Piano cartesiano e retta

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1 Piano cartesiano e retta Il punto, la retta e il piano sono concetti primitivi di cui non si da una definizione rigorosa, essi sono i tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Osservazione Il punto geometrico è un ente primitivo privo di dimensioni. Un punto quindi è un ente geometrico di dimensione. Un punto nella geometria euclidea tranne la sua posizione non possiede alcuna caratteristica. I punti si indicano con lettere maiuscole. Definizione: una figura geometrica è un insieme di punti Un filo teso tra due estremità rappresenta un modello materiale che ci può aiutare ad avere un idea della struttura di una retta. Essa è un ente geometrico avente una sola dimensione, la lunghezza, inoltre è illimitata in entrambe le direzioni, cioè ha lunghezza infinita. Le rette vengono indicata con una lettera minuscola dell'alfabeto. Il piano intuitivamente si può definire come una superficie orizzontale uniforme. Il piano è un ente che ha dimensione e contiene al suo interno infiniti punti e rette. Riportiamo ora i postulati della geometria euclidea, essi costituiscono la base per sviluppare tutte le relazioni geometriche. Utilizzando infatti le 5 regole elementari, la cui validità viene accettata senza bisogno di alcuna dimostrazione, è possibile ottenere qualsiasi relazione nel piano e nello spazio. Postulati della geometria Euclidea. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali. 5. Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

2 Tra questi postulati, affermazioni che accettiamo per vere senza bisogno di dimostrazione, consideriamo il primo per sviluppare le relazioni che ci interessano. Piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento piano costituito da due rette perpendicolari che s'intersecano fra loro, una retta è orizzontale e si definisce ascissa e mentre l altra retta è verticale e si definisce ordinata. Le rette di riferimento per il piano si intersecano in un punto che chiamiamo origine del riferimento. Nel piano cartesiano è possibile rappresentare ogni punto che vi appartiene tramite una coppia ordinata di valori ( ; ). Il primo valore è detto ascissa e rappresenta la distanza dall origine misurata sull asse orizzontale. Il secondo valore è detto ordinata e rappresenta la distanza dall origine misurata sull asse verticale. Osservazione: un segmento nel piano è una parte di retta avente due estremi che lo limitano. Distanza di due punti nel piano Dati due punti distinti del piano cartesiano P ( ; ) e Q ( ) lunghezza del segmento che li congiunge. ;, si definisce distanza tra P e Q la

3 Q ( ) ; P ( ) ; Ricordando il teorema di Pitagora, essa si può esprimere PQ ( ) + ( ) Osservazione PQ QP Calcolare la distanza tra i punti A ( ; ) e ( ; ) B. Come in precedenza possiamo scrivere come segue per facilitare al sostituzione nella formula ; A B ; AB ( ) + ( ) Punto medio di un segmento Dati due punti distinti del piano cartesiano P ( ; ) e Q ( ) ;, si definisce punto medio del segmento di estremi di P e Q il punto M avente stessa distanza dall estremo A e dall estremo B. Il punto medio di P ( ; ) e ( ; ) Q ha coordinate: Osservazione M PQ + + ; In simboli: M è equidistante da P e Q, vale PM MQ Calcolare il punto medio dei punti A ( ; ) e ( ; ) B.

4 Come in precedenza possiamo scrivere come segue per facilitare al sostituzione nella formula M AB + ; ; ; A B ; La retta nel piano cartesiano Una retta qualsiasi nel piano cartesiano è rappresentata dal grafico seguente a Il grafico rappresenta quindi un legame tra i valori per la e i corrispondenti valori per la. Tale relazione tra le due variabili è espressa nella forma più generale dall equazione a + b + c () Da tale equazione si può ricavare la : b a c divido per il coefficiente b (sempre nell ipotesi b ) b b a b c b poniamo a c m e q, si ottiene b a m + q () Le espressioni () e () rappresentano due modi equivalenti di scrivere l equazione di una retta, esse vengono detti Equazione della retta in forma implicita Equazione della retta in forma esplicita a + b + c m + q

5 Osservazione Il vantaggio della forma esplicita è quello di fornire delle informazioni dirette riguardo la direzione della retta, m infatti viene detto coefficiente angolare della retta ed è in relazione appunto alla direzione della retta. Osservazione: rette passanti per l origine Se l equazione della retta è m, essa rappresenta una retta passante per l origine, in quanto se, sostituendo nell equazione m, si ottiene sempre. Per scrivere l equazione di una retta passante per l origine serve (e solo in questo caso) un punto, infatti per scrivere l equazione della retta passante per l origine e per il punto P ( ;4 ), mi basta sostituire nell equazione generica le coordinate del punto P ( ;4 ) e si ottiene Sostituendo tale valore nell equazione m 4 m m 4 m, si ottiene l equazione cercata 4 Torniamo a considerare la retta scritta in forma implicita ed in forma esplicita. I due modi di scrivere l equazione di una retta sono equivalenti, ed è sempre possibile passare da una scrittura all altra. Quello che ci interesserà è il fatto di poter passare dalla forma implicita alla forma esplicita, tale procedimento può essere illustrato come segue: ) si tiene la, con segno positivo, a primo membro, mentre tutti gli altri termini si portano a secondo membro; ) si dividono tutti i termini per il coefficiente della (sempre che esso sia diverso da ) Scrivere in forma esplicita l equazione della seguente retta

6 5 Scrivere l equazione della retta Consideriamo l equazione esplicita della retta m + Le incognite e rappresentano un punto nel piano cartesiano, mentre i parametri m e q esplicitano quale legame vi sia tra le due incognite. Pertanto per scrivere l equazione della retta servono i due parametri m e q, cioè abbiamo bisogno di conoscere almeno due informazioni sulla retta. Dalla geometria elementare sappiamo che per un punto passano infinite rette. Tale affermazione è ancora troppo generica, quindi per identificare una retta servono informazioni (tante quante i parametri m e q della retta), quindi abbiamo due possibilità: ) dati due punti distinti, essi individuano una ed una sola retta ) dato un punto, attraverso esso vi passa una sola retta avente una determinata direzione q Equazione di una retta passante per due punti Se conosciamo due punti distinti P ( ; ) e Q ( ) ;, possiamo scrivere l equazione della retta utilizzando la formula Scrivere l equazione della retta passante per i punti A ( ; ) e B ( ; ) l identificazione dei valori da sostituire nella formula, possiamo scrivere come segue.per rendere più facile ; A B ; Quindi la formula diventa

7 Equazione di una retta passante per un punto noto il coefficiente angolare Se conosciamo un punto per cui passa la retta ( ) possiamo scrivere l equazione della retta utilizzando la formula m P ; e il relativo coefficiente angolare, ( ) Scrivere l equazione della retta passante per il punti A ( ;5) e m.per rendere più facile l identificazione dei valori da sostituire nella formula, possiamo scrivere come segue Quindi la formula m( ) 5 + Osservazione ( ) diventa A ; Nel caso in cui si utilizzi la formula m( ) ( ) 7 + conoscendo soltanto le coordinate del punto P ; e lasciando m generico, si ottengono proprio al variare di m infinite rette passanti tutte per il punto P ( ; ) considerato. Rette parallele Due rette si definiscono parallele se non si incontrano mai. Dal punti di vista analitico possiamo affermare che due rette sono parallele, a b a : + q : q m e b m + se m m (cioè se hanno coefficiente angolare uguale). Viceversa possiamo affermare che se due rette a : + q Sono tali che m m, allora esse sono parallele. : q m e b m + Per determinare se due rette sono parallele, esse devono essere scritte in forma esplicita,per poter confrontare i rispettivi coefficienti angolari. Riprendendo gli esempi precedenti

8 7 7 + e + Non sono parallele, in quanto m m. Mentre le rette 7 + e 8 Sono parallele, in quanto hanno stesso coefficiente angolare. Rette perpendicolari Due rette si definiscono perpendicolari se incontrandosi formano angoli retti. Dal punti di vista analitico possiamo affermare che due rette sono perpendicolari, a b se m a : + q : q m e b m + (cioè se uno è uguale all opposto del reciproco dell altro). m Viceversa possiamo affermare che se due rette Sono tali che m a : + q : q m e b m +, allora esse sono perpendicolari. m Per determinare se due rette sono perpendicolari, esse devono essere scritte in forma esplicita,per poter confrontare i rispettivi coefficienti angolari. Riprendendo gli esempi precedenti Non sono perpendicolari, in quanto Mentre le rette e + m,. m 7 + e Sono perpendicolari, in quanto m, m. m

9 Rette parallele all asse Una retta parallela all asse, è una retta del tipo O Per i punti di tale retta la variabile che varia è la, mentre la (che rappresenta il livello) rimane constante. L equazione di una retta parallela all asse ha equazione k (dove k è il valore costante). Rette parallele all asse Una retta parallela all asse, è una retta del tipo O Per i punti di tale retta la variabile che varia è la, mentre la rimane constante. L equazione di una retta parallela all asse ha equazione k (dove k è il valore costante). Scrivere l equazione della retta passante per i punti A (, ) e B (4,), poiché il valore della nei due punti non varia, essi individuano una retta passante parallela all asse, al cui equazione è: Si può osservare che se si utilizza la formula della retta passante per due punti si ha un problema ad un denominatore, infatti

10 Diventa 4 Poiché si ottiene lo zero a denominatore, questo significa che siamo in presenza di una retta parallela ad uno de due assi. Analoga considerazione può essere fatta per rette parallele all asse delle. Distanza punto-retta La distanza di un punto ( ) P ; da una retta r : a + b + c, è per definizione il segmento più breve che unisce il punto e la retta. Tale segmento è perpendicolare alla retta r infatti: P ( ; ) r : a + b + c Definizione: dato un punto e una retta si definisce proiezione del punto sulla retta l intersezione tra la retta data e la retta perpendicolare passante per il punto assegnato. La distanza tra punto e retta è la lunghezza del segmento che ha come estremi il punto e la sua proiezione sulla retta stessa.

11 Osservazione Soltanto in questo caso l equazione della rette deve essere scritta in forma esplicita. La distanza tra il punto ( ) P ; e la retta r : a + b + c è data dalla formula d a + b a + b + c Dove a è il coefficiente della e b è il coefficiente della per la retta. Calcolare la distanza tra le retta : r e il punto ( ;4) A. L equazione della retta deve essere scritta in forma esplicita, è sufficiente portare tutti i termini a primi membro. + + I coefficienti sono a ; b, mentre (come già visto in precedenza) A ; 4 quindi la formula a + b + c d diventa a + b d ( ) + ( 4) ( ) + ( ) Fasci di rette Abbiamo visto che l equazione di una retta è del tipo m + q. Sia dato il parametro k e i valori costanti per m e q, allora si definisce Fascio di rette proprio k + q Fascio di rette improprio m + k Il fascio di rette proprio è tale che il parametro k agisce sul coefficiente della determinando quindi al suo variare il coefficiente angolare della retta, esso è formato da rette che passano tutte per uno stesso punto, detto il centro del fascio e che hanno direzione variabile.

12 Per determinare il centro (e quindi le infinite rette del fascio che passano per il centro) è sufficiente dare due valori qualsiasi al parametro k. In questo modo si ottengono due rette del fascio che messe a sistema danno come risultato il punto cercato. k Scriviamo la retta in forma esplicita k + Poiché k agisce sul coefficiente della (che quindi è variabile) abbiamo un fascio di rette proprio. Per disegnarlo diamo due valori generici (a nostra scelta) a k. Se k otteniamo. Se k otteniamo + Mettendo a sistema le equazioni delle rette così ottenute si ha: + + che rappresenta il centro del fascio di rette cercato. Se disegniamo il fascio esso corrisponde a: Il fascio di rette improprio è tale che il parametro k non agisce sul coefficiente della ma soltanto nel determinare il termine noto della retta quindi al suo variare il coefficiente angolare resta sempre lo stesso, esso è quindi formato da rette parallele tra loro.

13 Per determinare il fascio di rette basta assegnare a k un valore qualsiasi e tracciare nel piano la retta così ottenuta (per la quale si devono determinare due punti qualsiasi per cui passa), la altre rette del fascio si determinano tracciando rette parallele alla retta di riferimento disegnata. + k Scriviamo la retta in forma esplicita + k Poiché k non agisce sul coefficiente della (che quindi è costante) abbiamo un fascio di rette improprio. Per disegnarlo diamo un valore generico (a nostra scelta) a k. Se k abbiamo Per disegnarla diamo due valori generici (a nostra scelta) a e troviamo i corrispondenti. Se otteniamo l origine, essendo il termine noto nullo) Se otteniamo Pertanto la retta passa per i punti O ( ;) e P ( ; ). (si poteva vedere già dalla forma dell equazione della retta che passa per. Tutte le altre rette del fascio sono parallele alla retta trovata. Se disegniamo il fascio esso corrisponde a (la retta evidenziata è quella trovata utilizzata come generatrice): - - Osservazione Se un fascio di rette è tale che il parametro agisce sia sul coefficiente angolare della retta e sul termine noto, esso è un fascio di retto proprio. 4k + k è un fascio di terre proprio.