Compito di Matematica / Classe 2Dsa / 10-marzo-17 / Alunno:

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1 Compito di Matematica / Classe 2Dsa / 10-marzo-17 / Alunno: Assegnato il triangolo di vertici A 6, 5 B 5, 2 C(13, 2) determina l ortocentro e il circocentro. Determina l equazione della retta di Eulero. Determina la lunghezza della circonferenza circoscritta. Indicato con F il punto di coordinate (16, 4), determina l area del triangolo ACF.

2 DETERMINAZIONE DEL CIRCOCENTRO Il circocentro è l incontro degli assi dei lati. Ha questo nome perché è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. Per determinarlo è quindi necessario: 1) Scrivere le equazioni degli assi di due lati. 2) Metterle a sistema fra loro per trovare il punto di intersezione. Trovo l equazione dell asse del lato AB L asse di un lato è la retta che passa per il punto medio del lato ed è perpendicolare ad esso. Per il lato AB l asse deve passare per il punto medio, dato da: M 01 = x 0 + x 1 2 ; y 0 + y 1 2 = ; = 11 2 ; 3 2 Per trovare il coefficiente angolare dell asse, determino prima il coefficiente angolare del lato AB: m 01 = y 1 y 0 x 1 x 0 = = 7 1 = 7 L asse del segmento AB, essendo perpendicolare al segmento AB, deve essere: m = 1 m 01 = 1 7 L equazione dell asse si trova quindi utilizzando la formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare noto: y y 9 = m x x 9 y 3 2 = 1 7 x y 21 = 2x x + 14y 32 = 0 Oppure, in forma esplicita: 14y = 2x + 32 y = 1 7 x Trovo l equazione dell asse del lato BC Il lato BC è orizzontale, il suo asse sarà quindi verticale. L asse passa per il punto medio del lato BC, che è:

3 M 1< = x 1 + x < ; y 1 + y < 2 2 = ; = 9; 2 L asse del segmento BC è quindi la retta verticale fatta da tutti i punti di ascissa 9. La sua equazione è quindi: x = 9 Interseco i due assi per trovare il circocentro Per trovare il circocentro, devo trovare il punto di intersezione degli assi dei lati AB e BC. Scrivo quindi le due equazioni a sistema e risolvo: Col metodo di sostituzione si trova: y = 1 7 x x = 9 y = = 7 7 = 1 Il circocentro è quindi: O = (9; 1)

4 DETERMINAZIONE DELL ORTOCENTRO L ortocentro è l incontro delle altezze. Ha questo nome perché le altezze sono ortogonali ai lati. Per determinarlo è quindi necessario: 1) Scrivere le equazioni delle altezze relative a due lati. 2) Metterle a sistema fra loro per trovare il punto di intersezione. Trovo l equazione dell altezza relativa al lato AB L altezza relativa al lato AB passa per il vertice C ed è perpendicolare al lato AB. Il suo coefficiente angolare è quindi l antireciproco di quello del segmento AB: m = 1 m 01 = 1 7 L equazione dell asse si trova quindi utilizzando la formula della retta passante per un punto (vertice C) con coefficiente angolare noto: y y < = m x x < y ( 2) = 1 x 13 7 y + 2 = 1 7 x y = 1 7 x y = 1 7 x 1 7 Trovo l equazione dell altezza relativa al lato BC Il lato BC è orizzontale, l altezza ad esso relativa sarà quindi la retta verticale passante per il punto A. La sua equazione è quindi: ovvero x = x 0 x = 6 Interseco le due altezze per trovare l ortocentro Per trovare l ortocentro, devo trovare il punto di intersezione delle altezze relative ai lati AB e BC. Scrivo quindi le due equazioni a sistema e risolvo: y = 1 7 x 1 7 x = 6

5 Col metodo di sostituzione si trova: y = = 1 L ortocentro è quindi il punto H = (6; 1)

6 DETERMINAZIONE DELLA RETTA DI EULERO In un triangolo la retta di Eulero è la retta che passa per il circocentro, l ortocentro e il baricentro. Avendo determinato per il triangolo assegnato l ortocentro e il circocentro, è possibile trovare l equazione della retta di Eulero scrivendo la retta passante per questi due punti: L equazione è: O = (9; 1) H = (6; 1) y y A = x x A y ( 1) 1 ( 1) = x y = x y + 1 = 2 (x 6) 3y + 3 = 2x 12 2x 3y 15 = 0

7 DETERMINAZIONE DELLA LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA La circonferenza circoscritta al triangolo ha centro nel circocentro e passa per i tre vertici A, B e C. Il suo raggio si può quindi determinare calcolando la distanza tra il circocentro e uno qualsiasi dei vertici: r = OA = x 0 x A C + y 0 y A C r = OA = 6 9 C C = = 25 = 5 La lunghezza della circonferenza è quindi: l = 2π r = 2π 5 = 10π

8 DETERMINAZIONE DELL AREA DEL TRIANGOLO ACF L area del triangolo ACF si può calcolare considerando la base AC e l altezza relativa al vertice F. La base AC misura: b = AC = x < x 0 C + y < y 0 C b = AC = 13 6 C C = = 2 49 = 7 2 L altezza relativa alla base AC è la distanza (misurata perpendicolarmente) tra il vertice F e la retta AC. La formula della distanza punto-retta è la seguente: h = a x I + b y I + c (a C + b C ) essendo (x I, y I ) le coordinate del punto F e a, b, c i coefficienti dell equazione della retta AC scritta in forma implicita. L equazione della retta AC si trova con la formula della retta passante per due punti: L altezza del triangolo è pertanto: L area del triangolo ACF è quindi: y y 0 y < y 0 = x x 0 x < x 0 y = x y 5 7 = x 6 7 y + 5 = x 6 x + y 11 = 0 h = x I + y I 11 (1 C + 1 C ) h = = = Area = b h 2 = = 63 2 =