Coordinate Cartesiane

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1 - - Coordinate Cartesiane Su di una retta r consideriamo un punto, detto origine, un verso positivo indicato con una freccia ed un segmento unitario U. In questo caso la retta r dicesi asse delle ascisse e viene indicata col simolo e di solito è disegnata in posizione orizzontale. gni punto U r r individua il segmento. Noi sappiamo che esprime la misura del segmento rispetto ad U. Adesso poniamo: U è un numero reale che U e conveniamo di considerare positivo (negativo) se si trova alla destra (sinistra) di. Il numero reale relativo dicesi ascissa del punto. Da quanto aiamo detto è evidente che esiste una corrispondenza iunivoca fra i numeri reali relativi R ed i punti di una retta r sulla quale aiamo fissato un punto origine, un verso positivo ed una unità di misura per i segmenti. Adesso consideriamo due rette orientate ed fra loro perpendicolari, La retta è orientata da sinistra verso destra, la retta dal asso verso l alto. Sia il punto comune alle rette ed. Sia un punto qualsiasi del piano. Sia H la proiezione ortogonale di sulla retta, K la proiezione ortogonale di sulla retta. Sia K U H U l ascissa del punto H rispetto alla retta orientata, sia l ascissa del punto K rispetto alla retta orientata, I numeri reali relativi ed si dicono le coordinate cartesiane del punto. Si scrive, e si legge << di coordinate ed >>. è detta ascissa del punto, è detta ordinata del punto. La retta orientata è detta asse delle ascisse o asse delle, la retta orientata è detta asse delle ordinate o asse delle. Le due rette ed costituiscono un sistema di assi cartesiani ortogonali. Il punto è detto origine degli assi cartesiani.da quanto detto si deduce che esiste una corrispondenza iunivoca fra le coppie ordinate di numeri reali relativi ed i punti di un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani. Le rette ed dividono il piano in 4 parti ciascuna delle quali prende il nome di quadrante. Le rette ed e le loro due isettrici dividono il piano in 8 parti, ciascuna delle quali prende il nome di ottante. - -

2 K 0 0 II I H III IV La distanza tra i punti A, e B La distanza tra due punti, si calcola applicando la seguente formula: d( A, B) AB Dimostrazione: Basta applicare il teorema di itagora al triangolo rettangolo AHB. A ;, 5;3 d( A, B) AH HB B d( A, B) ( 5 ) ( 3 ) 6 7 B AH BH A H sservazione: A e B hanno la stessa ordinata ( all asse delle ascisse. ) allora il segmento AB è parallelo In questo caso aiamo: d( A, B) ossiamo anche dire che: d(a,b) = ascissa maggiore - ascissa minore = A B Se i punti A e B hanno la stessa ascissa ( ordinate. - - ) allora il segmento AB è parallelo all asse delle

3 - 3 - In questo caso aiamo: d( A, B) ossiamo anche dire che: d(a,b) = ordinata maggiore - ordinata minore B A = Le coordinate del punto medio di un segmento er calcolare le coordinate del punto medio M, del segmento di estremi, asta applicare la seguente formula: M M, e M M M, M j M unti simmetrici rispetto agli assi cartesiani e rispetto all origine Il punto ; è simmetrico del punto, rispetto all asse delle ascisse se ha la stessa ascissa di ma ordinata opposta, cioè se: Il punto ; è simmetrico del punto ;. rispetto - (;) asse dele ascisse (;-) all asse delle ascisse. Il punto 5; 7 è simmetrico del punto 5;7 rispetto all asse delle ascisse

4 - 4 - Il punto ; è simmetrico del punto, rispetto all asse delle ordinate se ha la stessa ordinata di ma ascissa opposta, cioè se:. (-;) (;) Il punto ; è simmetrico del punto ; rispetto all asse delle ordinate. Il punto 5; 3 è simmetrico del punto 5; 3 Il punto ; è simmetrico del punto, rispetto all origine degli assi rispetto all asse delle ordinate. cartesiani se hanno opposte sia l ascissa che l ordinata, cioè se:. (-;) (;) Il punto ; è simmetrico del punto ; rispetto all origine degli assi cartesiani. Il punto 5; 4 è simmetrico del punto 5; 4 rispetto all origine degli assi cartesiani. Corrispondenza tra due insiemi Dati due insiemi A e B, si dice che tra essi è definita una corrispondenza quando è indicata una legge di natura qualsivoglia che associa a qualche elemento dell insieme A uno o più elementi dell insieme B. Diagramma a frecce o diagramma sagittale della corrispondenza esistente tra gli insiemi A e B. A c a d u v z p B - 4 -

5 - 5 - Una corrispondenza fra due insiemi A e B è una funzione se ad ogni elemento dell insieme A associa un solo elemento dell insieme B. Una funzione si indica col seguente simolo: dove è la variaile indipendente, è la variaile dipendente. f Diagramma a frecce o diagramma sagittale della funzione f che ad ogni elemento dell insieme A fa corrispondere un solo elemento dell insieme B. A a c d s q v z u p B uando A e B sono insiemi numerici, le funzioni vengono chiamate funzioni numeriche e vengono espresse mediante formule matematiche del tipo: f 9 f 9 Diagramma a frecce o diagramma sagittale della funzione f con dominio A e codominio f A. f dicesi immagine di nella f mentre la è la controimmagine di nella f. Grafico di una funzione matematica Di una funzione numerica possiamo disegnare il suo grafico che è una curva del piano cartesiano. Basta tracciare in un piano riferito ad un sistema ortogonale di assi cartesiani tutti i punti che hanno come ascissa il numero e come ordinata il numero funzione f. La costruzione del grafico della f si può effettuare per punti, assegnato alla alcuni particolari e convenienti valori e determinando i corrispondenti valori f. Noi, in seguito, vedremo come è possiile attraverso la conoscenza di pochi elementi effettuare la costruzione dei grafici di alcune funzioni come quelle che generalo la retta, la paraola, la circonferenza, l ellisse e l iperole. Grafico di una funzione empirica Le funzioni empiriche sono quelle funzioni, numeriche o non, per le quali l elemento corrispondente B dell elemento A non si ottiene mediante una formula matematica ma per mezzo di misurazioni sperimentali (come in fisica, in chimica) o di rilevazioni (come avviene in economia, statistica)

6 - 6 - Grafico empirico che ci indica come varia la temperatura di una città durante un determinato giorno. In ascissa riportiamo le ore della giornata, sull asse delle ordinate riportiamo i valori delle temperature misurate. Il grafico rappresenta la variazione del prezzo del petrolio tra il 5 luglio del 995 ed il 5 agosto del 996. Sull asse delle ascisse riportiamo i tempi rispetto ai quali si studia la variazione del prezzo. Sull asse delle ordinate riportiamo i prezzi in dollari per arile di petrolio. La spezzata che si ottiene evidenzia i periodi durante i quali si è verificato un aumento o una diminuzione del prezz0. Equazione cartesiana di una retta Definizione: Dicesi retta il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate ; verificano una equazione di primo grado a due incognite. a c 0 [B] è l equazione generale della retta o equazione della retta sotto forma implicita. a c a c onendo a m, n m n [C] c l equazione [B] diventa: che rappresenta l equazione canonica della retta o equazione della retta sotto forma esplicita. Il numero reale relativo n dicesi ordinata all origine perché rappresenta l ordinata del punto di intersezione della retta con l asse, mentre m dicesi coefficiente angolare della retta. L equazione [C] non si presta a rappresentare rette parallele all asse delle in quanto m perde di significato

7 equazione generale della retta, 3 4 equazione canonica della retta, m 4 3 = coefficiente angolare della retta, n 4 = ordinata all origine Equazioni di rette aventi una posizione particolare rispetto agli assi cartesiani k k rappresenta l equazione di una generica retta parallela all asse delle. Essa si ricava ponendo: 0, c. Risulta: a a m k rappresenta l ascissa di un generico punto della retta. h rappresenta l equazione di una generica retta parallela all asse delle. Essa si ricava ponendo: a 0, c a h. Risulta: m 0 h rappresenta l ordinata di un generico punto della retta. 0 è l equazione dell asse delle ordinate. Si ottiene per: c 0, a, m 0 è l equazione dell asse delle ascisse. Si ottiene per: a c 0,, m 0 è l equazione della isettrice del I e III quadrante, detta anche isettrice fondamentale degli assi cartesiani. Risulta: a,, c 0, m è l equazione della isettrice del II e IV quadrante, detta anche isettrice secondaria degli assi cartesiani. Risulta: a,, c 0, m a 0 oppure m è l equazione di una generica retta passante per l origine degli assi cartesiani. Grafico di una retta er disegnare il grafico di una retta asta individuare le coordinate di due suoi opportuni punti. Se possiile, è conveniente utilizzare punti a coordinate intere. Disegnare il grafico della retta di equazione 35 0 che, sotto forma esplicita, assume la forma: 5 3 A 3 ;3 4 B 4; Grafico della retta di equazione = 0 3 5/3 A er disegnare il grafico della retta di equazione 35 0 avrei potuto utilizzare le intersezioni con gli assi cartesiani. Tali intersezioni hanno rispettivamente ascissa ed ordinata espresse da numeri frazionari. -4 B -5/

8 - 8 - Rette parallele Teorema: Condizione necessaria e sufficiente perché due rette siano parallele è che i lor coefficienti angolari siano uguali. r: a c 0, m n, s: a c, m n r 0 / / s m m oppure a ka, k con k R 0 cioè k è una costante di proporzionalità non nulla. In particolare essa può assumere il valore k ed il parallelismo tra le due rette si trasforma nella uguaglianza tra i coefficienti delle variaili omonime: a a,. Se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare esse sono parallele, viceversa se esse sono rette parallele =m+q parallele allora hanno lo stesso coefficiente angolare. =m+n Rette perpendicolari Condizione necessaria e sufficiente perché due rette siano perpendicolari è che i loro coefficienti angolari siano antireciproci, cioè che il prodotto dei loro coefficienti angolari sia. r s [ mm, oppure aa 0 Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a ( q m =m+n mm ), oppure se: aa 0-8 -

9 - 9 - Equazione della circonferenza La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro. Riferito il piano ad un sistema ortonormale di assi cartesiani, detto C, il centro della circonferenza,, un generico punto di aiamo: C r C r r [] r C C,, La [] è l equazione di una circonferenza di dato centro e dato raggio. Se C r [] la [] diventa : La [] rappresenta l equazione di una circonferenza avente il centro coincidente con l origine degli assi cartesiani. Equazione generale della circonferenza L equazione [] assume la seguente forma a c 0 [3] se poniamo : [4] a,, c r a,, r c a 4c [5] La paraola Definizione : Dicesi paraola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d ( non contenente il fuoco ) detta direttrice. La retta r passante per F e perpendicolare alla direttrice d è l asse della paraola. La retta r incontra la retta d nel punto D. Il punto medio V del segmento FD è il vertice della paraola. asse della paraola r F V D direttrice d H - 9 -

10 - 0 - La paraola ad asse verticale Se scegliamo gli assi cartesiani in modo che l asse delle ascisse sia parallelo alla direttrice d, l equazione della paraola assume la forma a c V, a Vertice della paraola F, a Fuoco della paraola a equazione della direttrice della paraola equazione dell asse della paraola a 0 ( a 0 ) la paraola volge la concavità verso l alto ( il asso ) Se c 0 l equazione della paraola assume la forma : a 4 p 4p F 0, F p 0, p = equazione della direttrice 4 ac Intersezioni con gli assi cartesiani La paraola ad asse verticale incontra sempre l asse delle nel punto A c 0,. er calcolare le coordinate delle eventuali intersezioni della paraola con l asse delle ascisse asta risolvere il seguente sistema: 0 cioè la seguente equazione di secondo grado : a c a c 0 0 : la paraola incontra l asse delle ascisse in due punti distinti 0: la paraola incontra l asse delle ascisse in due punti coincidenti. uesto significa che la paraola ha il vertice V sull asse delle, cioè l asse è tangente alla paraola nel vertice 0: la paraola non incontra l asse delle ascisse - 0 -

11 - - La paraola ad asse orizzontale d D V F asse della paraola r H Se scegliamo gli assi cartesiani in modo che l asse delle risulti parallelo alla direttrice d, allora l equazione della paraola assume la forma: a c V, a Vertice della paraola F, Fuoco della paraola a a equazione della direttrice della paraola equazione dell asse della paraola a 0 ( a 0 ) la paraola volge la concavità verso destra ( sinistra ) Se c 0 l equazione della paraola assume la forma : a 4 p 4p F 4 a,0 F p,0 p = equazione della direttrice 4 ac - -