LABORATORIO DI METODI GEOMETRICI PER LA GRAFICA T = 1

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1 LABORATORIO DI METODI GEOMETRICI PER LA GRAFICA Curve Piane: Sia α una curva piana, allora T = 1 α α, dove Alcune curve piane: La Retta La Circonferenza L Ellisse La Cicloide La Spirale Logaritmica La Parabola semicubica L Otto L Asteroide N = J(T ), κ = α J(α ) α 3, J(x, y) = ( y, x). α = (at + b, dt + c). α = (cos t, sin t). α = (a cos t, b sin t). α = (at b sin t, at b cos t). α = a(e bt cos t, e bt sin t). α = (t 2, t 3 ). α = (cos t, cos t sin t). α = (cos 3 t, sin 3 t). La curva di Bernoulli ( a cos t a sin t cos t ) α = 1 + sin 2, t 1 + sin 2. t La Cardiode La Catenaria α = (2a cos t(1 + cos t), 2a sin t(1 + cos t)). α = (a cosh(t/a), t). 1

2 2 LABORATORIO DI METODI GEOMETRICI PER LA GRAFICA La Trattrice La curva di Lissojous α = a(sin t, cos t + log(tan(t/2))). α = (a sin(nt + d), b sin t). Ricostruzione di una curva piana dalla curvatura: Sia κ: [a, b] R una mappa regolare. Esiste una curva α che ammette κ come curvatura. Tale curva puo essere definita tramite il seguente algoritmo: Sia allora α = (x, y), dove x(t) = t a θ(t) := t a κ(u)du, cos θ(u)du, y(t) = Curve in R 3 : Sia α una curva in R 3, allora T = α α, B = α α α α, N = B T, κ = α α α 3, τ = α α α α α 3 t Alcune curve nello spazio: Elica: α := (a cos t, a sin t, b t) Cubica sghemba: α := (t, t 2, t 3 ) Elica Logaritmica: Curva di Viviani: α := (a e bt cos t, a e bt sin t, ct). a sin θ(u)du. α = (a(1 + cos t), a sin t, a2 sin(t/2)). Asteroide 3-dimensionale: α = (a cos n t, b sin n t, cos(2t)),.

3 LABORATORIO DI METODI GEOMETRICI PER LA GRAFICA 3 Opzioni per la grafica in 3D. ambientlight=[r,g,b]: permette di definire l intenistà di Rosso, Verde e Blu della luce. I valori variano tra 0 e 1. axes=n: permette di definire gli assi di riferimento: opzioni boxed, framed, normal, none. color=n: definisce il colore dell immagine. coords=n: definisce il tipo di coordinate utilizzate; opzioni: cartesian, spherical, cylindrical. grid=[n,m]: permette di modificare la griglia. ligth=[φ,θ,r,g,b]. Gli angoli φ, θ sono gli angoli da cui proviene la luce. lightmodel=n. Puo essere light1, light2, light3, light4. orientation=[θ,φ]. scaling=constrained/unconstrained. style=n: point, hidden, patch, wireframe, contor, pacthnogrid, pacthcontour, line. symbol=n: se lo style=point allora circle, croos o diamand. thickness=n: dove N=1,2,3. Coordinate Sferiche: Coordinate Cilindriche: Superfici di Rotazione: x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ. x = r cos θ y = r sin θ z = z. Sia α(v) = (α 1 (v), α 2 (v)) una curva sul piano xz. Allora X = [α 1 (v) cos u, α 1 (v) sin v, α 2 (v)] è la superficie di rotazione generata da α. Curvatura di Gauss: Sia X = X(u, v) una parametrizzazione di una superfice S. Si definiscono i coefficenti della prima forma fondamentale E :=< X u, X u >,, F :=< X u, X v >, G :=< X u, X v > e i coefficenti della seconda forma fondamentale e := < X uu, N >,, f := < X uv, N >, g := < X vv, N >

4 4 LABORATORIO DI METODI GEOMETRICI PER LA GRAFICA essendo N := X u X v X u X v il versore normale alla superficie. Allora K := eg f 2 EG F 2 è la curvatura di Gauss della superficie e Gl + En 2F n H := 2(EG F 2 ) è la curvatura Media.

5 LABORATORIO DI METODI GEOMETRICI PER LA GRAFICA 5 Movimenti nel piano e nello spazio. Caso Bidimensionale: traslazione (x, y) (x + a, y + b); rotazione (x, y) (x cos α y sin α, x sin α + y cos α); roto-traslazione (x, y) (a + x cos α y sin α, b + x sin α + y cos α); dilatazione (x, y) (a x, b y). Caso Tridimensionale: traslazione (x, y, z) (x + a, y + b, z + c); dilatazione (x, y, z) (ax, by, cz). Un immersione del Proiettivo. X(u, v) := (cos v sin u sin v, cos v cos u sin v, cos v sin u cos v cos u) per u [ 1/2π, 1/2π], v [ 1/2π, 1/2π] è un immersione del proiettivo tridimesnionale in R 3.

6 6 LABORATORIO DI METODI GEOMETRICI PER LA GRAFICA Equazioni delle geodetiche Sia X = X(u, v) la parametrizzazione di una superficie regolare S su un dominio del piano U. Sia (u 0, v 0 ) U e (u 0, v 0 ) un vettore di R2. Allora le soluzioni delle equazioni differenziali { u + Eu 2E u 2 + Ev E u v Gu 2E v 2 = 0 u E v 2G u 2 + G u G u v + G v 2G v 2 = 0 con dati iniziali u(0) = u 0, v(0) = v 0, u (0) = u 0, v (0) = v 0 definiscono un geodetica su S.