GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 2012

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1 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 0 N.B.: Gli esercizi e bis sono ALTERNATIVI l uno all altro Esercizio. (9 punti) Sia P :(0, /)! R la curva piana definita dalle equazioni parametriche P(t) = 4 ( cos(t) cos(t)), ( sin(t) sin(t)). 4 () Si calcoli la curvatura di P. () Si trovi l evoluta di P. () Si mostri che l angolo formato dal versore tangente con la direzione dell asse x è t echeilpuntoq =(cos(t), sin(t)) appartiene alla retta tangente a P in P(t). Esercizio.bis (9 punti) Sia S R la sfera centrata nell origine di raggio unitario. Si consideri l applicazione di erenziabile F : S! R così definita: F (x, y, z) =z e si verifichi che essa è sommersiva tranne che nei poli di S. Esercizio. ( punti) Sia P :(0, ) (0, )! R la superficie elementare definita dalle equazioni P(u, v) =(sinu +)cosv, (sin u +)sinv, u) () Si trovi la natura dei punti di S = P((0, ) (0, )) al variare dei parametri u e v. () Si trovino le direzioni asintotiche e le curvature principali nel punto P( /, ). () Le curve di equazioni u = / eu = sono geodetiche? Per ulteriori punti 4) Si calcolino i simboli di Christo el e di P. Esercizio. ( punti) Sia S R una superficie e p S un suo punto. Sia : J! S una geodetica, parametrizzata con parametro naturale, tale che (0) = p. () Si provi che, se la curvatura apple di in p non è nulla e è u n a c u r v a piana, allora il versore tangente a in p, t (0) è un autovettore dell operatore di Weingarten. () Se ne deduca che se ogni geodetica di S è u n a c u r v a p i a n a a l l o r a S è contenuta in un piano o in una sfera.

2 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 0 TRACCIA DI SOLUZIONE Esercizio. Sia P :(0, /) R la curva piana definita dalle equazioni parametriche P(t) = 4 ( cos(t) cos(t)), 4 ( sin(t) sin(t)). () Si calcoli la curvatura di P. () Si trovi l evoluta di P. () Si mostri che l angolo formato dal versore tangente con la direzione dell asse x è t echeilpuntoq =(cos(t), sin(t)) appartiene alla retta tangente a P in P(t). Il vettore tangente a P è ( sin(t)+sin(t), cos(t) cos(t)). Osservando che 4 sin(t)+sin(t + t) = sin(t)+sin(t)cos (t)+sin(t)cos(t) e, in modo analogo = sin(t)( +cos (t)+cos(t)) = sin(t)cos(t) cos(t) cos(t) =sin(t)sin(t) troviamo che Ṗ = sin(t)(cos(t), sin(t)), e quindi t =(cos(t), sin(t)) e n = ( sin(t)), cos(t)). Notiamo che da questa espressione del versore tangente risulta evidente che l angolo formato dal versore tangente con l asse x è t. Ora possiamo calcolare la curvatura con le formule usuali, oppure osservare che, posto =t, e ricordando che si ha Avendo trovato t = dp d = dp dt dt d = Ṗ = Ṗ = 4 sint. e n possiamo scrivere l equazione dell evoluta: C = P + n. Esercizio. Sia P :(0, ) (0, ) R la superficie elementare definita dalle equazioni P(u, v) =(sinu +)cosv, (sin u +)sinv, u)

3 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 0 TRACCIA DI SOLUZIONE () Si trovi la natura dei punti di S = P((0, ) (0, )) al variare dei parametri u e v. La matrice B è P u ^ P v sin(u)(sin(u)+) 0 0 (sin(u)+) e quindi i punti sono ellittici se 0 < u <, parabolici se u =, iperbolici se <u<. () Si trovino le direzioni asintotiche e le curvature principali nel punto P( /, ). Il punto è ellittico, e quindi non esistono direzioni asintotiche. La matrice X nel punto è 0 0, equindilecurvatureprincipalisono,/. () Le curve di equazioni u = / eu = sono geodetiche? Le due curve sono paralleli della superficie di rotazione. I paralleli sono geodetiche se solo se f 0 (u 0 ) = 0, quindi la prima curva è una geodetica, mentre la seconda non lo è. (4) Si calcolino i simboli di Christo el e di P. Si utilizzino le formule.7.4. Esercizio. ( punti) Sia S R una superficie e p S un suo punto. Sia : J! S una geodetica, parametrizzata con parametro naturale, tale che (0) = p. () Si provi che, se la curvatura di in p non è nulla e è u n a c u r v a piana, allora il versore tangente a in p, t (0) è un autovettore dell operatore di Weingarten. Poichè è una geodetica, il suo versore normale n è diretto come il versore normale alla superficie N. In particolare kt = n 0 = ±Ṅ( (s)) = L(t ). () Se ne deduca che se ogni geodetica di S è u n a c u r v a p i a n a a l l o r a S è contenuta in un piano o in una sfera. Basta osservare che, se esistono almeno tre direzioni diverse in cui la curvatura normale si annulla, allora il punto è piatto, mentre, se esistono tre direzioni diverse che sono principali a curvatura normale non nulla, allora il punto è umbilico, ed utilizzare la Proposizione.4.5.,

4 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - FEBBRAIO 0 N.B.: Gli esercizi e bis sono ALTERNATIVI l uno all altro Esercizio. (0 punti) Sia P : R! R la curva definita dalle equazioni parametriche P(t) =( cosh(t),t+, sinh(t)). () Si mostri che P è un elica generalizzata. () Si trovi l evoluta della proiezione di P sul piano z =0. Esercizio.bis (0 punti) Si consideri l applicazione di erenziabile F : RP! RP così definita: F ([x 0 : x : x ]) = ([x 0 : x : x : x 0 x ]). () Si stabilisca se F è i m m e r s i v a n e l p u n t o [ : : ]. () Si mostri che F non è un embedding. Esercizio. (4 punti) Sia P : R! R la superficie elementare definita dalle equazioni P(u, v) =(u v, uv, u + v) () Si trovi la natura dei punti della superficie al variare di u e v. () Si trovino le curvature principali e le direzioni principali nel punto Q =(0, 0, 0). () Si trovino le coniche di Dupin e le direzioni asintotiche nel punto Q = (0, 0, 0). (4) Si stabilisca se le linee coordinate sono linee asintotiche e/o geodetiche. (5) Si mostri che la superficie è rigata e si stabilisca se è sviluppabile. Esercizio. ( punti) Sia p S un punto iperbolico di una superficie. () Si provi che le direzioni principali in p bisecano gli angoli formati dalle direzioni asintotiche in p. () Si provi che la curvatura media in p è nulla se e solo se le direzioni asintotiche sono ortogonali.

5 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - FEBBRAIO 0 TRACCIA DI SOLUZIONE N.B.: Gli esercizi e bis sono ALTERNATIVI l uno all altro Esercizio. (0 punti) Sia P : R R la curva definita dalle equazioni parametriche P(t) =( cosh(t),t+, sinh(t)). () Si mostri che P è un elica generalizzata. () Si trovi l evoluta della proiezione di P sul piano z =0. 5 sinh(t) Il vettore tangente a P è 5 cosh(t), cosh(t),, e quindi forma un angolo costante con il versore (0, 0, ). Ciò prova che P è un elica generalizzata. La proiezione di P sul piano z =0èlacurvapiana (t) =( cosh(t),t+, 0). Con semplici calcoli si trova che la sua curvatura è cosh, e la sua evoluta è (t) C(t) =( cosh(t)+, cosh(t)sinh(t)+t +, 0). Esercizio.bis (0 punti) Si consideri l applicazione di erenziabile F : RP RP così definita: F ([x 0 : x : x ]) = ([x 0 : x : x : x 0 x ]). () Si stabilisca se F è i m m e r s i v a n e l p u n t o [ : : ]. () Si mostri che F non è un embedding. Esercizio. (4 punti) Sia P : R R la superficie elementare definita dalle equazioni P(u, v) =(u v, uv, u + v) () Si trovi la natura dei punti della superficie al variare di u e v. () Si trovino le curvature principali e le direzioni principali nel punto Q =(0, 0, 0). () Si trovino le coniche di Dupin e le direzioni asintotiche nel punto Q = (0, 0, 0). (4) Si stabilisca se le linee coordinate sono linee asintotiche e/o geodetiche. (5) Si mostri che la superficie è rigata e si stabilisca se è sviluppabile. La matrice B è d a t a d a 0 6 P u P v 6 0 pertanto tutti i punti della superficie sono iperbolici, e le direzioni asintotiche sono le direzioni delle linee coordinate.,

6 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - FEBBRAIO 0 TRACCIA DI SOLUZIONE La matrice X nel punto richiesto è data 0 0, pertanto le curvature principali so eledirezioniprincipali(sullabase P u, P v )sono[, ] e [, ] e le coniche di Dupin sono =. Le linee coordinate sono rette, e quindi geodetiche. La superficie si può scrivere come P(u, v) =(u,0, u)+v(, u, ), e quindi è rigata. Poiché i suoi punti sono iperbolici, essa non è sviluppabile. Esercizio. ( punti) Sia p S un punto iperbolico di una superficie. () Si provi che le direzioni principali in p bisecano gli angoli formati dalle direzioni asintotiche in p. () Si provi che la curvatura media in p è n u l l a s e e s o l o s e l e d i r e z i o n i asintotiche sono ortogonali. Si consideri in T p S il sistema di riferimento individuato dalle direzioni principali e, e, e si scriva in generico versore tangente come e # = e cos +e sin. La curvatura normale nelle direzione di e # è d a t a d a II(e #, e # )=k cos + k sin k esiannullaquindipertan =, mostrando la prima parte. k La curvatura media è nulla se e solo se k = k, e questo accade se e solo se tan =, cioè se e solo se = /4+k.

7 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 0 Svolgere al più tre esercizi tra i seguenti Esercizio. (8 punti) Si verifichi che F : S! RP data da ( [ y : x] y 6= F (x, y) = [x :+y] y 6= è ben definita ed è un di eomorfismo locale. Esercizio. (0 punti) Sia P : R! R l elica circolare definita dalle equazioni parametriche p P(s) = (cos(s), sin(s),s). esia la curva tracciata dagli estremi dei versori tangenti a P. Si calcoli la curvatura di. Esercizio. ( punti) Sia P : R + (0, )! R la superficie elementare definita dalle equazioni P(u, v) = (sinh(u)cos(v), sinh(u)sin(v),v) () Si determini la natura dei punti della superficie. () Si determinino le curvature e le direzioni principali della superficie nel punto P(0, ). () La curva (t) = (sinh(t)cos(t), sinh(t)sin(t), t) è una linea di curvatura? (4) E una geodetica? Esercizio 4. (4 punti) Siano P :! R e Q : 0! R due superfici elementari, tali che P( ) \ Q( 0 )siailsostengodiunacurvaregolareliscia. Si supponga inoltre che l angolo tra i versori normali N P, N Q sia costante e non nullo lungo.siproviche è una linea di curvatura per P se e solo se lo è per Q.

8 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 0 TRACCIA DI SOLUZIONE Esercizio. (8 punti) Si verifichi che F : S! RP data da ( [ y : x] y 6= F (x, y) = [x :+y] y 6= è b e n d e fi n i t a e d è u n d i eomorfismo locale. Supponiamo che y 6=,. F (x, y) =[ y : x] =[x :+y] se e solo se x +y = x +y, y = x, quindi F è ben definita. Consideriamo su S l aperto U N = S \ (0, ), con la proiezione stereografica. L immagine di questo spero è contenuta nell aperto V 0 di RP dei punti di RP la cui prima coordinata è diversa da zero. L espressione locale di F in tali carte è t t 7! +t, apple t 7! +t +t : t 7! t. +t Analoga è la verifica per l altra espressione locale di F. Esercizio. (0 punti) Sia P : R! R l elica circolare definita dalle equazioni parametriche p P(s) = (cos(s), sin(s),s). esia la curva tracciata dagli estremi dei versori tangenti a P. Si calcoli la curvatura di. Osservando che P ha il parametro naturale curvatura e torsione di P si calcolano facilmente (Cfr. Esempio..5) come p p a apple = a + b =, = b a + b =. Il versore tangente di P è t = p ( sin(s), cos(s), ), il versore normale è n =( cos(s), sin(s), 0) e il versore binormale è b = p (sin(s), cos(s), ). La curva Q da considerare è Q = P + t, quindi possiamo calcolare Q = t + applen Q = applen apple t + apple b equindi Q = p +apple = r

9 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 0 TRACCIA DI SOLUZIONE p Q ^ Q = apple t + apple n +(apple + apple )b = 4 t n + p 4 b r Q ^ Q = r 8 =. da cui si ricava apple Q =. Esercizio. ( punti) Sia P : R + (0, )! R la superficie elementare definita dalle equazioni P(u, v) =(sinh(u)cos(v), sinh(u)sin(v),v) () Si determini la natura dei punti della superficie. () Si determinino le curvature e le direzioni principali della superficie nel punto P(0, ). () La curva (t) = (sinh(t)cos(t), sinh(t)sin(t),t)èunalineadicurvatura? (4) E una geodetica? () Si determini la natura dei punti della superficie. La matrice B è apple 0 0 equindituttiipuntisonoiperbolici. () Si determinino le curvature e le direzioni principali della superficie nel punto P(0, ). La matrice X nel punto è apple 0 0 equindiledirezioniprincipalisono[, ] e [, ]. () La curva (t) = (sinh(t)cos(t), sinh(t)sin(t), t) è una linea di curvatura? Il vettore tangente a = P(t, t) è[, ]. La matrice X nei punti della curva è apple 0 cosh, (t) 0 equindisiverificache è una linea di curvatura. (4) E una geodetica? Se fosse anche una geodetica, sarebbe una curva piana (Cf. Esercizio IV 0). Calcolando ^ si verifica che tale vettore non ha direzione costante, e quindi che la curva non è piana.,,

10 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 0 TRACCIA DI SOLUZIONE Esercizio 4. (4 punti) Siano P :! R e Q : 0! R due superfici elementari, tali che P( ) \ Q( 0 )siailsostengodiunacurvaregolareliscia. Si supponga inoltre che l angolo tra i versori normali N P, N Q sia costante enonnullolungo.siproviche è una linea di curvatura per P se e solo se lo è per Q. Poiché è t a n g e n t e s i a a P che a Q abbiamo N P = N Q =0. La direzione tangente a è quindi l unica direzione comune ai piani tangenti delle due superfici elementari. Se la curva è u n a l i n e a d i c u r v a t u r a p e r P allora ṄP = L P ( )èparallelo a, quindi in tal caso () N Q ṄP =0 Derivando la relazione N P N Q =cost.troviamochela()èimplicache () Ṅ Q N P =0 Pertanto ṄQ è o r t o g o n a l e a N P ean Q, ed è quindi parallelo a. Segue che è u n a l i n e a d i c u r v a t u r a p e r Q.

11 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - FEBBRAIO 0 Svolgere al più tre esercizi tra i seguenti: Esercizio. (8 punti) Sia P :[0, ]! R la curva (chiusa semplice) data in coordinate polari da =(+cos#). Si provi che la curvatura di P è d a t a d a apple(#) = 4 p (#). Esercizio. (0 punti) Si consideri il piano proiettivo RP, con coordinate [y 0 : y : y ]; siano (U i, ' i )lecarteusualisurp esiap il punto [ : : ]. Siano B 0 e B le basi di T p RP associate alle carte (U 0, ' 0 )e(u, ' ). Si trovi la matrice del cambiamento di base da B 0 a B. Esercizio. ( punti) Sia P : R! R la superficie elementare definita dalle equazioni P(u, v) =(u, u + v +uv, v). () Si determini la natura dei punti della superficie. () Si determinino le coniche di Dupin della superficie nel punto P(0, 0). () La curva (t) =P(t, t) èunalineaasintotica? (4) Si calcoli la torsione di. Esercizio 4. (4 punti) Sia P : J! R una curva piana regolare semplice, con parametro arco, non passante per l origine. Per ogni s J sia Q(s) il punto simmetrico dell origine rispetto alla retta tangente a P in P(s). Al variare di s J ipuntiq(s) descrivonounacurve,dettaortotomicadip. Si mostri che, per ogni s J il segmento che congiunge Q(s) ep(s) ènormalea Q in Q(s).

12 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - FEBBRAIO 0 TRACCIA DI SOLUZIONE Esercizio. (8 punti) Sia P :[0, ]! R la curva (chiusa semplice) data in coordinate polari da =(+cos#). Si provi che la curvatura di P è d a t a d a apple(#) = 4 p (#). Come nell Esercizio II.5 si ricava la formula apple = + ( + ) /. dalla quale, con semplici calcoli, si ottiene l espressione cercata per la curvatura. Esercizio. (0 punti) Si consideri il piano proiettivo RP, con coordinate [y 0 : y : y ]; siano (U i, ' i )lecarteusualisurp esiap il punto [ : : ]. Siano B 0 e B le basi di T p RP associate alle carte (U 0, ' 0 )e(u, ' ). Si trovi la matrice del cambiamento di base da B 0 a B. Esercizio. ( punti) Sia P : R! R la superficie elementare definita dalle equazioni P(u, v) =(u, u + v +uv, v). () Si determini la natura dei punti della superficie. () Si determinino le coniche di Dupin della superficie nel punto P(0, 0). () La curva (t) =P(t, t) èunalineaasintotica? (4) Si calcoli la torsione di. () Si determini la natura dei punti della superficie. La matrice B è apple 6u, P u ^ P v 6v equindiipuntisono 8 >< ellittici uv > /9 parabolici uv =/9 >: iperbolici uv < /9

13 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - FEBBRAIO 0 TRACCIA DI SOLUZIONE () Si determinino le coniche di Dupin della superficie nel punto P(0, 0). La matrice X nel punto P(0, 0) è apple 0, 0 quindi le curvature principali sono e,eleconichedidupinhanno equazioni =. () La curva (t) =P(t, t) èunalineaasintotica? Lacurvainquestione giace nella regione dei punti ellittici per t>/, quindi non può essere una linea asintotica. (4) Si calcoli la torsione di. la curva giace nel piano x = z, quindi la sua torsione è nulla. Esercizio 4. (4 punti) Sia P : J! R una curva piana regolare semplice, con parametro arco, non passante per l origine. Per ogni s J sia Q(s) il punto simmetrico dell origine rispetto alla retta tangente a P in P(s). Al variare di s J ipuntiq(s) descrivonounacurve,dettaortotomicadip. Si mostri che, per ogni s J il segmento che congiunge Q(s) ep(s) ènormalea Q in Q(s). Dalla definizione segue che Q =(P n P )n P ; pertanto la direzione tangente a Q è d a t a d a Q = apple P ((P t P )n +(P n P )t P ) Il prodotto scalare tra Q e Q P =(P n P )n P P è n u l l o, q u i n d i Q P è normale a Q.

14 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 04 Svolgere al più tre esercizi tra i seguenti Esercizio. (0 punti) Sia F : S! S una rotazione di angolo # intorno ad un asse che passa per il centro della sfera. Si verifichi che F è un applicazione liscia, scrivendo le sue espressioni locali in coordinate opportune. [S: Si utilizzino le proiezioni stereografiche dai punti nei quali l asse di rotazione interseca la sfera su un piano equatoriale perpendicolare. In tali coordinate l espressione locale di F è u n a r o t a z i o n e d e l p i a n o. ] Esercizio. (8 punti) Sia P : R! R la curva definita da P(t) =(e t cos t, e t sin t, e t ). () Si calcolino la lunghezza della curva tra t =0et =,lacurvaturae la torsione. [R: ` = p (e ),apple= p e t, = e t ]. () Si verifichi che la curva ha supporto contenuto nel cono di equazione x + y z =0edinoltrecheperognipuntop che sta sulla curva l angolo tra la curva e la generatrice del cono passante per p è c o s t a n t e. [S: Si calcoli P/ P t.] Esercizio. ( punti) Si consideri la superficie elementare P : R! R definita ponendo P(u, v) =(cos(v) u sin v, sin v + u cos v, v). () Si determini la natura dei punti della superficie. [R: Iperbolici] () Si determinino le curvature principali nel punto Q = P(0, 0). [R: p 5] () Si stabilisca se le linee coordinate sono geodetiche. [R: Solo u =0]. (4) Si mostri che l immagine della curva u + v =0èunalineaasintotica. Esercizio 4. (4 punti) Siano P :! R una superficie elementare e : J! R una curva di Frenet semplice il cui sostegno è contenuto nel sostegno di P. Per ogni punto del sostegno di si consideri la terna ortonormale costituita dal versore t tangente a,dalversoren normale alla superficie e dal versore V = N ^ t. () Si provi che 4 t 0 V 0 N 0 5 = 4 0 k g k n k g 0 g k n g t V N ove k n è l a c u r v a t u r a n o r m a l e, k g è l a c u r v a t u r a g e o d e t i c a e g,detta torsione geodetica, èdefinitadaquesteequazioni. 5.

15 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - GENNAIO 04 () Si provi che è u n a l i n e a d i c u r v a t u r a s e e s o l o s e g 0. [S: Poiché t, N e V sono versori le entrate sulla diagonale sono nulle. Si noti inoltre che la terna considerata è ortonormale. t 0 V = k g e t 0 N = k n per definizione di curvatura geodetica e di curvatura normale. V 0 = N 0 ^ t + N ^ t 0 ; il primo addendo è normale alla superficie, ed il secondo è t a n g e n t e. I l p r i m o a d d e n d o p u ò q u i n d i e s s e r e s c r i t t o c o m e g N. Inoltre V 0 t = N ^ t 0 t = t 0 ^ N t = k g.scrivendon = t ^ V, derivando eutilizzandoleformulegiàcalcolatesiottengonolerimanenti. Abbiamo già osservato che è u n a l i n e a d i c u r v a t u r a s e e s o l o s e N 0 è p a r a l l e l o a t. PoichéN 0 = k n t + g V,otteniamolatesi.]

16 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - 8 GENNAIO 04 Esercizio. (8 punti) Sia P :(0, /)! R la curva piana definita dalle equazioni parametriche P(t) =(cos t, sin t). Si calcoli la curvatura di P. [apple = /(6 cos t sin t)] Si trovi l evoluta di P. [6sin t cos t +cos t, 6cos t sin t +sin t] Si trovi l equazione della circonferenza osculatrice nel punto P( /6). [Centro:(0, ), raggio p /, quindi x +(y +) =7/4]. Esercizio. (0 punti) Si consideri il piano proiettivo RP,concoordinate [y 0 : y : y ]; siano (U i,' i )lecarteusualisurp esiap il punto [ : : ]. Siano B 0 e B le basi di T p RP associate alle carte (U 0,' 0 )e(u,' ). Si trovi la matrice del cambiamento di base da B 0 a B. [La matrice cercata è la Jacobiana della funzione di transizione ' 0,chemanda (t,t )in(/t,t /t ).] Esercizio. (4 punti) Sia P :(0, ) (0, )! R la superficie elementare definita dalle equazioni P(#, ') =((+cos#)cos', ( + cos #)sin', +sin#) () Si calcoli l area della regione P(Q), ove Q := (#, ') R apple # apple, apple ' apple [Area= ( )]. () Si trovi la natura dei punti di S = P((0, ) (0, )) al variare dei parametri # e '. [Per # (0, /) [ ( /, ) puntiellittici,per # = /, / puntiparabolici,per# ( /, /) punti iperbolici] () Si stabilisca se le linee coordinate sono linee di curvatura, linee asintotiche, geodetiche. [Linee di curvatura: sì. Linee asintotiche: solo # = / e# = /. Geodetiche: solo ' = ' 0 e # =.]. Esercizio 4. ( punti) Sia P : J! R una curva di Frenet. Mostrare che se tutti i piani normali a P passano per un punto, allora il supporto della curva giace su una sfera.

17 GEOMETRIA DIFFERENZIALE - 8 GENNAIO 04 Assumiamo, senza perdita di generalità, che tutti i piani normali passino per l origine. Esistono funzioni, µ : J! R tali che: () 0 = P(s)+ (s)n(s)+µ(s)b(s). Prendendo i prodotti scalari con n e b troviamo che = P n, µ = P b, e quindi le due funzioni sono C. Derivando la () otteniamo () 0 = t + 0 n + ( applet + b)+µ 0 b µn. Annullando i coe cienti di t, n e b otteniamo = apple, µ = apple0 apple, µ0 = apple. In particolare apple 0 0 = apple apple, elacurvaèsfericaperlaproposizione.5.8.