Prima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO

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1 FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 Prima parte: DOMINIO E INSIEMI DI LIVELLO Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di frontiera e punti di accumulazione). Esercizio 1 Determinare e disegnare sul piano cartesiano il dominio della funzione f, nei seguenti casi: 1) f, y) = log y y ) ) f, y) = + y 3) f, y) = 4 y 4) f, y) = cos + y ) 5) f, y) = y 1 log5 y) Esercizio Per ciascuno dei domini determinati nell esercizio precedente, dire se è limitato, aperto, chiuso, convesso, connesso per archi ed indicarne la frontiera ed i punti di accumulazione. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f, y) = y + y ) f, y) = ye Esercizio 4 In ciascuno dei seguenti casi, studiare gli insiemi di livello della funzione f e stabilire poi se f è limitata superiormente o inferiormente) e se ha massimo o minimo assoluto: 1) f, y) = 3 + y ) f, y) = y 3) f, y) = y 4) f, y) = + y

2 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e insiemi di livello SVOLGIMENTI Esercizio 1 1) Il dominio della funzione f, y) = log y y ) è dom f = {, y) R : y y > 0 }. La disequazione y y > 0 può essere scritta come y y) > 0 e quindi può essere risolta studiando separatamente il segno delle tre funzioni, y, y e poi individuando tramite regola dei segni) le regioni del piano in cui il loro prodotto risulta positivo. Cominciamo con lo studiare il segno di : è evidente che risulta > 0 nel primo e quarto quadrante, < 0 nel secondo e terzo, = 0 lungo l asse y. Analogamente, si ha y > 0 nel primo e secondo quadrante, y < 0 nel terzo e quarto, y = 0 lungo l asse. Infine, la terza funzione y è positiva nei punti al di sotto della bisettrice y =, negativa al di sopra e nulla lungo la bisettrice stessa. Escludendo subito gli assi coordinati e la bisettrice y =, dove il prodotto y y) è nullo, il piano risulta allora diviso in 6 regioni vedere Fig. 1): A 1 = {, y) R : > 0, 0 < y < }, che descrive l angolo del primo quadrante compreso tra il semiasse positivo delle ascisse e la bisettrice del primo quadrante stesso; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono tutte positive e quindi il loro prodotto è positivo; A = {, y) R : > 0, y > }, che descrive l angolo del primo quadrante compreso tra il semiasse positivo delle ordinate e la bisettrice del primo quadrante stesso; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono positive le prime due e negativa la terza, quindi il loro prodotto è negativo; A 3 = {, y) R : < 0, y > 0}, che descrive l intero secondo quadrante; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono due negative la prima e la terza) ed una positiva, quindi il loro prodotto è positivo; A 4 = {, y) R : < 0, < y < 0}, che descrive l angolo del terzo quadrante opposto al vertice di A 1 ; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono tutte negative e quindi il loro prodotto è negativo; A 5 = {, y) R : < 0, y < }, che descrive l angolo opposto al vertice di A ; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono negative le prime due e positiva la terza, quindi il loro prodotto è positivo; A 6 = {, y) R : > 0, y < 0}, che descrive il quarto quadrante; qui le tre funzioni che moltiplichiamo sono due positive la prima e la terza) ed una negativa, quindi il loro prodotto è negativo.

3 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e insiemi di livello 3 Figura 1 Figura In conclusione, f è definita nell unione disgiunta dei tre angoli A 1, A 3, A 5, cioè risulta dom f = A 1 A 3 A 5. ) La funzione f, y) = + y è definita dove il radicando è non negativo, ossia + y 0. Moltiplicando per 1 abbiamo + y 0, che equivale a + y = 0, per le proprietà del valore assoluto. Dunque dom f = {, y) R : + y = 0}, ossia dom f consiste nella sola circonferenza di centro l origine e raggio. 3) La funzione f, y) = 4 y è definita nei punti del piano che verificano la condizione 4 y 0, che può essere riscritta come y) + y) 0. Abbiamo quindi una disequazione che può essere risolta con la regola dei segni. La funzione y è positiva in {, y) R : y < } cioè nei punti del piano al di sotto della parabola γ 1 : y =, è negativa nella parte al di sopra di γ 1, ed è nulla nei punti di γ 1. La funzione + y è positiva in {, y) R : y > } cioè nei punti al di sopra della parabola γ : y =, è negativa al di sotto di γ, ed è nulla nei punti di γ. Osserviamo esplicitamente che le due parabole γ 1 e γ hanno lo stesso vertice 0, 0) e sono l una la simmetrica dell altra rispetto all asse y = 0. Il piano risulta dunque diviso in tre regioni si veda la Fig. ): A 1 = {, y) R : y > } che descrive i punti al di sopra di γ 1, A = {, y) R : < y < } che descrive i punti al di sopra di γ ed al di sotto di γ 1, ed A 3 = {, y) R : y < } che descrive i punti al di sotto di γ. In A 1 la prima funzione è negativa, la seconda è positiva, e quindi il loro prodotto è negativo; in A sono entrambe positive, e quindi il loro prodotto è positivo; in A 3 la prima è positiva, mentre la seconda è negativa, e quindi il loro prodotto è negativo. Lungo le due parabole, il prodotto è nullo. In conclusione risulta dom f = {, y) R : y }, ossia f è definita in A γ 1 γ.

4 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e insiemi di livello 4 Figura 3 Figura 4 4) La funzione f, y) = cos + y ) è definita nei punti del piano che verificano la disequazione cos + y ) 0. Essendo + y 0, la precedente disequazione è risolta in {, y) R : 0 + y π } k N\{0}{, y) R : π + kπ + y π + kπ} che descrive un unione di corone circolari comprese tra circonferenze di centro nell origine e raggi opportuni vedere Fig. 3). Osserviamo che la funzione f, y) dipende da + y più che da ed y e quindi il grafico di f, y), ossia il luogo dei punti, y, z) R 3 con z = cos + y ), è una superficie di rotazione intorno all asse z. Questo conferma ulteriormente la forma del dominio. 5) La funzione f, y) = y 1 log5 y) è definita nei punti che risolvono il sistema di disequazioni { y y > 0. La prima disequazione è risolta dai punti dell insieme {, y) R : > 0, y 1 } {, y) R : < 0, y 1 }, ossia dai punti del primo quadrante al di sopra dell iperbole equilatera di equazione y = 1, dai punti del terzo quadrante al di sotto dell iperbole e dai punti dell iperbole stessa. La seconda disequazione è risolta dai punti del semipiano {, y) R : + y < 5}, formato dai punti al di sotto della retta + y = 5. La retta e l iperbole si intersecano nei punti di coordinate A =, 1 ) e B = 1, ) e quindi il sistema è risolto in {, y) R : < 0, y 1 } {, y) R : 1 < <, 1 y < + 5 } si veda la Fig. 4). Esercizio In ciascuno dei casi considerati, poniamo D = dom f per brevità. 1) D non è limitato non esiste un cerchio che lo contenga), è aperto unione di tre aperti), non è convesso se si prende un punto in A 1 e un punto in A 3, il segmento che li congiunge non appartiene a D) e non è connesso per archi per connettere un punto di A 1 con un punto di A 3 mediante un arco, questo deve passare per l origine dunque non è contenuto interamente in D). La frontiera di D è l insieme formato dall unione dell asse, l asse y e la retta y =. I punti di accumulazione di D sono tutti i punti di D e della sua frontiera.

5 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e insiemi di livello 5 ) D è l insieme dei punti del piano che appartengono alla circonferenza Γ di centro l origine e raggio. È limitato e chiuso il complementare di D è unione di due aperti l interno e l esterno di Γ e quindi è aperto), non è convesso il segmento che congiunge due punti qualunque di D non sta in D) ed è connesso per archi. La frontiera di D è D stesso ed i suoi punti di accumulazione sono tutti e soli i punti di D. 3) D non è limitato, è chiuso contiene interamente la propria frontiera), non è convesso ma è connesso per archi. La frontiera di D è l unione delle due parabole γ 1 e γ. I punti di accumulazione di D sono tutti e soli i punti di D. 4) D non è limitato, è chiuso il suo complementare è l unione di un infinità numerabile di corone circolari aperte e quindi è aperto), non è convesso, né connesso per archi. La frontiera di D è l unione delle circonferenze + y = π + kπ, k Z. I punti di accumulazione di D sono tutti e soli i punti di D. 5) D non è limitato, non è aperto né chiuso contiene parte della propria frontiera, ma non tutta), non è convesso, né connesso per archi. La frontiera di D è l unione del ramo di iperbole y = 1 con < 0, dell arco di iperbole y = 1 con 1 e del segmento y = + 5 con 1. I punti di accumulazione di D sono i punti di D e della sua frontiera. Esercizio 3 1) La funzione f, y) = y è definita nei punti in cui + y 0, ossia in +y R y \ {0, 0)}. L equazione f, y) = k equivale a = k, cioé k +k 1)y = 0, cioé +y +y k + k 1)y = 0 con + y 0, per cui le linee di livello di f sono gli insiemi γ k = {, y) R \ {0, 0)} : k + k 1)y = 0 }. Per k = 0 si ottiene γ 0 : y = 0, che rappresenta l asse, mentre per k = 1 si ha γ 1 : = 0, che rappresenta l asse y. Se k e k 1 sono concordi, k + k 1)y = 0 equivale a = y = 0 e quindi γ k vuoto. Se k e k 1 sono discordi, cioè kk 1) < 0, cioè 0 < k < 1, allora l equazione k + k 1) y = 0 si può riscrivere come k + 1 ky) k 1 ky) = 0 e perciò rappresenta la coppia di rette per l origine k + 1 ky = 0 ed k 1 ky = 0, per cui γ k dom f è l unione di tali due rette private dell origine. ) La funzione f, y) = ye è definita in tutti i punti del piano e le sue curve di livello sono γ k : ye = k, ossia y = ke. Per k = 0 si ottiene γ 0 : y = 0, che è l asse, mentre per k 0 la curva γ k è il grafico di una funzione di tipo esponenziale. Esercizio 4 1) Chiaramente dom f = R. Gli insiemi di livello Γ c di f sono le curve di equazione cartesiana Γ c : 3 + y = c e risulta che: Γ c = per c < 0 perché 3 + y 0 sempre); Γ 0 = {0, 0)} perché 3 + y = 0 se e solo se = y = 0); per c > 0, Γ c è l ellisse c/3 + y c/ = 1 di semiassi c/3 e c/.

6 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Dominio e insiemi di livello 6 Si ha f, y) 0 = f0, 0) per ogni, y) R e quindi f è limitata inferiormente ed ha minimo assoluto, che vale 0. Poiché Γ c è non vuoto per valori c > 0 arbitrariamente grandi, f non è limitata superiormente. Osserviamo che il grafico z = 3 + y di f è un paraboloide ellittico. ) Chiaramente dom f = R. Gli insiemi di livello Γ c di f sono le curve di equazione cartesiana Γ c : y = c e si ha Γ c per ogni c R l equazione y = c ha soluzione per ogni c). In particolare risulta che: Γ 0 è l unione degli assi cartesiani perché y = 0 se e solo se = 0 oppure y = 0); per c 0, Γ c è un iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, la quale giace nei quadranti primo e terzo se c > 0, secondo e quarto se c < 0. Poiché Γ c è non vuoto per valori di c arbitrariamente grandi sia positivamente che negativamente, f non è limitata superiormente né inferiormente e quindi non ha massimo né minimo assoluti). 3) Chiaramente dom f = R. Gli insiemi di livello Γ c di f sono le curve di equazione cartesiana Γ c : y = c e si ha Γ c per ogni c R l equazione y = c ha soluzione per ogni c). In particolare risulta che: Γ 0 è l unione delle rette + y = 0 e y = 0, cioè delle bisettrici dei quadranti perché y = 0 y) + y) = 0 y = 0 oppure + y = 0); per c > 0, Γ c è l iperbole equilatera c y c = 1, la quale ha le bisettrici dei quadranti come asintoti, l asse come asse focale e vertici nei punti ± c, 0); per c < 0, Γ c è l iperbole equilatera c y c = 1, la quale ha ancora le bisettrici dei quadranti come asintoti, ma ha l asse y come asse focale e vertici nei punti 0, ± ) c. Poiché Γ c è non vuoto per valori di c arbitrariamente grandi sia positivamente che negativamente, f non è limitata superiormente né inferiormente. Osserviamo che il grafico z = y di f è un paraboloide a sella. 4) dom f = {, y) R : + y 0} è il semipiano al di sopra della bisettrice y =, bisettrice inclusa. Gli insiemi di livello Γ c di f sono le curve di equazione cartesiana Γ c : + y = c e risulta che: Γ c = per c < 0 perché + y 0 sempre) per c 0, Γ c è la retta + y = c, parallela alla bisettrice dei quadranti secondo e quarto è la bisettrice stessa se c = 0). Si ha f, y) 0 = f0, 0) per ogni, y) dom f e quindi f è limitata inferiormente ed ha minimo assoluto, che vale 0. Poiché Γ c è non vuoto per valori c > 0 arbitrariamente grandi, f non è limitata superiormente.

7 FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 Seconda parte: DERIVAZIONE Derivate parziali prime e gradiente. Derivate direzionali. Piano tangente al grafico di una funzione. Esercizio 1 Determinare il dominio della funzione f e calcolarne il gradiente nei punti ad esso interni, nei casi seguenti: 1) f, y) = e y y ) ) f, y) = y log 3) f, y) = sin + y ) e y y 4) f, y) = tan + π ) 5) f, y) = y 6) f, y) = y + y log 3 7) f, y) = y y 1 8) f, y) = ) y Esercizio Scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione f, y) = log y nel punto A = 1, 1, 1). Esercizio 3 Facendo uso della definizione, calcolare le derivate della funzione f, y) = +y secondo un generico versore v nel generico punto 0, y 0 ). Esercizio 4 Calcolare la derivata direzionale delle seguenti funzioni nel punto indicato e nella direzione del generico versore v = cos θ, sin θ): 1) f, y) = + y in 1, 1) ) f, y) = e +1 1 in 0, 0) 3) f, y) = log + y ) in 1, 0) Esercizio 5 Calcolare il massimo valore assunto dalla derivata direzionale della funzione f, y) = sin + y) nel punto A = π 8, π 16 ).

8 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivazione SVOLGIMENTI Esercizio 1 Osserviamo una volta per tutte che, per i teoremi sulle operazioni tra funzioni derivabili parzialmente, tutte le funzioni considerate ammettono gradiente in ogni punto interno al proprio dominio; pertanto non dovremo affrontare qui alcuna questione di esistenza delle derivate parziali e si tratterà solo di eseguirne il calcolo. 1) Poiché tutte le operazioni svolte da f sono definite per ogni valore del loro argomento, risulta dom f = R. In ogni punto, y) di R si ha ) = ey y ) + e y y ) = ye y y ) + e y = y y 3 + ) e y e y = ) y ey y ) + e y y y ) = e y y ) ye y = 3 y y ) e y. Dunque f = e y y y 3 +, 3 y y ). ) Si ha dom f = {, y) R : > 0 } aperto) e per ogni, y) dom f risulta ) = y log = y ) e y = log y y = log. Dunque f = y, log ). 3) Si ha dom f = {, y) R : y 0 } aperto) e per ogni, y) dom f risulta f = [ sin + y ) ] [ ] e y = cos + y ), y cos + y ) ) e y 1y, e y y ) = cos + y ), y) 1 y e y 1, ). y 4) Si ha dom f = {, y) R : 0 e y + π π } + kπ, k Z = {, y) R : 0 e y } kπ, k Z aperto dato dal piano privato dell asse y e delle rette y = kπ, k Z) e per ogni, y) dom f risulta ) 1 f = cos y + π ) y ) 1, cos y + π ) 1 y, ) = cos y + π ).

9 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivazione 3 5) Si ha dom f = {, y) R : > 0 e y log 0 } aperto dato dal semipiano > 0 privato della curva logaritmica y = log ) e per ogni, y) dom f risulta e Dunque = y ) = y y log 1 ) y log y log ) = y y log + 1 y log ) y = y ) y y log ) y = y y log y log ) = y y log y log ). f = y y log ) y + y y log, y log ). 6) Si ha dom f = {, y) R : y } chiuso dato dalla regione al di sopra della parabola y = +3, parabola inclusa) e per ogni, y) appartenente all interno di dom f cioè dom f privato della parabola y = + 3, che ne è la frontiera) risulta ) f = y + 3, 1 = y + 3 1, 1 ). y + 3 7) Si ha dom f = {, y) R : y 0, y 1 0 } = {, y) R : y 1 } chiuso dato dall unione della regione al di sopra del ramo di iperbole y = 1/, > 0, con la regione al di sotto del ramo y = 1/, < 0) e per ogni, y) appartenente all interno di dom f cioè dom f privato della parabola y = 1/, che ne è la frontiera) risulta ) y 1 f = y + y 1 y) = ) y y y 1, + y 1 y 1 y = y, ) + y 1 ) y y, y y 1 y y, ) = y 1 y y, ). y 1 8) Si ha dom f = {, y) R : 0, } > 0 = {, y) R : < 1 } {, y) R : > 0 } aperto dato dall unione di due semipiani) e per ogni, y) dom f risulta = ey log1+ ) 1 = e y log1+ ) 1 y log ) = ) y y 1 ) = ) y y +

10 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivazione 4 e Dunque = ey log1+ ) 1 = e y log1+ ) 1 log ) = y log 1 + ) 1 ). f = ) y y +, log )). Esercizio Dalla teoria, è noto che il piano tangente nel punto P 0 = 0, y 0, f 0, y 0 )) al grafico z = f, y) di una funzione f differenziabile in 0, y 0 ) ha equazione z = f 0, y 0 ) + 0, y 0 ) 0 ) + y 0, y 0 )y y 0 ). Calcoliamo quindi le derivate parziali di f: si ha e = e log y log log y log log y log y = e log y log ) = = log y 1 log y y = y e log y log = e log y log log log log y log ) = y = y log 1 log y y entrambe continue dove definite, cioè su dom f = {, y) R : > 0, y > 0}, che è aperto). In 1, 1) esse valgono 1, 1) = y 1, 1) = 0 cioè 1, 1) è punto critico per f) e quindi il piano tangente al grafico di f nel punto A = 1, 1, 1) ha equazione z = f 1, 1), cioè z = 1. Esercizio 3 Se v = cos θ, sin θ) è il generico versore, per definizione si ha cioè, essendo f, y) = + y, v f 0 + t cos θ, y 0 + t sin θ) f 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim t 0 t v 0 + t cos θ) + y 0 + t sin θ) 0 0, y 0 ) = lim y 0 t 0 t = lim 0 cos θ + t cos θ + 4y 0 sin θ + t sin θ ) = 0 cos θ + 4y 0 sin θ. t 0 Esercizio 4 Osserviamo subito che tutte le funzioni considerate sono di classe C 1 nell intorno del punto indicato e pertanto sono differenziabili in tale punto. Di conseguenza, le derivate direzionali richieste possono essere calcolate tramite la formula: v 0, y 0 ) = f 0, y 0 ) v. ) 1) Poiché f, y) = y, y e quindi f1, 1) = 1 +y ) +y ), 1 ), risulta ) 1 1, 1) = v, 1 cos θ, sin θ) = 1 cos θ sin θ).

11 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivazione 5 ) Poiché f, y) = e +1, 0 ) e quindi f0, 0) = e, 0), risulta 3) Poiché f, y) = 0, 0) = e, 0) cos θ, sin θ) = e cos θ. v log + y ) +, +y ) y e quindi f1, 0) =, 0), risulta +y 1, 0) =, 0) cos θ, sin θ) = cos θ. v Esercizio 5 La funzione assegnata è continua con derivate parziali prime continue in tutti i punti di R e pertanto è ovunque differenziabile. In particolare, possiamo allora usare la formula del gradiente per esprimere la derivata direzionale di f nel punto A rispetto ad un qualsiasi versore v e risulta A) = fa) v = fa) v cos fa), v) = fa) cos fa), v). v Poiché cos fa), v) è massimo quando l angolo tra fa) e v è nullo, tale derivata direzionale è massima quando v è parallelo ed equiverso a fa), cioè quando v = fa) fa). Calcoliamo allora fa). Le derivate parziali prime di f sono date in ogni punto da = cos + y) e y = cos + y), per cui risulta f, y) = cos + y), cos + y)) = cos + y)1, ). Calcolando in A si trova π fa) = cos 8 16) + π π ) 1, ) = cos 1, ) = 4, ) 5 e fa) =. Dunque il valore massimo per la derivata direzionale v A) si ha per v =, ) ) 1 = 5, 5 5 e vale v A) =, ) ) 1 5, = =.

12 FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 Terza parte: DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Sviluppo di Taylor del secondo ordine. Punti stazionari. Punti di massimo o minimo locale o assoluto), punti di sella. Esercizio 1 Calcolare le derivate parziali seconde della funzione f, nei casi seguenti: 1) f, y) = y sin ) f, y) = sin + y ) 3) f, y) = e +y 4) f, y) = + 3 y 5) f, y) = + 3 y 6) f, y) = siny ) Esercizio Sia f, y) = y + y. 1) Mostrare che 0, 0) è un punto stazionario per f. ) Studiando i segni di f, y), mostrare che 0, 0) non è punto di massimo né punto di minimo. 3) Sia gt) = fat, bt) la restrizione di f, y) alla generica retta, y) = at, bt) per l origine. Mostrare che t = 0 è punto di minimo per gt). Esercizio 3 In ciascuno dei seguenti casi, determinare lo sviluppo di Taylor del secondo ordine centrato nell origine della funzione f e studiare la natura del punto 0, 0), se critico: 1) f, y) = sin sin y ) f, y) = e y 3) f, y) = siny ) Esercizio 4 Determinare e classificare i punti stazionari della funzione f, nei seguenti casi: 1) f, y) = y ) f, y) = logy) 3) f, y) = 3 + y y y 4) f, y) = + y 5) f, y) = e 1 y 6) f, y) = y + 1) y + 1) 7) f, y) = + y + ay, a R 8) f, y) = 1 y 9) f, y) = y + y 10) f, y) = 1 y 1 11) f, y) = + sin y + cos y 1) f, y) = log + y + y + 1) 13) f, y) = loge y + 1) 14) f, y) = e 15) f, y) = loge +y + 1) +y+y

13 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivate successive e matrice hessiana SVOLGIMENTI Esercizio 1 Tutte le funzioni considerate sono di classe C su tutto R e pertanto ammettono derivate parziali seconde in ogni punto, con derivate miste uguali tra loro teorema di Schwarz). 1) Si ha f = y cos, sin ) e quindi, derivando ulteriormente, f = y cos ) = y sin, f yy = y sin ) = 0, f y = f y = sin ) = cos. ) Si ha f = cos + y ), y cos + y ) ) e quindi, derivando ulteriormente, 3) Si ha f = f = cos + y ) ) = cos + y ) 4 sin + y ), f yy = y cos + y ) ) = cos + y ) 4y sin + y ), y f y = f y = y cos + y ) ) = 4y sin + y ). e +y + 3 e +y, ye +y ) = + 3) e +y, ye +y ) e quindi f = ) e +y + + 3) e +y = ) e +y, f yy = e +y + y e +y ) = 1 + y ) e +y, f y = f y = + 3) e +y ) = + 3) ye +y = 4y 1 + ) e +y. y 4) Si ha f = y, 3) e quindi f = 6y, f yy = 0, f y = f y = 3. 5) Si ha f = + 3 y, 3) e quindi f = + 6y, f yy = 0, f y = f y = 3. 6) Si ha f = siny ), y cosy ) ) e quindi, derivando ulteriormente, f = siny ), f yy = cosy ) y siny ) ), f y = f y = 4y cosy ). Esercizio La funzione è un polinomio, quindi è di classe C su tutto R. 1) Si ha f, y) = 1 3 8y, 4 + y), da cui segue f0, 0) = 0, 0) e quindi 0, 0) è punto stazionario per f. ) L incremento f = f, y) f0, 0) = f, y) è positivo lungo gli assi cartesiani in quanto f, 0) = e f 0, y) = y 0), per cui 0, 0) non è punto di massimo. D altra parte, la restrizione f, ) di f, y) alla parabola y = è tale che f, ) = 4 0 = f0, 0) e quindi 0, 0) non è nemmeno punto di minimo.

14 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivate successive e matrice hessiana 3 3) Si ha gt) = fat, bt) = 3a 4 t 4 4a bt 3 + b t e g t) = 6a 4 t 6a bt + b ) t. Poiché il polinomio p t) = 6a 4 t 6a bt + b è positivo nell intorno di t = 0 ad esempio perché p 0) = b > 0 se b 0 e p t) = 6a 4 t se b = 0), la derivata g t) ha il segno di t nell intorno di t = 0 e quindi, sempre nell intorno di t = 0, gt) è decrescente per t < 0 e crescente per t > 0. Dunque t = 0 è punto di minimo locale per gt). Esercizio 3 Tutte le funzioni considerate sono di classe C su tutto R e pertanto gli sviluppi di Taylor cercati esistono; essi sono dati da f, y) = f0, 0) + f0, 0), y) + 1 ) T ) H y f 0, 0) + o + y ) y,y) 0,0) = f0, 0) + f 0, 0) + f y 0, 0) y + 1 f 0, 0) + f y 0, 0) y + f yy 0, 0) y ) +o + y ),y) 0,0). 1) Si ha f0, 0) = 0, 0) e f, y) = cos sin y, sin cos y), da cui segue f0, 0) = 0, 0). Le derivate di ordine due sono f = f yy = sin sin y, f y = f y = cos cos y, per cui si ottiene f 0, 0) = f yy 0, 0) = 0 e f y 0, 0) = f y 0, 0) = 1. Dunque f, y) = y + o + y ),y) 0,0). L origine è punto critico e nel suo intorno il segno di f = f, y) f0, 0) = f, y) coincide con il segno di y, per cui 0, 0) è punto di sella in particolare, f risulta positivo lungo la retta y = e negativo lungo a retta y = ). ) Si ha f0, 0) = 0, 0) e f, y) = e y + ye y, e y ), da cui segue f0, 0) = 1, 0). Le derivate di ordine due sono f = ye y + y e y, f yy = 3 e y, f y = f y = e y + y e y, per cui risulta f 0, 0) = f yy 0, 0) = f y 0, 0) = f y 0, 0) = 0. Dunque si ottiene lo sviluppo f, y) = + o + y ),y) 0,0). L origine non è punto critico. 3) Si ha f0, 0) = 0, 0) e f, y) = siny ), y cosy )), da cui segue f0, 0) = 0, 0). Le derivate di ordine due sono f = siny ), f yy = 4y siny ) + cosy ), f y = f y = 4y cosy ), per cui risulta f 0, 0) = f yy 0, 0) = f y 0, 0) = f y 0, 0) = 0. Dunque si ottiene lo sviluppo f, y) = o + y ),y) 0,0). L origine è punto critico, ma lo sviluppo trovato non aiuta a determinarne la natura. Si tratta comunque di un punto di minimo locale, in quanto nell intorno di 0, 0) risulta f, y) = siny ) 0 = f0, 0) si prenda r > 0 abbastanza piccolo da avere y < π/ per ogni, y) B r 0, 0)).

15 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivate successive e matrice hessiana 4 Esercizio 4 Osserviamo subito che tutte le funzioni considerate sono di classe C nell interno del proprio dominio e pertanto non si pone alcuna questione di derivabilità. 1) La funzione è definita in tutti i punti del piano, dove ha derivate parziali date da f, y) = y ed f y, y) =. Ponendole entrambe uguali a zero si ottiene = y = 0 e quindi l unico punto stazionario di f è l origine. La matrice hessiana di f è H f, y) = f, y) f y, y) f y, y) f yy, y) ) = costante su R ) e risulta det H f 0, 0) = 1 < 0. Quindi 0, 0) è un punto di sella per f. In accordo con tale risultato, osserviamo che il grafico di f è la superficie di equazione z = y, che rappresenta un paraboloide iperbolico con vertice nell origine il quale viene riportato in forma canonica ruotando il sistema di riferimento di π/4 intorno all asse z). ) La funzione è definita nel primo e nel terzo quadrante assi esclusi, dove ha derivate parziali date da f, y) = 1 ed f y, y) = 1 y. Poiché f ed f y non si annullano mai, f non ha punti critici. 3) La funzione è definita su R, dove ha derivate parziali f, y) = 3 y ed f y, y) = y 1. Per calcolarne i punti stazionari, dobbiamo risolvere il sistema { 3 y = 0 y + 1 = 0. Dalla seconda equazione ricaviamo y = + 1 e, sostituendo nella prima, otteniamo 3 1 = 0, le cui radici sono 1 = 1/3, = 1. Risostituendo i valori trovati nella seconda equazione, ricaviamo le coordinate dei punti stazionari, che risultano essere A = 1 3, 1 6 ) e B = 1, 3 ). La matrice hessiana di f è ) 6 H f, y) = e quindi H f A) = ), H f B) = ) ) 6. Dunque A è un punto di sella determinante hessiano negativo), mentre B è un punto di minimo determinante hessiano positivo e traccia positiva). 4) La funzione è definita su R, dove ha derivate parziali f, y) = ed f y, y) = 4y. Annullandole entrambe, si ottiene l unico punto stazionario 1, 0). La matrice hessiana di f è ovunque data da ) 0 H f, y) =, 0 4 per cui 1, 0) è punto di minimo. In accordo con tale risultato, osserviamo che la superficie grafico di f ha equazione z = + y, che rappresenta un paraboloide ellittico con asse parallelo all asse z.

16 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivate successive e matrice hessiana 5 5) La funzione è definita su R, dove ha derivate parziali f, y) = e 1 y ed f y, y) = ye 1 y. Essendo l esponenziale mai nulla, l unico punto stazionario è l origine 0, 0). La matrice hessiana di f in tale punto risulta essere ) e 0 H f 0, 0) = 0 e e dunque 0, 0) è punto di massimo determinante hessiano positivo e traccia negativa). Osserviamo che f dipende, y) solo tramite + y e quindi il suo grafico è una superficie di rotazione attorno all asse z. 6) Il dominio di f è la striscia di piano compresa tra le rette parallele y = + 1 ed y = 1, rette incluse, al cui interno le derivate parziali di f sono date da f, y) = + y 1 + y y, f y, y) = y 1 + y y. Poiché f, y) = f y, y) = 0 equivale a y = 0, i punti di critici di f sono i punti della retta y = si noti che tale retta è interamente contenuta nell interno di dom f). Tali punti sono tutti punti di massimo, perché si ha f, ) = 1 e f, y) = 1 + y)1 y)) = 1 y) 1 ovunque. 7) Per ogni a R, la funzione è definita su tutto R con derivate parziali f, y) = + y ed f y, y) = + ay. Esse si annullano entrambe se e solo se { + y = 0 + ay = 0, cioè { y = 1 a) = 0. Se a 1, ciò fornisce l unico punto critico, y) = 0, 0), mentre se a = 1 allora la seconda equazione è sempre verificata e quindi i punti critici di f sono tutti e soli i punti della retta + y = 0. La matrice hessiana è data ovunque da H f = H f, y) = a per cui risulta det H f = 4a 1). Dunque l origine è un punto di sella se a < 1 det H f < 0) ed è un punto di minimo se a > 1 det H f > 0 e tr H f > 0). Se a = 1, allora H f non dà informazioni det H f = 0), ma la funzione diventa f, y) = + y + y = + y) e quindi tutti i punti della retta + y = 0 sono punti di minimo. Osserviamo che, in accordo con i risultati ottenuti, il grafico z = + y + ay di f risulta essere un cilindro parabolico con generatrici parallele al piano y se a = 1 ed un paraboloide con vertice nell origine se a 1, iperbolico se a < 1 ed ellittico a > 1. 8) La funzione f è definita nei punti del cerchio di centro 0, 0) e raggio 1, circonferenza inclusa. All interno di tale cerchio, f ha derivate parziali date da f, y) = 1 y, ), f y y, y) = 1 y

17 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivate successive e matrice hessiana 6 e quindi l unico punto stazionario è chiaramente 0, 0) che è interno a dom f). La matrice hessiana in tale punto risulta data da ) 1 0 H f 0, 0) = 0 1 e quindi l origine è punto di massimo det H f 0, 0) > 0 e tr H f 0, 0) < 0). Osserviamo che il grafico z = f, y) di f è la semisfera z = 1 y, z 0, coerentemente con i risultati ottenuti. 9) La funzione è definita in tutti i punti del piano diversi dall origine, nei quali ha derivate parziali f = y + y ) + y ), f y = y ) + y ). I punti stazionari cercati sono allora i punti del dominio di f per cui y = 0, cioè i punti delle rette y = 0 ed + y = 0, eccetto l origine. Sia a, a) un punto della prima retta, con a 0. La matrice hessiana di f in tale punto ha determinante det H f a, a) = 1 1 a a 1 = 0, 1 a a per cui non dà informazioni sulla natura del punto critico a, a). Lo stesso accade per la matrice hessiana di f nei punti a, a) della seconda retta, a 0, la quale ha determinante 1 1 det H f a, a) = a a = a a D altra parte, per ogni a 0 si ha fa, ±a) = ± 1, mentre per ogni, y) R risulta + y y + y ad esempio perché + y y = y) 0 e + y + y = + y) 0) e quindi 1 f, y) 1 per ogni, y) 0, 0). Ciò implica che tutti i punti a, a) della retta y = 0 sono punti di massimo e tutti i punti a, a) della retta + y = 0 sono punti di minimo. 10) La funzione è definita in tutti i punti del piano che non appartengono all iperbole equilatera di equazione y = 1. Nel suo dominio che è aperto), f ha derivate parziali date da y f, y) = y 1), f y = y 1), che si annullano chiaramente solo in 0, 0). La matrice hessiana di f in 0, 0) risulta essere ) 0 1 H f 0, 0) = 1 0 e quindi 0, 0) è punto di sella determinante hessiano negativo).

18 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivate successive e matrice hessiana 7 11) La funzione è definita su tutto R, con derivate parziali f, y) = + sin y, f y, y) = cos y sin y. Annullandole entrambe, si trovano le tre famiglie di punti stazionari A k = 0, kπ), B k = 3, π 3 + kπ) e C k = 3, π 3 + kπ) con k Z. Calcolando le corrispondenti matrici hessiane, si trova ) ) 1) k 1 H f A k ) = 1) k 1) k+1, H f B k ) = H f C k ) =, 1 per cui i punti A k sono punti di sella, mentre B k e C k sono punti di massimo. 1) La funzione può anche scriversi come f, y) = log + y) + y + 1) e quindi è definita su tutto R, con derivate parziali date ovunque da f, y) = + y + y + y + 1, f y, y) = + 4y + y + y + 1. Poiché + y = + y = 0 equivale a = y = 0, l unico punto stazionario è 0, 0). La matrice hessiana in tale punto è ) H f 0, 0) = ed ha determinante nullo, per cui non utile ai fini dello studio della natura del punto stazionario. L origine è comunque un punto di minimo, perché la funzione logaritmo è crescente e risulta +y) +y +1) 1 per ogni scelta di, y), da cui f, y) 1 = f0, 0). 13) La funzione è definita in tutti i punti di R, con derivate parziali f, y) = ey 1 + e y, f y, y) = y ey 1 + e y. L unico punto stazionario è quindi 0, 0), in cui f ha matrice hessiana ) 1 0 H f 0, 0) =. 0 1 Dunque 0, 0) è un punto di sella determinante hessiano negativo). 14) La funzione è definita in tutto R, perché il polinomio omogeneo argomento della radice è sempre non negativo. Le derivate parziali di f sono date ovunque da f, y) = + y)e +y+y + y)e +y+y, f y, y) = + y + y, + y + y per cui, essendo + y = + y = 0 equivalente a = y = 0, l unico punto stazionario è 0, 0). Siccome l argomento della radice è sempre 0 e le funzioni radice ed esponenziale sono monotone crescenti, si ha f, y) e 0 = f0, 0), per cui 0, 0) è punto di minimo.

19 FUNZIONI DI DUE VARIABILI - Derivate successive e matrice hessiana 8 15) La funzione è definita in tutti i punti di R, con derivate parziali f, y) = e +y 1 + e +y, f y, y) = y e+y 1 + e +y. L unico punto stazionario è quindi 0, 0), in cui f ha matrice hessiana ) 1 0 H f 0, 0) =. 0 1 Dunque 0, 0) è un punto di minimo determinante hessiano positivo e traccia positiva).