Appunti di Geometria Analitica

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1 Appunti di Geometria Analitica

2 Indice 1 Spazio affine ed euclideo Spazio affine Spazio euclideo Geometria nel piano affine ed euclideo 3.1 Equazioni di una retta Reciproca posizione di due rette Fascio di rette Angoli e distanze nel piano euclideo Simmetrie Coordinate omogenee nel piano La circonferenza Esercizi non svolti Trasformazioni nel piano euclideo Traslazioni Rotazioni Rototraslazioni Esercizi non svolti Curve algebriche piane e punti multipli Intersezione di due curve Molteplicitá di un punto Le coniche Definizione Polaritá rispetto ad una conica Classificazione di una conica Fascio di coniche Diametri e centro di una conica Classificazione delle coniche proiettive i

3 INDICE ii 5.7 Classificazione delle coniche euclidee Esercizi non svolti Rette e piani nello spazio affine ed euclideo Equazioni di un piano Reciproca posizione di due piani Fascio di piani Stella di piani Equazioni di una retta Rette complanari Reciproca posizione tra una retta ed un piano Calcolo dei parametri direttori di una retta Coordinate omogenee nello spazio Angoli nello spazio euclideo Distanze nello spazio euclideo Elementi complessi nello spazio Esercizi non svolti Le quadriche Definizione Quadriche generali Quadriche specializzate Quadriche riducibili Esercizi non svolti La sfera Definizione Sezioni piane Fascio di sfere Esercizi non svolti Cenni sulle superfici di rotazione Definizione e calcolo Esercizi svolti Figure e disegni relativi ai capitoli precedenti. 88

4 Capitolo 1 Spazio affine ed euclideo. 1.1 Spazio affine. Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K, A un insieme non vuoto e f : A A V una applicazione che gode delle seguenti proprietá: i) per ogni P A e v V esiste Q A tale che f(p, Q) = v; ii) per ogni P 1, P, P 3 A vale la seguente uguaglianza f(p 1, P 3 ) = f(p 1, P ) + f(p, P 3 ). La struttura (A, f) prende il nome di spazio affine associato allo spazio vettoriale V. In uno spazio affine valgono le seguenti proprietá: 1) f(a, A) = 0; ) f(a, B) = 0 se e solo se A = B; 3) f(a, B) = f(b, A). Si definisce dimensione di uno spazio affine A il numero intero n che indica la dimensione dello spazio vettoriale V a cui A é associato. Sia B = e 1, e,.., e n } una base di V e fissiamo un punto O A. Diciamo sistema di riferimento di A, il sistema (O, e 1,.., e n ) in modo tale che le coordinate di un qualsiasi punto P A siano le componenti rispetto alla base B del vettore f(o, P ) cioé se OP = x 1 e x n e n allora le coordinate di P sono (x 1,.., x n ). In particolare se P = (x 1,.., x n ) e Q = (y 1,.., y n ) sono punti di A, allora vale la seguente: P Q = P O + OQ = (y 1 x 1,..., y n x n ). Scegliamo V = R, allora ogni vettore di V é individuato da una coppia di componenti rispetto alla base B = e 1, e }. Lo spazio affine associato a V = R, in cui ogni punto é 1

5 CAPITOLO 1. SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. individuato da una coppia di coordinate, P = (x 1, x ) tali che OP = x 1 e 1 + x e, é detto piano affine. Sia ora V = R 3, allora ogni vettore di V é individuato da una terna di componenti rispetto alla base B = e 1, e, e 3 }. Nello spazio affine associato a V = R 3 ogni punto é individuato da una terna di coordinate, P = (x 1, x, x 3 ) tali che OP = x 1 e 1 + x e + x 3 e Spazio euclideo. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia E uno spazio affine associato a V. Nel caso V sia uno spazio vettoriale euclideo, cioé dotato di un prodotto interno, allora E prende il nome di spazio euclideo associato a V. La struttura di E é identica a quella dello spazio affine A, eccetto che per la presenza del prodotto interno in V, la quale permette di introdurre i concetti di angolo, distanze ed ortogonalitá. Da ció deriva la possibilitá di scegliere in E un riferimento (O, e 1,.., e n ) che sia formato da vettori ortonormali, cioé e 1,.., e n } é una base ortonormale di V. Tale base é quella rispetto alla quale il prodotto interno in V puó essere espresso come prodotto scalare standard. In altre parole, se v = (x 1,.., x n ) e w = (y 1,., y n ) sono vettori in V : Siano ora P, Q E tali che < v, w >= x 1 y 1 + x y x n y n. OP = x 1 e x n e n OQ = y 1 e y n e n. La distanza tra i punti P e Q é pari al modulo del vettore P Q, quindi δ(p, Q) = (y 1 x 1 ) (y n x n ). Consideriamo infine due vettori v, w V di componenti v = (x 1,..., x n ) w = (y 1,..., y n ). Dalla definizione di prodotto scalare si ha che < v, w >= v w cos(ϕ) = x 1 y x n y n dove ϕ é l angolo compreso tra i due vettori. Quindi ne deriva che x 1 y x n y n cos(ϕ) =. x x n y yn Scegliamo V = R, allora ogni vettore di V é individuato da una coppia di componenti rispetto alla base ortonormale B = e 1, e }. Lo spazio euclideo associato a V = R, in cui ogni punto é individuato da una coppia di coordinate, P = (x 1, x ) tali che OP = x 1 e 1 + x e, é detto piano euclideo.

6 Capitolo Geometria nel piano affine ed euclideo Siano V = R e A lo spazio affine associato a V. Indichiamo con i, j} una base di V e con (O, i, j) un riferimento in A. Ogni punto P A é individuato dalle coordinate (x, y) rispetto al riferimento dato, tali che OP = xi + yj. Diremo assi coordinati quelle rette passanti per O, concordi e parallele ai vettori i, j..1 Equazioni di una retta. Ogni retta del piano puó essere individuata da un suo punto P 0 = (x 0, y 0 ) e da un vettore v = (l, m) ad essa parallelo. Quindi ogni punto P = (x, y) della retta é tale che il vettore OP dipenda da OP 0 e v cioé OP = OP 0 + tv. Al variare del parametro t si ottengono tutti i punti della retta: x = x0 + tl y = y 0 + tm che sono dette equazioni parametriche della retta. Gli elementi della coppia (l, m) sono detti parametri direttori della retta. In particolare se si conoscono due punti della retta P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ), il vettore P 1 P é parallelo alla retta e quindi (l, m) = (x x 1, y y 1 ) e l equazione si puó ottenere nel modo seguente: x = x1 + t(x x 1 ) y = y 1 + t(y y 1 ) da cui t = x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 t = x x 1 l = y y 1 m 3

7 CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 4 che é detta equazione a catena di una retta. Da tali espressioni, eliminando il parametro t, otteniamo che possiamo riscrivere mx mx 0 ly + ly 0 = 0 ax + by + c = 0 che é l equazione lineare (implicita) che rappresenta la retta in coordinate affini. Diremo che due rette sono parallele se esse hanno i parametri direttori proporzionali (in particolare identici). Si noti che quando la retta é espressa in forma implicita, i suoi parametri direttori sono dati dalla coppia (l, m) = (b, a). Dalla forma implicita ax + by + c = 0 di una retta, ricaviamo la forma detta esplicita: y = mx + q, per m = a e q = c. b b Abbiamo visto come l equazione della retta passante per i due punti P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ) si scriva x x 1 = y y 1 x x 1 y y 1 che equivale alla (x x 1 )(y y 1 ) (y y 1 )(x x 1 ) = 0 cioé x x 1 y y 1 x x 1 y y 1 = 0. Quest ultima si puó riscrivere anche nel modo seguente: x y 1 x 1 y 1 1 = 0. x y 1 Diremo allora che il punto P 3 = (x 3, y 3 ) é allineato con i punti P 1 e P se x 3 y 3 1 x 1 y 1 1 x y 1 = 0.. Reciproca posizione di due rette. Siano r : ax + by + c = 0 e r : a x + b y + c = 0 due rette. I punti in comune alle due rette sono le soluzioni del sistema lineare ax + by + c = 0 a x + b y + c = 0

8 CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 5 nelle incognite x, y. Le matrici associate al sistema sono A = [ a b a b ], C = [ a b c a b c Se rango(a) = rango(c) = 1, allora le due rette sono coincidenti poiché ax + by + c = α(a x + b y + c ), per un opportuno α R. Se rango(a) = rango(c) =, allora il sistema ammette una sola soluzione cioé le due rette sono incidenti. Se rango(a) = 1 e rango(c) =, allora il sistema é incompatibile e le due rette non hanno punti in comune, cioé sono parallele. Ció si verifica quando a a = b b c c. Allora possiamo dire che le due rette sono parallele quando a b = a b. Il rapporto a b é detto coefficiente direttore (o angolare) della retta, quindi due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente direttore. ]..3 Fascio di rette. Siano r : ax + by + c = 0 e r : a x + b y + c = 0 due rette distinte. La totalitá delle rette di equazione λ(ax + by + c) + ϱ(a x + b y + c ) = 0 al variare dei parametri reali λ e ϱ, é detta fascio di rette. Si possono verificare due casi: r e r sono incidenti in un punto, ed allora tutte le rette del fascio hanno in comune quel punto, si parla di fascio proprio. Oppure r e r sono tra loro parallele, ed allora tutte le rette del fascio sono tra loro parallele, si parla di fascio improprio. Supponiamo allora di avere una terza retta r : a x + b y + c = 0 ed analizziamo in quale casi essa appartiene al fascio individuato da r e r. In pratica si deve studiare il sistema ax + by + c = 0 a x + b y + c = 0 a x + b y + c = 0 nelle incognite x, y. Le matrici associate al sistema sono A = a b a b a b, C = a b c a b c a b c.

9 CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 6 Se rango(a) = rango(c) =, allora il sistema ammette una sola soluzione, cioé le tre rette hanno un punto in comune: esse appartengono ad un fascio proprio. Se rango(a) = 1 e rango(c) =, allora il sistema é incompatibile ed le tre rette sono parallele: esse appartengono ad un fascio improprio. Possiamo concludere allora che la condizione necessaria e sufficiente affinché le tre rette appartengano allo stesso fascio (proprio o improprio che sia) é che la matrice abbia rango. a b c a b c a b c.4 Angoli e distanze nel piano euclideo. Fissiamo nello spazio euclideo un riferimento cartesiano ortogonale OXY di centro O e versori i, j, rispettivamente per gli assi X, Y. Chiameremo coseni direttori di una retta r, i coseni degli angoli che la retta forma con gli assi coordinati. Se la retta é individuata dai parametri direttori (l, m), i suoi coseni direttori saranno: l α = cos(r, X) + l + m, l l + m } m β = cos(r, Y ) + l + m, m l + m } Consideriamo ora due rette ed individuiamole tramite i rispettivi parametri direttori: r = (l, m) e r = (l, m ). Indichiamo con v e v due vettori paralleli rispettivamente a r e r, uno di componenti (l, m) e l altro (l, m ). L angolo tra le due rette é lo stesso formato dai due vettori: cos(r, r ) = cos(v, v ll + mm ) + l + m l + m, ll + mm l + m l }. + m Quindi le due rette sono ortogonali se ll + mm = 0. Siano P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ) due punti del piano. La distanza tra i punti P 1 e P é il modulo del vettore P 1 P : δ(p 1, P ) = (x x 1 ) + (y y 1 ). Consideriamo ora il punto P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e la retta r : ax+by +c = 0. La distanza di P 1 da r é pari alla lunghezza del segmento P 1 Q 1, dove Q 1 é il punto proiezione ortogonale di P 1 su r: δ(p 1, r) = ax 1 + by 1 + c a + b

10 CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 7.5 Simmetrie. Due punti P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ) sono simmetrici rispetto al punto Q = (a, b), se Q é il punto medio del segmento P 1 P, cioé se a = x 1 + x, b = y 1 + y. Quindi, dato un punto P 1 = (x 1, x ), per determinare le coordinate (x, y ) del suo simmetrico P rispetto al punto Q = (a, b), é sufficiente calcolare x = a x 1, y = b y 1. Consideriamo ora il punto P 1 = (x 1, y 1 ) e la retta r : y = mx + q. Consideriamo una qualsiasi retta del fascio di centro P 1 : y y 1 = k(x x 1 ) al variare del parametro reale k otteniamo tutte le rette passanti per P 1. Fissiamo una retta r di tale fascio e sia Q = r r. Il punto P, simmetrico di P 1 rispetto a Q, é detto il simmetrico di P 1 rispetto alla retta r, lungo la direzione individuata dalla retta r. Quindi uno stesso punto puó avere infiniti simmetrici rispetto ed una retta che non lo contenga. Esempio.5.1 Siano P = (1, 1) e r : x y = 4. Determiniamo il simmetrico di P rispetto a r lungo la direzione di coefficiente k = 3. Svolg. La retta r del fascio di centro P e coefficiente angolare 3 é r : y 1 = 3(x 1) y 3x + = 0. Il punto Q = r r é dato dalle soluzioni del sistema y 3x + = 0 x y 4 = 0 dal quale otteniamo Q = ( 1, 5). Il simmetrico di P rispetto a Q é P = (x, y) x = 1 = 3 y = 10 1 = 11 P = ( 3, 11). Concludiamo con la definizione di asse di un segmento AB: esso é la retta perpendicolare ad AB e passante per il suo punto medio:

11 CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 8 Esempio.5. Siano A = (1, 1) e B = (, 3). Calcoliamo l asse del segmento AB. Svolg. Il vettore AB ha componenti ( 1, 4), quindi una retta ad esso ortogonale ha come parametri direttori, la coppia (b, a) = ( 4, 1). Il punto medio di AB é Q = ( 3, 1). Quindi l asse del segmento AB ha equazione: y 1 = 1 4 (x 3 ) cioé x + 8y + 11 = 0..6 Coordinate omogenee nel piano. Sia P = (x, y) un punto del piano. Diremo che (x 1, x, x 3 ) sono le coordinate omogenee di P se x 1 x 3 = x e x x 3 = y. Nel caso x 3 0 le precedenti scritture hanno evidentemente un senso, e diremo che il putno é proprio. Ogni punto proprio (x, y) puó banalmente essere individuato da una terna di coordinate omogenee (x, y, 1). Inoltre due terne tra loro proporzionali individuano lo stesso punto nel piano. Nel caso il punto P sia individuato dalla terna (x, y, 0) esso verrá detto improprio. L insieme dei punti impropri del piano forma una retta detta retta impropria, la cui equazione é x 3 = 0. Consideriamo ora la retta r : ax + by + c = 0, nel passaggio alle coordinate omogenee, la sua equazione diventa a x 1 + b x + c = 0 x 3 x 3 cioé ax 1 + bx + cx 3 = 0. Tale retta avrá uno ed un solo punto di intersezione con la retta impropria, e sará detto il punto improprio di r. É noto che tutti e soli i punti di r sono quelli le cui coordinate soddisfino l equazione ax 1 +bx +cx 3 = 0. Tra questi punti c é anche il punto improprio di coordinate omogenee (b, a, 0). Ma similmente ogni punto improprio del tipo (αb, αa, 0) soddisfa la precedente equazione, quindi un punto improprio é unico a meno di un fattore di proporzionalitá. In altre parole, due qualsiasi terne (x, y, 0) e (z, t, 0) tra loro proporzionali, individuano il medesimo punto improprio. In particolare il punto improprio (b, a, 0) della retta r si puó riscrivere come (1, a b, 0) (dividendo la terna per b). La seconda coordinata non é altro che il coefficiente angolare

12 CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 9 delle retta. Concludiamo allora che rette parallele hanno lo stesso punto improprio (poiché hanno lo stesso coefficiente angolare)..7 La circonferenza. Sia C = (α, β) un punto del piano e sia r un numero reale positivo. Diciamo circonferenza di centro C e raggio r, il luogo dei punti del piano la cui distanza da C é pari a r. Sia P = (x, y) un punto qualsiasi della circonferenza: δ(p, C) = (x α) + (y β) = r da cui otteniamo (quadrando e riordinando): (x α) + (y β) = r x + y + ax + by + c = 0. In questúltima equazione compaiono i coefficienti legati alle coordinate del centro e alla lunghezza del raggio r: α = a, β = b, r = 1 a + b 4c Esempio.7.1 Determinare la circonferenza di centro C = (1, 1) e raggio r = 3. Svolg. Applicando la definizione, l equazione é (x 1) + (y 1) = 9 x + y x y 7 = 0 Esempio.7. Determinare centro e raggio della circonferenza x +y 4x y + = 0. Svolg. Il centro C ha coordinate α = 4, β = 3, da cui C = (, 1). Il raggio é r = = 1 1 = 3. Osservazione. La circonferenza é l unica curva di secondo grado nel piano che contenga i due seguenti punti impropri: (1, i, 0) e (1, i, 0) detti punti ciclici. Circonferenza per tre punti. Consideriamo tre punti P 1 = (x 1, y 1 ), P = (x, y ) e P 3 = (x 3, y 3 ) non allineati cioé x 1 y 1 1 x y 1 0. x 3 y 3 1

13 CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 10 Per ottenere la circonferenza passante per i tre punti dobbiamo sostituire le coordinate dei punti alla generica equazione di una circonferenza. In tale caso la circonferenza contenente i tre punti é unica. Infatti il sistema lineare che dobbiamo risolvere nelle incognite (a, b, c) ha rango 3. x 1 + y 1 + ax 1 + by 1 + c = 0 x + y + ax + by + c = 0 x 3 + y 3 + ax 3 + by 3 + c = 0 Esempio.7.3 Determinare la circonferenza contenente i punti (1, ), (1, 8), (5, 0). Svolg. Il sistema lineare da risolvere é a + b + c = a + 8b + c = a + c = 0 a + b + c = 5 a + 8b + c = 65 5a + c = 5 le cui soluzioni sono a = 10, b = 10, c = 5 e l equazione della circonferenza é x + y 10x 10y + 5 = 0. Esiste un altro metodo per determinare l unica circonferenza passante per i tre punti e si basa sul fatto che l asse di un segmento che ha per estremi due punti di un circonferenza, certamente contiene il centro della circonferenza. Lo esponiamo riproponendo l esempio precedente: Esempio.7.4 Determinare la circonferenza contenente i punti A = (1, ), B = (1, 8), C = (5, 0). Svolg. Consideriamo l asse del segmento AB, che ha equazione y 5 = 0 e passa per il centro della circonferenza. Calcoliamo ora l asse del segmento AC, esso é y x + 5 = 0. Quindi il centro della circonferenza é il punto comune a tali due rette: y 5 = 0 y x + 5 = 0 la cui soluzione é O = (5, 5).

14 CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 11 Il raggio della circonferenza é pari alla distanza del centro da uno qualsiasi dei tre punti noti, per esempio: r = δ(oc) = 5 = 5 per cui l equazione della circonferenza é (x 5) + (y 5) = 5 x + y 10x 10y + 5 = 0..8 Esercizi non svolti. Esercizio.8.1 Nel piano euclideo determinare il punto simmetrico di P (4, 3) rispetto al punto Q(1, 1). Esercizio.8. Nel piano euclideo determinare il punto simmetrico di P (1, 1) rispetto alla retta r : x y + 4 = 0 lungo la direzione ortogonale a r. Esercizio.8.3 Nel piano euclideo determinare il punto simmetrico di P (1, 3) rispetto alla retta r : x y + 1 = 0 lungo la direzione (, 1, 0) (cioé lungo la retta di parametri direttori (, 1) e passante per P ). Esercizio.8.4 Siano A(, 1) e B(3, ) punti del piano euclideo. Determinare l asse del segmento AB. Esercizio.8.5 Determinare la circonferenza passante per i punti (0, ), (1, 1), (, 1). Esercizio.8.6 Determinare il centro ed il raggio della circonferenza x + y 3x + y 1 = 0. Esercizio.8.7 Siano r : x y + 3 = 0 e s : x = t, y = t + due rette nel piano. Determinare i coseni direttori di entrambe le rette ed inoltre il coseno dell angolo tra di esse compreso. Esercizio.8.8 Siano r : x = 3t 1, y = t + 5 l equazione in forma parametrica di una retta nel piano e P (1, 1) un punto esterno ad essa. Determinare: a) L equazione in forma implicita (equazione affine) della retta. b) La distanza tra il punto P e la retta r. c) La retta passante per P ed ortogonale a r. d) La retta passante per P e parallela a r.

15 Capitolo 3 Trasformazioni nel piano euclideo. 3.1 Traslazioni. In un riferimento cartesiano OXY del piano euclideo, siano (x, y) le coordinate del punto P. Supponiamo di considerare un secondo riferimento O X Y in cui gli assi X, Y siano paralleli rispettivamente a X e Y ed il punto O abbia coordinate (a, b) rispetto a OXY. Denotiamo (x, y ) le coordinate di P rispetto al riferimento O X Y. La relazione che intercorre tra le due coppie di coordinate di P é la seguente: x = x a y = y b e le formule inverse sono x = x + a y = y + b. Esercizio Sia P ( 1, 3) nel sistema di riferimento cartesiano OXY, O (1, ) e X, Y assi paralleli rispettivamente a X e Y e passanti per O. Sia inoltre r : 3x + y 1 = 0 rispetto a OXY. Determiniamo le coordinate di P e l equazione di r rispetto al riferimento O X Y. Svolg. Le equazioni di traslazione sono x = x a y = y b dove (a, b) sono le coordinate del nuovo centro del riferimento, ed applicandole nel nostro caso otteniamo le coordinate di P x = 1 1 = y = 3 = 1. 1

16 CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONI NEL PIANO EUCLIDEO. 13 Le formule inverse sono da cui otteniamo l equazione della retta x = x + a y = y + b r : 3(x + 1) + (y + ) 1 = 0 3x + y + 4 = Rotazioni. Siano (x, y) le coordinate del punto P nel riferimento OXY. Consideriamo ora una secondo riferimento OX Y in cui gli assi X e Y siano ruotati in senso antiorario di un angolo φ rispetto agli assi X e Y. Per determinare le coordinate (x, y ) di P nel secondo riferimento, ricordiamo che esse sono le componenti del vettore OP. Esprimiamo tali componenti rispetto alle due coppie di versori, i, j in OXY, i, j in OX Y : OP = x i + y j OP = xi + yj. Quindi possiamo richiamare quanto detto in relazione al cambiamento di base in uno spazio vettoriale: [ ] [ ] x x = A y y dove A é la matrice di cambiamento di base. Nel nostro caso abbiamo che [ ] cos(φ) sen(φ) A = sen(φ) cos(φ) cioé e le formule inverse sono [ ] [ ] [ ] x cos(φ) sen(φ) x = y sen(φ) cos(φ) y [ ] [ ] x cos(φ) sen(φ) y = sen(φ) cos(φ) [ x y ] da cui x = xcos(φ) + ysen(φ) y = xsen(φ) + ycos(φ). Si noti che le due matrici usate per il cambiamento di base sono l una la trasposta dell altra, ma anche l una l inversa dell altra, infatti sono entrambe matrici ortogonali.

17 CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONI NEL PIANO EUCLIDEO. 14 Esercizio 3..1 Siano P (1, 1) in OXY e X, Y assi passanti per O e ruotati di π in 4 senso antiorario rispetto a X, Y. Sia inoltre r : x + 3y = 0 rispetto al riferimento OXY. Determiniamo le coordinate di P e l equazione di r rispetto a OX Y. Svolg. Le equazioni di rotazione sono [ ] [ x cos(φ) sen(φ) y = sen(φ) cos(φ) ] [ x y ] da cui x = xcos(φ) + ysen(φ) y = xsen(φ) + ycos(φ). Le formule inverse sono [ x y ] [ ] [ cos(φ) sen(φ) x = sen(φ) cos(φ) y ] da cui x = x cos(φ) y sen(φ) y = x sen(φ) + y cos(φ). Nel nostro caso le coordinate di P sono x = (x + y) = (1 1) = 0 y = ( x + y) = ( 1 1) = e l equazione della retta é r : (x y ) + 3 (x + y ) = 0 r : 5 x + y 4 = Rototraslazioni. Siano (x, y) le coordinate di P in OXY e consideriamo un riferimento O X Y in cui O abbia coordinate (a, b) rispetto a OXY e tale che gli assi X e Y siano ruotati in senso antiorario di un angolo φ rispetto a X e Y. Determiniamo le coordinate (x, y ) di P nel secondo riferimento. Effettuiamo prima una traslazione OXY O X Y

18 CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONI NEL PIANO EUCLIDEO. 15 x = x a y = y b. Successivamente operiamo con una rotazione O X Y O X Y [ ] [ ] x cos(φ) sen(φ) y = sen(φ) cos(φ) [ x a y b ed inversamente abbiamo che: [ ] [ ] [ ] x a cos(φ) sen(φ) x = y b sen(φ) cos(φ) y ] cioé [ x y ] [ cos(φ) sen(φ) = sen(φ) cos(φ) ] [ x y ] + [ a b ]. Esercizio Siano P (3, 1) e O (1, ) in OXY e X, Y assi passanti per O e ruotati di π in senso antiorario rispetto a X, Y. Sia inoltre r : x + y 3 = 0 rispetto al 4 riferimento OXY. Determiniamo le coordinate di P e l equazione di r rispetto a O X Y. Svolg. Le equazioni di rototraslazione sono [ ] [ x cos(φ) sen(φ) y = sen(φ) cos(φ) ] [ x a y b ] da cui x = (x a)cos(φ) + (y b)sen(φ) y = (x a)sen(φ) + (y b)cos(φ). Le formule inverse sono [ ] [ ] [ ] x cos(φ) sen(φ) x = y sen(φ) cos(φ) y + da cui Nel nostro caso le coordinate di P sono x = x cos(φ) y sen(φ) + a y = x sen(φ) + y cos(φ) + b. [ a b x = (x a + y b) = ( 3) = y = ( x + a + y b) = ( 3) = 5 ]

19 CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONI NEL PIANO EUCLIDEO. 16 e l equazione della retta é r : ( (x y ) + 1) + ( (x + y ) + ) 3 = 0 r : 3 x y + = Esercizi non svolti. Esercizio Siano OXY un sistema di riferimento ortogonale nel piano euclideo, P un punto di coordinate ( 1, 3) rispetto a OXY e r una retta di equazione x 3y + 1 = 0 in OXY. Determinare le coordinate di P e l equazione di r in un secondo sistema di riferimento O X Y nei seguenti casi: a) O ha coordinate (1, ) rispetto a OXY e gli assi X, Y sono paralleli agli assi X, Y (traslazione). b) O = O e gli assi X, Y sono ruotati di un angolo α = π in senso antiorario rispetto 3 a X, Y (rotazione). c) O ha coordinate (1, 1) rispetto a OXY e gli assi X, Y sono ruotati di un angolo α = π in senso antiorario rispetto a X, Y (rototraslazione). 6 Esercizio 3.4. Siano OXY un sistema di riferimento ortogonale nel piano euclideo e γ : x + y 3x + y 1 = 0 una circonferenza la cui equazione é espressa rispetto a OXY. Determinare l equazione di γ in un secondo sistema di riferimento O X Y nel caso i cui O abbia coordinate (, 1) rispetto a OXY e gli assi X, Y siano ruotati di un angolo α = π in senso antiorario rispetto a X, Y. 4

20 Capitolo 4 Curve algebriche piane e punti multipli. 4.1 Intersezione di due curve. Due polinomi f(x, y) e g(x, y) nelle variabili x, y a coefficienti reali, sono detti proporzionali se esiste a R tale che f(x, y) = ag(x, y). Tale proporzionalitá é una relazione di equivalenza. Una curva algebrica γ é una classe di equivalenza di polinomi cioé se f(x, y) é un polinomio rapresentante della classe, allora l equazione f(x, y) = 0 é rappresentativa della curva γ. Il grado di una curva é il grado del polinomio che la rappresenta. Teorema Siano γ : f(x, y) = 0 e δ : g(x, y) = 0 due curve algebriche rispettivamente di gradi n e m. Allora esse hanno n m punti in comune eccetto il caso in cui hanno infiniti punti in comune. Come caso particolare consideriamo quello in cui γ : f(x, y) = 0 sia una curva di grado n e δ : g(x, y) = 0 sia una curva di grado 1, cioé una retta. Allora γ e δ hanno n punti in comune eccetto quando δ sia una componente di γ cioé f(x, y) = g(x, y) h(x, y), dove h(x, y) é un polinomio di grado n 1. Per esempio γ : x 3 3xy = 0 e δ : y 1 = 0 hanno in comune i seguenti 3 punti : (0, 1), ( 3, 1), ( 3, 1). Al contrario γ : x 3 + x y xy + x y + y = 0 e δ : x + y = 0 hanno in comune infiniti punti, cioé tutti quelli di δ, quindi la retta δ é una componente di γ, infatti x 3 + x y xy + x y + y = (x + y) (x y + 1). 4. Molteplicitá di un punto. Sia γ : f(x, y) = 0 una curva algebrica di grado n e sia P 0 (x 0, y 0 ) un punto di γ. 17

21 CAPITOLO 4. CURVE ALGEBRICHE PIANE E PUNTI MULTIPLI. 18 Consideriamo una generica retta r : y y 0 = m(x x 0 ) passante per P 0. La retta r e la curva γ hanno in comune n punti, non necessariamente tutti distinti, almeno uno dei quali é proprio P 0. Diciamo che r e γ hanno molteplicitá di intersezione M nel punto P 0 se (x 0, y 0 ) é una soluzione di molteplicitá M per il sistema f(x, y) = 0 y y 0 = m(x x 0 ). Esempio 4..1 Sia γ : x 3 y = 0 e siano P 0 = (0, 0) e r : x y = 0. Determiniamo la molteplicitá di intersezione tra γ e r nel punto P 0. Il sistema x 3 y = 0 x y = 0 ha le tre soluzioni (1, 1) con molteplicitá 1, (0, 0) con molteplicitá. Quindi nel punto P 0 le due curve hanno molteplicitá di intersezione M = (e nel punto (1, 1) hanno molteplicitá di intersezione 1). Consideriamo ora una generica retta r i del fascio di centro P 0. Ciascuna delle rette r i ha una molteplicitá di intersezione M i con γ in P 0. Diremo molteplicitá di P 0 per la curva γ, il minimo di tali M i. Il punto P 0 é detto semplice se minm i } = 1, é detto punto multiplo se minm i }, in particolare é detto doppio se minm i } =, triplo se minm i } = 3, quadruplo se minm i } = 4, etc. etc. Esercizio 4..1 Sia γ : x 3 x + y = 0 una cubica in OXY. Determiniamo la molteplicitá di P (0, 0) γ. Svolg. Sia r la generica retta passante per P : y = mx. Per ottenere la molteplicitá di P dobbiamo intersecare r con γ. x 3 x + y = 0 y = mx x 3 x + m x = 0 y = mx in cui la soluzione (0, 0) é doppia, quindi P é un punto doppio per γ. Esercizio 4.. Sia γ : (x +y ) +3x y y 3 = 0 una quartica in OXY. Determiniamo la molteplicitá di P (0, 0) γ. Svolg. Sia r la generica retta passante per P : y = mx.

22 CAPITOLO 4. CURVE ALGEBRICHE PIANE E PUNTI MULTIPLI. 19 Per ottenere la molteplicitá di P dobbiamo intersecare r con γ. (x + y ) + 3x y y 3 = 0 y = mx (x + m x ) + 3mx 3 m 3 x 3 = 0 y = mx x 3 (x + m 4 x + m x + 3m m 3 ) = 0 y = mx in cui la soluzione (0, 0) é tripla, quindi P é un punto triplo per γ. Esercizio 4..3 Sia la curva di sesto grado γ : (x + y ) 3 4x y = 0 in OXY. Determiniamo la molteplicitá di P (0, 0) γ. Svolg. Sia r la generica retta passante per P : y = mx. Per ottenere la molteplicitá di P dobbiamo intersecare r con γ. (x + y ) 3 4x y = 0 y = mx (x + m x ) 3 4m x 4 = 0 y = mx x 4 (x + m 6 x + 3m x + 3m 4 x 4m ) = 0 y = mx in cui la soluzione (0, 0) é quadrupla, quindi P é un punto quadruplo per γ.

23 Capitolo 5 Le coniche. 5.1 Definizione. Una curva algebrica γ : f(x, y) = 0 di secondo grado é detta conica, quindi si puó rappresentare tramite l equazione: f(x, y) = ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 dove a, b, c, d, e, f R. In coordinate omogenee la curva é rappresentata da un polinomio omogeneo e l equazione diventa: f(x 1, x, x 3 ) = a 11 x 1 + a 1 x 1 x + a x + a 13 x 1 x 3 + a 3 x x 3 + a 33 x 3 = 0 dove a ij R, per ogni i e j. Si noti che anche il prodotto di due polinomi di primo grado determina un polinomio rappresentante di una conica. In tale caso la conica é l unione delle due rette rappresentate dai due polinomi di primo grado. Consideriamo ora la matrice simmetrica di ordine 3, formata con i coefficienti dell equazione della conica in coordinate omogenee: ed indichiamo X = x 1 x x 3 A = conica puó essere riscritta in forma compatta: a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 il vettore delle coordinate omogenee, allora l equazione della f(x 1, x, x 3 ) = X T A X = 0 ed il polinomio f(x 1, x, x 3 ) é una forma quadratica in R 3, di matrice associata A. 0

24 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 1 Esempio L equazione x + y xy + x 1 = 0 rappresenta una conica nel piano La matrice associata alla conica é A = Diremo che una conica γ : f(x, y) = 0 é riducibile se essa é composta da due rette cioé se esistono due polinomi di primo grado g(x, y) e h(x, y) tali che f(x, y) = g(x, y) h(x, y). Teorema Sia γ una conica con matrice associata A. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) La conica γ é riducibile. ii) La conica γ ha almeno un punto doppio. iii) det(a) = Polaritá rispetto ad una conica. Sia γ : X T A X = 0 una conica non riducibile. Definiamo polaritá rispetto a γ la corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto X = (x 1, x, x 3) del piano, una retta r la cui equazione é data da X T A X = 0. La retta r é detta rella polare di X rispetto a γ, il punto X é detto polo della retta r rispetto a γ. Un caso particolare é quello in cui il punto X appartiene alla conica. Quando si verifica ció allora la retta polare di X é esattamente la tangente alla conica in X. Consideriamo r la retta polare del punto X rispetto alla conica γ. Sia X un qualsiasi punto di r. Anche di tale punto é possibile costruire la retta polare rispetto alla conica γ. Diciamo r tale retta polare. Una proprietá, detta recipprocitá, garantisce che X r. Riassumendo potremmo dire che se un punto X appartiene alla polare di un altro punto X, allora X appartiene alla polare di X. Diremo che i punti X e X sono tra loro coniugati, ed analogamente che le rette r e r sono tra loro coniugate. Un punto é detto autoconiugato se appartiene alla propria polare. Tutti e soli i punti autoconiugati rispetto ad una conica sono quelli della conica stessa. Una retta é detta autoconiugata se contiene il proprio polo. Tutte e sole le rette autoconiugate rispetto ad una conica, sono le tangenti alla conica stessa. 5.3 Classificazione di una conica. Sia γ : X T A X = 0 una conica nel piano. Se intersechiamo γ con la retta impropria x 3 = 0 otteniamo ovviamente soluzioni, cioé i due punti impropri della conica.

25 CAPITOLO 5. LE CONICHE. Una conica con due punti impropri reali e distinti é detta Iperbole. Una conica con due punti impropri reali e coincidenti é detta Parabola. Una conica con due punti impropri complessi coniugati é detta ellisse. In altre parole la retta impropria é secante all iperbole, tangente alla parabola, esterna all ellisse. Consideriamo il sistema XT A X = 0 x 3 = 0 a11 x 1 + a 1 x 1 x + a x = 0 x 3 = 0. Il discriminante del sistema é = a 1 a 11 a, da cui > 0 Iperbole = 0 Parabola < 0 Ellisse In particolare se indichiamo con A 33 il complemento algebrico dell elemento a 33 della matrice A, notiamo che A 33 =, quindi A 33 > 0 Ellisse A 33 = 0 Parabola A 33 < 0 Iperbole.. Osservazione. Tutte e sole le coniche che contengono i punti ciclici (1, i, 0) e (1, i, 0) sono le circonferenze (che sono particolari ellissi). 5.4 Fascio di coniche. Siano γ 1 : f 1 (x 1, x, x 3 ) = 0 e γ : f (x 1, x, x 3 ) = 0 due coniche distinte. Poiché sono curve di secondo grado, escludendo il caso in cui siano entrambe riducibili con una retta in comune, esse hanno 4 punti A, B, C, D in comune (distinti o no, reali o no). Il caso generale é quello in cui A, B, C, D sono tutti tra loro distinti. Nel caso in cui si abbia A = B e C, D distinti, allora le due coniche hanno una tangente comune ad entrambe (γ 1 e γ sono chiamate coniche tangenti), ed é la retta tangente nel punto A = B. Nel caso si abbia A = B e C = D allora le due coniche hanno due rette tangenti in comune (γ 1 e γ sono chiamate coniche bitangenti), e sono le tangenti nel punto A = B ed in C = D. Nel caso si abbia A = B = C allora le due coniche hanno una retta tangente in comune (γ 1 e γ sono chiamate coniche osculatrici), ed é la tangente nel punto A = B = C. Nel caso si abbia A = B = C = D allora le due coniche hanno una retta tangente in comune (γ 1 e γ sono chiamate coniche iperosculatrici), ed é la tangente nel punto A = B = C = D.

26 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 3 Diciamo fascio di coniche la totalitá delle coniche che si ottengono da a 1 f 1 (x 1, x, x 3 ) + a f (x 1, x, x 3 ) = 0 al variare di a 1, a R. Tutte le coniche del fascio hanno in comune gli stessi 4 punti A, B, C, D, i quali sono chiamati punti base del fascio. Inoltre per individuare un fascio di coniche é sufficiente conoscere due qualsiasi coniche di esso (ad esempio anche due coniche riducibili che appartengono al fascio). Il caso generale é quello in cui A, B, C, D sono tutti tra loro distinti, si parla quindi di fascio generale. Nel caso in cui si abbia A = B e C, D distinti, allora le coniche del fascio hanno una tangente comune (si parla di fascio di coniche tangenti), ed é la retta tangente nel punto A = B. Nel caso si abbia A = B e C = D allora le coniche del fascio hanno due rette tangenti in comune (si parla di fascio di coniche bitangenti), e sono le tangenti nel punto A = B ed in C = D. Nel caso si abbia A = B = C allora le coniche del fascio hanno una retta tangente in comune (si parla di fascio di coniche osculatrici), ed é la tangente nel punto A = B = C. Nel caso si abbia A = B = C = D allora le coniche del fascio hanno una retta tangente in comune (si parla di fascio di coniche iperosculatrici), ed é la tangente nel punto A = B = C = D. Ogni fascio di coniche contiene 3 coniche riducibili (distinte o no a seconda del tipo di fascio). Nel seguente prospetto indichiamo con t A e t C rispettivamente le tangenti comuni a tutte le coniche di un fascio nei punti A e C: Tipo di fascio generale tangenti A = B bitangenti A = B, C = D osculatrici A = B = C iperosculatrici A = B = C = D Coniche riducibili AB CD AD BC AC BD t A CD AD AC contata due volte t A t C Ac AC contata due volte t A AD contata tre volte t A t A contata tre volte 5.5 Diametri e centro di una conica. Definiamo diametro di una conica γ non riducibile, la retta polare, rispetto alla conica, di un qualsiasi punto improprio (h, k, 0). Sia A la matrice associata alla conica, allora un

27 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 4 diametro é dato da [ h k 0 ] a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 x 1 x x 3 = 0 o meglio (a 11 h + a 1 k)x 1 + (a 1 h + a k)x + (a 13 h + a 3 k)x 3 = 0 h(a 11 x 1 + a 1 x + a 13 x 3 ) + k(a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 ) = 0. Al variare del punto (h, k, 0) si ottiene un diverso diametro, e quindi al variare dei parametri h, k si ottengono tutte le rette di un fascio. Il centro di tale fascio é detto centro della conica (il quale per la reciprocitá é il polo della retta improrpia). Le coordinate del centro sono allora la soluzione del sistema a11 x 1 + a 1 x + a 13 x 3 = 0 a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 = 0 le cui soluzioni sono date dai complementi algebrici A 13, A 3, A 33 della matrice A associata alla conica. Il caso in cui A 33 = 0 é quallo della parabola, la quale é detta conica a centro improprio (o conica senza centro). Il fascio dei diametri é un fascio improprio, cioé tutti i diametri sono tra loro paralleli ed hanno la direzione data dal punto improprio della parabola. Iperbole ed ellisse sono dette coniche a centro (proprio). Tutti i diametri sono tra loro a due a due coniugati. In particolare i diametri tra loro coniugati ed ortogonali sono detti assi della conica ( assi per iperbole ed ellisse, 1 asse per la parabola). I diametri che siano autoconiugati (cioé tangenti alla conica) sono detti asintoti della conica ( reali per l iperbole, immaginari per l ellisse, 1 improprio per la parabola). Per determinare assi e asintoti é sufficiente operare come segue: si costruisce il generico diametro della conica [ 1 k 0 ] a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 x 1 x x 3 = 0 (a 11 + a 1 k)x 1 + (a 1 + a k)x + (a 13 + a 3 k)x 3 = 0 che é una retta di coefficiente angolare k = a 11+a 1 k a 1 +a, cioé avente punto improprio k (1, k, 0). Questa é la direzione coniugata a (1, k, 0). Per ottenere gli assi si deve imporre che le due direzioni siano ortogonali cioé k k = 1. Si ottiene quindi una equazione di secondo grado nell incognita k. Le due soluzioni k 1, k forniscono i due poli (1, k 1, 0) e (1, k, 0) dei due assi.

28 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 5 Nel caso della parabola la ricerca dell asse é facilitata. Infatti il polo dell asse della parabola é dato dalla direzione ortogonale a quella individuata dal punto improprio della parabola. Infine per ottenere gli asintoti di una iperbole si deve imporre che le due direzioni siano identiche (autoconiugio) cioé k = k. Si ottiene ancora una equazione di secondo grado nell incognita k. Le due soluzioni k 1, k forniscono i due poli (1, k 1, 0) e (1, k, 0) dei due asintoti. Equivalentemente, le due direzioni (1, k 1, 0) e (1, k, 0) si possono ottenere ricordando che esse non sono altro che i punti impropri dell iperbole. 5.6 Classificazione delle coniche proiettive. Sia γ : X T A X = f(x 1, x, x 3 ) = 0 l equazione di un a conica, f(x 1, x, x 3 ) = a 11 x 1 + a 1 x 1 x + a x + a 13 x 1 x 3 + a 3 x x 3 + a 33 x 3 = 0. Poiché f é una forma quadratica in R 3, allora vale il seguente: Teorema Esiste un sistema di riferimento ortonormale in R 3 l equazione della conica γ é una delle seguenti: i) x 1 + x + x 3 = 0 (conica generale a punti non reali); ii) x 1 + x x 3 = 0 (conica generale a punti reali); iii) x 1 + x = 0 (conica semplicemente degenere a punti non reali); iv) x 1 x = 0 (conica semplicemente degenere a punti reali); v) x 1 = 0 (conica doppiamente degenere). rispetto al quale Per ottenere la forma ridotta congruente a quella di partenza, si applica esattamente il metodo di diagonalizzazione delle forme quadratiche. 5.7 Classificazione delle coniche euclidee. Consideriamo ora l equazione affine di una conica γ : f(x, y) = a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0 dove a ij R, per ogni i e j. Indichiamo q(x, y) = a 11 x + a 1 xy + a y la forma quadratica in R, con matrice associata A 33. Poiché q(x, y) é riferita ad un sistema otonormale in R, ogni cambiamento del sistema di riferimento é individuato da una matrice ortogonale C, per cui C T = C 1. In tale caso la diagonalizzazione della forma quadratica q(x, y) puó essere effettuata tramite la semplice diagonalizzazione della matrice simmetrica A 33 ad essa associata.

29 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 6 Sia quindi q(x, y) = [ x y ] [ a11 a 1 a 1 a e siano λ 1 e λ gli autovalori di A 33. Indichiamo con w 1 = (b 11, b 1 ) l autovettore che genera l autospazio relativo a λ 1 e w = (b 1, [ b ) quello] che genera l autospazio relativo a b11 b λ. Allora la matrice che diagonalizza A 33 é 1 con b 1 b C T A 33 C = C 1 A 33 C = ] [ x y [ λ1 0 0 λ Il cambiamento di variabili che permette tale diagonalizazione é [ x y ] = [ b11 b 1 b 1 b ] [ x dopo il quale la conica si presenta nella seguente forma: f(x, y ) = λ 1 x + λ y + a 13x + a 3y + a 33 = 0. In pratica la f(x, y ) é la conica che otteniamo facendo ruotare i suoi assi fino a renderli paralleli agli assi coordinati. Supponiamo che la conica sia un iperbole o una ellisse. Determiniamo ora una traslazione che riporti il centro della conica nel centro degli assi coordinati: x = x c y = y d y ] ] ]. λ 1 (x c) + λ (y d) + a 13(x c) + a 3(y d) + a 33 = 0 λ 1 x +λ y +( λ 1 c+a 13)x +( λ d+a 3)y +(λ 1 c +λ d +a 13c+a 3d+a 33) = 0 Poiché dopo la rototraslazione scompaiono i termini in x e y, allora imponiamo che (B). λ 1 c + a 13 = 0 λ d + a 3 = 0. I valori di c e d che risolvono le precedenti equazioni sono i valori che determinano la traslazione. É sufficiente sostituirli nell equazione (B) per ottenere la conica in forma ridotta: λ 1 x + λ y + λ 3 = 0 con λ 3 = λ 1 c + λ d + a 13c + a 3d + a 33.

30 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 7 Consideriamo ora il caso in cui la conica sia una parabola. Per prima cosa osserviamo che la prima rotazione viene effettuata utilizzando come riferimento quello formato dall asse della parabola e dalla retta tangente nel suo vertice. Inoltre uno dei due autovalori λ 1, λ di A 33 é nullo, per cui, dopo il primo cambiamento di riferimento (rotazione), l equazione della conica si presenta in una delle due seguenti forme: oppure λ 1 x + a 3y + a 33 = 0 λ y + a 13 x + a 33 = 0 (C) (D). Cominciamo con il caso (C). Determiniamo una traslazione che riporti il vertice della parabola nel centro degli assi coordinati: l equazione diventa x = x c y = y d λ 1 (x c) + a 3(y d) + a 33 = 0 (C ) Poiché dopo la rototraslazione scompaiono il termine noto ed il termine in x, dobbiamo imporre che λ 1 c = 0 λ 1 c a 3d + a 33 = 0. I valori di c e d che risolvono le precedenti equazioni sono i valori che determinano la traslazione. É sufficiente sostituirli nell equazione (C ) per ottenere la conica in forma ridotta: λ 1 x + a 3y = 0. Passiamo ora al caso (D). Dopo la traslazione, l equazione della parabola é λ (y c) + a 13(x d) + a 33 = 0 (D ) Poiché dopo la rototraslazione scompaiono il termine noto ed il termine in y, dobbiamo imporre che λ d = 0 λ d a 13c + a 33 = 0.

31 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 8 I valori di c e d che risolvono le precedenti equazioni sono i valori che determinano la traslazione. É sufficiente sostituirli nell equazione (D ) per ottenere la conica in forma ridotta: λ y + a 13x = 0. Quanto detto fin ora si puó riassumere nel seguente: Teorema Ogni conica del piano euclideo reale é congruente ad una delle seguenti forme, dette forme canoniche: 1) x + y = 1, ellisse; a b ) x + y = 1, ellisse a punti non reali; a b 3) x + y = 0, ellisse degenere; a b 4) x y = 1, iperbole; a b 5) x + y = 0, iperbole degenere; a b 6) y ax = 0, parabola; 7) y a = 0, parabola degenere; 8) y + a = 0, parabola degenere a punti non reali; 9) y = 0, conica doppiamente degenere. Riassumendo, abbiamo visto che una rototraslazione degli assi di una conica (dell asse e della retta tangente al vertice, nel caso della parabola) ci permette di ottenere una ulteriore e piú semplice forma della conica stessa, riferita ad un sistema di riferimento opportuno. Tali forme sono dette ridotte o canoniche. Nel cambiamento del sistema di riferimento ortogonale, vi sono alcune quantitá (reali) che non mutano, cioé si mantengono invarianti nel passaggio da una forma della conica all altra. Tali quantitá vengono dette invarianti ortogonali: Teorema 5.7. Sia γ : X T A X = 0 una conica del piano euclideo e sia X T A X = 0 la sua equazione in forma ridotta, cioé dopo una cambiamento ortonormale del sistema di riferimento. Siano a ij gli elementi della matrice A e a ij quelli della matrice A. Allora valgono le seguenti: i) det(a) = det(a ). ii) A 33 = A 33. iii) a 11 + a = a 11 + a. Possiamo sfruttare il precedente teorema per ottenere la forma ridotta di una conica. Sia A la matrice associata alla conica, operiamo nel modo seguente: Coniche a centro. La forma canonica alla quale si vuole arrivare é la seguente a 11x 1 + a x + a 33x 3 = 0

32 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 9 la cui matrice associata é a a a 33 Per ottenere i valori di a 11, a, a 33 é sufficiente applicare i tre punti del teorema e risolvere le equazioni: det(a) = a 11 a a 33 A 33 = a 11 a. a 11 + a = a 11 + a. Parabola. Una forma canonica alla quale si puó arrivare é la seguente la cui matrice associata é a 11x 1 + a 3x x 3 = 0 a a 3 0 a 3 0 Per ottenere i valori di a 11, a 3 é sufficiente applicare i tre punti del teorema e risolvere le equazioni: det(a) = a 11 a 3 L altra forma canonica puó essere la cui matrice associata é a 11 + a = a 11.. a x + a 13x 1 x 3 = a 13 0 a 0 a Per ottenere i valori di a, a 3 é sufficiente applicare i tre punti del teorema e risolvere le equazioni: det(a) = a a 13 a 11 + a = a. Esercizio Classificare la conica x +4xy y +x y+1 = 0, determinarne eventuali assi e asintoti, una sua forma canonica ed il polo della retta x y + 1 = 0 rispetto ad essa..

33 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 30 Svolg. La matrice associata alla conica é A = con det(a) = 4, A 33 = 5, I = a 11 + a = 0, quindi é una iperbole equilatera. Determiniamo il generico diametro: Il generico diametro é [ 1 h 0 ] x 1 x x 3 = 0. (1 h)x 1 + ( h)x + ( 1 h )x 3 = 0 il cui coefficiente angolare é h = 1+h h. Per ottenere gli asintoti imponiamo h = h, da cui h + 5, 5} e quindi gli asintoti sono ( )x 5y + ( 5 1) = 0 e (10 4 5)x + 5y + ( 5 1) = 0. Per ottenere gli assi imponiamo hh = 1, da cui h 1+ 5 sono 4 5x + (10 5)y + (3 5) = 0 e 4 5x + (10 + 5)y + (3 + 5) = 0., 1 5 } e quindi gli assi Una forma canonica é data da a 11 x 1 + a x + a 33 x 3 = 0, con matrice associata A = I suoi invarianti ortogonali sono allora a a a 33. dai quali otteniamo 6 = det(a ) = a 11 a a 33, 5 = A 33 = a 11 a, 0 = I = a 11 + a a 11 = 5, a = 5, a 33 = 6 5

34 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 31 oppure a 11 = 5, a = 5, a 33 = 6 5 e le due forme canoniche ottenute sono: 5x 5y = 0 e 5x + 5y = 0. Infine determiniamo il polo della retta x 1 x + x 3 = 0 rispetto alla conica. Esso avrá coordinate (a, b, c) tali che [ a b c ] Quindi dobbiamo risolvere il sistema x 1 x x 3 a + 4b + c = 4α 4a b c = α a b + c = α = α(x 1 x + x 3 ). le cui soluzioni sono (α 1 8, α5 8, α5 4 ) che é una yerna proporzionale a (1, 5, 10) = (a, b, c). Esercizio 5.7. Determinare l asse ed una forma canonica della parabola x + y 4xy + x 1 = 0. Svolg. La matrice associata alla conica é A = con det(a) =, A 33 = 0, I = a 11 + a = 4. Determiniamo il punto improprio della parabola: x 1 + x 4x 1 x = 0 x 3 = 0

35 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 3 da cui x 1 = 1, x = 1, x 3 = 0 sono le coordinate di tale punto. La direzione ad esso ortogonale é Q = (1, 1, 0). Tale punto Q é il polo dell asse: [ ] x 1 x + x 3 = 0. x 1 x x 3 = 0 Una forma canonica é data da a 11 x 1 + a 3 x x 3 = 0, con matrice associata A = I suoi invarianti ortogonali sono allora a a 3 0 a 3 0. = det(a ) = a 11 a 3, 4 = I = a 11 + a dai quali otteniamo oppure a 11 = 4, a 3 = 1 a 11 = 4, a 3 = 1 e le due forme canoniche ottenute sono: 4x 1 + x x 3 = 0 e cioé 4x 1 x x 3 = 0 y = x e y = x. Esercizio Determinare una forma canonica dell ellisse x xy+y 5x+7y+1 = 0. Svolg. Utilizziamo[ il metodo ] degli autovalori. Quindi determiniamo gli autovalori della matrice A 33 = Essi sono h 1 1 = 1 e h = 3. L autospazio relativo all autovalore h 1 é generato dall autovettore v = (1, 1) che ha come versore ( 1 1, ).

36 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 33 L autospazio relativo all autovalore h é generato dall autovettore v = ( 1, 1) che ha come versore ( 1 1, ). Allora il primo cambiamento di variabili, con il quale annulliamo il termine in xy é dato da [ ] [ x 1 1 ] [ ] = x 1 y 1 da cui x = 1 (x y ) y = 1 (x + y ) e l equazione della conica diventa cioé 1 (x y ) 1 (x y )(x + y ) + 1 (x + y ) 5 (x y ) + 7 (x + y ) + 1 = 0 1 x + 3 y + x + 1 y + 1 = 0. Per annullare i termini in x e y operiamo la seguente traslazione: y x = x a y = y b da cui 1 (x a) + 3 (y b) + (x a) + 1 (y b) + 1 = 0 1 (x + a ax ) + 3 (y + b by ) + x a + 1 y 1 b + 1 = 0. I coefficienti di x e y si annullano per a = e b = 4 e l equazione della conica diventa: cioé 1 (x ) + 3 (y 4 ) + (x ) + 1 (y 4 ) + 1 = 0 1 x + 3 y = 1 x 4 + y 8 = 1. Vogliamo ora ripetere l esercizio utilizzando il metodo di rototraslazione degli assi: gli assi dell ellisse sono a 1 : x y 4 = 0 che scegliamo come X

37 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 34 I versori degli assi sono a : x + y + = 0 che scegliamo come Y. a 1 = ( 1, 1 ) a = ( 1, 1 ) ed il centro dell ellisse é C = (1, 3). Allora le formule del cambiamento del riferimento (rototraslazione) sono [ x y ] = [ ] [ x y ] + [ 1 3 ] da cui x = 1 (x y ) + 1 y = 1 (x + y ) 3 e l equazione della conica diventa ( 1 (x y ) + 1) ( 1 (x y ) + 1)( 1 (x + y ) 3) + ( 1 (x + y ) 3) 5( 1 (x y ) + 1) + 7( 1 (x + y ) 3) + 1 = 0 cioé 1 x + 3 y 1 = 0 x 4 + y 8 = 1. Esercizio Determinare una forma canonica della parabola x 4xy + 4y + x + y 5 = 0. Svolg. Utilizziamo[ il metodo ] degli autovalori. Quindi determiniamo gli autovalori della matrice A 33 =. Essi sono h = 0 e h = 5. L autospazio relativo all autovalore h 1 é generato dall autovettore v = (, 1) che ha come versore ( 1 5, 5 ). L autospazio relativo all autovalore h é generato dall autovettore v = (1, ) che ha come versore ( 1 5, 5 ). Allora il primo cambiamento di variabili, con il quale annulliamo i termini in xy e y é dato da [ ] [ x 5 1 ] [ ] = 5 x 1 y 5 5 y

38 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 35 da cui x = 5 (x y ) y = 1 5 (x + y ) e l equazione della conica diventa 1 5 (x y ) 4 5 (x y )(x + y ) (x + y ) + 5 (x y ) (x + y ) 5 = 0 cioé 5y x 5 = 0 y x 1 = 0. Per annullare il termine noto operiamo la seguente traslazione: x = x a y = y b (y b) (x a) 1 = 0 y + b by x 1 5 a 1 = 0. Per avere la forma canonica dovremmo avere b = 0 a = 5 da cui (y b) (x a) 1 = y (x + 5) 1 = y x = 0. Esercizio Sia dato il fascio di coniche x + kxy 1 = 0, al variare di k R. Determinare i punti base, le coniche riducibili e le tangenti comuni a tutte le coniche del fascio. Svolg. In coordinate omogenee l equazione del fascio é data da x 1 + kx 1 x x 3 = 0.

39 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 36 Per determinare i punti base del fascio scegliamo due coniche qualsiasi, per esempio x 1 x 3 = 0 e x 1 x = 0 ed intersechiamole: x1 x = 0 x 1 x 3 = 0 che ha come soluzione i punti (0, 1, 0) con molteplicitá, (1, 0, 1) e (1, 0, 1) entrambi con molteplicitá 1. Siamo in presenza di un fascio di coniche tangenti, cioé vi é una tangente comune a tutte le coniche del fascio. Per determinarla, scegliamo una conica irriducibile del fascio, per esempio per k =, e calcoliamo la tangente a tale conica nel punto (0, 1, 0): per il valore k =, la conica ottenuta é x + xy 1 = 0. La tangente ad essa in (0, 1, 0) é [ ] x 1 x x 3 = 0 cioé x 1 = 0. Infine calcoliamo le coniche riducibili del fascio: esse si ottengono annullando il determinante della matrice associata alla generica conica del fascio: k 1 0 k 0 = = k 4 quindi per k = 0, con molteplicitá, si ottiene la conica riducibile del fascio x 1 = 0. La terza conica riducibile si ottiene osservando che il parametro k é associato ad essa nell espressione del fascio: xy = 0, con molteplicitá 1. Esercizio Sia dato il fascio di coniche kx + xy k = 0, al variare di k R. Determinare i punti base, le coniche riducibili e le tangenti comuni a tutte le coniche del fascio. Svolg. In coordinate omogenee l equazione del fascio é data da kx 1 + x 1 x kx 3 = 0. Per determinare i punti base del fascio scegliamo due coniche qualsiasi, per esempio x 1 x 3 = 0 e x 1 x = 0 ed intersechiamole: x1 x = 0 x 1 x 3 = 0 che ha come soluzione i punti (0, 1, 0) con molteplicitá, (1, 0, 1) e (1, 0, 1) entrambi con molteplicitá 1. Siamo in presenza di un fascio di coniche tangenti, cioé vi é una tangente

40 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 37 comune a tutte le coniche del fascio. Per determinarla, scegliamo una conica irriducibile del fascio, per esempio per k =, e calcoliamo la tangente a tale conica nel punto (0, 1, 0): per il valore k =, la conica ottenuta é x + xy = 0. La tangente ad essa in (0, 1, 0) é [ ] x 1 x x 3 = 0 cioé x 1 = 0. Infine calcoliamo le coniche riducibili del fascio: esse si ottengono annullando il determinante della matrice associata alla generica conica del fascio: k = = k 0 0 k quindi per k = 0, con molteplicitá 1, si ottiene la conica riducibile del fascio x 1 x = 0. Le altre coniche riducibili si ottengono osservando che il parametro k é associato ad esse nell espressione del fascio: x = 0, con molteplicitá (infatti la retta x = 0 passa per i due base che hanno molteplicitá ). Esercizio Sia dato il fascio di coniche x + ky + xy 1 = 0, al variare di k R. Determinare i punti base, le coniche riducibili e le tangenti comuni a tutte le coniche del fascio. Svolg. In coordinate omogenee l equazione del fascio é data da x 1 + kx + x 1 x x 3 = 0. Per determinare i punti base del fascio scegliamo due coniche qualsiasi, per esempio x 1 + x 1 x x 3 = 0 e x = 0 ed intersechiamole: x = 0 x 1 + x 1 x x 3 = 0 che ha come soluzione i punti (1, 0, 1) e (1, 0, 1) entrambi con molteplicitá. Siamo in presenza di un fascio di coniche bitangenti, cioé vi sono due tangenti comuni a tutte le coniche del fascio. Per determinarle, scegliamo una conica irriducibile del fascio, per esempio per k = 1, e calcoliamo la tangente a tale conica nei punti (1, 0, 1) e (1, 0, 1): per il valore k = 1, la conica ottenuta é x + y + xy 1 = 0. La tangente ad essa in (1, 0, 1) é [ ] x 1 x x 3 = 0 cioé x x x 3 = 0.

41 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 38 La tangente in (1, 0, 1) é [ ] x 1 x x 3 = 0 cioé x x + x 3 = 0. Infine calcoliamo le coniche riducibili del fascio: esse si ottengono annullando il determinante della matrice associata alla generica conica del fascio: 0 = k = k quindi per k = 1, con molteplicitá 1, si ottiene la conica riducibile del fascio x x + x 1 x x 3 = 0. Le altre coniche riducibili si ottengono osservando che il parametro k é associato ad esse nell espressione del fascio: y = 0, con molteplicitá (infatti la retta y = 0 passa per i due base che hanno molteplicitá ).

42 CAPITOLO 5. LE CONICHE Esercizi non svolti. Esercizio Nel piano ampliato si determinino i punti base del fascio x +(λ 1)y = 0 con la relativa molteplicitá. Esercizio 5.8. Nel piano ampliato si determinino i punti base del fascio y +(λ+1)x = 0 con la relativa molteplicitá. Esercizio Nel piano ampliato si determinino le coniche degeneri del fascio λxy + x + y = 0 con la relativa molteplicitá. Esercizio Nel piano ampliato si determinino le coniche degeneri del fascio xy + λxy + 3 = 0 con la relativa molteplicitá. Esercizio Nel piano ampliato si determinino le coordinate del polo della retta 3x 4y + 1 = 0 rispetto alla conica x + y 3xy + x y = 0. Esercizio Nel piano ampliato si determinino le coordinate del polo della retta x + y = 0 rispetto alla conica x + y 1 = 0. Esercizio Nel piano ampliato si determinino le coordinate del polo della retta x 3y + = 0 rispetto alla conica x + y 3xy + x y = 0. Esercizio Data la conica x +xy +4y 4x 10y +4 = 0, determinare una coppia di diametri coniugati, uno dei quali parallelo all asse X. Esercizio Determinare l equazione della circonferenza che passa per i punti (4, ), (, 3) ed ha centro sulla retta x y 1 = 0. Risposta : (x 1 ) + (y + 1 ) = 9 Esercizio Determinare l equazione del cerchio di centro (6, 7) che sia tangente alla retta 5x 1y 4 = 0. Risposta : (x 6) + (y 7) = 36 Esercizio Data la circonferenza x + y + x + y + 1 = 0, determinare la tangente nel punto ( 1, 0). Risposta : y = 0 Esercizio L equazione 3x 5xy y + x + 5y = 0 rappresenta una conica riducibile. Determinare le equazioni delle rette in cui essa si decompone. Risposta : x y + 1 = 0 e 3x + y = 0.

43 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 40 Esercizio Data l iperbole di equazione x 4xy + y x 4y 1 = 0, di centro ( 5, 4 ) e di assi 3y 3x 1 = 0 e y + x + 3 = 0, determinare le sue equazioni ridotte. 3 3 = 1. Risposta : x 10 3 y 10 9 = 1 e x y 10 9 Esercizio Data la conica γ : 3xy 4y 3x + y 3 = 0, determinarne il centro, eventuali asintoti, assi ed il vertice. Esercizio Determinare centro, assi, asintoti della conica: γ : x y +4x 1 = 0 Esercizio Nel piano euclideo ampliato sia dato il fascio di coniche 4x + 4xy + ky + 4x 10y 1 k = 0. Di tale fascio si determinino i punti base, le coniche riducibili, eventuali tangenti comuni a tutte le coniche. Esercizio Date le coniche di equazione x y + x y = 0, x + 8y + x + 16y + 3 = 0 determinare nel fascio da esse individuato: a) le coniche degeneri; b) la conica passante per il punto (1, 1); c) le ellissi, le iperboli e le parabole in esso contenute. Esercizio Scrivere l equazione del fascio di coniche che ha come punti base (0, 0), (, 1), (1, ), ( 3, ). Esercizio Scrivere l equazione del fascio di coniche che ha come punti base ( 1, ), (3, ), (1, 1, 0) e tangenti in quest ultimo punto alla retta x + y = 0. Esercizio Scrivere l equazione del fascio di coniche che ha come punti base A( 1, 3), B(, 5) e tangenti in A alla retta x + 1 = 0 ed in B alla retta y 5 = 0. Esercizio Data la conica γ : x + xy + y 4y + 6 = 0, determinarne il centro, il fuoco, il vertice e l asse (é una parabola). Scrivere l equazione della conica γ in forma ridotta. Esercizio 5.8. Data la conica γ : 3x 4xy + 16x 8y 60 = 0, determinarne il centro, il vertice, gli assi e gli asintoti. Scrivere l equazione della conica γ in forma ridotta.

44 CAPITOLO 5. LE CONICHE. 41 Esercizio Studiare il tipo di conica di equazione x +xy +4y 4x 10Y +4 = 0 e determinare una coppia di diametri coniugati, uno dei quali parallelo all asse X. Esercizio Determinare la tangente comune a tutte le coniche del fascio xy λ(x y y) = 0 Esercizio Determinare la tangente comune a tutte le coniche dela fascio xy λ(x y ) = 0 Esercizio Determinare il polo della retta 7x 10y + 5 = 0 nella polaritá rispetto alla conica x + y 3xy + x y = 0. Esercizio Nel piano ampliato determinare le coniche degeneri del fascio λxy + y λ = 0 Esercizio Nel piano ampliato determinare le coordiante del polo della retta 7x 9y + 1 = 0 nella polaritá rispetto alla conica x + y 3xy + x y = 0. Esercizio Nel piano ampliato determinare le coniche degeneri del fascio λxy + xy 1 = 0 Esercizio Nel piano ampliato determinare il polo della retta 4x 5y = 0 nella polaritá rispetto alla conica x + y 3xy + x y = 0. Esercizio Nel piano ampliato quali sono le coniche degeneri del fascio xy +λx λy = 0 Esercizio Determinare le forme ridotte dell iperbole x 3xy y + 5x = 0 Esercizio Determinare le forme ridotte della parabola x xy + y + x = 0. Esercizio Determinare gli assi, gli asintoti e le forme ridotte dell iperbole 3x 4xy + 16x 8x 60 = 0. Esercizio Determinare asse, fuoco, forme ridotte ed equazioni di cambiamento del sistema di riferimento della seguente parabola x + xy + y 4y + 6 = 0. Esercizio Studiare la seguente conica x y + x + 1 = 0. Esercizio Determinare le forme ridotte dell iperbole x 4xy+y x 4y 1 = 0. Esercizio Studiare la conica x y + 4x 1 = 0. Esercizio Determinare l equazione ridotta dell iperbole equilatera x y = 4 riferita ai suoi asintoti. Esercizio Determinare le equazioni ridotte dell ellisse x xy+y 5x+7y+1 = 0 di centro (1, 3) ed assi x y 4 = 0, x + y + = 0.

45 Capitolo 6 Rette e piani nello spazio affine ed euclideo. 6.1 Equazioni di un piano. Sia π un piano nello spazio affine A 3. Per individuare π abbiamo bisogno di un punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) π e di un vettore v = (l, m, n) π. In particolare, se v 1 = (l 1, m 1, n 1 ) e v = (l, m, n ) sono due vettori indipendenti del piano, essi generano ogni altro vettore del piano, cioé v = tv 1 + t v, con t, t parametri reali. Sia ora P = (x, y, z) un generico punto del piano. Esso dipende allora da P 0 e da v, cioé OP = f(op 0, v), da cui x = x 0 + tl 1 + t l y = y 0 + tm 1 + t m z = z 0 + tn 1 + t n che sono dette equazioni parametriche di un piano. Da queste otteniamo x x 0 = tl 1 + t l y y 0 = tm 1 + t m z z 0 = tn 1 + t n cioé il vettore P P 0 dipende linearmente dai vettori v 1, v, per cui x x 0 y y 0 z z 0 l 1 m 1 n 1 = 0 l m n svolgendo la quale si ha l equazione affine del piano ax + by + cz + d = 0. 4

46 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 43 Supponiamo ora di avere tre punti non allineati nello spazio P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), P 1 = (x 1, y 1, z 1 ), P = (x, y, z ). Essi individuano un piano, in particolare i vettori P 0 P 1 e P 0 P sono tra loro indipendenti ed hanno componenti P 0 P 1 = (x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ) P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ). Per ogni altro punto P = (x, y, z) del piano, il vettore P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ) é dipendente dai precedenti due vettori, cioé x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 = 0 x x 0 y y 0 z z 0 che é equivalente alla x y z 1 x 0 y 0 z 0 1 x 1 y 1 z 1 1 x y z 1 = 0 che ci riporta ancora alla forma affine dell equazione del piano. 6. Reciproca posizione di due piani. Siano π : ax + by + cz + d = 0 e π : a x + b y + c z + d = 0 due piani. I punti in comune ai due piani sono le soluzioni del sistema lineare ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 nelle incognite x, y, z. Le matrici associate al sistema sono A = [ a b c a b c ], C = [ a b c d a b c d Se rango(a) = rango(c) = 1, allora i due piani sono coincidenti poiché ax+by +cz +d = α(a x + b y + c z + d ), per un opportuno α R. Se rango(a) = rango(c) =, allora il sistema ammette 1 soluzioni, cioé i due piani hanno 1 punti in comune e quindi sono incidenti in una retta. Se rango(a) = 1 e rango(c) =, allora il sistema é incompatibile ed i due piani non hanno punti in comune, cioé sono paralleli. Ció si verifica quando a a = b b = c c d d ].

47 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO Fascio di piani. Siano π : ax + by + cz + d = 0 e π : a x + b y + c z + d = 0 due piani distinti. La totalitá dei piani di equazione λ(ax + by + cz + d = 0) + ϱ(a x + b y + c z + d ) = 0 al variare dei parametri reali λ e ϱ, é detta fascio di piani. Si possono verificare due casi: π e π sono incidenti in una retta, ed allora tutti i piani del fascio hanno in comune quella retta, si parla di fascio proprio. Oppure π e π sono tra loro paralleli, ed allora tutti i piani del fascio sono tra loro paralleli, si parla di fascio improprio. Supponiamo allora di avere un terzo piano π : a x+b y +c z +d = 0 ed analizziamo in quale casi esso appartiene al fascio individuato da π e π. In pratica si deve studiare il sistema ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 nelle incognite x, y, z. Le matrici associate al sistema sono A = a b c a b c a b c, C = a b c d a b c d a b c d Se rango(a) = rango(c) =, allora il sistema ammette 1 soluzioni, cioé i tre piani hanno 1 punti in comune e quindi sono incidenti in una retta: essi appartengono ad un fascio proprio. Se rango(a) = 1 e rango(c) =, allora il sistema é incompatibile ed i tre piani non hanno punti in comune, cioé sono paralleli: essi appartengono ad un fascio improprio. 6.4 Stella di piani. Siano π : ax + by + cz + d = 0, π : a x + b y + c z + d = 0 e π : a x + b y + c z + d = 0 tre piani. Consideriamo il sistema ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 nelle incognite x, y, z. Le matrici associate al sistema sono a b c A = a b c, C = a b c a b c d a b c d a b c d..

48 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 45 Abbiamo giá visto che: se rango(a) = rango(c) = 1 allora i tre piani coincidono tra loro; se rango(a) = rango(c) = allora i tre paini formano un fascio proprio; se rango(a) = 1 e rango(c) = allora i trte piani formano un fascio improprio. Poniamoci ora nel caso in cui i tre piani siano distinti e non appartengano ad uno stesso fascio. Quindi dovremo avere necessariamente rango(c) = 3. Se anche rango(a) = 3, allora il sistema ammette una sola soluzione, cioé i tre piani hanno in comune un punto, si dice che essi formano una stella propria di piani. Se rango(a) =, allora il sistema é incompatibile, i tre piani non hanno punti in comune, in pratica uno dei tre piani é parallelo alla retta che gli altri due hanno in comune: si dice che i tre piani formano una stella impropria. In ogni caso, la totalitá dei piani che appartengono alla stella é data dall equazione: α(ax + by + cz + d = 0) + β(a x + b y + c z + d ) + γ(a x + b y + c z + d ) = 0 al variare dei parametri reali α, β e γ. Supponiamo di avere un quarto piano π : a x + b y + c z + d = 0. Esso appartiene alla stella formata dai piani π, π e π (propria o impropria che sia) se la matrice ha rango 3. a b c d a b c d a b c d a b c d 6.5 Equazioni di una retta. Definiamo retta nello spazio, l insieme di tutti i punti comuni a due piani non paralleli, quindi la rappresentiamo con le equazioni: ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0. Ogni retta dello spazio puó essere individuata da un suo punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) e da un vettore v = (l, m, n) ad essa parallelo. Quindi ogni punto P = (x, y, z) della retta é tale che il vettore OP dipenda da OP 0 e v cioé OP = OP 0 + tv. Al variare del parametro t si ottengono tutti i punti della retta: x = x 0 + tl y = y 0 + tm z = z 0 + tn

49 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 46 che sono dette equazioni parametriche della retta. La terna (l, m, n) rappresenta i parametri direttori della retta. In particolare se si conoscono due punti della retta P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e P = (x, y, z ), il vettore P 1 P é parallelo alla retta e quindi (l, m, n) = (x x 1, y y 1, z z 1 ) e l equazione si puó ottenere nel modo seguente: x = x 1 + t(x x 1 ) y = y 1 + t(y y 1 ) z = z 1 + t(z z 1 ) da cui t = x x 1 = y y 1 = z z 1 x x 1 y y 1 z z 1 che é detta equazione a catena di una retta. Due rette sono parallele se e solo se esse hanno i tre parametri direttori proporzionali (in particolare identici). 6.6 Rette complanari. Siano date le due rette r : di parametri direttori (l, m, n) e r : ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 di parametri direttori (l, m, n ). Diremo che r e r sono complanari se esiste un piano che le contenga entrambe. In tal caso, le due rette possono essere incidenti in un punto, cioé i quattro piani che le formano appartengono ad un stella propria, oppure le due rette sono parallele, cioé i quattro piani che le formano appartengono ad una stella impropria. Possiamo quindi dedurre che due rette sono complanari se la matrice ha rango 3, cioé quando a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d = 0.

50 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 47 Analogamente possiamo determinare una ulteriore condizione di complanaritá tra le due rette: siano scelti due punti P = (x, y, z) r e P = (x, y, z ) r. Se le due rette fossero complanari, i vettori (l, m, n), (l, m, n ) e (x x, y y, z z ) sarebbero tra loro dipendenti cioé x x y y z z l m n = 0. l m n Se due rette non sono complanari sono dette sghembe. 6.7 Reciproca posizione tra una retta ed un piano. Siano dati il piano e la retta r : π : ax + by + cz + d = 0 π : a x + b y + c z + d = 0 π : a x + b y + c z + d = 0. Se i tre piani appartengono allo stesso fascio, allora la retta r appartiene al piano π (essa é l asse del fascio). Se i tre piani appartengono ad una stella propria allora la retta ed il piano π hanno un punto in comune (che é il centro della stella). Se i tre piani appartengono ad una stella impropria allora la retta ed il piano non hanno punti in comune, cioé la retta é parallela al piano. Poniamoci in quest ultimo caso, retta e piano siano paralleli. Siano P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e P = (x, y, z ) due punti della retta. Allora il vettore (l, m, n) = (x x 1, y y 1, z z 1 ) é parallelo a π. In altre parole esiste un piano σ : ax + by + cz + d iv, parallelo a π, che contiene il vettore P 1 P. Quindi le coordinate dei punti P 1 e P soddisfano all equazione di σ: ax + by + cz + d iv = 0 e sottraendo le due equazioni otteniamo ax 1 + by 1 + cz 1 + d iv = 0 a(x x 1 ) + b(y y 1 ) + c(z z 1 ) = 0 al + bm + cn = 0 che é la condizione di parallelismo tra una retta ed un piano.

51 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO Calcolo dei parametri direttori di una retta. Sia data la reta r : π : ax + by + cz + d = 0 π : a x + b y + c z + d = 0 con parametri direttori (l, m, n). Essi sono le componenti di un vettore parallelo alla retta. Tale vettore deve allora essere parallelo sia al piano π che a π, ed applicando la condizione di parallelismo otteniamo: al + bm + cn = 0 a l + b m + c n = 0. Questo é un sistema omogeneo di rango, nelle tre incognite (l, m, n), le cui soluzioni sono proporzionali ai minori [ ] [ ] [ ] b c c a a b b c, c a, a b. Esercizio Determinare l equazione del piano contenente i punti (1, 1, 0), (1, 0, 1), (3, 1, 0). Svolg. Sia (x, y, z) il generico punto del piano. L equazione in forma cartesiana si ottiene allora da: x y z = cioé x + y + z = 0. Esercizio 6.8. Determinare l equazione del piano contenente il punto (1, 1, ) e parallelo ai vettori di componenti ( 1,, 3) e (1,, 1). Svolg. In forma parametrica l equazione del piano é x = t + t + 1 y = t + t + 1 z = 3t t + ed in forma cartesiana cioé 4x y + z 7 = 0. x 1 y 1 z = 0

52 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 49 Esercizio Sia dato il fascio di piani (3x+y z)+a(x 4y+z 1) = 0. Verificare se il piano π : x + 5y 4z + = 0 appartiene o no al fascio. Svolg. Le matrici associate al fascio sono [ ] 3 1 A =, C = 1 4 [ ]. Hanno entrambe rango, quindi il fascio é proprio. Consideriamo ora le matrici associate ai tre piani (aggiungiamo una riga con i coefficienti di π): A = , C = La matrice A ha rango, ma la matrice C ha rango 3, quindi il piano π non appartiene al fascio dato. In particolare i tre piani formano una stella impropria. Esercizio Sia dato il fascio di piani (x + y 3z + ) + a(x + y 6z + 1) = 0. Verificare se il piano π : 5x + 5y 15z + 4 = 0 appartiene o no al fascio.. Svolg. Le matrici associate al fascio sono [ ] A =, C = 6 [ ]. La matrice A ha rango 1, e la matrice C ha rango : é un fascio improprio. Consideriamo ora le matrici associate ai tre piani (aggiungiamo una riga con i coefficienti di π): A = , C = La matrice A ha rango 1 e la matrice C ha rango, quindi il piano π appartiene al fascio dato. Esercizio Sia data la stella di piani (3x+y z)+a(x 4y +z 1)+b(x 1) = 0. Verificare se i piani π : 3x + 5y 4z = 0 e σ : x + y 1 = 0 appartengono o no alla stella.. Svolg. Le matrici associate alla stella sono 3 1 A = , C =

53 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 50 Hanno entrambe rango 3, quindi la stella é propria. Consideriamo ora le matrici associate ai quattro piani (aggiungiamo una riga con i coefficienti di π): A = , C = Le matrici A e C hanno entrambe rango 3, quindi il piano π appartiene alla stella. Consideriamo ora le matrici ottenute aggiungendo i coefficienti del piano σ: A 1 4 = 1 0 0, C = La matrice C ha rango 4, quindi il piano σ non appartiene alla stella. Esercizio Sia data la stella di piani (x+y+z)+a(x+y+z)+b(3x+y+z 1) = 0. Verificare se i piani π : x + y + z 3 = 0 e σ : x + y z = 0 appartengono o no alla stella. Svolg. Le matrici associate alla stella sono 1 1 A = , C = La matrice A ha rango e la matrice C ha rango 3, quindi la stella é impropria. Consideriamo ora le matrici associate ai quattro piani (aggiungiamo una riga con i coefficienti di π): A = , C = Le matrici A e C hanno rispettivamente rango e rango 3, quindi il piano π appartiene alla stella. Consideriamo ora le matrici ottenute aggiungendo i coefficienti del piano σ: A = , C = La matrice A ha rango 3, quindi il piano σ non appartiene alla stella impropria...

54 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 51 Esercizio Determinare la retta passante per i punti (1, 0, 1) e (, 3, 1). Svolg. I parametri direttori della retta sono dati dalle differenze delle coordinate omologhe dei due punti: (l, m, n) = (1, 3, 0), quindi una forma parametrica dell equazione della retta é: x = t + 1 y = 3t. z = 1 In forma cartesiana, eliminando il parametro t dalle precedenti, otteniamo: 3x y 3 = 0. z = 1 Esercizio Determinare la retta passante per il punto (, 1, 1) e parallela alla retta s : x + y z = x + y z + 1 = 0. Svolg. I parametri direttori della retta s sono ( 1, 3, 1), e quindi essi possono essere considerati anche come i parametri direttori della retta da determinare. Quindi una forma parametrica dell equazione della retta é: x = t + y = 3t + 1 z = t + 1 In forma cartesiana, eliminando il parametro t dalle precedenti, otteniamo: x + z 3 = 0 3x + y 7 = 0. Esercizio Determinare se le seguenti rette sono complanari: r : x 3y + = x + y + z 1 = 0 s : x = t +, y = 5t + 3, z = t. Svolg. P s = (, 3, 1) é un punto di s. Q r = (, 0, 3) é un punto di r. Il vettore che li congiunge ha componenti (4, 3, 4). Inoltre i parametri direttori di r sono ( 3, 1, 4) e quelli di s sono ( 1, 5, 1). Calcoliamo il determinante della matrice A = Poiché det(a) 0, le due rette non sono complanari (si dice che sono sghembe)..

55 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 5 Esercizio Determinare se le seguenti rette sono complanari: r : x y = z 1 = 0 s : x y + z 3 = x y + 3z 4 = 0 Svolg. Per verificare se sono complanari consideriamo la matrice formata dai coefficienti dei quattro piani che le compongono: A = Poiché det(a) = 0, le due rette sono complanari. Calcoliamo allora il piano π che la contiene entrambe: determiniamo dapprima il fascio di piani che abbia come sostegno la retta s: F : (x y + z 3) + a(x y + 3z 4) = 0. Il piano π appartiene a tale fascio. Inoltre π deve contenere ogni punto di r. Scegliamo P = (0, 0, 1) r (la scelta di tale punto deve essere tale da essere certi che P non sia il punto comune alle due rette). Imponiamo ora che il generico piano del fascio contenga P :. 3 + a(3 4) = 0 a = 1 quindi π : x y + z 1 = 0. Esercizio Si verifichi che il piano π : x y 4z + = 0 e la retta r : x = t, y = 1 t, z = t sono paralleli. Svolg. I parametri direttori della retta sono (l, m, n) = (1,, 1) ed i coefficienti del piano sono (a, b, c) = (, 1, 4), per cui é verificata la condizione al + bm + cn = 0. Esercizio Determinare il punto comune alla retta r : x y + 1 = x + y z = 0 ed al piano π : 3x y + z = 0.

56 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 53 Svolg. I parametri direttori di r sono (1,, 3) ed un suo punto é P 0 = (0, 1, 0). Una forma parametrica della retta é allora: x = t y = t + 1. z = 3t Sostituiamo il generico punto di r, che ha coordinate (t, t + 1, 3t), nell equazione del piano. Otterremo il valore del parametro t per il quale il punto appartiene sia alla retta che al piano: 3t (t + 1) + 6t = 0 t = 1 6 quindi il punto comune a retta e piano é dato da x = 1 6 y = = 4. 3 z = 3 1 = 1 6 Esercizio Determinare il piano passante per il punto (, 1, 1) e parallelo al piano π : x y + 3z + 5 = 0. Svolg. Il generico piano parallelo a π ha equazione x y + 3z + k = 0 al variare di k R si ottengono tutti i piani paralleli a π. Imponiamo il passaggio per il punto (, 1, 1): k = 6, cioé l equazione del piano richiesto é x y + 3z 6 = Coordinate omogenee nello spazio. Sia P = (x, y, z) un punto nello spazio. Diremo che (x 1, x, x 3, x 4 ) sono le coordinate omogenee di P se x = x 1, y = x, z = x 3. x 4 x 4 x 4 Se x 4 0, il punto é detto proprio e puó essere individuato dalla quaterna di coordinate omogenee (x, y, z, 1). In caso x 4 = 0, il punto é detto improprio. L insieme di tutti i punti impropri dello spazio é individuato dall equazione x 4 = 0, che rappresenta un piano, il piano improprio. Tutte le quaterne di coordinate omogenee che siano tra loro proporzionali, individuano il medesimo punto. L equazione di un piano in coordinate omogenee é π : ax 1 + bx + cx 3 + dx 4 = 0

57 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 54 ed i suoi punti impropri si ottengono intersecandolo col piano improprio: ax1 + bx + cx 3 + dx 4 = 0 x 4 = 0 Questa é una retta, detta retta impropria (o giacitura) di π. Tutti i piani tra loro paralleli hanno la stessa giacitura. L equazione di una retta in coordinate omogenee é data dall intersezione dei due piani r : ax1 + bx + cx 3 + dx 4 = 0 a x 1 + b x + c x 3 + d x 4 = 0 I punti impropri di r si ottengono intersecandola col piano improprio: ax 1 + bx + cx 3 + dx 4 = 0 a x 1 + b x + c x 3 + d x 4 = 0 x 4 = 0 Quindi ogni retta contiene un solo punto improprio (l, m, n, 0), dove (l, m, n) sono esattamente i parametri direttori di r. Per cui rette tra loro parallele hanno lo stesso punto improprio. Osservazione. Se una retta ed un piano sono paralleli, allora il punto improprio della retta appartiene alla giacitura del piano Angoli nello spazio euclideo. Fissiamo nello spazio euclideo un riferimento cartesiano ortogonale OXY Z di centro O e versori i, j, k, rispettivamente per gli assi X, Y, Z. Chiameremo coseni direttori di una retta r, i coseni degli angoli che la retta forma con gli assi coordinati. Se la retta é individuata dai parametri direttori (l, m, n), i suoi coseni direttori saranno: l α = cos(r, X) + l + m + n, l l + m + n } m β = cos(r, Y ) + l + m + n, m l + m + n } n γ = cos(r, Z) + l + m + n, n l + m + n } Consideriamo ora due rette ed individuiamole tramite i rispettivi parametri direttori: r = (l, m, n) e r = (l, m, n ). Indichiamo con v e v due vettori paralleli rispettivamente

58 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 55 a r e r, uno di componenti (l, m, n) e l altro (l, m, n ). L angolo tra le due rette é lo stesso formato dai due vettori: cos(r, r ) = cos(v, v ll + mm + nn ) + l + m + n l + m + n, ll + mm + nn l + m + n l + m + n Quindi le due rette sono ortogonali se ll + mm + nn = 0. Sia π : ax+by +cz +d = 0 un piano. Un vettore v di componenti (v x, v y, v z ) é parallelo al piano se av x + bv y + cv z = 0. Ció vuol dire anche che il vettore v é ortogonale ad ogni vettore w di componenti proporzionali alla terna (a, b, c). In particolare questo implica che ogni vettore w = ϱ(a, b, c) é ortogonale anche al piano ax + by + cz + d = 0. Diciamo allora che una retta é ortogonale al piano π se i suoi coseni direttori sono a α = cos(r, X) + a + b + c, a a + b + c } b β = cos(r, Y ) + a + b + c, b a + b + c } c γ = cos(r, Z) + a + b + c, c a + b + c }. }. Siano ora π : ax + by + cz + d = 0 e π : a x + b y + c z + d = 0 due piani distinti. L angolo formato dai due piani é uguale a quello formato dai due versori normali ai due piani: cos(π, π aa + bb + cc ) + a + b + c a + b + c, aa + bb + cc a + b + c a + b + c Da ció concludiamo anche che i due piani sono ortogonali se aa + bb + cc = 0. Consideriamo infine una retta r di parametri direttori (l, m, n) ed un piano π : ax + by + cz + d = 0. Il versore normale al piano é a n = ( a + b + c, b a + b + c, c a + b + c ). Sia ϕ = (r, n) l angolo formato dalla retta r e dal versore n. Definiamo π ϕ l angolo formato dalla retta r e dal piano π. Quindi segue che: al + bm + cn sen(r, π) = cos(r, n) + a + b + c l + m + n, al + bm + cn a + b + c l + m + n } da cui otteniamo che la retta ed il piano sono paralleli se al + bm + cn = 0. }.

59 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO Distanze nello spazio euclideo. Siano P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e P = (x, y, z ) due punti dello spazio. La distanza tra i punti P 1 e P é il modulo del vettore P 1 P : δ(p 1, P ) = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ). Consideriamo ora il punto P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) ed il piano π : ax + by + cz + d = 0. La distanza di P 1 da π é pari alla lunghezza del segmento P 1 Q 1, dove Q 1 é il punto proiezione ortogonale di P 1 su π: δ(p 1, π) = ax 1 + by 1 + cz 1 + d a + b + c Scegliamo ora una retta r di parametri direttori (l, m, n) ed il punto P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) non appartenente alla retta. Costruiamo il piano π ortogonale alla retta e passante per P 1 : tale piano é unico. Indichiamo con Q 1 = π r, é la proiezione ortogonale di P 1 su r. Scegliamo arbitrariamente un punto Q 0 = (x 0, y 0, z 0 ) r. La distanza di P 1 da r é pari alla lunghezza del segmento P 1 Q 1 : δ(p 1, r) = x 1 x 0 y 1 y 0 l m + x 1 x 0 z 1 z 0 y + 1 y 0 z 1 z 0 l n m n. l + m + n Siano ora π : ax + by + cz + d 1 = 0 e π : ax + by + cz + d = 0 due piani paralleli. La distanza tra di essi é pari alla distanza di un qualsiasi punto di π dall altro piano π : δ(π, π ) = d 1 d a + b + c. Infine siano r = (l, m, n) e r = (l, m, n ) due rette sghembe. Esisteranno quindi due piani π e π tra loro paralleli tali che r π e r π. La distanza tra r e r é pari alla distanza tra π e π. Un altro metodo per calcolare la distanza tra le rette sgheme r e r é quello di sfruttare la proprietá per la quale esiste una ed una sola retta s perpendicolare ad entrambe r e r e con esse incidente. Dopo aver individuato la retta s, si costruiscono i punti P = r s e P = r s. La distanza tra le due rette sghembe é pari alla distanza tra P e P. Esponiamo nei particolari questo procedimento: Siano scelti i punti Q = (x 0, y 0, z 0 ) r e Q = (x 0, y 0, z 0): r : x = x 0 + tl y = y 0 + tm z = z 0 + tn, r : x = x 0 + t l y = y 0 + t m z = z 0 + t n.

60 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 57 I generici punti P r e P r sulle due rette hanno coordinate P = (lt + x 0, mt + y 0, nt + z 0 ), P = (l t + x 0, m t + y 0, n t + z 0) ed il vettore w che li congiunge ha componenti w = (lt l t + x 0 x 0, mt m t + y 0 y 0, nt + n t + z 0 z 0). Al variare dei parametri t e t dobbiamo determinare i punti P e P tali che il vettore w sia ortogonale sia con r che con r, cioé devono annullarsi i seguenti prodotti scalari: w (l, m, n) = (lt l t + x 0 x 0) l + (mt m t + y 0 y 0) m + (nt + n t + z 0 z 0) n = 0 w (l, m, n ) = (lt l t +x 0 x 0) l +(mt m t +y 0 y 0) m +(nt+n t +z 0 z 0) n = 0. Le soluzioni t, t, del precedente sistema, permettono di individuare i punti P, P sulle rette r e r. Esercizio Determinare il piano contenente la retta di equazioni r : 3x + 6y z = x + y 1 = 0 e ortogonale alla retta s : x = t +, y = 4t, z = t + 1. Svolg. Determiniamo il fascio di piani contenente r: ed imponiamo la ortogonalitá con s: da cui h = e quindi il piano é 3x + 6y z + h(x + y 1) = 0 (3 + h)x + (6 + h)y z h = h = 1, 6 + h = 4 x + 4y z = 0. Esercizio Determiniamo il piano contenente i punti (1, 0, 1), ( 1, 1, 1) e parallelo alla retta r : x + y 1 = x y = 0. Svolg. I parametri direttori della retta r sono (0, 0, 1), per cui il piano richiesto contiene i tre punti in coordinate omogenee (1, 0, 1, 1), ( 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 0): x 1 x x 3 x π : = π : x 1 + x x 4 = 0 x + y 1 = 0.

61 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 58 Esercizio Determinare la distanza tra il punto P = (0,, 1) ed il piano π di equazione 3x + y z + = 0. Svolg. δ(p, π) = ( 1) = Esercizio Determinare la distanza tra i due piani π : π : 4x + y + 4z + 7 = 0. x + y + z 1 = 0 e Svolg. Riscriviamo π : x + y + z + 7 = 0. δ(π, π ) = 7 ( 1) = 9 9 = 3. Esercizio Determinare la distanza tra le rette x + 3y = x 1 = 0 e y = x z + 1 = 0. Svolg. Verifichiamo se le rette sono complanari o sghembe: = 0 quindi le rette sono complanari. Inoltre le terne di parametri direttori delle rette sono (0, 0, 1) ( 1, 0, 1) per cui le rette sono incidenti e non parallele e la loro distanza é nulla. Esercizio Determinare la distanza tra le rette r : s : y = x z + 1 = 0. x + 3y 1 = x 1 = 0 e Svolg. Verifichiamo se le rette sono complanari o sghembe:

62 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 59 quindi le rette sono sghembe. Inoltre le terne di parametri direttori delle rette sono r = (0, 0, 1) s = (1, 0, 1). Costruiamo il fascio di piani che ha come sostegno r F r : x + 3y 1 + h(x 1) = 0 F r : ( + h)x + 3y 1 h = 0 Il piano π r di F r parallelo alla retta s deve contenere il punto improprio di s, s = (1, 0, 1, 0). Imponiamo il passaggio per s : + h = 0 ed il piano é π r : 3y + 1 = 0. Analogamente costruiamo il fascio di piani che ha come sostegno s F s : y + k(x z 1) = 0 F s : kx + y kz k = 0 Il piano π s di F s parallelo alla retta r deve contenere il punto improprio di r, r = (0, 0, 1, 0). Imponiamo il passaggio per r : k = 0 ed il piano é π s : y = 0. Allora δ(r, s) = δ(π r, π s ) = 1 3. Calcoliamo ora la retta di minima distanza, cioé quella ortogonale ed incidente ad entrambe le rette date: In coordinate parametriche il generico punto di r é P r = (1, 1, t) e quello di s é 3 Q s = (t, 0, t + 1). Il segmento P r Q s ha componenti (t 1, 1, 3 t t + 1). Inponiamo che tale vettore sia ortogonale ad entrambe le rette: ortogonalitá con r : t t + 1 = 0 ortogonalitá con s : t 1 + t t + 1 = 0 da cui t = 1 e t =. Quindi i punti contenuti nella retta di minima distanza sono P r = (1, 1 3, ) Q s = (1, 0, ) e la retta di minima distanza é x 1 = y = 0. Esercizio Determinare la distanza tra il punto P equazioni x = t, y = 1 t, z = t. = (1, 1, 3) e la retta r di

63 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 60 Svolg. Scegliamo Q = (0, 1, 0) sulla retta r. Il segmento P Q ha componenti (1, 0, 3). Consideriamo la matrice [ ] [ ] A = =. l m n 1 La distanza tra punto P e la retta r é δ(p, r) = A 11 + A 1 + A 13 l + m + n in cui A ij sono i minori di ordine di A. δ(p, r) = = Un altro metodo potrebbe essere il seguente: Determiniamo la stella di piani passante per P : a(x 1) + b(y 1) + c(z 3) = 0 e tra tutti questi piani scegliamo l unico ortogonale alla retta r, cioé a =, b =, c = 1: π : x y + z 3 = 0. Il punto di intersezione tra r e π é Q = ( 10, 1, 5 ). La distanza tra r e P é pari alla distanza tra P e Q: δ(p, r) = δ(p, Q) = = Esercizio Determinare la distanza tra le rette r : s : x z = y z + 3 = 0. x z + 1 = y 3z = 0 e Svolg. Verifichiamo se le rette sono complanari o sghembe:

64 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 61 quindi le rette sono sghembe. Inoltre la terna di parametri direttori della retta s é (1,, 1). Costruiamo il fascio di piani che ha come sostegno r F r : x z h(y 3z) = 0 F r : x + hy + ( 3h)z + 1 = 0. Il piano π r di F r parallelo alla retta s deve contenere il punto improprio di s, s = (1,, 1, 0). Imponiamo il passaggio per s : 1+h = 0 ed il piano é π r : x y +z 1 = 0. Scegliamo ora un punto Q a piacere su s: Q = (, 3, 0). La distanza tra s e r é pari alla distanza tra Q e π r : δ(r, s) = δ(q, π r ) = = 4 3. Calcoliamo ora la retta di minima distanza, cioé quella ortogonale ed incidente ad entrambe le rette date: In coordinate parametriche il generico punto di r é P r = (t + 1, 3t, t) e quello di s é Q s = (t +, t 3, t ). Il segmento P r Q s ha componenti (t t 1, 3t t + 3, t t ). Inponiamo che tale vettore sia ortogonale ad entrambe le rette: ortogonalitá con r : 14t 9t + 7 = 0 ortogonalitá con s : 9t 6t + 5 = 0 da cui t = 1 e t = 7 3. Quindi i punti contenuti nella retta di minima distanza sono P r = (3, 3, 1) Q s = ( 13 3, 5 3, 7 3 ) e la retta di minima distanza é x = t + 3 y = t + 3 z = t + 1 Esercizio Determinare il piano passante per i punti P = (1, 0, 1), Q = ( 1, 1, 1) e parallelo alla retta r : x + y 1 = x y = 0. Svolg. I parametri direttori della retta r sono (0, 0, 1) e quelli della retta contenente il segmento P Q sono (, 1, 0). Il piano richiesto é quello contenente i vettori (0, 0, 1), (, 1, 0) e passante per il punto P (oppure Q): x 1 y z =

65 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 6 oppure analogamente é il piano contenente i tre punti, in coordinate omogenee, (0, 0, 1, 0), (, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1): x 1 x x 3 x = cioé x 1 + x x 4 = 0, o equivalentemente x + y 1 = 0. Esercizio Determinare il piano passante per il punto P = (0, 1, 1) e parallelo alle rette r : x = 3t + 1, y = t, z = 3 e s : x z = y 3z + 1 = 0. Svolg. I parametri direttori delle due rette sono: r : (3, 1, 0) s : (, 3, 1). Il piano richiesto é quello contenente i vettori (3, 1, 0), (, 3, 1) e passante per il punto P : x y 1 z = oppure analogamente é il piano contenente i tre punti, in coordinate omogenee, (3, 1, 0, 0), (, 3, 1, 0), (0, 1, 1, 1): x 1 x x 3 x = cioé x 1 3x + 7x 3 4x 4 = 0, o equivalentemente x 3y + 7z 4 = 0. Esercizio Determinare la retta contenente il punto P = (0, 0, 3) e parallela alla retta r : x = 1 t, y =, z = 1 + t. Svolg. I parametri direttori della retta sono identici a quelli della retta r, quindi la sua equazione in forma parametrica é data da: x = t y = 0 z = t + 3 ed in forma cartesiana, eliminando t dalle precedenti equazioni: y = 0 x + z 3 = 0.

66 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 63 Esercizio Determinare la retta passante per i punti P = (1, 1, 0, 0) e Q = (0, 0, 1, 0). Svolg. Sia (x 1, x, x 3, x 4 ) il generico punto appartenente alla retta richiesta. La condizione di allineamento di tale punto con i punti P e Q é che la matrice abbia rango, cioé x 1 x x x 1 x x 3 x = 0 x 1 x = 0. Inoltre la retta certamente appartiene al piano improprio x 4 = 0, quindi una sua espressione cartesiana é la seguente: x 4 = 0 x 1 x = 0. Esercizio Determinare la retta s passante per il punto P = ( 1,, 3) e tale da essere complanare ed ortogonale alla retta r : x + y = x z 1 = 0. Svolg. Determiniamo la retta in forma cartesiana. Il primo piano é quello appartenente al fascio di asse r e passante per P : F r : x + y + h(x z 1) = 0 ed imponendo il passaggio per P si ottiene h = 0, quindi il primo piano é x + y = 0. Il secondo piano é quello appartenente alla stella di centro P e ortogonale alla retta r: S P : a(x + 1) + b(y ) + c(z 3) = 0 ed imponendo l ortogonalitá con r, i cui parametri direttori sono ( 1,, 1), si ottiene a = 1, b =, c = 1, quindi il secondo piano é x y + z 1 = 0. La retta s é allora: x + y = 0 x y + z 1 = 0.

67 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO Elementi complessi nello spazio. Ogni punto dello spazio é individuato da una quaterna di coordinate omogenee (x 1, x, x 3, x 4 ) non tutte nulle. Due qualsiasi quaterne tra loro proporzionali rappresentano lo stesso punto nello spazio. Un punto é detto reale se tra le infinite quaterne proporzionali che lo rappresentano, ce ne é almeno una composta da soli numeri reali. Analogamente sia π : ax 1 + bx + cx 3 + dx 4 = 0 l equazione di un piano in coordinate omogenee. Il piano é detto reale se esiste una sua rappresentazione π : α(ax 1 + bx + cx 3 + dx 4 ) = 0, in modo tale che αa, αb, αc, αd R. Consideriamo ora la retta ax1 + bx r : + cx 3 + dx 4 = 0 a x 1 + b x + c x 3 + d x 4 = 0 Essa é reale se tra gli infiniti piani del fascio α R α(ax 1 + bx + cx 3 + dx 4 ) + β(a x 1 + b x + c x 3 + d x 4 ) = 0 ne esiste almeno uno che sia reale. Se P é un punto non reale, esiste una sola retta reale che lo contiene: é la retta congiungente P con il punto ad esso coniugato. Se π é un piano non reale, esso contiene una sola retta reale: tale retta scaturisce dall intersezione di π con il piano ad esso coniugato. Se r é una retta non reale, essa contiene al piú un punto reale: tale punto é l intersezione di r con la retta ad essa coniugata. Si noti che non é detto che una retta immaginaria contenga un punto reale. Infatti essa potrebbe essere sghemba con la propria coniugata e non avere con questa alcun punto di intersezione. Esercizio Quanti punti reali possiede la retta r : i = 0? ix y i + = x + y iz Svolg. La retta coniugata a r é data dalle equazioni r : ix y + i + = x + y + iz + i = 0. Verifichiamo se r e r sono complanari o sghembe: i 1 0 i 1 i i 0 i i 1 i + i quindi le due rette sono sghembe, non hanno punti in comune ed allora non contengono alcun punto reale.

68 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 65 Esercizio 6.1. Quanti punti reali possiede la retta r : (1 + i)x y i = iy 1 = 0? Svolg. La retta coniugata a r é data dalle equazioni r : ( i 1)x y +i = iy 1 = 0. Verifichiamo se r e r sono complanari o sghembe: 1 + i 1 0 i 0 i i 1 0 i 0 i 0 1 = 0 quindi le due rette sono complanari. Inoltre la matrice 1 + i 1 0 i 0 i i 1 0 i 0 i 0 1 ha rango 3, quindi le due rette hanno un punto in comune (i 4 piani che le individuano appartengono ad una stella), cioé la retta r possiede un punto reale. Esercizio Quanti punti reali possiede la retta r : x + y i = (1 + i)x + (1 + i)y 1 + i = 0? Svolg. La retta coniugata a r é data dalle equazioni r : x + y + i = (1 i)x + (1 i)y 1 i = 0. Verifichiamo se r e r sono complanari o sghembe: i 1 + i 1 + i i i 1 i 1 i 0 1 i quindi le due rette sono complanari. Inoltre la matrice i 1 + i 1 + i i i 1 i 1 i 0 1 i = 0 ha rango, quindi le due rette hanno infiniti punti in comune (i 4 piani che le individuano appartengono ad un fascio), cioé la retta r é tutta reale. Esercizio Quanti punti reali possiede la retta r : x iy i = ix + y + = 0?

69 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 66 Svolg. La retta coniugata a r é data dalle equazioni r : x + iy + i = ix + y + = 0. Verifichiamo se r e r sono complanari o sghembe: 1 i 0 i i 0 1 i 0 i i 0 = 0 quindi le due rette sono complanari. Inoltre la matrice 1 i 0 i i 0 1 i 0 i i 0 ha rango, quindi le due rette infiniti punti in comune (i 4 piani che le individuano appartengono ad un fascio), cioé la retta r é tutta reale. I parametri direttori di r sono (0, 0, 1) ed un suo punto é P = (0, 1, 0). Allora una sua rappresentazione reale é data da x = 0 y = 1 z = t ed in forma cartesiana: x = 0 y = 1. Esercizio Determinare la retta passante per i punti P = (1, 1 i, 0, i) e Q = (1, 1 + i, 0, i). Svolg. Poiché i due punti sono l uno il coniugato dell altro, la retta richiesta é certamente tutta reale. Sia (x 1, x, x 3, x 4 ) un generico punto della retta. La condizione di allineamento di tale punto con i punti P e Q é che la matrice x 1 x x 3 x i 0 i i 0 i abbia rango, cioé x 1 x x i i 0 = 0 x 3 = 0

70 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 67 x 1 x x i i i i L equazione cartesiana della retta é: = 0 ix 1 + ix + ix 4 = 0. x 3 = 0 x 1 x x 4 = 0 z = 0 x y 1 = 0.

71 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO Esercizi non svolti. Esercizio Si determinino i valori del parametro k in modo che i tre piani di equazioni x = 0, x + ky + z + 1 = 0, x + y + kz 1 = 0 appartengano alla stessa stella. Esercizio Dati i piani α : x + y z = 0 e β : x + y + z = 0 ed il punto P (0,, 1), scrivere l equazione del piano passante per P ed ortogonale ad α e β. Esercizio Scrivere l equazione del piano passante per P (0, 0, 6) che taglia il piano z = 0 secondo la retta x 3y 6 = z = 0. Esercizio Siano dati il punto P (1,, 1) e la retta x y+z 1 = x+y+z = 0. Calcolare la distanza tra P ed r. Esercizio Determinare l equazione della retta r passante per P (1, 1, ) e parallela ai piani 3x + y + z + 1 = 0 e 6x + 4y z + 3 = 0. Esercizio Si considerino le rette r : x = 1, y = t, z = t 1 e s : x y + = x + y + z 3 = 0. Verificare che r e s sono sghembe. Scrivere l equazione del piano contenente r e parallelo a s e quella del piano perpendicolare a r e passante per il punto (0,, 1). Esercizio Si considerino le rette r : x 3y+ = x+y+z+1 = 0 e s : x = t, y = 3+5t, z = t. Dimostrare che non sono complanari. Determinare le equazioni della retta passante per P (, 0, ) e complanare (separatamente ma contemporaneamente) con r e s. Esercizio Si determini il piano del fascio (x + y z) + k(x 4y + z 1) = 0 che sia perpendicolare al piano x = 1. Esercizio Determinare i parametri direttori di una qualsiasi retta perpendicolare al piano x y + z 1 = 0 e, tra tali rette, le equazioni cartesiane di quella passante per il punto (1,,1). Esercizio La retta r : x i = x iy + z = 0 é reale? Esercizio Si scriva l equazione del piano passante per i punti (0, 3, 5, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1). Esercizio Si scriva l equazione del piano passante per i punti (0,,, 0), (0, 0, 4, 0), (, 0, 0, 1).

72 CAPITOLO 6. RETTE E PIANI NELLO SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. 69 Esercizio Si considerino le rette r : x z + 1 = y = 0 e s : y z 1 = x y = 0. Si determinino le equazioni cartesiane e quelle parametriche della retta appartenente al piano y = z che sia incidente con r ed ortogonale a s. Esercizio Sia π il piano ortogonale alla retta r : x + y 4 = x z 4 = 0 e passante per q(0, 1, 1). Si determinino le equazioni cartesiane e parametriche della retta parallela a π, passante per P (1, 0, 1) ed incidente la retta t : x y = z = 0. Esercizio Date le rette r : x y + z = x + z 1 = 0 e s : x z + 1 = y +z 1 = 0 determinare: (i) le equazioni della retta passante per P (1,, 1) ed incidente entrambe le rette r e s; (ii) le equazioni della retta t incidente ortogonalmente entrambe le rette r e s; (iii) la minima distanza tra r e s. Esercizio Si considerino le rette r : x y = z 1 = 0 e s : x y + z 3 = y z = 0. Nel caso siano complanari si determini il piano che le contiene; nel caso siano sghembe determinare le equazioni dei piani paralleli a cui appartengono. Esercizio Si considerino la retta r : x 1 = y = z e la retta s passante per il punto P (1,, 0) e parametri direttori (1, 1, 1). Nel caso r e s siano complanari, determinare il piano che le contiene. Nel caso r e s siano sghembe, determinare la retta di minima distanza.

73 Capitolo 7 Le quadriche. 7.1 Definizione. Una quadrica é una superficie nello spazio, luogo dei punti P = (x, y, z) le cui coordinate soddisfano ad un equazione del tipo a 11 x + a y + a 33 z + a 44 + a 1 xy + a 13 xz + a 3 yz+ +a 14 x + a 4 y + a 34 z = 0. In coordinate omogenee l equazione di una quadrica é data da a 11 x 1 + a x + a 33 x 3 + a 44 x 4 + a 1 x 1 x + a 13 x 1 x 3 + a 3 x x 3 + +a 14 x 1 x 4 + a 4 x x 4 + a 34 x 3 x 4 = 0. Osserviamo immediatamente che se π : ax + by + cz + d = 0 e π : a x + b y + c z + d = 0 sono due piani, allora π π : (ax + by + cz + d) (a x + b y + c z + d ) = 0 é l equazione di una quadrica, che é detta ridotta nell unione dei due piani. Indichiamo con x 1 x X = x 3 x 4 il generico vettore delle coordinate omogenee e sia a 11 a 1 a 13 a 14 a A = 1 a a 3 a 4 a 13 a 3 a 33 a 34 a 14 a 4 a 34 a 44 70

74 CAPITOLO 7. LE QUADRICHE. 71 la matrice simmetrica formata dai coefficienti che compaiono nell equazione della quadrica. Allora l equazione puó essere riscritta in forma compatta come segeu: X T A X = 0. Si noti che ogni retta dello spazio incontra una quadrica in due punti, eccetto il caso in cui la retta appartenga completamente alla quadrica (nel qual caso i punti di incontro tra la retta e la quadrica sono infiniti, tutti quelli della retta). Analogamente a quanto detto per i punti di una curva algebrica nel piano affine o euclideo, un punto di una quadrica é detto doppio se una qualsiasi retta passante per esso ha una intersezione doppia con la quadrica nel punto stesso. Determiniamo una prima classificazione delle quadriche in base alla presenza di punti doppi: Teorema Sia Q : X T A X = 0 una quadrica. Essa contiene almeno un punto doppio se e solo se det(a) = 0. In particolare diciamo quadriche generali quelle che non presentano punti doppi (det(a) 0); diciamo quadriche specializzate quelle che presentano un solo punto doppio; diciamo quadriche riducibili quelle che presentano infiniti punti doppi. Concludiamo questa prima sezione osservando che l intersezione tra un piano π : ax + by + cz + d = 0 ed una quadrica Q : X T A X = 0 determina una curva nello spazio, piú precisamente una conica che giace sul piano π, la cui equazione si scrive ax + by + cz + d = 0 X T A X = 0. Tale conica é riducibile solo quando il piano π é tangente alla quadrica, oppure nel caso la quadrica sia ridotta nell unione di due piani. 7. Quadriche generali. Queste sono le quadriche prive di punti doppi. In presenza di una quadrica generale Q : X T A X = 0, si definisce una corrispondenza biunivoca tra l insieme di tutti i punti dello spazio e l insieme di tutti i piani dello spazio, tale che ad ogni punto P = (a 1, a, a 3, a 4 ) corrisponda il piano di equazione π : [ ] a1 a a 3 a 4 a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 13 a 3 a 33 a 34 a 14 a 4 a 34 a 44 x 1 x x 3 x 4 = 0.

75 CAPITOLO 7. LE QUADRICHE. 7 Il punto P é detto polo del piano π rispetto alla quadrica Q, il piano π é detto piano polare di P rispetto alla quadrica Q. In particolare, se P Q é un punto della quadrica, il suo piano polare, rispetto a Q, coincide col piano tangente in P alla quadrica. Fissiamo ora una quadrica Q : X T A X = 0 ed un putno P Q. Tramite la polaritá appena definita, é possibile costruire il piano tangente π in P alla quadrica. L intersezione tra Q e π genera una conica γ riducibile. Se γ é ridotta in due rette reali e distinte, il punto P é detto iperbolico. Se γ é ridotta in due rette reali e coincidenti, il punto P é detto parabolico. Se γ é ridotta in due rette immaginarie e coniugate, il punto P é detto ellittico. Una quadrica generale non possiede punti parabolici, inoltre vale il seguente: Teorema 7..1 Sia Q una quadrica generale. Se essa possiede un punto iperbolico (rispettivamente ellitico) allora ogni punto della quadrica é iperbolico (rispettivamente ellittico). Le quadriche generali a loro volta si suddividono in tre classi. Tale classificazione viene fatta in base allo studio della conica che scaturisce dall intersezione tra la quadrica ed il piano improprio x 4 = 0. Iperboloide. É una quadrica generale che interseca il piano improprio in una conica irriducibile e reale (si dice che il piano improprio e l iperboloide sono secanti l un l altro). Se i punti dell iperboloide sono tutti iperbolici, esso é detto iperboloide iperbolico, se i punti sono tutti ellittici esso é detto iperboloide ellittico. Teorema 7.. Un iperboloide é iperbolico se e solo se det(a) > 0, é ellittico se e solo se det(a) < 0. L iperboloide possiede tutte le sezioni piane, cioé si possono generare sia iperboli che parabole che ellissi, intersecando un iperboloide con i piani dello spazio. Paraboloide. É una quadrica generale che interseca il piano improprio in una conica riducibile (si dice che il piano improprio é tangente al paraboloide). Teorema 7..3 Una quadrica generale é tangente al piano improprio (quindi é un paraboloide) se e solo se il complemento algebrico A 44, dell elemento a 44 della matrice A, é nullo. Se i punti del paraboloide sono tutti iperbolici, esso é detto paraboloide iperbolico, se i punti sono tutti ellittici esso é detto paraboloide ellittico. Teorema 7..4 Un paraboloide é iperbolico se e solo se det(a) > 0, é ellittico se e solo se det(a) < 0.

76 CAPITOLO 7. LE QUADRICHE. 73 Teorema 7..5 Un paraboloide iperbolico possiede iperboli o parabole come sezioni piane, cioé si possono generare sia iperboli che parabole, intersecando un paraboloide iperbolico con i piani dello spazio. Teorema 7..6 Un paraboloide ellittico possiede ellissi o parabole come sezioni piane, cioé si possono generare sia ellissi che parabole, intersecando un paraboloide ellittico con i piani dello spazio. Ellissoide. É una quadrica generale che interseca il piano improprio in una conica irriducibile immaginaria (si dice che il piano improprio é esterno all ellissoide). I punti di un ellissoide sono tutti ellittici. Teorema 7..7 Un ellissoide possiede punti tutti reali se e solo se det(a) < 0, ed é detto ellissodie reale, in caso contrario é detto ellissoide immaginario. Teorema 7..8 Un ellissodie possiede solamente ellissi come sezioni piane, cioé si possono generare solamente ellissi, intersecando un ellissoide con i piani dello spazio. Esercizio 7..1 Classificare la quadrica di equazione x + y z + xy + x 3 = 0. Svolg. La matrice associata alla quadrica é A = Otteniamo che det(a) > 0 con A 44 0, dove A 44 é il complemento algebrico dell elemento a 44 della matrice A. Inoltre la conica impropria della quadrica é data da: x 1 + x x 3 + x 1 x = 0 x 4 = 0 ed é a punti reali. Allora la superficie é un iperboloide a punti iperbolici. Esercizio 7.. Classificare la quadrica di equazione x + y + z x y + 1 = 0.

77 CAPITOLO 7. LE QUADRICHE. 74 Svolg. La matrice associata alla quadrica é A = Otteniamo che det(a) < 0 con A Inoltre la conica impropria della quadrica é data da: x 1 + x + x 3 = 0 x 4 = 0 ed é a punti immaginari. Allora la superficie é un ellissoide a punti reali. Esercizio 7..3 Classificare la quadrica di equazione x +y +xy+xz+yz x+ = 0. Svolg. La matrice associata alla quadrica é A = Otteniamo che det(a) > 0 con A 44 = 0. Allora la superficie é un paraboloide a punti iperbolici. 7.3 Quadriche specializzate. Sono le quadriche con un solo punto doppio, il quale é detto vertice. Per quanto riguarda i punti delle superfici specializzate, vale il seguente: Teorema Se Q é una quadrica specializzata, allora tutti i punti della superficie Q sono parabolici. Anche le quadriche specializzate si suddividono in sottoclassi, e tale classificazione si riferisce alla conica impropria della quadrica, cioé la conica che scaturisce con l intersezione col piano improprio. Cono.

78 CAPITOLO 7. LE QUADRICHE. 75 Il cono é la quadrica specializzata la cui conica impropria é irriducibile (il cono ed il piano improprio sono secanti). Il vertice V del cono é un punto proprio e le sue coordinate (x 1, x, x 3, x 4 ) sono la soluzione del sistema lineare a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 13 a 3 a 33 a 34 a 14 a 4 a 34 a 44 x 1 x x 3 x 4 = 0. Si riconosce che la superficie é un cono utilizzando il seguente risultato: Teorema 7.3. Sia A la matrice associata alla quadrica Q. La superficie é un cono se e solo se det(a) = 0, rango(a) = 3 e A Un cono possiede tutte le sezioni piane, cioé si possono generare sia iperboli che parabole che ellissi, intersecando un cono con i piani dello spazio. Inoltre tutti i piani tangenti alla superficie di un cono devono contenerne il vertice.

79 CAPITOLO 7. LE QUADRICHE. 76 Cilindro. Il cilindro é la quadrica specializzata la cui conica impropria é riducibile (il cilindro ed il piano improprio sono tangenti). Il vertice V del cilindro é un punto improprio e le sue coordinate (x 1, x, x 3, 0) sono la soluzione del sistema lineare a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 13 a 3 a 33 a 34 a 14 a 4 a 34 a 44 x 1 x x 3 0 = 0. Si riconosce che la superficie é un cilindro utilizzando il seguente risultato: Teorema Sia A la matrice associata alla quadrica Q. La superficie é un cilindro se e solo se det(a) = 0, rango(a) = 3 e A 44 = 0. Ogni cilindro possiede un solo tipo di sezione piana indipendentemente dal piano col quale si effettua l intersezione. Cioé, fissato il cilindro Q, si possono generare solo iperboli o parabole o ellissi, intersecando il cilindro con i piani dello spazio. In particolare, poiché il piano improprio é tangente al cilindro, la conica impropria ridotta dovrá rispettare il seguente prospetto: Conica impropria Generica sezione del cilindro rette reali e distinte Iperbole rette reali e coincidenti Parabola rette immaginarie coniugate Ellisse Inoltre tutti i piani tangenti alla superficie di un cilindro devono contenerne il vertice. Esercizio Classificare la quadrica di equazione x +y +xy +yz x+y +1 = 0. Svolg. La matrice associata alla quadrica é A = Otteniamo che det(a) = 0 con A La superficie é un cono di vertice X = (x 1, x, x 3, x 4 ) tale che AX = 0, da cui x 1 + x x 4 = 0 x 1 + x + x 3 + x 4 = 0 x = 0 x 1 + x + x 4 = 0 e quindi X = (1, 0, 3, 1).

80 CAPITOLO 7. LE QUADRICHE. 77 Esercizio 7.3. Classificare la quadrica di equazione x + y + xy x + y + 1 = 0. Svolg. La matrice associata alla quadrica é A = Otteniamo che det(a) = 0 con A 44 = 0 e rango 3. La superficie é un cilindro di vertice X = (x 1, x, x 3, x 4 ) tale che AX = 0, da cui x1 + x = 0 x 1 + x = 0 e quindi X = (0, 0, 1, 0). Inoltre la conica impropria della quadrica é data da: x 1 + x + x 1 x = 0 x 4 = 0 (x1 + x ) = 0 x 4 = 0 cioé sono due rette reali e coincidenti, quindi la conica generatrice del cilindro é una parabola. 7.4 Quadriche riducibili. Sono le quadriche di equazione tali che a 11 x + a y + a 33 z + a 44 + a 1 xy + a 13 xz + a 3 yz+ +a 14 x + a 4 y + a 34 z = 0 a 11 x + a y + a 33 z + a 44 + a 1 xy + a 13 xz + a 3 yz+ +a 14 x + a 4 y + a 34 z = (ax + by + cz + d) (a x + b y + c z + d ) cioé sono unione di due piani π e π di equazioni: π : ax + by + cz + d = 0 π : a x + b y + c z + d = 0.

81 CAPITOLO 7. LE QUADRICHE. 78 Tali quadriche hanno infiniti punti doppi, sono i punti della retta comune ai due piani π e π. In particolare si possono verificare i seguenti 3 casi: i) i due piani sono distinti ed incidenti, ed allora det(a) = 0, rango(a) =, vi sono 1 punti doppi propri. ii) i due piani sono distinti e paralleli, ed allora det(a) = 0, rango(a) =, vi sono 1 punti doppi impropri. iii) i due piani sono coincidenti, ed allora det(a) = 0, rango(a) = 1, vi sono punti doppi propri. Aggiungiamo come caso molto particolare quello in cui la quadrica ha equazione x 4 = 0, cioé vi sono punti doppi impropri. Consideriamo π : a x + b y + c z + d = 0 un qualsiasi altro piano dello spazio. L intersezione della quadrica riducibile con π determina una conica ridotta nelle due rette: r 1 : ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 r : a x + b y + c z + d = 0 a x + b y + c z + d = Esercizi non svolti. Esercizio Classificare la seguente quadrica x y + z + 6yz 4xz x 3 = 0 e determinare la conica intersezione con il piano z = 1. Esercizio 7.5. Classificare la quadrica x + y z + xy x y = 0 e determinarne gli eventuali punti doppi. Esercizio Classificare la quadrica x +y z +xy x y+1 = 0 e determinarne gli eventuali punti doppi. Esercizio Classificare la quadrica x y + z + xz x 4y z 3 = 0, determinarne gli eventuali punti doppi e la conica all infinito. Esercizio Classificare la quadrica x + y + z + xy x 3 = 0 ed i suoi punti. Esercizio Classificare la quadrica xy + yz + xz x + 1 = 0 ed i suoi punti. Esercizio Classificare la quadrica y z + 4xy 4xz 6x + 4y + z + 8 = 0 ed i suoi punti. Esercizio Determinare la conica intersezione tra la quadrica x + y + z + xy x = 0 ed il piano x + y z = 0; ripetere l esercizio nel caso in cui il piano sia x = 0.

82 CAPITOLO 7. LE QUADRICHE. 79 Esercizio Determinare la conica intersezione tra la quadrica x 3y 6z = 0 ed il piano x = 0; ripetere l esercizio nel caso il piano sia x = 3z + 1. Esercizio Classificare la quadrica x + xy + z = 0 e determinare la conica intersezione con il piano 4x + y + z = 0. Esercizio Classificare la quadrica x y z intersezione con i piani α : x = z 1 e β : x = 1. = 1 e determinare le coniche Esercizio Classificare la quadrica x z 1 = 0 e determinare la conica intersezione col piano z = 1. Esercizio Classificare la quadrica 4x + y + z = 0 e determinare la conica intersezione col piano y + z = 0. Esercizio Classificare la quadrica x + y xz + z 1 = 0 e determinare la conica intersezione col piano x z = 0. Esercizio Classificare la quadrica x + y + xy = 0 e determinare le coniche intersezione coi piani x = 1 e z = 0. Esercizio Classificare la quadrica x + y + 3z + 4x y + = 0 e determinare le coniche intersezione coi piani x = 0 e y = 0. Esercizio Classificare la quadrica x z + y = 0 e determinare la conica intersezione col piano x z = 0. Esercizio Classificare la quadrica x y + z intersezione coi piani x y = 1 e z = 1. = 1 e determinare le coniche

83 Capitolo 8 La sfera. 8.1 Definizione. La sfera di centro C = (α, β, γ) e raggio r é una superficie, luogo dei punti P = (x, y, z) della spazio la cui distanza da C é pari a r. Da tale definizione ricaviamo che la sua equazione é: (x α) + (y β) + (z γ) = r da cui dove (x α) + (y β) + (z γ) = r x + y + z + ax + by + cz + d = 0 C = (α, β, γ) = ( a, b, c ) r = 1 a + b + c 4d > 0. Esempio Determinare centro e raggio della sfera x +y +z 3x+5y z +1 = 0. Svolg. Il centro della sfera data é: C = ( 3, 5, 1 ) ed il raggio: r = = L equazione della sfera si puó infatti scrivere anche: 31. (x 3 ) + (y + 5 ) + (z 1 ) =

84 CAPITOLO 8. LA SFERA Sezioni piane. Siano S : x + y + z + ax + by + cz + d = 0 una sfera di centro C e raggio r e π : ex + fy + gz + h = 0 un piano. Indichiamo con δ = δ(c, π) la distanza tra il centro della sfera ed il piano π. Se δ > r allora il piano é esterno alla sfera. La loro intersezione genera una circonferenza non riducibile ed immaginaria. Se δ = r allora il piano é tangente alla sfera. La loro intersezione genera una circonferenza ridotta in due rette immaginarie coniugate. Se δ < r allora il piano é secante la sfera. La loro intersezione genera una circoferenza reale, le cui equazioni sono date dal sistema: S : x + y + z + ax + by + cz + d = 0 π : ex + fy + gz + h = 0. Il centro C della circonferenza é dato dall intersezione s π, dove s é la retta passante per il centro della sfera ed ortogonale a π; il raggio della circonferenza é r = r δ. Poiché la sfera é un particolare ellissoide, possiamo utilizzare la polaritá definita per le quadriche irriducibili per calcolare un qualsiasi piano tangente ad una sfera in un suo punto. 8.3 Fascio di sfere. Siano S : x + y + z + ax + by + cz + d = 0 una sfera di raggio r e centro C e S : x + y + z + a x + b y + c z + d = 0 una di raggio r e centro C. Indichiamo con δ = δ(c, C ) la distanza tra i due centri. Supponiamo che r r < δ < r + r allora le due sfere si intersecano in una circonferenza reale. Tale circonferenza giace su di un piano la cui equazione si ricava sottraendo membro a membro le equazioni delle due sfere: x + y + z + ax + by + cz + d = 0 cioé x + y + z + a x + b y + c z + d = 0. π : (a a )x + (b b )y + (c c )z + (d d ) = 0. Da cui otteniamo l equazione della circonferenza che le due sfere hanno in comune: x γ : + y + z + ax + by + cz + d = 0 (a a )x + (b b )y + (c c )z + (d d ) = 0.

85 CAPITOLO 8. LA SFERA. 8 Definiamo fascio di sfere secanti in γ e di piano radicale π, tutte le sfere che si ottengono, al variare del parametro reale λ, dall equazione (x + y + z + ax + by + cz + d) + λ(x + y + z + a x + b y + c z + d ) = 0 o equivalentemente dall equazione (x + y + z + ax + by + cz + d) + λ((a a )x + (b b )y + (c c )z + (d d )) = 0. Se P 1 é un punto non appartenente a π allora esiste una ed una sola sfera appartenente al fascio e passante per P 1. Supponiamo ora che r r = δ allora le due sfere sono tangenti internamente l un l altra. Viceversa, se r + r = δ allora le due sfere sono tengenti esternamente. In entrambi i casi le due sfere si intersecano in una circonferenza ridotta in due retta immaginarie coniugate, con un unico punto reale P 0, che é quello di tangenza tra le due sfere. Indichiamo con π : ex + fy + gz + h = 0 il piano tangente ad entrambe le sfere S e S in P 0. Definiamo fascio di sfere tangenti in P 0 e di piano radicale π, tutte le sfere che si ottengono, al variare del parametro reale λ, dall equazione (x + y + z + ax + by + cz + d) + λ(x + y + z + a x + b y + c z + d ) = 0 o equivalentemente dall equazione (x + y + z + ax + by + cz + d) + λ(ex + fy + gz + h) = 0. Anche in questo caso, se P 1 é un punto non appartenente a π allora esiste una ed una sola sfera appartenente al fascio e passante per P 1. Esempio Determinare il piano tangente alla sfera x +y +z x+y z 1 = 0 nel punto P = (1, 1, 1). Svolg. Il piano tangente puó essere visto come il piano polare del punto P rispetto alla quadrica (in questo caso la sfera) data: [ ] x 1 x x 3 x 4 = 0

86 CAPITOLO 8. LA SFERA. 83 che si riduce a x x 4 = 0, cioé y 1 = 0. Analogamente possiamo seguire il seguente procedimento: Il centro della sfera data é C = (1, 1, 1), quindi il vettore CP ha componenti proporzionali alla terna (0, 1, 0). Il piano tangente deve essere ortogonale a tale vettore quindi la sua equazione é: (0)(x 1) + (1)(y 1) + (0)(z 1) = 0 cioé y 1 = 0. Esempio 8.3. Determinare la sfera contenente la circonferenza di equazioni ed il punto P = (1, 1, 1). γ : S π : x + y + z x + z = y + z = 0 Svolg. Per prima cosa verifichiamo che la circonferenza γ é reale; infatti il centro di S é C = (1, 0, 1), il suo raggio é, e la distanza δ(c, π) = 1 é minore del raggio di S. Costruiamo il fascio di sfere contenenti la circonferenza γ: F γ : x + y + z x + z + h(y + z) = 0 ed imponiamo il passaggio di tali sfere per il punto P : otteniamo h = 3. Quindi la sfera richiesta é ottenuta dal fascio per tale valore di h: x + y + z 4x + z 3y = 0. Esempio Determinare la sfera tangente al piano π : P = (1, 1, 1) e passante per il punto Q = (, 1, 0). Svolg. La retta ortogonale a π e passante per P ha equazioni: x = t + 1 y = t + 1. z = t + 1 x + y z 1 = 0 nel punto Su tale retta si trovano i centri di ogni sfera che sia tangente a π in P. Per esempio scegliamo t = 1, il centro della sfera S 1 ottenuta é C = (,, 0) ed il suo raggio é la distanza δ(p, C) = 3. La sfera ha equazione (x ) + (y ) + z = 3 cioé x + y + z 4x 4y + 5 = 0. Costruiamo il fascio di sfere tangenti a π in P : F : x + y + z 4x 4y h(x + y z 1) = 0. Imponiamo il passaggio per il punto Q, sostituendo le sue coordinate nell equazione del fascio F : h = 1. Quindi la sfera richiesta ha equazione x + y + z 3x 3y z + 4 = 0.

87 CAPITOLO 8. LA SFERA Esercizi non svolti. Esercizio Determinare centro e raggio della sfere 3x + 3y + 3z x = 0, x + y + z 3y + z + = 0. Esercizio 8.4. Determinare centro e raggio della circonferenza x +y +z = 3x 4y 5 = 0. Esercizio Determinare il piano tangente alla sfera (x ) + y + z = 4 nel suo punto (0, 0, 0). Esercizio Determinare la retta tangente alla circonferenza (x ) + y + z 4 = x + y z = 0 nel suo punto (0, 0, 0). Esercizio Determinare i piani tangenti alla sfera x +y +z x y 6z +8 = 0 e contenenti la retta x + x 1 = z = 0. Esercizio Determinare il piano comune alle due sfere (x 1) + y + z = 4, (x 3) + y + z = 1. Esercizio Determinare la sfera passante per il punto (0, 0, 0) e per la circonferenza x + y + z x 3 = 4x 11 = 0. Esercizio Determinare la sfera tangente al piano x y + z = 0 nel punto (0, 0, 0) e passante per il punto (1,, 0). Esercizio Determinare la circonferenza per i punti ( 1, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, 1). Esercizio Determinare centro e raggio della circonferenza passante per i punti A(1,, 1), B(3, 1, ) e tangente in B alla retta x + z 5 = y z + 5 = 0.

88 Capitolo 9 Cenni sulle superfici di rotazione. 9.1 Definizione e calcolo. Siano r una retta e γ una curva nello spazio. Diciamo superficie di rotazione di asse r e meridiana γ, quella superficie che otteniamo facendo ruotare la curva γ intorno all asse r. Essa é quindi l unione di infinite circonferenze generate, su piani perpendicolari a r, dalla rotazione degli infiniti punti di γ intorno a r. Piú precisamente fissiamo un qualsiasi punto P di γ. Determiniamo il piano π passante per P ed ortogonale all asse r. Quindi calcoliamo il punto C = π r e la distanza δ = δ(c, P ). Sia ora S la sfera di centro C e raggio δ. Dall intersezione S π si ottiene esattamente la circonferenza che individua la rotazione del punto P intorno all asse r. Al variare di tutti i punti P su γ si ricava l intera superficie di rotazione. Consideriamo i seguenti casi particolari. Supponiamo che la curva meridiana γ sia anch essa una retta: i) se r e γ sono complanari e incidenti, la superficie di rotazione é un cono; ii) se r e γ sono complanari e parallele, la superficie di rotazione é un cilindro di sezione circolare; iii) se r e γ sono sghembe, la superficie di rotazione é un iperboloide. 9. Esercizi svolti. Esercizio 9..1 Determinare la superficie ottenuta dalla rotazione della curva meridiana r : x y = z y = 0 intorno all asse di rotazione s : x = y = 0 (asse Z). 85

89 CAPITOLO 9. CENNI SULLE SUPERFICI DI ROTAZIONE. 86 Svolg. In forma parametrica r é data dalle equazioni x = t y = t z = t. Il generico punto di r in coordinate parametriche é P t = (t, t, t). Il piano passante per P t ed ortogonale all asse di rotazione s é π t : 0(x t) + 0(y t) + 1(z t) = 0 z t = 0. La circonferenza γ t che giace su π t, di centro C t = π t s e raggio δ(c t, P t ) é parte della superficie richiesta. Al variare del parametro t otteniamo tutte le circonferenze γ t, la cui unione costituisce la superficie di rotazione. C t = π s = (0, 0, t) r t = δ(c t, P t ) = t. La curva γ t si ottiene come intersezione di π t con la sfera di centro C t e raggio r t : γ t = x + y + (z t) = t z = t. Eliminando il parametro t otteniamo la superficie: x + y z = 0 che é un cono di vertice X = (0, 0, 0, 1). Allora l asse di rotazione e la retta meridiana sono incidenti. Esercizio 9.. Determinare la superficie ottenuta dalla rotazione della curva meridiana r : x z = y = 0 intorno all asse di rotazione s : y 1 = z 3 = 0. Svolg. In forma parametrica r é data dalle equazioni x = t y = z = t. Il generico punto di r in coordinate parametriche é P t = (t,, t). Il piano passante per P t ed ortogonale all asse di rotazione s é π t : x t = 0.

90 CAPITOLO 9. CENNI SULLE SUPERFICI DI ROTAZIONE. 87 La circonferenza γ t che giace su π t, di centro C t = π t s e raggio δ(c t, P t ) é parte della superficie richiesta. Al variare del parametro t otteniamo tutte le circonferenze γ t, la cui unione costituisce la superficie di rotazione. C t = π s = (t, 1, 3) r t = δ(c t, P t ) = t 6t La curva γ t si ottiene come intersezione di π t con la sfera di centro C t e raggio r t : (x t) γ t = + (y 1) + (z 3) = t 6t x = t Eliminando il parametro t otteniamo la superficie: x y z 6x + y + 6z = 0 che é un iperboloide. Allora l asse di rotazione e la retta meridiana sono sghembe. Esercizio 9..3 Determinare la superficie ottenuta dalla rotazione della curva meridiana c : z = y x = 0 intorno all asse di rotazione s : y = z = 0 (asse X). Svolg. In forma parametrica c é data dalle equazioni x = t y = t. z = 0 Il generico punto di c in coordinate parametriche é P t = (t, t, 0). Il piano passante per P t ed ortogonale all asse di rotazione s é π t : x t = 0. La circonferenza γ t che giace su π t, di centro C t = π t s e raggio δ(c t, P t ) é parte della superficie richiesta. Al variare del parametro t otteniamo tutte le circonferenze γ t, la cui unione costituisce la superficie di rotazione. C t = π s = (t, 0, 0) r t = δ(c t, P t ) = t 4 = t. La curva γ t si ottiene come intersezione di π t con la sfera di centro C t e raggio r t : (x t) γ t = + y + z = t 4. x = t Eliminando il parametro t otteniamo la superficie: y + z x 4 = 0.

91 Capitolo 10 Figure e disegni relativi ai capitoli precedenti. 88