r x y 3z x y z, s x y 3y z, i) determinare l equazione del piano Π passante per A, parallelo a r e a s ii) Scrivere l equazione della sfera tangente a Π in A e avente il centro sul piano xy [6] Date le rette: r x y eds: passante per l origine, parallela al piano: 3x y z e complanare con la retta di equazioni: x y z y 3, verificare che r e s sono sghembe e determinare la loro minima distanza [7] Determinare le equazioni della circonferenza passante per i punti A,,, B,, 4, C,, 3 [8] Dati il piano Π kx y hz e la retta r x hz 3x y, i) stabilire per quali valori di h e k : a) la retta ed il piano sono incidenti; b) la retta è parallela al piano; c) la retta è contenuta nel piano; d) la retta ed il piano sono perpendicolari ii) Si ponga h k e si considerino i punti A,, e B,, Si verifichi che le rette s, passante per A e perpendicolare a Π, e t, passante per B e parallela a r, sono sghembe [9] Determinare tutte le circonferenze del piano y tangenti all asse z nel punto P,, [] Dati il piano Π x y e i punti A,,,B,, di Π, determinare il luogo dei punti C di Π tali che l area del triangolo ABC sia 6 [] Dati i punti: A,,,B,, 4,C,,, determinare le equazioni della circonferenza circoscritta al triangolo ABC [] Dati il punto A 9,, e il vettore Ù, i) si trovi l equazione del piano Π passante per A e ortogonale ad Ù ii) Si determini l equazione della sfera tangente al piano Π nel punto P 7,, 4 e avente il centro sul piano Α x y z iii) Si trovino, infine, le equazioni della retta tangente a in P e parallela al piano coordinato yz [3] i) Si determini il piano Π contenente la retta: Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica r x t y t z t, t

38 3 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I e passante per l origine ii) Dopo aver verificato che l intersezione della sfera x y z x z con il piano Π è una circonferenza reale Γ, si trovi l equazione della sfera contenente Γ e avente il centro sul piano Α xy [4] Date le rette: r x at y t z 3t 3, t, s bx y 3x z, al variare dei parametri a e b in campo reale, si studi la mutua posizione di r ed s [] i) Determinare l equazione del piano passante per il punto A, 3,, parallelo alla retta r x y z e perpendicolare al piano Π x y z ii) Tra tutte le sfere tangenti al piano Π nel punto B,,, determinare quella tangente alla sfera x y z 6 [6] Nello spazio vettoriale reale V 3, rispetto ad una base ortonormale positiva B,,, sono dati i vettori: Ù,, 3, Ú,,, Û 3,, i) Determinare, se esiste, un vettore Ü di V 3 tale che: Ü sia ortogonale a Ù, Ü sia complanare a Ù eaú, la proiezione ortogonale di Ü su Û sia Û ii) Determinare le equazioni delle rette a e b tali che: a passa per il punto A,, ed è parallela al vettore Ù, b passa per il punto B 3,,,è complanare ad a ed è ortogonale a Ú iii) Calcolare la distanza dell origine dalla retta a iv) Scrivere l equazione della sfera avente centro in B e tangente alla retta a [7] Data la circonferenza Γ del piano z, di centro Q, 3, e raggio Ρ 3, determinare le equazioni delle sfere passanti per Γ e tangenti alla retta t x y 3 [8] Scrivere le equazioni della retta s, perpendicolare al piano Π x y z e incidente le rette a x 3 y 3z eb x t,y,z t [9] i) Determinare le equazioni della retta r, passante per l origine, incidente la retta s x t y 3t z t, t e ortogonale al vettore Ò,, ii) Scrivere l equazione della sfera avente il centro sulla retta r e passante per i punti A,, eb,, iii) Determinare l equazione del luogo dei centri delle circonferenze appartenenti a e aventi raggio Università di Torino

39 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 33 [] Date le rette: r x t y t z 4 3t, t e s x 3 u y u z 4 u, u, i) verificare che sono sghembe e determinare le equazioni della loro perpendicolare comune ii) Scrivere le equazioni della circonferenza tangente ad r nel punto P,, 4 e passante per il punto A,, [] Data la sfera: x y z 4x 3y 4z 4, i) determinare le equazioni della retta a parallela al piano xy e tangente a nel punto A,,, e le equazioni della retta b parallela al piano xz e tangente a nel punto B 4, 3, ii) Verificare che le rette a e b sono sghembe e determinare la loro minima distanza [] Dati il punto P,, e le rette: a x y 3 z, b z 3x y, i) determinare le equazioni della retta c passante per P, perpendicolare alla retta b e incidente la retta a ii) Scrivere l equazione della sfera, passante per il punto P, che interseca il piano xy secondo la circonferenza Γ x y x y (scritta in tale piano) [3] Determinare le equazioni dei piani Α e Β passanti per la retta r x y 4 z e aventi distanza (in valore assoluto) dal punto P,, [4] Date le rette: r x y z y 3z, s x y y 3z, i) verificare che r e s sono sghembe e determinare la loro minima distanza ii) Determinare le equazioni delle sfere aventi il centro sulla retta s e tangenti al piano: z appartengono ad un fascio? Tali sfere [] i) Scrivere le equazioni delle rette appartenenti al piano Α x y 3, parallele al piano Β x z e aventi distanza d 4 dal punto A,, ii) Determinare centro e raggio della circonferenza intersezione del piano Α con la sfera di centro l origine e raggio Ρ 4 [6] Fra tutte le sfere passanti per la circonferenza: Γ x y z 9 x 4y 4z 9, determinare quelle tangenti al piano x 3 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

40 34 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [7] Fra tutte le sfere passanti per la circonferenza: Γ x y z 9 x 4y 4z 9, determinare quelle aventi raggio Ρ 3 3 [8] Determinare la lunghezza della proiezione ortogonale del segmento AB, con A,, e B,, 3, sulla retta: r x y z x y z [9] Determinare le equazioni della retta tangente nell origine O,, alla circonferenza: Γ x y z x y x y z y z [3] Determinare le coordinate del punto simmetrico dell origine O,, rispetto alla retta: r x y z x y [3] Fra tutte le sfere tangenti al piano Π x y z nel punto P,,, determinare quelle secanti il piano xy secondo una circonferenza di raggio [3] Dati il piano Π x y z e il punto P,,, determinare le equazioni delle rette di Π, parallele al piano coordinato xy e aventi distanza d (in valore assoluto) da P [33] Determinare le equazioni delle sfere tangenti ai piani coordinati yz e xz e passanti per i punti A, 3, e B 3,, [34] Data la circonferenza: Γ x y z 9 x y 6z, i) verificare che il punto A 3,, del piano Π x y 6z è esterno alla circonferenza Γ ii) Determinare le equazioni delle rette del piano Π uscenti da A e tangenti alla circonferenza Γ [3] Determinare le equazioni delle sfere tangenti al piano Α x y z nel punto P,, e tangenti all asse z Università di Torino

41 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 3 [36] Determinare, al variare dei parametri reali h e k, la mutua posizione delle rette: a x hy z x y 3z k, b x y hz x y z k [37] Determinare l equazione della sfera passante per il punto A,, e per la circonferenza di centro C, 3, e raggio Ρ del piano Π: x y z 7 [38] Determinare le coordinate del punto P simmetrico del punto P,, 4 rispetto al piano Π di equazione x y z 3 [39] Determinare le equazioni delle sfere tangenti al piano Α xyz6 nel punto P,, e tangenti alla retta r: x z y [4] Determinare, al variare dei parametri reali h e k, la mutua posizione dei 3 piani: Π x hy z, Π x y hz, Π 3 x hy z k [4] Dati il punto P,, e le rette: r x y 3 z, s z 3x y, determinare: i) l equazione della sfera passante per il punto H,, 33 che interseca il piano xy secondo la circonferenza: Γ x y 4x y3, (scritta nel piano xy); ii) le equazioni della retta t passante per P, perpendicolare alla retta s e incidente la retta r; iii) l area del triangolo MNP dove M e N sono i punti di intersezione della retta r con la sfera [4] Dati i punti: P,,, P 3,,, P 3,,, P 4,,, i) detta H la proiezione ortogonale di P su P 3 P 4 e detta K la proiezione ortogonale di P 3 su P P, determinare le equazioni delle rette P H e P 3 K e studiarne la loro mutua posizione ii) Scrivere le equazioni della circonferenza circoscritta al triangolo P P P 3 [43] Date le rette: s x y z x y z e s x y z x 4y, i) verificare che s e s sono sghembe ii) Scrivere le equazioni della retta n perpendicolare comune a s eas iii) Determinare le coordinate dei punti di intersezione P s n e P s n iv) Determinare l equazione della sfera tangente a s eas nei punti P e P Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

42 36 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [44] Determinare le equazioni della retta tangente in P,, alla sfera di equazione: x y z x y z e che interseca la retta: s x y z [4] Assegnati il punto A,, sul piano Π x y z e la retta s di equazioni: x 3y z, determinare: i) le equazioni delle rette di Π, che passano per A e che formano con s un angolo φ tale che cos φ 3 ; ii) l equazione della sfera di centro A e tangente alla retta s [46] Dati la sfera: x y z x 4y z, e il piano: Π x y z, determinare: i) le coordinate del centro ed il raggio della circonferenza Γ intersezione di con Π; ii) le equazioni della retta tangente a Γ nell origine O,, [47] Dati il piano: Α x y z e la retta: r x y z, determinare: i) le equazioni della retta r simmetrica di r rispetto ad Α; ii) l equazione del piano individuato da r edar ; iii) le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da r edar ; iv) le equazioni delle sfere aventi il centro sulla retta r, tangenti al piano Α e passanti per il punto A,, Università di Torino

43 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 37 [48] Dati la retta: r x y z x y z, il punto A,, e h 7, determinare: i) i punti di r che hanno distanza h da A; ii) l equazione della sfera tangente in A al piano passante per A e per r e avente il centro sul piano: y [49] i) Discutere, al variare dei parametri h e k in, la posizione reciproca dei tre piani: Π x y hz, Π x 4y kz, Π 3 h kx k 4y h kz 4 h ii) Posto h, k, i piani Π e Π si incontrano in una retta Scrivere le equazioni delle sfere tangenti a Π ea Π (contemporaneamente) e passanti per il punto P,, [] Determinare le equazioni delle rette parallele al piano xy e tangenti alla circonferenza: Γ x y z x 3y x y z [] Dati il piano: Π x hy 4z k, h, k e la retta: r x y z x z, i) studiare la loro mutua posizione al variare dei parametri h, k ii) Trovare le equazioni della circonferenza Γ di centro C,, 3 che stacca su r una corda di lunghezza 3 iii) Scrivere le equazioni delle rette tangenti a Γ parallele al vettore [] Scrivere le equazioni delle rette passanti per il punto M,,, parallele al piano Π: x z e tangenti alla superficie sferica di centro C, 4, e raggio r [3] Date le rette: r x az ax y 7, s x y a y, i) studiare la loro posizione reciproca stabilendo per quali valori di a le rette sono: sghembe, incidenti, parallele, coincidenti ii) Posto a, trovare il piano che contiene le due rette iii) Posto a, trovare l equazione della sfera tangente ad entrambe le rette ed avente diametro di lunghezza pari alla distanza tra r ed s Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

44 38 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [4] Dati il piano Π x 3y hz e le rette: r x y z k x z, s x t y 4 t z t, t, i) stabilire per quali valori di h, k : a) la retta r e il piano Π sono incidenti; b) la retta r e il piano Π sono paralleli; c) la retta r è contenuta nel piano Π ii) Posto h ek 3, trovare le equazioni della retta perpendicolare a Π ed incidente sia r sia s iii) Posto h, determinare il centro e il raggio della circonferenza Γ Π, dove è la sfera di centro C 3,, tangente al piano Π x y z 8 [] Date le rette: p x y x z 4, q x y z 4x y z 4, i) determinare l equazione del piano contenente p e perpendicolare a q ii) Determinare la retta passante per P,,, perpendicolare a p ed incidente la retta s x y z 3x y 7 iii) Scrivere le equazioni delle sfere di raggio, aventi centro su p e tangenti al piano Π x z [6] Date le rette: r x y z y z, s x y x z, i) verificare che le rette r ed s sono parallele e trovare l equazione del piano che le contiene ii) Calcolare la distanza tra le rette r ed s iii) Determinare le equazioni delle sfere aventi centro su r e tangenti sia al piano Π x y z sia alla retta s [7] Dati i piani: Π x hy z, Π x y hz h, Π 3 h x 3y z, i) determinare, per ogni h, la loro posizione reciproca ii) Posto h, si considerino la retta r Π Π ed il punto A r Π 3 Scrivere le equazioni della retta passante per A, perpendicolare ad r e parallela al piano Π 3 iii) Trovare l equazione della sfera tangente in A al piano Π 3 ed avente centro sulla retta s xy yz8 [8] Dati i punti P,,, P,, 3 e la retta s x y z, i) trovare le equazioni della retta r passante per P, perpendicolare ed incidente la retta s ii) Scrivere le equazioni delle sfere tangenti all asse x nel punto P, passanti per il punto P e tangenti alla retta s Università di Torino

45 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 39 [9] Dati il piano Π x y z e la retta r x y z x y 3z, i) scrivere l equazione del piano contenente r e perpendicolare a Π 3 ii) Determinare i punti della retta s x y x z che hanno distanza d dalla retta r iii) Sia Γ la circonferenza intersezione del piano Π con la sfera x y z x y h Trovare il valore di h in modo tale che il raggio di Γ sia [6] Dati il punto A,, e i piani: Α x z 3, Β y z, i) scrivere le equazioni delle rette contenute nel piano Α, parallele al piano Β ed aventi distanza 3 dal punto A ii) Sia Γ la circonferenza intersezione del piano Β con la sfera di centro A e raggio 6 Stabilire se il punto B,, del piano Β è interno o esterno a Γ iii) Trovare le rette tangenti a Γ parallele al piano Α [6] Dati i punti A 3,,, B 3,, 3 e la retta: r y z x 3y z 3, i) dopo aver verificato che le rette AB ed r sono incidenti, trovare il punto comune ed il piano che le contiene entrambe ii) Scrivere l equazione della sfera passante per A e B ed avente centro sulla retta r iii) Determinare l equazione del piano tangente a nel punto A iv) Trovare l equazione della circonferenza Γ contenuta nella sfera e tale che A, B siano estremi di un diametro di Γ [6] Date la sfera x y z x y e la retta: p x z y z, i) trovare le equazioni dei piani tangenti a che contengono la retta p ii) Determinare l equazione della sfera tangente a nell origine ed avente centro sul piano Π x y z iii) Trovare le circonferenze contenute nella sfera, che stanno su piani perpendicolari a p ed hanno raggio r [63] Dati i piani: Π x ky z k, Π kx y z, Π 3 x y kz k, i) determinare, per ogni k, la posizione reciproca dei tre piani ii) Posto k, trovare le equazioni della retta passante per il punto A,,, parallela a Π e complanare con la retta r Π Π 3 iii) Posto k, si consideri la circonferenza Γ di centro B,, e raggio contenuta nel piano Π 3 Trovare l equazione della sfera contenente la circonferenza Γ e tangente alla retta t Π Π Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

46 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [64] Si consideri la retta: r x z 4 y 3z, i) determinare il piano Π passante per r e parallelo all asse z Calcolare la distanza tra Π e l asse z ii) Trovare il centro e il raggio della circonferenza Γ di equazioni: x y z x y x y e scrivere le equazioni della retta tangente a Γ nel punto P,, [6] Determinare le equazioni della retta tangente alla sfera: x y z 6y nel punto A,, e ortogonale alla retta: r x y z x y z [66] Determinare l equazione del cilindro che contiene la parabola Γ: x z y e che ha le generatrici parallele alla retta r: z x y [67] Determinare l equazione della superficie generata dalla rotazione intorno alla retta a x y z della curva C z xy x y [68] Dato l iperboloide: I x 4 y 9 z, i) ricavare le equazioni delle rette r ed s, dell iperboloide, che passano per il punto P, 3, I ii) Scrivere l equazione del piano contenente r ed s iii) Determinare i punti della retta r che hanno distanza dal punto P uguale alla loro distanza dal piano xy [69] i) Si descriva la quadrica: ii) Si verifichi che la retta: r P x 4 y 9 z 3x y 6 3x y z appartiene a P Università di Torino

47 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 4 [7] Data la superficie: S x xy 4yz xz y z, i) stabilire se S è simmetrica rispetto all origine ii) Indicata con Γ la curva intersezione di S con il piano z, riconoscere che Γ è una conica e ridurla a forma canonica, determinando esplicitamente le equazioni del cambiamento di riferimento necessarie per tale riduzione [7] Date le rette: r x y x y z, s x y z x y, t x u y u z u, u, i) determinare le equazioni della retta parallela ad r e complanare sia con s sia con t ii) Dopo aver verificato che s e t sono sghembe, trovare la retta perpendicolare ed incidente entrambe iii) Determinare le equazioni della circonferenza di centro C,, tangente alla retta t iv) Trovare l equazione della superficie generata dalla rotazione della retta t intorno alla retta s [7] i) Scrivere l equazione del cono di vertice V,, le cui generatrici formano un angolo di l asse z ii) Scrivere le equazioni delle generatrici del cono appartenenti al piano: x y Π 4 con [73] Scrivere l equazione del cilindro circoscritto alla sfera di centro C,, e raggio r, avente le generatrici parallele alla retta: x t m y t z t, t [74] Determinare la superficie generata dalla rotazione dell asse z intorno alla retta r: x y z e verificare che si tratta di un cono con vertice nell origine [7] Determinare l equazione del cono di vertice V,, e di direttrice la circonferenza Γ passante per i punti A,,, B,, e C,, [76] Dati il piano Π x z e il punto P,,, i) determinare il luogo Γ dei punti di Π aventi distanza d 3 da P ii) Scrivere l equazione del cilindro con direttrice Γ e generatrici parallele all asse z [77] Determinare la superficie di rotazione che ha come asse la retta r: x y z e che contiene la retta: s x z y 3z Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

48 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [78] Determinare l equazione del cono di vertice O,, e che contiene la circonferenza del piano Π: z 4, di centro C,, 4, raggio r [79] Data la circonferenza: Γ y z 4y 3 x, determinare l equazione della superficie S generata dalla rotazione completa di Γ intorno all asse z [8] Si consideri la superficie: S x uv y u v u z u v, u, v i) Stabilire se S è una rigata ii) Decidere se esistono rette appartenenti ad S parallele al piano: y x iii) Posto v, scrivere la proiezione ortogonale della curva Γ di S, così ottenuta, sul piano: z Provare che Γ è una conica e ridurla a forma canonica [8] Provare che la superficie: S x u 3 uv v y cos u u vu z uv, u,v è una rigata Determinare, inoltre, il vettore direzionale della generica retta di S [8] Date le rette: r x t y t z, t, s x y z x 3y z e il punto P,, 3, i) scrivere le equazioni della retta r, passante per P, perpendicolare alla retta r e complanare con la retta s ii) Determinare la mutua posizione di r e s iii) Dopo aver verificato che: Γ x y z x 4y 4z x y z 9 è una circonferenza di cui si richiedono il centro e il raggio, determinare le equazioni della sua proiezione sul piano coordinato xy parallelamente alla direzione di s [83] Dati il punto C,, e la retta: r x t 4 y t z 3, t, i) scrivere le equazioni della circonferenza di centro C e tangente ad r ii) Trovare i punti A e B di r tali che il triangolo ABC sia rettangolo in A e abbia area 3 iii) Scrivere l equazione della superficie generata dalla rotazione della retta r intorno alla retta s di equazioni x,z 3 Dire di che superficie si tratta Università di Torino

49 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 43 [84] Dati il piano Α x z e la sfera x y z x, i) scrivere le equazioni della retta tangente a in P,, e parallela al piano Α ii) Determinare l equazione cartesiana del cilindro avente per direttrice la circonferenza Α e le generatrici parallele alla retta r x y z [8] Dati la retta: r x y y z, il vettore Ú e la superficie S di equazione x y z xz x z, i) scrivere l equazione del piano Π parallelo ad r, al vettore Ú e passante per l origine ii) Verificare che S è un cilindro con generatrici perpendicolari al piano Π iii) Sia C S Π, verificato che O C, scrivere l equazione della retta tangente a C in O [86] Data la circonferenza: Γ x y z y 6z x y z, i) determinare le coordinate del centro ed il raggio di Γ ii) Scrivere le equazioni della retta tangente a Γ nel punto A,, iii) Scrivere l equazione del cilindro di direttrice Γ e generatrici ortogonali al piano che la contiene [87] Data la sfera x y z 4x y 4z 6, i) trovare i piani paralleli al piano Α x y z che tagliano secondo una circonferenza di raggio 4 ii) Scrivere l equazione cartesiana del cilindro circoscritto a ed avente le generatrici ortogonali ad Α [88] Dati la circonferenza Γ di equazione: x y z z ed il vettore Ú 3 6, i) utilizzando il calcolo vettoriale, calcolare l area del triangolo individuato dai vettori Ú e ii) Verificare che la retta per l origine e parallela a Ú è tangente alla circonferenza Γ iii) Determinare le sfere passanti per Γ, aventi centro sul piano Π: z e raggio [89] Data la circonferenza: Γ x y z 3 y, i) determinare le coordinate del centro ed il raggio di Γ ii) Scrivere le equazioni del cono S di vertice V,, che proietta Γ iii) Verificato che la curva Γ, intersezione di S con il piano: z ha equazione: x xy y, studiare Γ Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

50 44 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [9] Date le rette: r x y z 4 y z, s x Λy x z Μ, i) al variare dei parametri Λ, Μ in campo reale, discuterne la loro posizione reciproca Posto Λ Μ, ii) dopo avere verificato che r ed s risultano sghembe, determinare le equazioni della loro perpendicolare comune iii) Scrivere l equazione della superficie generata dalla rotazione di r intorno ad s, decidere di quale superficie si tratta e scrivere la sua equazione in forma canonica [9] Si considerino la sfera x y z x z e i vettori Ù, Ú 3, i) determinare centro e raggio di e scrivere le componenti del raggio vettore per P,, ii) Determinare i piani paralleli ai vettori Ù e Ú che tagliano lungo circonferenze di raggio iii) Scrivere l equazione cartesiana del cono circoscritto a con vertice V, 3, [9] Data la curva: x Γ y t t z t, t, i) scrivere l equazione cartesiana del cono con vertice V,, che proietta Γ ii) Verificato che ha equazione: y z x ; sia Γ la curva sezione di con il piano xy, si determini la superficie S generata dalla rotazione di Γ attorno alla retta r x,z Che tipo di superficie è S? [93] Si considerino la retta: il vettore Ú e la curva: Γ r x y z x y, x t y t z t t, t i) scrivere l equazione della retta incidente r e l asse z e parallela a Ú ii) Scrivere l equazione cartesiana del cilindro con direttrice Γ e generatrici parallele a Ú [94] Si considerino le rette: r 3x y z x y s x y x y z t x 3 y z i) Determinare le equazioni della retta incidente r ed s e parallela a t ii) Scrivere l equazione della superficie ottenuta ruotando la retta r intorno alla retta s e precisare di quale superficie si tratti Università di Torino

51 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 4 [9] Dati la sfera x y z 4x 6y ed il vettore Ú 3, i) determinare le equazioni della retta tangente a in O,, ed ortogonale a Ú ii) Verificare che interseca il piano y ; trovare il centro ed il raggio della circonferenza intersezione iii) Scrivere l equazione del cilindro circoscritto a ed avente le generatrici parallele a Ú [96] Dati i punti: A,,, B,,, C,,, D 3,,, i) verificare che A, B, C, D non sono complanari ii) Determinare il piano Π contenente A, B e C iii) Scrivere l equazione della sfera di centro D e tangente a Π iv) Scrivere l equazione del cono di vertice A e circoscritto a [97] Dati i punti A,,, B 4,, 3 e la retta: r y x z, i) determinare un punto P di r tale che il triangolo ABP abbia area 3 ii) Scrivere le equazioni della circonferenza avente centro nel punto medio del segmento AB e tangente la retta r [98] Dati i punti A,, e B,,, i) determinare il punto P dell asse x equidistante da A e da B ii) Verificare che i punti A, B e P non sono allineati e calcolare l area del triangolo APB iii) Scrivere le equazioni della circonferenza passante per A, B e di centro P iv) Scrivere l equazione del cilindro circoscritto alla sfera di centro il punto medio del segmento AB, passante per A ed avente le generatrici parallele all asse x [99] i) Scrivere le equazioni della retta r passante per il punto A,, 3 e parallela al vettore di componenti,, ; ii) determinare le equazioni dei piani passanti per r e aventi distanza (in valore assoluto) pari a dal punto B,, ; iii) scrivere le equazioni della circonferenza di centro B e tangente alla retta r; iv) determinare l equazione del cono di vertice l origine, circoscritto alla sfera di centro C 4, 3, e raggio [] Si determinino le equazioni della circonferenza Γ di diametro OB, con O,, e B,,, appartenenti al piano di distanza (in valore assoluto) dal punto D,, [] Si determinino le equazioni della circonferenza Γ di centro C,, che taglia la retta: r x z x y secondo una corda di lunghezza Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

52 46 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] Date le rette: r x y x y z e s x 3y x y, i) verificare che r e s sono sghembe ii) Scrivere le equazioni della retta incidente r e s e parallela al vettore Ú iii) Scrivere l equazione cartesiana della superficie S generata dalla rotazione di r attorno ad s Riconoscere S iv) Verificare che il punto P,, 3 S Determinare centro e raggio del parallelo passante per P [3] Sono date le rette: r x y z, s 4x 3z 9 y ed il punto P,, ; i) trovare la retta passante per P ed incidente sia r sia s; ii) determinare le equazioni della circonferenza tangente in Q,, alla retta r e passante per il punto P [4] Date le sfere: x y z 6 e x y z 3, i) verificare che è una circonferenza Γ ii) Determinare il raggio, il centro di Γ e l equazione del piano che la contiene iii) Trovare le sfere contenenti Γ e tangenti al piano z iv) Scrivere l equazione del cono di vertice V 3,, 3, circoscritto alla sfera [] Assegnati i punti A,,, B,,, C, 3,, D, 7,, i) verificare che sono complanari; ii) scrivere le equazioni delle rette AC e BD e verificare che si intersecano; iii) determinare la sfera passante per A, B e C ed avente il centro sulla retta r x y [6] Dati i punti A,, 3,B,,,C 4,,, i) trovare il piano passante per i tre punti; ii) verificare che il triangolo ABC è rettangolo in B; iii) trovare le equazioni della retta BC ; iv) determinare la distanza di A dalla retta BC ; v) scrivere l equazione della sfera di centro A e raggio la distanza di B da C; vi) calcolare se l origine è interna o esterna a tale sfera [7] Data la sfera: x y z x 4y 4, verificare se: i) il punto P,, è interno alla sfera; ii) se il piano: x y z interseca la sfera; iii) se la retta: x y y z interseca la sfera; iv) se la sfera di centro C,, e raggio ha punti in comune con Università di Torino

53 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 47 [8] Data la sfera: x y z x y z, i) scrivere le equazioni della retta tangente a nell origine e parallela al piano Π x y z ii) Verificare che l intersezione tra la sfera e il piano Π è una circonferenza di cui si chiedono le coordinate del centro e la lunghezza del raggio iii) Scrivere l equazione del cono circoscritto a con vertice nel punto B,, [9] i) Scrivere le equazioni della retta t passante per il punto P,, e incidente le rette : r x z y, s x y z x 3y z 3 ii) Studiare la mutua posizione di r e s [] i) Dati il punto P,,, il piano Π x y z e la retta r x y z, i) verificare che il punto P appartiene a Π ii) Scrivere le equazioni della retta s giacente sul piano Π, passante per P e incidente la retta r iii) Calcolare la distanza del punto P dalla retta r [] i) Dati il punto P,, e i piani Α x y z eβ x 3y z, i) verificare che il punto P appartiene al piano Α ii) Scrivere le equazioni della retta s giacente sul piano Α, passante per P e parallela al piano Β iii) Calcolare la distanza tra r e il piano Β [] Date le rette: r x y z x y, s x z x y i) Studiare la mutua posizione di r ed s ii) Scrivere l equazione della superficie generata dalla rotazione di s attorno ad r e dire di che superficie si tratta [3] Determinare l area e il perimetro del triangolo di vertici A,,,B,, e C,, [4] Dati il piano Α x y z 3 e la retta: r x y z x ky z, i) studiare, al variare di k, la posizione reciproca di Α e di r Posto k : ii) Scrivere le equazioni della retta s simmetrica di r rispetto ad Α iii) Determinare l equazione della sfera tangente ad r in O,, ed avente centro nel punto proiezione ortogonale di O sul piano Α iv) Verificato che ha equazione: x y z 3, scrivere l equazione del cilindro rotondo circoscritto a, con generatrici parallele a r Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

54 48 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] Date le rette: r x t y z t, t, a y z, i) verificare che sono sghembe ii) Determinare l equazione del piano passante per r e per l origine del sistema di riferimento iii) Scrivere l equazione della sfera di centro l origine che interseca a in un segmento di lunghezza iv) Scrivere l equazione della superficie generata dalla rotazione di r attorno all asse a Calcolare la lunghezza del raggio del parallelo situato sul piano: x [6] Dati il punto A, 3, e la retta: r x t y t z t, t, determinare: i) la distanza di A da r; ii) il punto del piano per A e per r che ha distanza minima dall origine; iii) Determinare l equazione cartesiana del cono avente vertice nell origine e circoscritto alla sfera di centro A e raggio [7] Dato il punto P,,, determinare: i) il simmetrico di P rispetto al punto Q,, ; ii) il simmetrico di P rispetto al piano Π x y z ; iii) la distanza di P da Π; iv) le equazioni della circonferenza appartenente al piano: x z, con centro in P e raggio ; v) il piano passante per P, Q e per l origine [8] Dati i punti: A,,,B,,,C,, e D,,, i) verificare che A, B, C e D sono i vertici di un tetraedro e calcolarne il volume ii) Scrivere le equazioni della circonferenza Γ circoscritta al triangolo ABC iii) Determinare l equazione del cono di vertice D e direttrice Γ [9] Date le rette: r x y z, s x 3y y z 4, i) determinare la loro posizione reciproca ii) Scrivere l equazione della superficie generata dalla rotazione completa di r intorno a s e dire di quale superficie si tratta iii) Determinare l equazione del piano passante per r e parallelo a s iv) Determinare la posizione reciproca tra la sfera: x y z 4x 3y 4z 4 e la retta r Università di Torino

55 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 49 [] Scrivere l equazione cartesiana del cono che proietta la curva: dal punto V,, Γ x y z y z x y [] Data la matrice simmetrica: A i) Determinare una matrice ortogonale Q tale che t QAQ D con D matrice diagonale ii) Studiare la quadrica di equazione: x y z x y z [] Scrivere l equazione dell ellissoide avente centro nel punto C,, 3, assi paralleli agli assi coordinati e semiassi di lunghezza, 3, 7, rispettivamente, rispetto agli assi x, y, z [3] Scrivere l equazione del cono di vertice V,, circoscritto alla sfera: x y z z [4] Scrivere l equazione cartesiana del cilindro che proietta la curva: Γ x y z x 3y x z secondo la direzione della retta: r x 3y z x y z [] Al variare di k si descriva la quadrica: x y kz x [6] Dati i punti: A,,, B,,, C,, e la retta s 3x y z, i) determinare la posizione reciproca delle rette AB ed s ii) Calcolare il centro ed il raggio della circonferenza passante per A, B e C iii) Trovare l equazione della supeficie generata dalla rotazione della retta AB intorno alla retta s e dire di quale superficie si tratta iv) Trovare il luogo dei punti P x, y, z tali che il triangolo ABP abbia area 3 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

56 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [7] Date le sfere: x y z x 99, x y z 4x, determinare la loro posizione reciproca [8] Data la retta: r x y kz x y z, i) determinare, se esiste, un valore di k per cui r passa per il punto A,, ; ii) determinare, se esiste, un valore di k per cui r è incidente la retta: s x y z x 3z iii) determinare, se esiste, un valore di k per cui r è parallela al piano Π x y ; iv) determinare, se esiste, un valore di k per cui r e l asse z sono sghembe [9] i) Determinare centro e raggio della circonferenza ottenuta dall intersezione della sfera: x y z x y 4z 4 con il piano Π x y z ii) Determinare l equazione del cono di vertice V,, circoscritto alla sfera [3] Dati la sfera: x y z 4x 8y 6z e il piano Π z, i) verificare che Πè una circonferenza Γ di cui si chiedono il centro e il raggio ii) Determinare le equazioni dei piani tangenti a e paralleli a Π iii) Scrivere l equazione del cono di vertice l origine e direttrice la circonferenza Γ [3] Descrivere le seguenti superficie: ) x z y; ) x y z ; 3) z 4 x y ; 4) z sin x; ) z x y ; 6) x y y; 7) z x y ; 8) z x 4 y 9 ; Università di Torino

57 Capitolo 6 Geometria analitica nello spazio 9) z x y ; ) z 4 x y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

58 Capitolo 7 Sottospazi vettoriali In tutti gli esercizi di questo capitolo si sono adottate notazioni standard, in particolare si è indicato con: - n lo spazio vettoriale delle n-uple di numeri reali, di dimensione n, riferito alla base canonica,,,,,,,,,, n,,,; - m,n lo spazio vettoriale delle matrici di tipo m, n, ad elementi reali, riferito alla base canonica:,,, - n,n lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n, ad elementi reali, riferito alla base canonica standard (il caso particolare della precedente); - S n,n lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche di ordine n ad elementi reali rispetto alla base canonica:,,,,,,, - A n,n lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche di ordine n ad elementi reali rispetto alla base canonica:,,, - n x lo spazio vettoriale dei polinomi in x, a coefficienti reali, di grado minore o uguale a n, riferito alla base canonica,x,x,,x n ;

59 Capitolo 7 Sottospazi vettoriali 3 -tra indica la traccia della matrice A n,n, vale a dire la somma degli elementi della diagonale principale [] In 3 sono dati i vettori Ù,,, Ù,, 3, Ù 3 3,,h; dire per quali valori di h i vettori Ù, Ù, Ù 3 sono linearmente indipendenti [] In 4 sono dati i vettori Ù,,,, Ù,,,, Ù 3 3,,,, Ù 4,,, ; trovare una base del sottospazio di 4, generato dai vettori Ù, Ù, Ù 3, Ù 4 Verificato che i vettori Ù, Ù, Ù 4 sono linearmente indipendenti, determinare per quali valori di t il vettore Ú,, t 8,t LÙ, Ù, Ù 4 Per i valori di t trovati, determinare le componenti di Ú rispetto ai vettori Ù, Ù, Ù 4 [3] Dati i vettori: Ù, 3,, Ú,, in 3, verificare che V LÙ, Ú ha dimensione Trovare per quali valori di t, il vettore Û t,, appartiene allo spazio V e, per tali valori, determinare le sue componenti rispetto ai vettori Ù e Ú [4] Siano W il sottospazio di 3 generato dai vettori: Ù,,, Ù,,, W il sottospazio di 3 generato dai vettori: Ú,,, Ú,, Trovare W W, dimw W ed una sua base [] Nello spazio vettoriale 4 si considerino i sottospazi: W L,,, dove:,,,,,,,,, 3,, ; W L,,, dove,,, 4,, 3,,,, 7, 6, i) Verificato che l insieme B,, è una base di W, stabilire per quale valore di h il vettore Ú, h,,h appartiene a W e, per tale valore, decomporlo rispetto alla base B ii) Trovare un sottospazio W 3 di 4 tale che W 3 W 4 [6] In 4, scrivere le equazioni di due iperpiani vettoriali, diversi, ma entrambi supplementari della retta vettoriale H L,, 4, 3 [7] Sono dati, in 4, i sottospazi vettoriali: H x, y, z, t 4 /x y t, K L,,,,, 4,,,,,,,,, 4,,,,, i) Determinare la dimensione e una base sia di H sia di K ii) Determinare la dimensione e una base sia di H K sia di H K iii) Il vettore Ü,, 3, 4 appartiene a H K? In caso affermativo decomporlo nella somma di un vettore di H e di un vettore di K, in tutti i modi possibili (a meno di un cambiamento di variabile libera) [8] i) In 3 x, considerati i polinomi: p x x h x p x h x p 3 x x 3 p 4 x 4x, h, determinare i valori di h per cui p x,p x,p 3 x,p 4 x è una base di R 3 x ii) Fissato uno dei valori determinato nel punto precedente, trovare le componenti di qx x x x 3 rispetto a tale base Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

60 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [9] In, si considerino i sottoinsiemi: S x x x 3 x 4 /x x 3 delle matrici simmetriche e: T x x x 3 x 4 /x x 4 delle matrici a traccia nulla Si dimostri che S e T sono sottospazi vettoriali di, ; si determinino le loro dimensioni ed una base per ciascuno di essi [] Dire se i seguenti sottoinsiemi di, : H x z K x z y t y t /x y z x 3y t, /x y t sono sottospazi vettoriali In caso affermativo determinarne una base e la dimensione [] Nello spazio vettoriale 4 sono dati i sottospazi: H x,x,x 3,x 4 4 /x x x 3 x x x 4, K L,,,,,,, i) Calcolare la dimensione e una base di H ii) Calcolare la dimensione e una base di H K Si tratta di una somma diretta? [] i) Verificare che le matrici: A, A, A 3, A costituiscono una base di, e determinare le componenti della matrice A ii) Dati i sottospazi vettoriali di, : A x x x 3 x 4 /x x, rispetto a tale base B x x x 3 x 4 /x x 4 x x 3, determinare una base e la dimensione di A edib Determinare una base e la dimensione di A B edia B [3] Sono dati in 4 i sottospazi vettoriali: H x, y, z, t 4 /x z y, K L,,,,,,,,,, 3,,,, 7, i) Determinare la dimensione e una base sia di H sia di K ii) Determinare la dimensione e una base di H K Università di Torino

61 Capitolo 7 Sottospazi vettoriali [4] In i sottospazi: A x,x,x 3,x 4,x /x x x 3, B L,,,,,,,,,,,,,,,, 3,, 3, sono supplementari? [] In 4 si considerino i vettori:,,,,,,,,,,, i) Verificare che,, sono linearmente indipendenti ii) Determinare un vettore in modo che,,, siano linearmente indipendenti iii) Dire se il sottospazio H x, y, z, t 4 /y z t è contenuto in K L,, [6] In 3 si consideri il sottospazio vettoriale: W x, y, z 3 /x y z x hy hz x h y 3h 4z, h i) Al variare di h, determinare la dimensione e una base di W ii) Al variare di h, determinare un sottospazio supplementare di W in 3 [7] In S 3,3 completare l insieme libero: fino ad ottenere una base I 3 3,, 6 [8] Data la matrice: A , i) provare che i sottoinsiemi: F X, /AX XA, G X, /AX XA sono sottospazi vettoriali e trovare una base per ciascuno di essi ii) Determinare una base per i sottospazi vettoriali F G e F G iii) Data la matrice: C h h 3, h, stabilire per quale valore di h la matrice C appartiene al sottospazio vettoriale F G Assegnato ad h tale valore, trovare due matrici C F e C G in modo tale che C C C Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

62 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [9] In 4 si consideri il sottoinsieme: W x,x,x 3,x 4 4 /x x 3 x 4 x 3 x 4 i) Verificare che W è un sottospazio vettoriale di 4 e determinarne una base e la dimensione Si considerino, inoltre, i sottospazi: W L,,, dove,,,,,,,, 3,, 8,, W 3 L,,, dove,,,,,, 3,,,, 4, ii) Si determinino una base e la dimensione di W ediw 3 iii) Si determinino una base e la dimensione di W W W 3 [] Si considerino gli insiemi: H K a b c a b c d e f, a,b,c, a,b,c,d,e, f H e K sono sottospazi vettoriali di 3,3? In caso affermativo se ne determini una base e la dimensione [] Si considerino gli insiemi: H px 3 x /px ax bx x 3,a,b K px 3 x /px ax bx cx 3, a,b,c H e K sono sottospazi vettoriali di 3 x? In caso affermativo se ne determini una base e la dimensione [] I sottospazi: H L,,,,,, 3,,,,,,, 4,,, K x, y, z, t 4 /x 3y z x z sono supplementari in 4? [3] In 4 si considerino i sottospazi vettoriali: W x,x,x 3,x 4 4 /x x 3x 3 x 4, W x,x,x 3,x 4 4 /x x x x 3 x x x 3 provare che W W 4 Università di Torino

63 Capitolo 7 Sottospazi vettoriali 7 [4] Nello spazio vettoriale 4 x si considerino i sottospazi: H Lx x,x x 3,x 3 x 4, x x 3x 4, K px 4 x /px è divisibile per x x Si determinino una base e la dimensione di H K edih K Dato il polinomio qx x 4x 4, si verifichi che qx H K e si decomponga qx nella somma di un polinomio di H e di un polinomio di K Tale decomposizione è unica? [] Nello spazio vettoriale 4 x si considerino i sottospazi: W L x x 3,x x 3x 3 x 4, x 4x 7x 3 x 4, W Lx 3 x 4,x x 3, W 3 Lx 4 Provare che W W W 3 4 x [6] In, determinare una base e la dimensione dell intersezione e della somma dei due sottospazi: W x,x,x 3,x 4,x /x x x 3 x 4 3x, W x,x,x 3,x 4,x /x x x 3 4x 4 4x [7] In, determinare una base e la dimensione dell intersezione e della somma dei due sottospazi: W x,x,x 3,x 4,x /x 3x x 3 3x 4 3x, W x,x,x 3,x 4,x /3x 6x 6x 3 9x 4 9x [8] In 4 x si consideri il sottospazio vettoriale W dei polinomi aventi il numero 3 come radice i) Si decomponga W nella somma diretta di due sottospazi W e W ii) Si scriva il polinomio 3 x x x 3 3x 4 di W come somma di un polinomio di W e di un polinomio di W [9] In 4 x si consideri l insieme W dei polinomi divisibili per px 3x x i) Si verifichi che W è un sottospazio vettoriale di 4 x, se ne determini la dimensione e una base ii) Sia W Lp x,p x,p 3 x,p 4 x dove p x 6x x 3 x 4,p x x x,p 3 x 36 3x 3x x 3 x 4,p 4 x x x x 3 x 4 Si determini una base e la dimensione di W iii) Si determini W W iv) Si determini un sottospazio W 3 di 4 x tale che W W 3 4 x [3] In si consideri l insieme: W x,x,x 3,x 4,x /x x x 3 i) Si verifichi che W è un sottospazio vettoriale di, se ne determini una base e la dimensione Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

64 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I ii) Sia W L,,, dove:, 3,,,,,,,,,, 6,,, 6,, 3, 7,, 3, se ne determini una base e la dimensione iii) Si provi che W W iv) Si determini un sottospazio W 3 di tale che dimw W 3 e dim W 3 3 [3] In 3 x si considerino i polinomi: p x 3 x x,p x x x x 3,p 3 x x x 3,p 4 x x x 3x 3 Si verifichi che l insieme B p x,p x,p 3 x,p 4 x è una base di 3 x e si esprima il polinomio px xx nella base B [3] In, si considerino le matrici: A,A 3,A 3,A 4 3 Si verifichi che l insieme B A,A,A 3,A 4 è una base di, e si esprima la matrice A nella base B [33] i) Date le seguenti matrici dello spazio vettoriale A 3,3 : A, B si completi l insieme A, B in modo da ottenere una base B di A 3,3 ii) Si determinino le componenti della matrice: rispetto alla base B C 3 3 [34] Siano U e V due sottospazi vettoriali di dimensione di 3 i) Provare che U V Ó ii) Determinare tutte le possibili dimensioni di U V e costruire un esempio in ciascuno dei casi [3] i) Verificare che B, 3, 4 è una base di S, ii) Trovare le componenti della matrice A 4 7 rispetto alla base B Università di Torino

65 Capitolo 7 Sottospazi vettoriali 9 [36] i) In x si consideri l insieme A dei polinomi aventi radici:,, 3 Si verifichi che A è un sottospazio vettoriale di x, se ne calcoli una base e la dimensione ii) Si determini un sottospazio vettoriale B supplementare ad A iii) Si decomponga il polinomio px x 3x 3 nella somma di un polinomio di A e di un polinomio di B Tale decomposizione è unica? iv) Si determini una base e la dimensione dei seguenti sottospazi di x: C L x x,x 3 x, x x 3x 3 3x,x 3x 3 x 4 D L x x 3,x 4 x,x x x 3 x 4 v) È vero che C D x? vi) Si determini una base e la dimensione di A C D [37] i) Si verifichi che: B x x x 3 x x 4 x x x 4 x 6 x 3 x x 6 /x x x 3 x x 4 x x 6, è un sottospazio vettoriale di A 4,4, se ne calcoli una base e la dimensione ii) Si determini una base e la dimensione dei seguenti sottospazi di A 4,4 : C L , 7 7, 3 3, D L, iii) È vero che B C A 4,4? iv) Si determini una base e la dimensione di D B C v) Si determini un sottospazio vettoriale E supplementare a D vi) Si decomponga la matrice: A nella somma di una matrice di E e di una matrice di D vii) A è invertibile? Se sì, si determini A [38] Data la matrice A, i) determinare una base per il sottospazio W, generato da A, t A, A t A ii) Dimostrare che il sottoinsieme: U a b,a,b b Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

66 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I è un sottospazio di, e determinarne una base iii) Determinare una base per i sottospazi W U e W U [39] i) In S 3,3 si consideri l insieme: x x x 3 A x x 4 x /x x 4 x 6 x 6 x x 3 3x, x 3 x x 6 si verifichi che A è un sottospazio vettoriale e se ne calcoli una base e la dimensione ii) Si determini un sottospazio vettoriale B supplementare a A iii) Si decomponga la matrice: A 3 nella somma di una matrice di A e di una matrice di B iv) A è invertibile? Se sì, si determini A v) Si determini una base e la dimensione dei seguenti sottospazi di S 3,3 : C L 3 3 D L, 3 3,, vi) È vero che A C S 3,3? vii) Si determini una base e la dimensione di D A C,, 3 4 4, [4] Dato U a b a, a,b, sottospazio vettoriale di,, i) si determini un altro sottospazio V tale che U V, ii) Data la matrice A 3, si decomponga A nella somma di una matrice A U e di una matrice A V [4] In 4 si consideri il sottospazio vettoriale: W L, 3,,,,,,,,,, i) Si verifichi che W è un iperpiano vettoriale di 4 e se ne determini la sua equazione ii) Si determinino due sottospazi vettoriali di 4, diversi, entrambi supplementari di W [4] In si considerino i sottospazi: U L, 3,,, 3,, 4, 3, 4,,, 3,,, 9, V L, 3,,,,,, 6, 6, 3,,, 3,,, determinare una base U V e una base di U V Università di Torino

67 Capitolo 7 Sottospazi vettoriali 6 [43] Si provi che i seguenti sottospazi di 4 : U L,,, 3,, 4,,, 3, 6, 3, 7 V L,, 4,,, 4,, 4 sono uguali [44] i) Determinare l insieme C di tutte le matrici di 3,3 che commutano (rispetto al prodotto) con la matrice: A ii) Verificare che C è un sottospazio vettoriale di 3,3, determinarne una base e la sua dimensione iii) Determinare due sottospazi diversi, entrambi supplementari di C in 3,3 [4] In x si consideri l insieme B, x, x, x 3, x 4, x i) Verificare che B è una base di x, usando due metodi diversi ii) Determinare le componenti del polinomio px x x x 3 x 4 x, rispetto alla base B, usando due metodi diversi [46] Sono dati i seguenti sottospazi vettoriali di : W L,,,,,,,,,,,,,,,, 3, 4,, 3 W x,x,x 3,x 4,x /x x 4 x x x 3, i) provare che W W ii) Decomporre il vettore,,,, nella somma di un vettore W e di un vettore W [47] Si considerino i sottospazi vettoriali di 4 : W L,,,,,,, 3,,,, 7, 3,, 3, W x,x,x 3,x 4 4 /x x x 3 3x 3 x 4 i) Trovare una base per ciascuno dei sottospazi W, W, W W, W W ii) Verificare che il vettore,,, 3 appartiene a W W determinando esplicitamente due vettori W e W tali che [48] Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di, : W X, /AX XA, dove A 3, W X, / trx i) Determinare una base per i sottospazi W, W, W W e W W ii) Trovare un sottospazio vettoriale W 3 che sia supplementare a W Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

68 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [49] Si determinino almeno due sottospazi vettoriali diversi ma entrambi supplementari di: W x,x,x 3 3 /3x x 3 x x 3 [] In SR 3,3 completare l insieme libero: I,, fino ad ottenere una base [] Dati i sottospazi vettoriali di : W L,,,,,,,,,,,,,, 3,,,,,, W x,x,x 3,x 4,x /x 3x 3 x x x 3 x 4 x, i) determinare una base per ciascuno dei sottospazi vettoriali W, W, W W, W W ; ii) stabilire per quali valori di h il vettore,,h,, appartiene a W [] In sono dati i seguenti sottoinsiemi: W L,,,,,,,,,,,,,,, W x,x,x 3,x 4,x /x x x 3 x 4 x x x 4 i) Provare che W è un sottospazio vettoriale di ii) Determinare la dimensione e una base per W e W rispettivamente iii) Trovare W W e W W [3] Completare il seguente insieme: in modo da ottenere una base di S 3,3,, [4] Discutere, al variare di h, le soluzioni della seguente equazione vettoriale di 4 : x x x 3 3, dove:,,, 4, 3,, 4,h, 3, 3,h,, 4, 8,h, Università di Torino

69 Capitolo 7 Sottospazi vettoriali 63 [] In 3 sono dati i vettori:,,,,,,, 3, Considerata l equazione vettoriale: x x x 3 3, determinare, se possibile, un vettore 3 x, y, z nei seguenti casi: i) l equazione vettoriale non ammette soluzioni; ii) l equazione vettoriale ammette una sola soluzione; iii) l equazione vettoriale ammette infinite soluzioni In ii) e iii) (se possibile) determinare le soluzioni dell equazione vettoriale considerata [6] Dati i seguenti vettori di 4 :,,,,,,,, 3,,,, 8,,,, si risolva, se è possibile, l equazione vettoriale: x x 3 x 3 [7] Dati i seguenti vettori di 4 :,,,,,,, 3, 3,,, 4,,,, 3, si risolva, se è possibile, l equazione vettoriale: x x 3 x 3 [8] Determinare, al variare dei parametri reali h e k le soluzioni dell equazione vettoriale: x y z dove: h, k, h k,,,h k,, 4,k 4,,, 4 h [9] Al variare dei parametri reali h e k, determinare, quando esiste, una matrice X tale che: XA B dove: A 3 h, B 3 k Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

70 64 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [6] Al variare dei parametri reali h e k, determinare, quando esiste, una matrice X tale che: XA B dove: A 3 h h, B 3 k k [6] Si considerino le seguenti matrici: A 3 4 3, B h k stabilire per quali valori di h, k l equazione matriciale AX B è compatibile e determinare, quando è possibile, le soluzioni di tale equazione, [6] Al variare del parametro Λ, discutere e risolvere, quando è possibile, l equazione matriciale AX B, dove: Λ Λ A, B Λ Λ [63] Al variare del parametro Λ, discutere e risolvere, quando è possibile, l equazione matriciale AX B, dove: Λ Λ A, B Λ Λ [64] Stabilire per quali valori di h e k in le seguenti equazioni matriciali: AX B, X A B, dove: A 3 h, B 3 k h k, sono compatibili Determinare, quando è possibile, le loro soluzioni [6] Date le matrici: A h, B 3 k 3 4 k determinare, al variare di h, k, le soluzioni dell equazione matriciale AX B Università di Torino

71 Capitolo 7 Sottospazi vettoriali 6 [66] Al variare di Λ, Μ, discutere e risolvere, quando possibile, l equazione matriciale: AX B dove: A 3 3 Λ 8, B Μ3 [67] Date le matrici: A h, B 3 k, determinare, al variare di h, k, le soluzioni dell equazione AX B [68] Risolvere la seguente equazione matriciale: AX B, dove: A k h, B k, h,k Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

72 Capitolo 8 Soluzioni - Sistemi lineari [] A,,,,,,,, X x, x, x3 B,, SolveAX B, X ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables x 3 x, x3 3 x Λ 3, x Λ, x 3 3, Λ [] A,,,,,,,, X x, x, x3 B,, 4 ReduceAX B, X False Il sistema è incompatibile [3] A,,, 4, 4,, 3,, 8,,, 9 X x, x, x3, x4 B 9,, 8 SolveAX B, X ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables x 3x3 4 x4 x3, x 9 4 7x4 x 3 4 Λ 4 Λ,x 9 Λ 7 Λ,x 3 Λ, x 4 Λ, Λ, Λ [4] A,,, 4,,, 4,,,, 3,, 3, 3,, 6 NullSpaceA,,,,,,, x Λ Λ, y Λ, z, t Λ, Λ, Λ 66

73 Capitolo 8 Soluzioni - Sistemi lineari 67 [] A,, a,,, b,,, c X x, y, z B, 3, ReduceAX B, X a b c&&x bz c z&&y cz x &&y &&z &&a b c Se a b c x, y, z ; se a b c x c bλ, y cλ, z Λ, Λ [6] A,,,,,, 3,,,,, X x, y, z B,,, k ReduceAX B, X k &&x &&y &&z Se k : non esistono soluzioni; se k x 3,y 3,z 3 [7] A a,,,, a,,,, a X x, y, z B, 3 aˆ, a ReduceAX B, X a &&x y za &&x z&&y z x &&y a&&z && a && a Se a/, x, y a, z ; se a x t, y t, z t, t ; se a x ΛΜ,y Λ,z Μ, Λ, Μ [8] A,,,, a,,,, a X x, y, z B a,, a ReduceAX B, X a &&x z&&y za &&x &&y z x a&&y &&z && a &&a Se a/, x a, y, z ; se a x t, y t, z t, t ; se a x, y t, z t, t [9] A,, a,, a,, a,, X x, y, z B a, a, ReduceAX B, X a &&x y z x a &&y a a &&z && a && a a a Se Λ /, x Λ,y se Λ : non esistono soluzioni; Λ Λ,z Λ Λ ; Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

74 68 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I se Λ x h k, y h, z k, h, k [] A,, a, 3, a,, a,, X x, y, z B,, ReduceAX B, X a &&x z&&y z 4 3 a x &&y a a a &&z && a &&a && a a Se a/,, x a 3,y a a a,z a ; se a,a : il sistema è incompatibile; se a : x t, y 4 t, z t, t [] A,,,, 3, k,, k, 3 X x, y, z B, 3, h ReduceAX B, X h 3&&k 3&&x &&y z h &&k &&x z&&y 4z 6 x 6 k k 3h 6 k k k 6 k k hk 6 k k && 6 h k hk h k y 6 k k &&z && k &&3 k 6 k k Se k/ 3,, h : esiste una sola soluzione; se k 3, h 3: esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se k 3, h 3: non esistono soluzioni; se k, h : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se k, h : non esistono soluzioni [] A k,,,, k,,,, k X x, y, z B,, h ReduceAX B, X h &&k &&x y z h k h &&k &&x z&&y zx k k && h k h hk y &&z && k && k k k k k Se k/,, h : esiste una sola soluzione; se k, h : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se k, h : non esistono soluzioni; se k, h : esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere; se k, h : non esistono soluzioni Università di Torino

75 Capitolo 8 Soluzioni - Sistemi lineari 69 [3] A,,,,,, 3, 3, a X x, y, z B, b, ReduceAX B, X a 3&&b &&x 3 7 3z&&y a 3b ab x &&y b b&&z &&3 a 3 3 a 3 3 a Se a 3, b : esiste una sola soluzione; se a 3, b : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se a 3, b : non esistono soluzioni [4] A, 3,,,,, 4,, a X x, y, z B,, b ReduceAX B, X a &&b &&x 7 4z&&y 3 z 6 7a 4b 3 8 a b x &&y &&z b a a a && a Se a, b : esiste una sola soluzione; se a, b : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se a, b : non esistono soluzioni [] A 3 k,,,, 4 k,, 3, 3, k X x, y, z B a, b, c ReduceAX B, X 3a c&&3 b c&&k &&x c 3y 3z 3 b a c&&k 8&&x 3a c 6z&& 8 y 7a b c ak 3a c zx 8 y a 6b c bk 6 k k &&z 6 k k && 3a 3b c ck 6 k k && 8 k && k Se k/, 8, a, b, c : esiste una sola soluzione; se k, b a e c 3a: esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere; se k, b a,oc 3a: non esistono soluzioni; se k 8, a b c : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se k 8, a b c : non esistono soluzioni [6] A k, k, k, 4 k, 3k, k, k, k, k X x, y, z B k, k, k ReduceAX B, X k &&x &&z 8 k x k &&y 4 3k &&z 3&& k &&k k Se k/, : esiste una sola soluzione; se k x, y t, z, t ; se k : non esistono soluzioni Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

76 7 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [7] A h, h, h, h, h, h, h,, h X x, y, z B 3 h, 3h, 3h 3 ReduceAX B, X h &&x &&z x h &&y &&z h&&h && h h Se h/, : esiste una sola soluzione; se h : non esistono soluzioni; se h x, y t, z, t [8] A m,, m, m m, m, mˆ, m,, X x, y, z B,, m 3 ReduceAX B, X m &&x &&y zm &&y &&z 4 m &&x 3m m m m 4 m m y &&z m m && && m && m && m m Se m/,, : esiste una sola soluzione; se m, m : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se m : non esistono soluzioni [9] A k, k,,, k,, k,, k X x, y, z B,, ReduceAX B, X k x &&y k k k k && z && k && k k k Se k/, : esiste una sola soluzione; se k, k : non esistono soluzioni [] A k, k,,, k,, k, k, X x, y, z B 4 k, k 3, 8 9k ReduceAX B, X x k &&y k &&z 3 4 k&&k && k k k Se k/, : esiste una sola soluzione; se k, k : non esistono soluzioni [] A k,, k, k, 3 k, 3k, k, k, k X x, y, z B,, ReduceAX B, X x k k &&y k &&z && k &&k k Se k/, : esiste una sola soluzione; Università di Torino

77 Capitolo 8 Soluzioni - Sistemi lineari 7 se k, k : non esistono soluzioni [] A,,, a,,,, a, X x, y, z B a,, 4 ReduceAX B, X a &&y &&z x a 4 a x &&y &&z 3 a&& a && a a a Se a/, : esiste una sola soluzione; se a : non esistono soluzioni; se a : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera [3] A,,,,,,, 4,,,, X x, y, z, t B aˆ, a, ReduceAX B, X a 3&&x t z&&y 7 t z a &&x t z&&y t z Se a/ 3, : non esistono soluzioni; se a 3, : esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere [4] A, a,,,, a,,, X x, x, x3 B, 4, a ReduceAX B, X a &&x x&&x3 a 4 a x 3 a&&x &&x3 && a && a a a Se a/, : esiste una sola soluzione; se a : non esistono soluzioni; se a : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera [] A,,,,,,,, 4,,, X x, y, z, t B, aˆ, a ReduceAX B, X a 3&&x t z&&y 3t z a &&x t z&&y 6 3t z Se a/ 3, : non esistono soluzioni; se a 3, : esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere [6] A,, 3,, 4,,,,,, a, X x, y, z, t B,, ReduceAX B, X a 3&&x z 6 &&y 3t 8z 3 x &&y t&&z &&3 a Se a 3: esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

78 7 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I se a 3: esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere [7] A,,, a,, a,,,,,,,,,, a SolveDetA a, a NullSpaceA/a,,,, 4,,, Se a : esiste solo la soluzione nulla; se a : esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere [8] A,,,, a, a,, a, X x, y, z B, a, a ReduceAX B, X a &&x 3 y&&z 3 y x a &&y &&z && a &&a a a Se Λ /, : esiste una sola soluzione; se Λ : non esistono soluzioni; se Λ : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera [9] A,,, 3,,, 4, a, SolveDetA a 4 NullSpaceA/a 4/ 4, 4, o Se Λ 4 : x y z ; se Λ 4 : x 4 t, y t, z t, t 4 [3] A 3,,,, 3, 3, 7, 4,,,, X x, y, z B,, 3, SolveAX B, X ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables x 3z, y 4z x 3t, y 4t, z t, t Università di Torino

79 Capitolo 8 Soluzioni - Sistemi lineari 73 [3] A,, h,,,,, h, 4 X x, y, z B h,, ReduceAX B, X h &&x y&&z 3 4 x h h &&y &&z && h && h h h Se h/, : x h h,y, z h h ; se h : x t, y t, z 3 4, t ; se h : il sistema è incompatibile [3] A h,, h,,,, 3, 3, h X x, y, z B, h, h ReduceAX B, X h &&x 3 z&&y z 3 h &&x z&&y x 3&&y h&&z 4&& h && h Se h/, : x 3, y h, z 4; se h : x t, y t, z 3t, t ; se h : x Λ,y, z Λ, Λ [33] A,,,,,,, 4, X x, y, z B,, ReduceAX B, X False [34] A h,,,,,, h,, X x, y, z B,, k ReduceAX B, X h &&k 4&&y x&&z x x 4 k &&y 4 h k 4 3h k hk &&z &&h h h h Se h, k : esiste una sola soluzione; se h,k 4: non esistono soluzioni; se h,k 4: esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

80 74 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [3] A,,,, h, h,, 3h, h X x, x, x3 B,, k ReduceAX B, X h &&k &&x x&&x3 x h &&k &&x x&&x3 x h h k 3hk h h && x h k hk k &&x3 &&h && h h h h Se h/,, k : esiste una sola soluzione; se h k : esitono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se h, k : non esistono soluzioni; se h k : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se h, k : non esistono soluzioni [36] A,,, h, h,, 3h, h, X x, x, x3 B,, k ReduceAX B, X h &&k 3&&x 7 x&&x3 4x 7 h &&k 3 &&x 3 &&x3 6x 3 h 3k hk x &&x 3 k h h h && h 6k hk x3 &&h && h h h Se h/,, k : esiste una sola soluzione; se h, k 3: esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se h, k 3: non esistono soluzioni; se h, k : esistono infinite soluzioni; 3 se h, k : non esistono soluzioni 3 [37] A,,, h, h,, 3h, h, X x, x, x3 B,, k ReduceAX B, X x 4x h &&k &&x &&x3 7 7 h &&k &&x &&x3 x x 3 h k h h &&x k h 6 h k &&x3 &&h && h h h Se h/,, k : esiste una sola soluzione; se h, k : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se h, k : non esistono soluzioni; se h, k : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se h, k : non esistono soluzioni Università di Torino

81 Capitolo 8 Soluzioni - Sistemi lineari 7 [38] A,,,, k,,, k, X x, x, x3 B k,, k ReduceAX B, X k &&x x&&x3 x k&&x &&x3 k&& k Se k : x k, x, x 3 k; se k : x t, x t, x 3, t Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

82 Capitolo 9 Soluzioni - Matrici e determinanti [] A,,,,,,,, DetA MatrixFormInverseA 3 det A, A 3 [] A, 3,,,,,,, DetA 3 MatrixFormInverseA det A 3, A

83 Capitolo 9 Soluzioni - Matrici e determinanti 77 [3] A,, 3,,,,, 4, h SolveDetA h 9 MatrixFormInverseA 8 h h 9 h 9 h 9 h 3 h 9 h 9 h 9 h 6 9 h 9 h 9 h Esiste A per ogni h 9; A [4] 8 h 9 h 9 h 9 h h 9 h 3 h 9 h 6 9 h 9 h 9 h 9 h A, 3,,, h,,,,,,,,,,, h SolveDetA h, h MatrixFormInverseA h h 3 h h h Esiste A per ogni h ; A h h h 3 h h Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

84 78 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] A,,,,,,,,,,, h, 3,,, SolveDetA h MatrixFormInverseA/h i) Esiste A per ogni h ; ii) A [6] A, h,,,,,,, h,,,,,,, 3 SolveDetA h, h A è invertibile per h/, [7] A,,, 3, 4,,,,,,,,,,, DetA 39 det A 39 [8] A,, 3, 4,,,, 6,,,, 3, 4,, 7,,,, 3, 4,,,,, DetA 93 det A 93 [9] A,,,,,, 3,,,, 4, 3,,,,,,,, 3,,, 3,, 4 DetA 99 det A 99 Università di Torino

85 Capitolo 9 Soluzioni - Matrici e determinanti 79 [] A,, 3, 4,, 3, 4,, 3, 4,,, 4,,, 3 DetA 6 det A 6 [] A k, k, k 3,,, 3, k, k, 3 k DetA det A [] A x, x, x, x, x, 3 x, 4,, 6 DetA det A [3] A,,,,,,,, aˆ X x, x, x3 B, 3, a ReduceAX B, X a &&x 3 x3&&x x3 x 4 3a a &&x a a &&x3 && a && a a Se a/, : esiste una sola soluzione; se a : non esistono soluzioni; se a : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera [4] A, 3,,, aˆ 4, 4,,, 3 X x, x, x3 B 4, a, ReduceAX B, X a 4&&x 7 7x&&x3 8 7x 7 7 a x 7 4 a &&x 8a &&x3 && 4 a &&4 a 4 a 7 4 a Se a ±4: esiste una sola soluzione; se a 4: non esistono soluzioni; se a 4: esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

86 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] A, 3,,, 4, 6,,, 6, 9,, X x, x, x3, x4 B,, B,, 3 B3,, ReduceAX B, X False ReduceAX B, X x 4x4 x 3x4&&x3 ReduceAX B3, X x 3 4x4 x x4&&x3 AX B è incompatibile, AX B ammette infinite soluzioni (non nulle) che dipendono da due incognite libere: X 3 Λ 3 4 Λ, Λ, Λ AX B 3 ammette infinite soluzioni (compresa la soluzione nulla) che dipendono da due incognite libere: X Λ 4 Λ, Λ, Λ 3 3 Università di Torino

87 Capitolo Soluzioni Calcolo vettoriale [] a h,, 3 b, h, k c,, k X x, y, z ReduceCrossa, XCrossX, b c, X h &&k &&x &&y 3 3k k h&&x kz &&y k h z&& h Se k h : Ü h Λ, h Λ, Λ, Λ ; se k h : non esistono soluzioni [] ; [3] a,, b,, Crossa, b,, Crossa, Crossa, b,, B,,, per esempio [4] a,, b,, ab << LinearAlgebra Orthogonalization b Projectionb, a,, a Projectiona, b,, i) No; 8

88 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I ii) Ú ±, ±,, Ú, ±, ± [] a,, b,, aa bb 3 << LinearAlgebra Orthogonalization Normalizea Normalizeb,, NormalizeaNormalizeb,, i) No; ii) ±,, ± [6] a,, b,, c Crossa, b,, Crossa, c,, B,,,, [7] a, 3, h b,, c,, X x, y, z ReduceCrossa, cx, Crossb, cx, Xc/cc, X h 8 3 &&x 8 8 y&&z 3 y 8 x &&y &&z &&8 3h Se h 8 : esiste una sola soluzione; 3 se h 8 : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera 3 [8] u,, 3 v,, 3 << LinearAlgebra Orthogonalization Projectionu, vu, 3 3, 7 3 Ü, 3 3, 7 3 Università di Torino

89 Capitolo Soluzioni - Calcolo vettoriale 83 [9] u,, 3 v,, 3 << LinearAlgebra Orthogonalization NormalizeuNormalizev 7,, NormalizeuNormalizev 7,, , 3 4 ± 8 3, 39 4 ± [] a,, 3 b, 3, c,, x x, x, x3 Solve xa b Crossx, b c, x x, x, x3 Ü,, [] 4 [] Ú 3 Ù 3, 3, 3 [3] Usare le definizioni e le identità trigonometriche [4] u,, v,, m u, v, Crossu, v,,,,,,, 4, LinearSolveTransposem,, 3, 3, 3, Ú 3 Ù 3 Ú Ù Ú [] u,, v,, x x, x, x3 SolveDetu, v, x, xu v, xx, x x, x, x3, x, x, x3 Ü, ±, ± Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

90 84 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [6] u,, v,, x x, x, x3 uv SolveCrossu, x v, x ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables x x3, x x3 Ü Λ, Λ, Λ, Λ [7] Ü 3 Λ, 7 Λ, 4 Λ, Λ [8] u,, h v,, h w,, x x, x, x3 Reducexu, xv/vv, Detx, v, w 48, x h &&x 8 x3&&x 8 x3 x 4 7h h h 3 h &&x 4 h h h 3 && h x3 6 8 h h && h && h &&4 h h Se h ±: esiste un solo vettore Ü, se h : non esistono vettori Ü, se h : esistono infiniti vettori Ü le cui componenti dipendono da un incognita libera [9] a,, b,, X x, y, z SolveCrossa, X Crossa, X 36, Crossa, b X, X y 4, x, z LinearSolveTransposea, b,, 4,, 4,, 3, 3 9, 8 i) Ü, 4, ii), 3 9, 8 [] a,, b,, x,, 4 LinearSolveTransposea, b, x, 4,, 3,, i) Ü Λ, Λ ii) Ü, seü,, 4 Università di Torino

91 Capitolo Soluzioni - Calcolo vettoriale 8 [] x,, l y l, l, z,, SolveDetx, y, z, l l, l << LinearAlgebra Orthogonalization SolveCrossNormalizey Normalizez, x,,, l SolveCrossNormalizey Normalizez, x,,, l i) Λ ± ii) No [] a, 3, a, a 6, a 4 a3, a 3, aˆ a b,, a SolveDeta, a, a3, a a, a, a LinearSolveTransposea, a, a3/ a, b/ a 3,, i) a/,, ; ii) 3 3 [3] u,, u,, 3 u3 3,, h SolveDetu, u, u3 h h [4] u, 3, v,, w t,, RowReduceu, v,, 7,,, 7 SolveDetu, v, w t 7 Solvew/t 7 au bv, a, b a, b 3 t 7; Û Ù 3Ú [] dime E, E E L 3 3 [6] a,, b 3,, c,, c c Crossa, b/crossa, bcrossa, b Crossa, b 7 6, 3, 3 6 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

92 86 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [7] v, k, v, k, v3 4, 7 k, 8 SolveDetv, v, v3, k k 3 Solvev3 av bv a 4, b, k 3 i) k 3 ii) Ú 3 4Ú [8] a,, b,, c,, Deta, b, c << LinearAlgebra Orthogonalization GramSchmidta, b, c, 6 3,, 6, 4, ii) Per esempio: 6 6 6, 3, [9] 4, 3,, u,, h v, h, w h, h, SolveDetu, v, w h, h, h SolveCrossu, v,, Solveuv, uw, vw 7, 8,, 3 u ucrossv, w/crossv, wcrossv, wcrossv, w/h 6, 6, 3 i) h ii) No iii) No iv) 6, 6, 3 [3] u,, v,, X x, y, z SolveXu, Xv, XX, X y, z, x, y, z, x Università di Torino

93 Capitolo Soluzioni - Calcolo vettoriale 87 3 [3] u h,, h v h,, w, h, SolveDetu, v, w h, h, h SolveCrossu, v h, h i) h, h ± ii) h [3] a,, h b,, h SolveCrossa, bcrossa, b 6 h, h 7 7 Solveab h, h SolveCrossa, b i) h ± 7 ii) Sì per h, no perché le loro proiezioni ortogonali sul piano vettoriale individuato da eda sono ortogonali [33] u,, v,, X x, y, z SolveXCrossu, v, Xu, XX, X y, x, z, y, x, z LinearSolveTransposeu, v, Crossu, v,,, 3, 3, 3 i) ± 3 3,, ii) 3, 3, 3 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

94 88 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [34] u,, v,, w t, t, t w x, y, z SolveDetu, v, w t 4 9 Solvew au bv a 9, b 3, t 4 9 Solvet, w u, w v, w w ww, w 3 y 3 9, x 4 3 9, z 3 9, 3 y 3 9, x 4 3 9, z 3 9 i) t 4 9, Û 9 Ù 3 Ú ii) Û 4 3 9, 3 3 9, 3 9 [3] Se Ü Ý, dalla definizione di norma e dalle proprietà del prodotto scalare, segue: Ü ÝÜ Ý Il viceversa si ottiene in modo analogo [36] Si assume che Ü Ý Dalla formula del prodotto scalare, segue: cosü, Ü Ý cosý, Ü Ý e cosü, Ü Ý cosý, Ü Ý Università di Torino

95 Capitolo Soluzioni - Autovalori e autovettori [] A,,,,,,,, EigensystemA,,,,,,,,,,, Λ, Λ, Λ 3 V Λ L,,, V Λ L,,, V Λ3 L,, [] A,,,,,,,, EigensystemA, 4, 4,, 3,,,,,,, RootReduce%, 3,, 4 3, 3,, 4 3, 3, Λ, Λ 4, Λ 3 4 V Λ L, 3,, V Λ L4 3, 3,, V Λ3 L4 3, 3, [3] A,,,,,,,, EigensystemA,, 3,,,,,,,,, Λ, Λ, Λ 3 3 V Λ L,,, V Λ L,,, V Λ3 L,, 89

96 9 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [4] A,,,,,,,, EigensystemA,, 4,,,,,,,,, Λ, Λ, Λ 3 4 V Λ L,,, V Λ L,,, V Λ3 L,, [] A,,,,, 3, 3, 4, EigensystemA,, 4,,,,,,, 9, 7, Λ, Λ, Λ 3 4 V Λ L,,, V Λ L,,, V Λ3 L9, 7, [6] A,,,, 4,,,, EigensystemA,,,,,,,,,,, Λ, Λ (doppio) V Λ L,,, V Λ L,,,,, [7] A,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA,,, 3,,,,,,,,,,,,,,,, Λ, Λ (doppio), Λ 3 3 V Λ L,,,, V Λ L,,,,,,,, V Λ3 L,,, [8] A,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Λ, Λ (doppio), Λ 3 V Λ L,,,, V Λ L,,,,,,,, V Λ3 L,,, [9] A 3,,,,, 3,,,,, 4,,,,, 4 EigensystemA, 3, 4,,,,,,,,,,,,,,,,, Λ, Λ 3, Λ 3 4, Λ 4 Università di Torino

97 Capitolo Soluzioni - Autovalori e autovettori 9 V Λ L,,,, V Λ L,,,, V Λ3 L,,,, V Λ4 L,,, [] A,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Λ, Λ (triplo) V Λ L,,,, V Λ L,,,,,,,,,,, [] A, 4, 3,, 4,,,, 3,,,,,,, EigensystemA 4,,, 6,, 4, 3,,,,,,, 3, 4,,, 4, 3, Λ 4, Λ (doppio), Λ 3 6 V Λ L, 4, 3,, V Λ L,,,,, 3, 4,, V Λ3 L, 4, 3, [] A,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Λ, Λ (triplo) V Λ L,,,, V Λ L,,,,,,,,,,, [3] A,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Λ (triplo), Λ V Λ L,,,,,,,,,,,, V Λ L,,, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

98 9 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [4] A,,,,,,,,,,,,,,, 3 EigensystemA,, 3, 3,,,,,,,,, 3, 3, 3,, 3, 3, 3, RootReduce%,, 3, 3,,,,,,,,, 6 3, 6 3, 6 3,, 6 3, 6 3, 6 3, Λ (doppio), Λ 3, Λ 3 3 V Λ L,,,,,,,, V Λ L 3, 3, 3, 6, V Λ3 L 3, 3, 3, 6 [] A,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Λ (doppio), Λ (doppio) V Λ L,,,,,,,, V Λ L,,,,,,, [6] A a,, a, 3,,, 4, 4, SolveCharacteristicPolynomialA, x/ x a EigensystemA/a,,,,,,,,,,, i) a ii) No [7] A,,,,,,, 3, EigensystemA,,,,,,,, 7,,, Università di Torino

99 Capitolo Soluzioni - Autovalori e autovettori 93 i) P [8] 7 ii) No A, h, h,, hˆ h,, h,, h SolveDetA h, h, h, h EigensystemA/h,,,,,,,,,,, i) h, ii) Λ, Λ, Λ 3 V Λ L,,, V Λ L,,, V Λ3 L,, iii) Sì [9] A,, 4,,,, 4,, m EigensystemA 3, 3, 6,,,,,,,,, << LinearAlgebra Orthogonalization GramSchmidtm,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3 i) Λ 3 (doppio), Λ 6 V Λ L,,,,,, V Λ L,, ii) B,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3 iii) P [] A 3,,, 3,, h, 6, 4, SolveCharacteristicPolynomialA, x/x 3 h EigensystemA/ h,, 3,,, 3,, 3,,,, i) h ii) Λ (doppio), Λ 3 V Λ L,, 3,, 3,, V Λ L,, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

100 94 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I D 3 B,, 3,, 3,,,, [] A,, 4,,, 3, 9,,,, 6,,,, 7, DetA Si [] A,, a, a,,,,, a X x, x, x3 B,, ReduceAX B, X a &&x x&&x3 x &&x &&x3 &&a c A/a MatrixFormb Transposecc Eigenvaluesb 3,, 3 a : una soluzione (la soluzione nulla); a : infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera B t A A [3], Λ 3, Λ, Λ 3 3 A, a,,, a,,,,,,,,,,, a SolveDetA a, a, a EigensystemA/%,,,,,,,,,,,,,,,,,,, i) a/, ii) Λ, Λ (doppio), Λ V Λ L,,,, V Λ L,,,,,,,, V Λ3 L,,, [4] A,, a,,,, a,, SolveDetA a, a EigensystemA/a,, 3,,,,,,,,, Università di Torino

101 Capitolo Soluzioni - Autovalori e autovettori 9 i) a, ii) Λ, Λ, Λ 3 3 V Λ L,,, V Λ L,,, V Λ3 L,, [] A,, a,,,, a,, SolveDetA a, a EigensystemA/a,, 4,,,,,,,,, i) a ; ii) Λ, Λ, Λ 3 4 V Λ L,,, V Λ L,,, V Λ3 L,, [6] A,,,, h,,, h, hˆ X x, y, z B,, h ReduceAX B, X h &&x z&&y z x h &&y h h h &&z && h &&h && h h m A/h MatrixFormc mtransposem 3 3 Eigensystemc,, 7, 3,,,,, 3, 3,, i) Se h/,, : esiste una sola soluzione; se h, : non esistono soluzioni; se h : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera ii) C 3 3 ; D 7 iii) no [7] A,,,, h,, hˆ h, h, X x, y, z B,, h ReduceAX B, X h &&y x&&z xx h && 3 h y h h &&z &&h && h && h h a A/h MatrixFormb atransposea 3 3 Eigensystemb,, 7, 3,,,,, 3, 3,, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

102 96 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I i) Se h/,, : esiste una sola soluzione; se h, : non esistono soluzioni; se h : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera ii) B 3 3 ; 7 iii) No [8] A,, k,, h,, k,, Solve DetA ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables h, k k a A/h, k b Eigensystema,,,,,,,,,,, MatrixFormTransposeb << LinearAlgebra Orthogonalization MatrixFormTransposeGramSchmidtb i) k eh k ii) D P iii) A è simmetrica, Q [9] i) Se Λ, Λ,,Λ k sono gli autovalori di A con molteplicità m,m,,m k, rispettivamente, allora Λ, Λ,,Λ k sono gli autovalori di A, con le stesse molteplicità m,m,,m k ii) D D,P P [3] i) Se Λ, Λ,,Λ k sono gli autovalori di A con molteplicità m,m,,m k, rispettivamente, allora Λ, Λ,,Λ k sono gli autovalori di A, con le stesse molteplicità m,m,,m k ii) D D,P P Università di Torino

103 Capitolo Soluzioni - Autovalori e autovettori 97 [3] A,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA,,, 3,,,,,,,,,,,,,,,, i) Λ (doppio), Λ, Λ 3 3 V Λ L,,,,,,,, V Λ L,,,, V Λ3 L,,, [3] A,,,,,,,, EigensystemA,,,,,,,,,,, Λ, Λ, Λ 3 ii) A è simmetrica, B [33] A, h,,, h,, 3,, X x, y, z B,, ReduceAX B, X h &&x &&z yx &&y &&z && h EigensystemA/h,, 3,,,,,,, 3,, i) h, ii) h ; iii) A non è diagonalizzabile [34] i) Falso, per esempio: O ii) falso, per esempio: A [3] A, 3,, 3,,,, 4, MatrixFormB A TransposeA EigensystemB, 3, 3, B è diagonalizzabile ma non invertibile; è invertibile ma non diagonalizzabile,,,, 3 3,,, 3 3, 4 3 3,B 3 3 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

104 98 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [36] A,,,,,,,,,,,,,, k, SolveDetA k b EigenvaluesA,, 4k, 4k FlattenTablebi bj, i, 4, j, 4 MapSolve, % ËÓÐÚ ifun Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found ËÓÐÚ ifun Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found,, k,,,,, k, k,,, k 4,, k, k, 4 EigensystemA/k,,,,,,,,,,,,,,,, 3,, 3, 3 EigensystemA/k,,,,,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA/k /4,,,,,,,, 4, 4,,,,,,,,,, 3 i) k ii) k>,k, k 4 Università di Torino

105 Capitolo Soluzioni - Autovalori e autovettori 99 [37] A,,,,,,,, DetA 7 MatrixFormInverseA b EigensystemA,, 7,,,,,,,,, MatrixFormTransposeb << LinearAlgebra Orthogonalization MatrixFormTransposeGramSchmidtb i) det A 7 A ii) Λ di molteplicità, Λ 7 di molteplicità V Λ L,,,,,, V Λ L,, iii) P iv) Q Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

106 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [38] A,,,,, h,,, b EigenvaluesA, h, h FlattenTablebi bj, i, 3, j, 3 MapSolve, %, h, h, h,, h, h, h, EigensystemA/h,,,,,,,,,,, h> [39] A 4,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA,,, 4,,,,,,,,,,,,, 9,,, A 4 [4] A,,,,, 3,,,,,,,,,, EigensystemA,, 33, 33,,,,,,,,,, ,,,, 33 7,, 33 A [4] A,,,, 7,, 3, 6, EigensystemA,, 3,,,,,, 3,,, A 3,B 3 Università di Torino

107 Capitolo Soluzioni - Autovalori e autovettori [4] A, 4,, 6, 9,, 9, 8, EigensystemA 3,,,,,,,,, 7, 6, A [43] 3,B 7 6 A,,,, kˆ,,,, kˆ3 kˆ 3kˆ3,,,, k, kˆ k, kˆ3 k, SolveDetA EigensystemA,,,,,,,,, k,,,,,,,,,, EigensystemA/k,,,,,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA/k,,,,,,,,,,,,,,,,,,, i) A è invertibile per ogni k ii) A è diagonalizzabile se k [44] A,,, h,,,,,,,, X x, x, x3, x4 B,, ReduceAX B, X h &&x x3&&x x3 x4 x x3&&x x3&&x4 && h B A/h TransposeA/h MatrixFormB 3 3 b EigensystemB, 3,,,,,,,,,, << LinearAlgebra Orthogonalization MatrixFormTransposeGramSchmidtb i) Se h : il rango di A è,seh : il rango di A è3 ii) B 3 3, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

108 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I autovalori di B: Λ, Λ 3, Λ 3 ; autospazi di B: V Λ L,,, V Λ L,,, V Λ3 L,, ; P [4] A,, 4,,,,,,,,,,, h,, SolveDetA h b EigenvaluesA, 3, h, h FlattenTablebi bj, i, 4, j, 4 MapSolve, %,, h 9,,,,, h 4, h 9,,, h,, h 4, h, EigensystemA/h 9,, 3, 4,,,, 3, 4,,,,,,,,,,, 3 EigensystemA/h 4,, 3, 3, 4,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemA/h,,, 3, 4,,,,,,,,,,,,,,, i) h ; ii) h< [46] A, 3,, 3, 3, 4,, 3,, 3,, 3, 3, 3,, EigensystemA,,,,,,,,,,,,,,,,,,, EigensystemTransposeA,,,,,,,,,,,,,,,,,,, i) A e t A hanno gli stessi autovalori in quanto hanno lo stesso polinomio caratteristico ii) Gli autovalori di A sono Λ, Λ entrambi con molteplicità, gli autospazi ad essi relativi sono rispettivamente generati da,,,,,,, eda,,,,,,, ; gli autovalori di t A coincidono con gli autovalori di A ma i rispettivi autospazi sono diversi, infatti sono generati da,,,,,,, e da,,,,,,,, rispettivamente Università di Torino

109 Capitolo Soluzioni - Autovalori e autovettori 3 [47] A, 3,,, 3, h, 4, 6, b EigenvaluesA, 4 h, 4 h FlattenTablebi bj, i, 3, j, 3 MapSolve, % ËÓÐÚ ifun Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found ËÓÐÚ ifun Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found, h,, h,, h,, h, 4 4 EigensystemA/h,,,,,, 3,,,,, EigensystemA/h /4,,, 3,,,, 7,,,, h> 4 [48] Se b, allora a, A I e A I ;seb allora a Λb, Λ, A [49] b, B Λ A,,,,,,, 3, EigensystemA,,,,,,,, 7,,, i) A e B sono simili perché hanno gli stessi autovalori con la stessa molteplicità ii) P 7 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

110 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] A,, h,,,, h,, b EigenvaluesA, h, h FlattenTablebi bj, i, 3, j, 3 MapSolve, %, h, h, h,, h, h, h, EigensystemA/h,,,,,,,,,,, EigensystemA/h,,,,,,,,,,, EigensystemA/h,,,,,,,,,,, h ± [] A,,, h, h,, h,, h b EigenvaluesA, h, h FlattenTablebi bj, i, 3, j, 3 MapSolve, %, h 3, h, h 3,,, h,, EigensystemA/h 3,, 3,,,,,,,,, EigensystemA/h,,,,,,,,,,, La matrice A è diagonalizzabile per ogni h Università di Torino

111 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano << LinearAlgebra Orthogonalization << Graphics ImplicitPlot Cox, y Coefficientx, y FSx FullSimplifyx Matf Doa Cof, xˆ a Cof, xy/ a Cof, yˆ a3 Cof/y, x/ a3 Cof/x, y/ a33 f/x, y A a, a, a, a B a, a, a3, a, a, a3, a3, a3, a33 Conicf DoMatf PrintA, MatrixFormA,, det A, DetA PrintB, MatrixFormB,, det B, DetB PrintAutovalori di A, EigenvaluesA GSi, j RootReduceGramSchmidtEigenvectorsAij sos x GS, x GS, y, y GS, x GS, y PrintFSsos ff FSf/sos Matff sos x Ifa, x, x a3/a, y Ifa, y, y a3/a PrintFSsos fff FSff/sos PrintEquazione finale, fff, ImplicitPlotf, ff, fff, x,,, PlotStyle Thickness, Dashing, Thickness, PlotPoints 3

112 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] Conicxˆ yˆ 4x y 3 A, det A B, det B 8 3 Autovalori di A, x y,y x x x,y y Equazione finale 4 x y X 4 Y x y X Y Università di Torino

113 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 7 [] Conic3xˆ yˆ 6x A 3, det A B, det B 6 3 Autovalori di A, 3 x y,y x x x,y y Equazione finale x 3y X Y x y X Y [3] Non si tratta di una conica reale Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

114 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [4] Conicxˆ x y yˆ x A, det A 3 B, det B Autovalori di A, 3 x xy,y xy x x,y 3 y Equazione finale 3 x 3y X 3Y 3 ; x y X Y 3 3 Università di Torino

115 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 9 [] Conicxˆ yˆ x 4y A, det A B, det B 7 Autovalori di A, x y,y x x x,y y Equazione finale 7 x y È la circonferenza di centro C, e raggio 7 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

116 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [6] Conicxˆ yˆ A, det A B, det B Autovalori di A, x y,y x x x,y y Equazione finale x y È la conica degenere data dal prodotto delle rette x y ex y [7] X 3Y 8 3 x y X Y 3 3 [8] L unico punto reale di tale conica è l origine O, Università di Torino

117 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano [9] Conicxˆ 3yˆ 4x 6y A, det A 3 3 B 3 3, det B 8 3 Autovalori di A, 3 x x,y y x x,y y Equazione finale 6 x 3y X 6 Y x y X Y [] 3 X Y 3 x y X Y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

118 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] Conicyˆ xy A, det A 4 B, det B 4 Autovalori di A, x x y, y x y x x,y y Equazione finale x y x yx y X Y x y X Y Università di Torino

119 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 3 [] Conicxˆ 3xy yˆ 4 Sqrtx y6 A 3 3, det A 4 3 B 3 6 Autovalori di A, x xy,y xy, det B x x,y 8 y Equazione finale 4 x y X Y x y X Y 8 8 [3] Si tratta della circonferenza di centro O, e raggio Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

120 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [4] Non è una circonferenza reale [] X Y x y 3 3 X Y [6] X Y x y X Y [7] X Y x y X Y [8] X Y x y X Y Università di Torino

121 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano [9] Conicxˆ xy yˆ x y A, det A B, det B 4 Autovalori di A, x xy,y xy x x,y y Equazione finale x y Y X x y X Y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

122 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] Conicxˆ xy yˆ y A, det A B, det B 3 Autovalori di A, x x y, y x y x 4 x, 4 y y Equazione finale 3 x yx y Y 3 X Università di Torino

123 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 7 [] Conicxˆ xy yˆ A, det A 3 B, det B 3 Autovalori di A 3, 3 x 3 3 x 3 3 y, y 3 3 x 3 3 y x x,y y Equazione finale 3 x 3 y X 3 Y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

124 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] Conicxˆ xy /4 yˆ x 6y 6 A, det A 4 B , det B 3 4 Autovalori di A 8 3 4, x 4 x 4 y, y 4 x 4 y 49 x x, 49 y y Equazione finale x 3 4 y X 3 4Y 4 Università di Torino

125 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 9 [3] 4 X 36 Y x y X Y [4] Conicxˆ 4yˆ 4x 8y 7 A, det A 4 4 B 4 4, det B Autovalori di A, 4 x x,y y x x,y y Equazione finale x 4y X 4Y x y X Y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

126 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] Conic4xˆ yˆ 8x 4y 7 A 4, det A B, det B Autovalori di A, 4 x y,y x x x,y y Equazione finale x 4y X 4Y x y X Y Università di Torino

127 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano [6] Conicxˆ 4x y 4yˆ y 9 A, det A 4 B 4, det B 4 9 Autovalori di A, x xy,y x y x x,y y Equazione finale x y Y X x y X Y 8 [7] X 4 Y x y X Y 6 3 [8] 3X Y x y X Y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

128 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [9] X Y [3] x y X Y Conicxˆ xy 4yˆ A, det A 4 4 B 4, det B 4 Autovalori di A, x 3 x 3 y, y 3 x 3 y x x,y y Equazione finale x y X Y Università di Torino

129 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 3 [3] Conicxˆ 3xy yˆ x y A 3 3, det A 4 3 B 3, det B 4 Autovalori di A, x x3 y,y 3 xy x x,y y Equazione finale x y X Y x y 3 3 X Y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

130 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [3] Conicxˆ xy 3 yˆ 7y A, det A B 3 7 7, det B Autovalori di A, x x y, y x y x 4 y x, 8 3 y Equazione finale x y Si tratta della conica degenere: x y x 3y Università di Torino

131 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano [33] X Y x y X Y [34] X 3 Y 8 x y X Y [3] X 3 Y 8 x y X Y [36] Si tratta della conica degenere: x 3yx Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

132 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [37] Conicxˆ 4yˆ 4x 8y A, det A 4 4 B 4 4, det B 4 4 Autovalori di A 4, x y,y x x x,y y Equazione finale 4x y ImplicitPlot xˆ 4yˆ 4x 8y, xˆ yˆ 4x 6y 9, x,, Graphics- Università di Torino

133 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 7 i) x y 6x 4y tx y, t ii) x y 4x 6y 9 iii) Iperbole con centro C, ed assi paralleli agli assi coordinati [38] ImplicitPlot x ˆ y ˆ, x y, xˆ yˆ 4/x /y, xˆ yˆ 4/x /y, x,, Graphicsi) A 3 ii) Retta: x+y= iii) x y ± 4 x ± y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

134 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [39] ImplicitPloty, x y, x ˆ y 3ˆ 4, x y ˆ x ˆ y ˆ, x, 7, Graphicsi) x y 3 4; ii) Q 4, 3; iii) dp, s ; iv) x y x y [4] A Università di Torino

135 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 9 [4] ImplicitPlotx 3y, x y, x /ˆ y 3/4ˆ 3/6, x,, Graphics- x y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

136 3 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [4] ShowGraphics Line,,, 4, Line,, 4,, PointSize, Point3,, TextA, 3,,,, PointSize, Point, 3, TextB,, 3,,, PointSize, Point, /3, TextH,, /3,,, PointSize, Point,, TextO,,,,, Line,,, 3, Line3,,, 3 B O H A Ortocentro: H, 3 [43] ImplicitPloty, 3x 7y 7, x 7/ˆ y /ˆ /4, x,, Graphics- -Graphics- Università di Torino

137 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 3 x 7 y 4 [44] ShowGraphics Line,,, 6, Line,, 6,, PointSize, Point4,, TextA, 4,,,, PointSize, Point, 4, TextB,, 4,,, PointSize, Point, 3/, TextH,, 3/,,, PointSize, Point,, TextO,,,,, Line,,, 4, Line4,,, 4 B H O A -Graphics- Circocentro: H, 3 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

138 3 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [4] << Graphics ImplicitPlot ImplicitPlot x y, x 3/8ˆ y /8ˆ 6/3, x, 8, Graphics- -6 x 3 8 y Università di Torino

139 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 33 [46] ShowGraphics Line,,, 7, Line,, 7,, PointSize, Point,, TextA,,,,, PointSize, Point, 3, TextB,, 3,,, PointSize, Point, 4, TextC,, 4,,, PointSize, Point4, 3, TextD, 4, 3,,, PointSize, Point,, TextO,,,,, Line,,, 3, Line, 3,, 4, Line,, 4, 3, Line4, 3,, 4 C B D A O -Graphics- D 4, 3 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

140 34 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [47] << Graphics ImplicitPlot ImplicitPlotx y, x /ˆ y 3 Sqrtˆ /4 3 Sqrtˆ, x /ˆ y 3 Sqrtˆ /4 3 Sqrtˆ, x,, Graphics- - x y 3 ± 4 3 ± Università di Torino

141 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 3 [48] << Graphics ImplicitPlot ImplicitPlotx 7/6ˆ y 9/9ˆ 4/3, x 4ˆ y ˆ x y ˆ, x,, Graphicsi) p 3 9, A 9 ; ii) V 4, ; iii) x 7 6 y ; iv) x 4 y x y [49] i) A, p ii) x y ; iii) E x y 4 x 3 y 4 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

142 36 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I iv) Sì, infatti i due vertici del quadrato verificano la definizione di ellisse come luogo geometrico [] i) a ii) X Y x y X Y Università di Torino

143 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 37 [] B h, Sqrt3,, Sqrt3, h, Sqrt3h /,, Sqrt3h /, SolveDetB, h h, h 7 3, h 7 3 A B,,, h, 3, 3, h SolveDetA, h h, h Conicxˆ 3yˆ Sqrt3 xy x A 3 3 3, det A B 3 3 3, det B 3 Autovalori di A, 4 x 3 x y,y x 3 y x x,y 8 y Equazione finale 6 3x 4y h 4Y 3X x y 3 3 X Y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

144 38 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] i) P ii) X 3 Y x y P X Y [3] 3X Y x y X Y Centro: 3 3, 3, asintoti: y x, y x ; assi: x 3y, 3x y Università di Torino

145 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 39 [4] Conic4xˆ 4xy yˆ y A 4, det A 4 B, det B Autovalori di A, x x y,y xy x x,y y Equazione finale x y Vertice: V 9,, asse: x t 9 y t, t Y x X y X Y 9 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

146 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] X 6Y ; x y X Y Assi: x y 3, x y ; [6] Conic7xˆ 8xy yˆ 6x 6y A 7 4, det A B 4 3, det B Autovalori di A, 9 x x y,y xy x 3 x,y y Equazione finale x 9y X 9Y ; assi: x y, x y 3 Università di Torino

147 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 4 [7] a t,,, t b t,, t,, t, t, t, t, SolveDetb t, t, t Eigensystema t, t,,,, Conic3 xˆ yˆ 6x y A 3, det A B, det B 9 3 Autovalori di A, 3 x y,y x x x,y y Equazione finale 3 x 3y i) t, t, t ii) C, iii) X Y 3 [8] i) a<3, a>3: iperboli; 3 <a<3: ellissi; a 3: parabola degenere; a 3: parabola; a 3 : iperbole degenere ii) X Y, x y X Y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

148 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [9] B t, t/,, t/,,,,, t SolveDetB, t t, t, t A B,,, t, t, t, SolveDetA, t t 4, t Conic4xˆ 4xy yˆ y 4 A 4, det A 4 B, det B 4 Autovalori di A, x xy,y x y x x,y y Equazione finale 4 x y i) Se t<4, t>: iperboli; se 4 <t<: ellissi; t 4: parabola, t : parabola degenere, t ± : iperboli degeneri ii) Y X ; iii) coincide con ii) [6] i) Se Λ < 4, Λ > : iperboli; se 4 < Λ < : ellissi; Λ 4: parabola, Λ : parabola degenere, Λ 4 ± 3 : iperboli degeneri ii) Y X iii) coincide con ii) Università di Torino

149 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 43 [6] A, h, h, B, h,, h,,,,, h SolveDetB /3 h /3 3 /3, 3 9 h 69 /3 3 3 /3 /3 3 9, / h 9 69 /3 3 3 /3 /3 3 9 /3 69 EigensystemA h, h,,,, i) <h<: ellissi; h ±: parabole; h<,h>: iperboli; ii) h [6] Conicxˆ xy /4yˆ x 6y 6 A, det A 4 B Autovalori di A, 4 x x y,y xy x x,y 4 y, det B 4 Equazione finale x y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

150 44 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I 4 Y X ; x y X Y 9 6 ; asse: x y, tangente nel vertice: x y 3 [63] Conicxˆ yˆ 4x 4y A, det A B, det B 8 Autovalori di A, x y,y x x x,y y Equazione finale 4 x y X 4 Y x y X Y ; C, ; assi: x,y ; asintoti: y ± x Università di Torino

151 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 4 [64] Conic3xˆ xy 3 yˆ x y A 3, det A B 3, det B 8 Autovalori di A, 4 x xy,y xy x x,y y Equazione finale x 4y i) Sì ii) No iii) Sì iv) È un ellisse v) x 4y [6] ii) X Y, x y X Y ; iii) centro:, ; iv) asintoti: x,y ; v) tangente: x y [66] X 8 Y ; assi: x y, x y ; asintoti: 4x 3y, y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

152 46 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [67] Conicxˆ xy yˆ x y 7 A, det A B, det B 36 7 Autovalori di A, x xy,y xy x x,y y Equazione finale 3 6 x y Y 3 X, vertice: V 6, 6, asse: x y Università di Torino

153 Capitolo Soluzioni - Geometria analitica nel piano 47 [68] Conic7xˆ xy 7yˆ 34 x y 3 A 7, det A B 7, det B Autovalori di A 6, 8 x xy,y xy x 3 x,y y Equazione finale 6 3x 4y X Y 3 ; vertici: A B 3 3,, 3 3,A,,B 3 3,, 3 3 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

154 48 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [69] A, h, h, 4 B, h, 4, h, 4, 3, 4, 3, SolveDetB h 73 4 e EigenvaluesA 9 4h, 9 4h Solvee h, h Solvee Conicxˆ 4 yˆ 8x 6y A, det A B 4 3, det B Autovalori di A, 4 x x,y y x 4 x,y 3 4 y Equazione finale 73 4 x 4y Se h 73 4 la conica è degenere; altrimenti è non degenere Se <h< la conica è un ellisse, se h< eh> la conica è un iperbole, se h ± la conica è una parabola Se h : X 73 4 Y 73 6, x y X Y Università di Torino

155 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio [] << Graphics ParametricPlot3D ShowParametricPlot3Dt, t, t, t, 3,, Graphics3DTextr, 7,, 3, ParametricPlot3Dt 6, t, t, t, 4,, Graphics3DTexts, 3,,, ParametricPlot3Dt, t, 3t 4, Hue, t,,, Graphics3DTextt,,,, ParametricPlot3D/3t, /3 t, t, Hue6, t,,, Graphics3DTextl,, 3,, ViewPoint, 4, 4, Boxed False, BoxRatios,, s r - l t

156 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I i) l x y 3z 4x y 3z 4 ii) x y 3 z iii) x y 3 z x y z, x y 3 z x 3y z 8 [] << Graphics ParametricPlot3D ShowParametricPlot3Dt, 3t, t, t,,, ParametricPlot3Du v, u, v, u,,, v,,, ParametricPlot3D4/9 Sqrt4/9 Sinu Cosv, /9 Sqrt4/9 Sinu Sinv, /9 Sqrt4/9 Cosu, u,, Π, v,, Π, ViewPoint,, Graphics3D- x y z 8 9 x 9 y 9 z x y z [3] A,,,, k,,,, B h,, X x, y, z ReduceAX B, X h &&k &&x y&&z k hk x k &&y h k &&z h&& k i) Se k, h : i tre piani si intersecano in un punto, se k,h : i tre piani appartengono allo stesso fascio proprio, se k,h : un piano è parallelo alla retta intersezione degli altri due Università di Torino

157 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio ii) s y t Π x y ; x t z t, t, iii) x y z 4x 4y [4] i) x y z x y 3z ii) Α x y z iii) x y z 3x 3y z [] i) Π x y z 4 ii) x y 4 z 6 [6] dr, s 9 3 [7] x y x y z z 8 [8] i) a) h, k 4; b) h ek 4; c) h, k ; d) h ± 3,k 3 ii) det 3 [9] x y z z Αx y, Α [] x y x 4y z ± [] x y z 3 63 x y [] i) Π x z 8 ii) x y z 6x y 4z 6 iii) x z 8 x 7 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

158 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [3] i) x y z ii) [4] Se a, b : le due rette sono parallele non coincidenti; se ab 3b : le due rette sono incidenti, altrimenti sono sghembe [] i) x y ; ii) x y z ± 3 x y z [6] i) Ü, 4, ii) a x y 3x z b 9x y z 7 x z iii) d,a iv) x 3 y z 7 4 [7] x y z 4x 6y 4z 3, x y z 4x 6y 9 [8] s x y 6z x z [9] i) 3x y y z ii) x y z iii) x y z 3 4 [] i) y z 4x 7y z ii) x y z x 6y 8z 7 3y z [] i) a 8x y z b y 3 8x y 9 ii) da, b 9 6 [] i) c 8x y z x 3y 7 ii) x y z x y z [3] Α y z 4, Β 4x y z 6 [4] i) d ii) x y z 3t x 3t y tz 3t 3t (t ), non è un fascio di sfere Università di Torino

159 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 3 [] i) x y 3 x z, x y 3 x z 3 ii) C 3, 3,, r 46 [6] x y z 9, x y z 3 4 x 3 y 3 z 4 8 [7] x y z x 4y 4z 8, x y z 4x 8y 8z 9 [8] [9] x y z x y [3],, [3] x y z 4y z, x y z 8x 4y z 8 [3] x y z z, 3 x y z z 3 [33] x 4 ± y 4 ± z 4 ± [34] ii) x y 6z 6 6x 6y z 9 6, x y 6z 6 6x 6y z 9 6 [3] x y z x x y z, x y z x x y z [36] Se k h,h : le rette sono incidenti, altrimenti sono sghembe; non sono mai parallele h [37] x y z x y z 4 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

160 4 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [38] P,, 4 [39] x y z y 4z 4, x y z 8x 6y 4z [4] Per ogni h, k, Π, Π, Π 3 si intersecano in un punto [4] i) x y z 4x 4y 3 ; ii) t 8x y z x 3y 7 iii) A 93 [4] i) P H x 4t y t z 7t, t, P 3 K x 7t y 4t z t,t, le due rette sono sghembe ii) x 3 y z 4 9 x y 3z [43] ii) n 6y x y iii) P 6, 6,,P 6, 6, iv) x 6 y 6 z [44] x y z x y z [4] i) r x t y z t, t, r x t y 6t z t, t ii) x y z 4 [46] i) C 3, 4 3, 3, r 4 3 ; ii) x y z x y z Università di Torino

161 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio [47] i) y z ; ii) y z ; iii) x t y t z t, t, x t y t z t, t iv) x 8 y 4 z 8 4, x 8 3 y 4 3 z [48] i) A,,, A,, ; ii) x y z 4x z 4 4 [49] A,, h,, 4, k, h k, k 4, h k B,, 4 h X x, y, z ReduceAX B, X h &&k &&y x z h k&&x 4 4 kz&&y 8 3kz&& k 8 k 4 h&&y x&&z && h x &&y &&z && 4 h k && h k i) Se k h si ottiene un punto di intersezione; se k h esistono infinite soluzioni: se h dipendono da un incognita libera, se h dipendono da due incognite libere ii) x Α y Β z Α Β 6, P Α, Β descrive un ellisse su z [] x y z z 3 4, x y z z 3 4 [] i) Se h 3, k : la retta e il piano sono incidenti, se h 3, k : la retta giace sul piano, se h 3, k : la retta è parallela al piano ii) Γ iii) 4x 3y z 7 x y z 4x 6z 4 4x 3y z 7 x 7y z 7 ± 3 [] x t y 4 9 t 3 z t, t, x t y 4 9 t 3 z t, t Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

162 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [3] i) Se a : le due rette sono parallele ma non coincidenti; se a, 3: le rette sono incidenti; in tutti gli altri casi le due rette sono sghembe ii) x y 7 iii) x y z 3x y 8z [4] i) a) h 4, k : r e Π sono incidenti; b) h 4, k : r e Π sono paralleli; c) h 4, k : r è contenuta in Π ii) x z x 4y z iii) C,,, r 4 [] i) x 3y z ii) r x y z iii) x y z, x y z 4 [6] i) x y z ii) dr, s 3 iii) x 4 y z 9 9, x y z 9 [7] A, h,,,, h, h, 3, B, h, X x, y, z ReduceAX B, X h &&x 3 z &&y y h h 3zx h && h &&z && h && h && h h i) Se h/, : l intersezione di Π, Π, Π 3 è un punto; se h ±: un piano è parallelo alla retta intersezione degli altri due; se h : i tre piani appartengono allo stesso fascio proprio ii) x 4 t y 3t z t, t iii) x y z x y 6z 4 [8] i) r x y y z ii) x y z x 3 ± 3 y 3 z [9] i) x y 3z ; ii) P 3, 3, 3, P 3, 3, 3 ; iii) h 7 9 [6] i) x z 3 y z 3, x z 3 y z 3 ii) B esterno a Γ iii) y z x y z 3 ± 3 Università di Torino

163 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 7 [6] i) P,,, x y z ii) x y z 4y 6z iii) x z 3 iv) x y z 4y 6z y z [6] i) x y, 8x y z 4 ii) x y z x y iii) x y z x y x y z 3, x y z x y x y z 3 [63] A, k,, k,,,,, k B k,, kˆ X x, y, z ReduceAX B, X k &&x y z x k k &&y k k &&z && k && k k k i) Se k/, : i tre piani si incontrano in un punto; se k : i tre piani sono paralleli ma non coincidenti; se k : due piani si incontrano in una retta e il terzo piano è parallelo a tale retta ii) x z x z 3 iii) Γ x y z z x y z x y z x y 3z [64] i) 3x y, dπ,z 3 ii) C,,, r ; z x y [6] y x z Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

164 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [66] << Graphics ParametricPlot3D ShowParametricPlot3D, t, tˆ, t,,, ParametricPlot3D u, t u, tˆ, t,,, u,,, PlotPoints Graphics3Dz y x [67] xy x yz Università di Torino

165 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 9 [68] << Graphics ParametricPlot3D iperboloidea, b, c u, v a Coshv Cosu, b Coshv Sinu, c Sinhv ShowParametricPlot3DEvaluateiperboloide, 3, u, v, u,, Π, v,,, Plot3D/x /3y, x,,, y,,, ViewPoint,, i) x z y 3, x z y 3 y 3 x z Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

166 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I ii) 3x y 6z 6 iii) P, ± [69], 3, ± 4 << Graphics ParametricPlot3D ShowParametricPlot3D /3t, t, / /3t, t,,, Plot3Dxˆ/8 yˆ/8, x,,, y,, Graphics3Di) Paraboloide iperbolico ii) r x 3 t y t verifica l equazione del paraboloide z 3 t, t [7] i) Sì ii) Γ x xy y x 4y, Y 3 X, parabola; x y X Y Università di Torino

167 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 6 [7] i) x y z 4 x y z 4 ii) x 3 7 t y 8 7 t z 3 3t, t 7 iii) Γ x y z x 4y z 4 x y z iv) x y z 3 6 x y z 8 [7] i) z x y z ii) x t y t z ± t, t [73] x y z 6x y z x y [74] x y z x y z x [7] x y z y x y z x y x y z 4x x y z 4x y x y z [76] i) x y z 9 x z ii) x y x 9 [77] x y z 7y z 3y z 6 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

168 6 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [78] << Graphics ParametricPlot3D ShowParametricPlot3D Cost, Sint, 4, t,, Π, ParametricPlot3D Costu, Sint u, 4u, t,, Π, u,, Graphics3D- 4x z 4y z 4 [79] x y z 3 6x y Università di Torino

169 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 63 [8] << Graphics ParametricPlot3D ParametricPlot3D uv, uˆ v u, uˆ v, u,,, v,, Graphics3Di) S è una superficie rigata ii) r x y z t, t, r x t y 4t z t, t iii) y x x : parabola X Y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

170 64 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [8] << Graphics ParametricPlot3D ParametricPlot3Duˆ3 uv v, Cosuu v uˆ, uv, u, Π, Π, v,,, ViewPoint,,, Boxed False Graphics3Dii) t,t,t [8] i) r x y x y z ii) r ed s si incontrano nel punto P,, iii) C Γ,,,r Γ 3 3; x x y z 9 z y x y z 9 z x y z 9 9 [83] i) x y z x 4z x y 3z Università di Torino

171 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 6 ii) A, 3, 3,B 3 ± 4, 3 ±, 3 iii) x y 4 z 3 [84] i) r x z ii) x z 4 x y z x z 4 x z [8] i) Π x z iii) r x z [86] i) C,,, r 6 ii) r x y z x y z iii) x y z xy xz yz x y 7z 4 [87] i) Β x y z 3, Β x y z ii) x y z 4 9x y z 4x y 4z 6 [88] i) A 3 iii) Γ x y z y x, Γ x y z y x Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

172 66 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [89] Conicxˆ xy yˆ A, det A 3 B, det B 3 Autovalori di A 3, 3 x 3 3 x 3 3 y, y 3 3 x 3 3 y x x,y y Equazione finale 3 x 3 y i) C,,, r 3 ii) x y z 3y iii) Γ x y xy, X 3 Y 3 [9] i) Se Λ, Μ : le rette sono coincidenti; se Λ, Μ : le rette sono parallele ma non coincidenti; se Λ, Μ : le rette sono incidenti; se Λ, Μ : le rette sono sghembe ii) x y z x z Università di Torino

173 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 67 iii) x y z x 4y 3 : iperboloide di rotazione ad una falda; X Z Y [9] i) C,,, r, CP,, ii) Π 3x 6y z 4 38, Π 3x 6y z 4 38 iii) y 3 6x 6z 6xy 36zy 3xz Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

174 68 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [9] << Graphics ParametricPlot3D ParametricPlot3Du, t/ tu, t u, u,,, t,, 3, PlotPoints Graphics3Di) y z x ii) x z y: paraboloide di rotazione Università di Torino

175 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 69 [93] << Graphics ParametricPlot3D ParametricPlot3Dt, tˆ u, tˆ t u, t,,, u,,, ViewPoint,,, PlotPoints Graphics3D- Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

176 7 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I i) x y z x ii) x x y z [94] i) 6x 6y 4z 7 x 7y z 6 ii) x y z x y 4z 7 x y z 4x 4y 8z 9 [9] i) x 3y x y 3z ii) C,,, r iii) x y 3z 7 4x y z 4x 6y [96] ii) Π x y z ; iii) 3x 3 3y 3z 6 iv) 3x z x y z [97] i) P,, 3, P 8,, 6 ii) x y z 9 x y z [98] i) P,, ; ii) A 3 iii) x y z 6 x 3y z iv) y z 7 [99] i) r x y z 3 ii) Π z 3, Π x y z 3 iii) x y z 6 x y z 3 iv) 4x 3y z x y z [] x y z z y x y z z x Università di Torino

177 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 7 [] x y z x z [] ii) x z y iii) x y z : iperboloide di rotazione ad una falda iv) C,, 3, r [3] i) x y z 4x y 3z 4 ii) x y z x y z x y z [4] ii) C Γ 3, 4 3, 4 3, r Γ, x y z 6 iii), x y z 6 6 ± 6 iii) x 3 4y 6x 3z 3z 3 x 4y 4z [] ii) x y 3 z, x, y z, P, 3, ; iii) x y z 8z [6] i) 9x y 3z 4 ; iii) y 6z x 3z iv) ; v) x y z y 6z 36 ; vi) O,, interno a [7] i) P è interno a ; ii) il piano interseca la sfera; iii) la retta interseca la sfera; iv) le due sfere non hanno punti in comuni [8] i) x y z x y z ii) C 4 3, 3, 4 3, r 8 3 ; iii) x y z xy [9] i) t x z x y z ii) r e s sono sghembe [] ii) s x y z x y z iii) dp, r 6 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

178 7 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] ii) s x y z x 3y z 4 iii) dp, Β 4 4 [] i) r ed s sono sghembe ii) x y z 6 8 x y 3z 3 4 x y 3z 3 9 [3] A, p [4] i) Se k : la retta e il piano sono paralleli, ma non hanno punti in comune Se k : la retta e il piano sono incidenti ii) s x y t z t, t iii) x y z 3 iv) y z x y z x y z [] ii) 4x y z iii) x y z 6 iv) x 3 y z 9, r [6] i) ; ii) 6 7, 3 7, 7 ; iii) 9x y 9z 6xy xz 6yz [7] i) P, 4, 3; ii) P 3, 3, 7 ; iii) dp, Π ; 3 3 iv) x y z x 4y z x z v) x y z [8] i) V 9 ii) Γ x y 3 z 6 x y z 9 iii) xyz98x xyz98y xyz98z 6xyz9 [9] i) r e s sono sghembe ii) x y z x y z 6 3x y z 6 : iperboloide di rotazione iii) y z ; interseca r Università di Torino

179 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 73 [] y x y z y z x y x y [] m,,,,,,,, es Eigensystemm 3, 3, 9,,,,,,,,, << LinearAlgebra Orthogonalization MatrixFormTransposeGramSchmidtes << Graphics ParametricPlot3D ellissoidea, b, c u, v a Cosv Cosu, b Cosv Sin u, c Sin v ParametricPlot3DEvaluateellissoide/3, /3, /9u, v, u, 8, 8, v, 8, 8, Boxed False, ViewPoint,,, PlotPoints Graphics3D i) D 3 9, Q ii) Dalla matrice D è chiaro che si tratta di un ellissoide di rotazione di equazione: 3X 3Y 9Z, nel riferimento R O, X,Y, Z ottenuto da: Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

180 74 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I x X y z Y Z [] << Graphics ParametricPlot3D ellissoidea, b, c u, v a Cosv Cosu, b Cosv Sin u, c Sin v3 ParametricPlot3DEvaluateellissoide, 3, 7u, v, u, 8, 8, v, 8, 8, Boxed False, ViewPoint,,, PlotPoints 4 3 -Graphics3D- x 4 y 9 z 3 49 [3] 4x 4y 4z x y [4] x 3 x z y 3 x z z 3 x z x 3 x z 3 y x z 3 [] Mediante la traslazione x y z X Y Z, si ottiene la quadrica ridotta a forma canonica di equazione: Università di Torino

181 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 7 X Y kz, k Pertanto: per k si ha la sfera di centro l origine (del nuovo sistema di riferimento) e raggio ; per k si ha un cilindro rotondo con asse parallelo all asse Z ; per k>,k si ha un ellissoide di rotazione; per k< si ha un iperboloide, di rotazione, ad una falda [6] i) Le rette AB ed s sono sghembe ii) C 9 4,, 4,r 33 8 iii) si tratta dell iperboloide, di rotazione, ad una falda la cui equazione è: x y z 3 x 3y 6z 4 x 3y 6z 4 4 iv) Si tratta del cilindro rotondo di asse AB e di equazione P A P B 3, ossia: y z x z x y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

182 76 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [7] << Graphics ParametricPlot3D Show ParametricPlot3D Sinu Cosv, Sinu Sinv, Cosu, u,, Π, v,, 3/ Π, ParametricPlot3D Sqrt3 Sinu Cosv, Sqrt3 Sinu Sinv, Sqrt3 Cosu, u,, Π, v,, Π Graphics3D- ha centro nel punto C,, e raggio r ; ha centro in C,, e raggio r 3, quindi è all interno di senza punti in comune [8] i) k ; ii) non esiste alcun k che verifica la condizione richiesta; iii) k 4; iv) k Università di Torino

183 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 77 [9] i) C Γ 3, 3, 7 3, r Γ 3 ii) x y 4z 8x y z [3] << Graphics ParametricPlot3D ShowParametricPlot3D Sqrt7 Sinu Cosv, 4 Sqrt7 Sinu Sinv, 3 Sqrt7 Cosu, u,, Π, v,, Π, ParametricPlot3Dt, s,, t,,, s,,, ParametricPlot3Dt, s, 3 3Sqrt3, t,,, s,,, ParametricPlot3Dt, s, 3 3Sqrt3, t,,, s,,, ViewPoint,, Graphics3Di) C, 4,, r ii) Α z 3 3 3, Α z iii) x y 9z 4xz 8yz Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

184 78 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [3] ) << Graphics ParametricPlot3D ParametricPlot3Du, uˆ vˆ, v, u, 4, 4, v, 4, 4, PlotPoints Graphics3D- 4 Paraboloide di rotazione di asse l asse y Università di Torino

185 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 79 ) ShowPlot3DSqrtxˆ y ˆ, x, 4, 4, y, 4, 4, PlotPoints 8, ViewPoint,,, Plot3DSqrtxˆ y ˆ, x, 4, 4, y, 4, 4, PlotPoints 8, ViewPoint,, Graphics3D- Cono rotondo di vertice V,, e con asse l asse z Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

186 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I 3) Plot3D4 xˆ yˆ, x,,, y,,, PlotPoints SurfaceGraphics- Paraboloide di rotazione, con concavità verso il basso, di vertice V,, 4 e asse l asse z Università di Torino

187 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 8 4) << Graphics ParametricPlot3D ParametricPlot3Du, v, Sinu, u, Π, 3Π, v,,, PlotPoints Graphics3D- Cilindro di direttrice la curva z sin x del piano coordinato xz e con generatrici parallele all asse y Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

188 8 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I ) Plot3DSqrtxˆ yˆ, x, 4, 4, y, 4, 4, BoxRatios,,, PlotRange, 3, PlotPoints SurfaceGraphics- Si tratta della metà (rivolta verso l alto) di un cono rotondo di vertice l origine e asse l asse z Università di Torino

189 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 83 6) << Graphics ParametricPlot3D ParametricPlot3DCost, Sint, u, u, 4, 4, t,, Π Cilindro rotondo di direttrice la circonferenza del piano xy di equazione x y e generatrici parallele all asse z 7) Plot3D xˆ yˆ, x, 4, 4, y, 4, 4, PlotPoints Graphics3D- -SurfaceGraphics- Paraboloide di rotazione, rivolto verso l alto, di vertice V,, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

190 84 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I 8) Plot3Dxˆ/4 yˆ/9, x,,, y,,, PlotPoints SurfaceGraphics- Paraboloide ellittico, con vertice nell origine Università di Torino

191 Capitolo 3 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio 8 9) Plot3Dxˆ yˆ, x,,, y,,, PlotPoints Plot3Dxˆ yˆ, x,,, y,,, ViewPoint,,, PlotPoints Plot3Dxˆ yˆ, x,,, y,,, ViewPoint,,, PlotPoints SurfaceGraphics- -SurfaceGraphics- -SurfaceGraphics- Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

192 86 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I Paraboloide iperbolico ) << Graphics SurfaceOfRevolution ShowSurfaceOfRevolutionSqrtx, x,,, SurfaceOfRevolutionSqrtx, x,,, BoxRatios,, Graphics3D- Superficie ottenuta dalla rotazione della parabola z x del piano xz intorno all asse z Università di Torino

193 Capitolo 4 Soluzioni - Sottospazi vettoriali [] m,,,,, 3, 3,, h SolveDetm, h h h [] m,,,,,,,, 3,,,,,,, RowReducem,,,,,,,,,,,,,,, RowReducem, m, m4,,,,,,,,,,, SolveDetA m, m, m4,,, t 8, t t c A4/t,, 4, 3 LinearSolveTransposem, m, m4, c 3,, 3 Ù, Ù, Ù 4, t, 3,, 3 [3] u, 3, v,, w t,, RowReduceu, v,, 7,,, 7 Solvew au bv, t, a, b t 7, a, b 3 t 7,, 3 [4] dimw W, W W L, 3, 3 87

194 88 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] m,,,,,,,,, 3,,,, h,, h SolveDetm h a m4/ h SolveTransposem, m, m3 x, x, x3 a x, x, x3 i) h,,, ii) Per esempio: W 3 L,,,,,,, [6] Per esempio: x y z t, y z t [7] i) dim H, H L,,,,,,,, dim K 3, K L,,,,, 3,, 4,,,, ii) H K 4, dimh K, H K L6, 3, 6, iii),, 3, w, 3 3 w, 3 w, w, 3 w, w,,w 6 [8] m,, h,, h,,,,,,,,, 4,, SolveDetm h, h LinearSolveTransposem/h,,,,,, 3, 4 i) h,h ii) Per esempio, per h :,, 3, 4 [9] dim S 3, S L,, ; dim T 3, T L,, [] K non é un sottospazio vettoriale dim H ; H L, 3 [] i) dim H, H L,,, 3,,, 3, ii) dimh K 4, H K Università di Torino

195 Capitolo 4 Soluzioni - Sottospazi vettoriali 89 [] m,,,,,,,,,,,, 4,,, 3 Detm 3 LinearSolveTransposem,,,, 3, 7 3, 8 3, 4 3 i) A 3 A 7 3 A 8 3 A A 4 ii) dim A 3, A L,, ; dim B, B L, ; dima B 4, A B L,,, ; dima B, A B L 4 4 [3] i) dim H, H L,,,,,,, ; dim K 3, K L,,,,,,,,,, 7, ii) dimh K 4, H K L,,,,,,,,,,,,,,, [4] Sí [] ii),,, per esempio iii) H K [6] Reducex y z, x hy h z, x hˆ y 3h 4 z, x, y, z h &&x y zh &&x z&&y z x &&y &&z && h && h Se h/, : W ¼; se h : W L,,,,, ; se h, W L,, ii) Se h/, : 3 ; se h : per esempio L,, ; se h : per esempio L,,,,, [7] B 3 3,, 6 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica,,,

196 9 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [8] A 6, 9, 4, 6 X x, x, x3, x4 SolveAX XA, x, x, x3, x4 ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables x 3x3 x4, x 9x3 4 SolveAX XA, x, x, x3, x4 ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables x x4, x 9x3 4 3x4 SolveAX XA, AX XA, x, x, x3, x4 ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables x x4, x 3x4, x3 x4 3 A, 9, 4, A,,, A3, 9, 4, A4, 3,, c, h,, h 3 d Solvec xa ya za3 wa4, x, y, z, w, h ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables x 6 w 6, y w, z 6 w 6, h Simplifyx/d A y/d A w, 3 w, w, w 3 Simplifyz/d3A3 w/d4a4 3 w w,, w, w 3 i) F L 9 4,, G L 9 4, 3 ii) F G L , F G L 9 4,, 3 iii) h, C 3 w w w w 3,C w w 3 w 3 w, w [9] a,,, b,,, c,,, d,,, e,,, x 3, h,, f Solvex x a x b x3 c x4 d x e, x, x, x3, x4, h ËÓÐÚ svars Equations may not give solutions for all solve variables x 3 x4, x x4 3 6 x, x3 x x, h 3 Simplifyx/f a x/fb 3 x4, 3 6 x4 x, 3 7x4 x, 6 x4 x 3 Simplifyx3/f3c x4 d x e x4, 3 x4 3 x 3, x4 8 7x4 x, x 3 i) W L,,,, 3,,,, dimw Università di Torino

197 Capitolo 4 Soluzioni - Sottospazi vettoriali 9 ii) W L,,,,,,,, dimw ; W 3 L,,,,,,,,,,,, dimw 3 3 iii) W W W 3 L3,,, ; [] H non è un sottospazio vettoriale; K L dim K 6,,,,,, [] H non è un sottospazio vettoriale; K Lx, x,x 3, dim K 3 [] No [3] W t 3 3t t,t 3,t,t,t,t,t 3 e W,,, Λ, Λ da cui segue la tesi [4] H Lx x 3x 4, x x 4,x 3 x 4, dim H 3, K L x x, x x x 3, x x 3 x 4, dim K 3, H K L x x, x x 3x 4, x x 4,x 3 x 4, dimh K 4, H K Lx x x 3, x x 3 x 4, dimh K x 4x 4 3 Λx ΛΜx ΛΜx 3 4 Μx 4 Λx ΛΜx ΛΜx 3 Μx 4, Λ [] Il rango di è [6] dimw W, W W L,,,,,, 8, 8, 3,, dimw W [7] dimw W, W W L,, 3,,,,, 3,,, dimw W Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

198 9 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [8] i) W L3 x, 3x x, W L3x x 3, 3x 3 x 4 ii) 3 x x x 3 3x 4 3 x x 3x x 3 3x 4 [9] i) dim W 3, W L3x x, 3x x 3, 3x 3 x 4 ii) dim W, W Lp x,p x iii) dimw W, W W L6x x 3 x 4 iv) W 3 L,x [3] i) dim W 3, W L,,,,,,,,,,,,,, ; ii) dim W, W L, iv) W 3 L,,,,,,,,,,,,,, [3] m 3,,,,,,,,,,,,,,, 3 Detm 4 LinearSolveTransposem,,,,, 3, 3, 3 x x p x 3 p x 3 p 3x 3 p 4x [3] m,,,,, 3,,,,,,, 3,,, a,,, LinearSolveTransposem, a,, 3, A 3A 3 A 4 [33] a,, b,, d,, c,, 3 LinearSolveTransposea, b, d, c, 3, 6 i) B A, B, ii) C A 3B 6 Università di Torino

199 Capitolo 4 Soluzioni - Sottospazi vettoriali 93 [34] i) Poiché dim U dim V 4 > 3 dim 3, dalla relazione di Grassmann segue che dimu V ii) Si possono avere solo i seguenti casi: dimu V sedimu V 3, per esempio: U L,,,,,, V L,,,,,, quindi U V L,,,,,,,, dimu V sedimu V dim U dim V, per esempio: U V L,,,,, [3] a,, a,, 3 a3 4,, a 4,, 7 Deta, a, a3 LinearSolveTransposea, a, a3, a 4,, ii) A 4,, rispetto alla base B [36] i) A L6 x 6x x 3, 6x x 6x 3 x 4, 6x x 3 6x 4 x, dim A 3 ii) B Lx 3,x 4,x iii) x 3x 3 6 6x x 3 6x 4 x 6 9x3 6x 4 x la decomposizione è unica iv) C L x x,x 3x 3 x 4,x 3 x, dim C 3, D L x x 3,x 4 x,x x x 3 x 4, dim D 3 v) Sí vi) A C D A [37] a,,,,,,,,,,,,,,, Deta 4 MatrixFormInversea i) B L, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica,, dim B 3

200 94 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I ii) C L dim C 3 D L ,, 7 7 iii) B C A 4,4, non si tratta di somma diretta iv) D D B C v) E L vi), ,, 3 3,, dim D, 3 3,, vii) det A 4, A [38] i) W LA, t A ii) U L, iii) U V L,,, U V L Università di Torino

201 Capitolo 4 Soluzioni - Sottospazi vettoriali 9 [39] a,,,, 3,,,, Deta 3 MatrixFormInversea i) A L,, 3 3, dim A 3 ii) B L,, iii) iv) A v) C L D L 3 3,, 3 3,, ; dim C 3 ; dim D 3 vi) Sì vii) D D A C [4] i) V L, ii) A,A 3 [4] i) 3x x x 3 ii) Per esempio: L,,,, L,,, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

202 96 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [4] U V L, 3,,, 3,,,,,,,,,, ; U V L, 4, 3, 4, [43] U V L,,, 3,,, 3, 8 [44] i) X x, x, x3, x4, x, x6, x7, x8, x9 A,,,,,,,, ReduceAX XA, x, x, x3, x4, x, x6, x7, x8, x9 x x&&x x6&&x4 &&x7 &&x8 &&x9 x ii) x x x 3 x x x iii) Per esempio: L L [4], x,x,x 3,,,,,,,,,,,,, m,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Detm RowReducem,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, LinearSolveTransposem,,,,,,,,,,, ii) px,,,,, rispetto alla base B [46] ii),,,,,,,,,,,, [47] i) W L,,,,,,, 3, W L,,, 3,,,,, W W L,,,,,,, 3,,,,, W W L,,, 3 ii) 3,,,, 3,,, 3 [48] i) W L, 3, W L,,, Università di Torino

203 Capitolo 4 Soluzioni - Sottospazi vettoriali 97 W W L 6, W W, ii) Per esempio: W 3 L, [49] Per esempio: L,,,,, L,,,,, [] B [],,,,, a,,,, a,,,, a3,,,, 3 x,, h,, Solvex x a x a x3 a3, h h i) W L,,,,,,,,,,,,,, 3, W L,,,,,,,,,,,,,, ; W W L,, 3,, W W ii) h [] i) W é un sottospazio vettoriale di perché i suoi elementi sono soluzioni di un sistema lineare omogeneo ii) dim W 3,,,,,,,,,,,,,,, é una base di W dim W, W L,,,,,,,,, iii) dimw W 4, W W L,,,,,,,,, 3,,,,, 3,,,,, ; dimw W, W W L,,,, [3] Per esempio:,, [4] a,,, 4 a 3,, 4, h a3, 3, h, b 4, 8, h, Reducex a x a x3 a3 b, x, x, x3 h &&x &&x &&x3 3 h 4&&x 9 &&x 7 &&x3 9 9 Se h/, 4: non esistono soluzioni; se h oh 4: esiste una sola soluzione Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

204 98 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I [] a,, a,, a3 x, y, z b, 3, Reducex a x a x3 a3 b, x, x, x3 x y z&&x x3 y x3 z&&x x3 z x &&x &&x3 &&x y z i) x, y, z : l equazione vettoriale ha sempre soluzioni; ii) x, y, z /x y z: esiste una sola soluzione; iii) x, y, z /x y z: esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera [6] m,,,,,,,,,,, SolveTransposemx, x, x3 8,,,, x, x, x3 x 4, x, x3 x 4, x, x 3 [7] m,,,,,,, 3,,,, 4 SolveTransposemx, x, x3,,, 3, x, x, x3 L equazione é incompatibile [8] a h, k, h k b,, h k c, 4, k 4 d,, 4 h Reduceax by cz d, x, y, z h &&k &&z x y h k&&y 4 4 kx&&z 8 3kx&& k 8 k 4 h&&x &&z y&& h x &&y &&z && 4 h k && h k Se h, k : esistono infinite soluzioni che dipendono da due incognite libere; se h k, k : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se k h 4, h : esistono infinite soluzioni che dipendono da un incognita libera; se h, k : esiste una sola soluzione [9] a,,,, 3,,, h b 3,,,, k, x x, x, x3, x4, x, x6, x7, x8, x9, x, x, x ReduceTransposeaTransposex Transposeb k 3 x x9&&x 3 x3&&x x h x x9&& x x3 h x4&&x 3 x7&&x6 4 x7 hx8 Università di Torino

205 Capitolo 4 Soluzioni - Sottospazi vettoriali 99 X [6] 3 3a a hd a d 3b 4 b he b e k 3c k a hf c f, a,b,c,d,e, f,h,k a,, 3,, h, h b,,,,,, 3,, k,,, k x x, x, x3, x4, x, x6 ReduceTransposeaTransposex Transposeb False L equazione matriciale é incompatibile, per ogni h, k [6] a,,, 3,,, 4,, 3 b,,,, h, k x x, x, x3, x4, x, x6 Reduceax b h 4&&k &&x3 x&& x4 x&&x 3 x&&x6 3x Se h 4ok : non esistono soluzioni; se h 4ek : l equazione matriciale ha infinite soluzioni che dipendono da un vettore libero: X [6] a b a b 3a 3b, a,b a l,,,,,,,, l b l,,,, l, x x, x, x3, x4, x, x6 Reduceax b x 3 l l l &&x l l l l && x3 l l l &&x4 &&x l l l &&x6 l Se Λ, : non esistono soluzioni; se Λ /, : allora X Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ3 Λ Λ Λ Λ Λ [63] a l,,,,, l b l,,,, l, x x, x, x3, x4 Reduceax b l &&x 4 &&x &&x3 &&x4 Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica

206 E Abbena, GM Gianella Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I Se Λ : non esistono soluzioni; se Λ : X 4 [64] a 3,,,,, h b,,,,, 3,, k, h k x x, x, x3, x4, x, x6 Reduceax b h 4&&k &&x 7 &&x 3 7 && x3 7 &&x4 7 &&x &&x6 7 7 Se h 4ok : l equazione matriciale AX B é incompatibile; se h 4ek : X 7 3 L equazione X A B è priva di significato [6] a,, h,,, b 3,, k,,, 3, 4, k, x x, x, x3, x4, x, x6 Reduceax b h 3&&k &&x 4&& x &&x3 &&x4 &&x 3&&x6 Se h 3ok : l equazione matriciale é incompatibile; se h 3ek : X 4 3 [66] a,,, 3,, 3,,,, l,, 8 b,,,, m 3, x x, x, x3, x4, x, x6, x7, x8 Reduceax b l &&m &&x x3 8 x7&& x x4 8 x8&&x 3x3 x7&&x6 3x4 x8 m x3 l x3&&x x3 8 x7&&x 8 x8&& x4 &&x 3x3 x7&&x6 x8&& l Se Λ : l equazione matriciale ammette infinite soluzioni che dipendono da un vettore libero: X 4 a, b, a, b ; se Λ, Μ : non esistono soluzioni; se Λ, Μ : esistono infinite soluzioni che dipendono da due vettori liberi: X 4 a, b, X 3 c, d, a,b,c,d Università di Torino

207 Capitolo 4 Soluzioni - Sottospazi vettoriali [67] a,,, 3,,,, 6, 3, h,, b,,, 3, k, x x, x, x3, x4, x, x6, x7, x8 Reduceax b k 3 x3 h x3&&x 3 3 x3 x&&x 3 4 h x6&& x4 h &&x7 9 6 x3 7x&&x8 9 4 h 7x6 Se h : non esistono soluzioni; se h : esistono infinite soluzioni che dipendono da un vettore libero [68] A,,, k,, h B,,,,, k X x, x, x3, x4 ReduceAX B h &&k &&x &&x &&x3 &&x4 3 Se h ek : X 3 ; in tutti gli altri casi non esistono soluzioni Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica