equazione parametrica (con parametro t)

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1 HHH HHH Geometria analitica/1 Rette nel piano euclideo x = x0 + t v = (, µ) 6= (0, 0) vettore t.c. v k r y = y 0 + µ t 2 P 0 = (x 0, y 0 ) punto di r H equazione parametrica (con parametro t) n = (a, b) 6= (0, 0) vettore t.c. n? r a x + b y = c 2 c = a x 0 + b x 0 con P 0 = (x 0, y 0 ) 2 r HHH equazione cartesiana (a, b, c a meno di fattore k 6= 0) Note 1) v = (, µ) 3 n = ( µ, ), n = (a, b) 3 v = ( b, a) 2) s, s 0 r semirette uscenti da P 0 2 t 7 0 3), 0 semipiani uscenti da r 2 a x + b y 7 c 4) equaz. param. 2 forma esplicita 2 equaz. cartesiana 5) r \ r 0 2 sistema + eventuale eliminazione parametri Condizione di parallelismo (in senso debole) r k r 0, v k v 0, esiste k 6= 0 t.c. 0 = k e µ 0 = k µ, µ 0 = 0 µ, n k n 0, esiste k 6= 0 t.c. a 0 = k a e b 0 = k b, a b 0 = a 0 b Condizione di perpendicolarità r? r 0, v? v 0, hv, v 0 i = 0, 0 + µ µ 0 = 0, n? n 0, hn, n 0 i = 0, a a 0 + b b 0 = 0 Angolo (convesso) tra due rette (orientate) g rr 0 = g vv 0 = arccos(( 0 + µ µ 0 )/ p ( 2 + µ 2 )( 02 + µ 02 )) = g nn 0 = arccos((a a 0 + b b 0 )/ p (a 2 + b 2 )(a 02 + b 02 )) Distanza punto-retta (con segno dipendente da n) d(p, r) = hn/knk, [ bbbbbbd P 0 P ]i = (ax P + by P c)/ p a 2 + b 2 Note 1) Asse di bbbbbbbb P 1 P 2 = {P 2 piano t.c. d(p, P 1 ) = d(p, P 2 )} 2 2(x 2 x 1 )x + 2(y 2 y 1 )y = x y1 2 x 2 2 y2 2 2) Bisettrice di r h 1 r 2 (rette orientate) 2 P 0 = r 1 \ r 2, v = v 1 /kv 1 k + v 2 /kv 2 k, n = n 1 /kn 1 k + n 2 /kn 2 k

2 HHH HHH Geometria analitica/2 Circonferenze nel piano euclideo x = x0 + r cos t C = y = y 0 + r sin t 2 (x0, y 0 ) centro r > 0 raggio H equazione parametrica (con parametro t) C = (a/2, b/2) centro x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 2 c = (a 2 + b 2 )/4 r 2 con r raggio HHH equazione cartesiana (con 4c a 2 + b 2 ) Note 1) a, b, c sono univocamente determinati 2) circonferenza passante per tre punti non allineati (passaggio per un punto 2 condizione lineare in a, b, c) Intersezione circonferenza-retta 2 sistema di 2 grado 3 retta secante ( > 0), tangente ( = 0), esterna ( 0) Nota la condizione di tangenza è di 2 grado nei coe cienti (rette/circonferenze tangenti a circonferenze/rette date) Trasformazioni geometriche del piano Traslazioni v = (v x, v y ) 3 v = x 0 = x + v x y 0 = y + v y Rotazioni intorno all origine (r, #) coordinate polari 3 x = r cos # y = r sin # p r = x2 + y 2 x # = ± arccos p x2 + y 2 = r 0 = r # 0 = # + 3 x 0 = x cos y sin y 0 = x sin + y cos Riflessioni rispetto agli assi coordinati x 0 = x x 0 = x x = y 0 y = = y y 0 = y

3 HHHH Geometria analitica/3 Nota le trasformazioni v,, y con v 2 V e 0 2 generano il gruppo Iso delle isometrie del piano Dilatazioni con centro l origine k = x 0 = k x y 0 = k y Nota le trasformazioni v,, y, k con v 2 V, 0 2 e k > 0 generano il gruppo Sim delle similitudini del piano Riscalature degli assi coordinati k x,k y = x 0 = k x x y 0 = k y y Scorrimenti paralleli agli assi coordinati x 0 = x x 0 = x + h y x,h = y 0 y,h = = y + h x y 0 = y Nota le trasformazioni v,, y, 1,k, y,1 con v 2 V, 0 2 e k > 0 generano il gruppo A delle a nità del piano Cambiamenti di coordinate del piano (x, y) coordinate cartesiane determinate da (O, U x, U y ) (x 0, y 0 ) coordinate cartesiane determinate da (O 0, Ux, 0 Uy) 0 3 ' P 7! P 0 unica a nità t.c. '(O, U x, U y ) = (O, Ux, 0 Uy) 0 3 f (x P, y P ) 7! (x P 0, y P 0) espressione di ' in coord. (x, y) (x, y) = f(x 0, y 0 ) 3 (x 0, y 0 ) = f 1 (x P, y P ) = (x 0 P, y 0 (x, y) 0 P ) 0 Coniche nel piano euclideo formule di cambiamento delle coordinate Curve piane del 2 ordine 2 equazioni di 2 grado in x, y Esempi 1) circonferenze 2 x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 2) r [ r 0 2 (a x + b y c)(a 0 x + b 0 y c 0 ) = 0 3) x 2 + y 2 = 0 2 {(0, 0)}, x 2 + y = 0 2?

4 Geometria analitica/4 Ellissi = luoghi dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti (fuochi) F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0), d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (con a > c > 0) 3 x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (equazione canonica con b 2 = a 2 c 2 ) Note 1) ellissi sono limitate (nel rettangolo [ a, a] [ b, b]) 2) a, b (lunghezze semiassi) invarianti per isometrie a/b, e = c/a 1 (eccentricità) invarianti per similitudini a = b (c = e = 0) 2 F 1 = F 2 2 circonferenza 3) 3 classificazione delle ellissi (a ne, simile, euclidea) Iperboli = luoghi dei punti del piano per cui è costante la di erenza delle distanze da due punti (fuochi) F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0), d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a (con 0 a c) 3 x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 (equazione canonica con b 2 = c 2 a 2 ) Note 1) iperboli illimitate e non contenute in un semipiano asintoti x 2 /a 2 y 2 /b 2 = (x/a + y/b)(x/a y/b) = 0 ) non a nemente equivalenti alle ellissi 2) a (semi-distanza vertici) e b invarianti per isometrie a/b, e = c/a > 1 (eccentricità) invarianti per similitudini 3) 3 classificazione delle iperboli (a ne, simile, euclidea) Parabole = luoghi dei punti del piano per cui sono uguali le distanze da un punto (fuoco) e una retta (direttrice) F = (c, 0), r x = c, d(p, F ) = d(p, r) (con c > 0) 3 y 2 = 4c x (equazione canonica) Note 1) parabole illimitate, ma contenute in semipiani ) non a nem. equiv. alle ellissi e alle iperboli 2) c (semi-distanza tra F e r) invariante per isometrie 3) 3 classificazione delle parabole (a ne, simile, euclidea)

5 HH HHH Geometria analitica/5 Intersezione conica-retta 2 sistema di 2 grado 3 retta secante ( > 0), tangente ( = 0), esterna ( 0) (la condizione di tangenza è di 2 grado nei coe cienti) Note 1) coniche come sezioni piane di coni/cilindri circolari 2) significato geom. dell eccentricità (e = 1 per la parabola) e = (distanza da un fuoco)/(distanza da una direttrice) d(p, F ) = e d(p, r) con F = (c, 0) e r x = a/e per e 6= 0 3) esistono altre curve piane del 2 ordine? Piani nello spazio euclideo x = x t t 2 y = y 0 + µ 1 t 1 + µ 2 t 2 2 z = z t t 2 HH vi = ( i, µ i, i ) t.c. v i k e v 1, v 2 P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) punto di equazione parametrica (con parametri t 1, t 2 ) n = (a, b, c) 6= (0, 0, 0) vettore t.c. n? a x + b y + c z = d 2 d = a x 0 + b x 0 + c z 0, P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) 2 HHH equaz. cart. (a, b, c, d a meno di fattore k 6= 0) Note 1) v 1, v 2 3 n = v 1 v 2 (n 2 orientazione di ) 2) semispazi uscenti da 2 a x + b y + c z 7 d 3) equaz. param. 2 forma esplicita 2 equaz. cartesiana 4) \ 0 2 sistema + eventuale eliminazione parametri (=? se k 0, piano se = 0, retta altrimenti) Condizione di parallelismo (in senso debole) k 0, n k n 0, esiste k 6= 0 t.c. a 0 = k a, b 0 = k b e c 0 = k c Condizione di perpendicolarità? 0, n? n 0, hn, n 0 i = 0, a a 0 + b b 0 + c c 0 = 0 Angolo (convesso) tra due piani (orientati) g 0 = g nn 0 = arccos((a a 0 + b b 0 + c c 0 )/ p (a 2 + b 2 + c 2 )(a 02 + b 02 + c 02 ))

6 HHHH HH HHH Geometria analitica/6 Distanza punto-piano (con segno dipendente da n) d(p, ) = hn/knk, [ bbbbbbd P 0 P ]i = (ax P + by P + cz P d)/ p a 2 + b 2 + c 2 Rette nello spazio euclideo x = x 0 + t v = (, µ, ) 6= (0, 0, 0) t.c. v k r y = y 0 + µt 2 P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) punto di r z = z 0 + t equazione parametrica (con parametro t) a1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 ni = (a i, b i, c i ) t.c. n i? r e n 1, n 2 2 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 c i = a i x 0 + b i x 0 + c i z 0, (x 0, y 0, z 0 ) 2 r H equaz. cart. (a i, b i, c i, d i a meno di fatt. k i 6= 0) Note 1) n 1, n 2 3 v = n 1 n 2 2) s, s 0 r semirette uscenti da P 0 2 t 7 0 3) equaz. param. 2 forma esplicita 2 equaz. cartesiana 4) r \ r 0 2 sistema + eventuale eliminazione parametri (=? se r, r 0 sghembe (= non complanari) o parallele) Condizioni di parallelismo (in senso debole) r k r 0, v k v 0, esiste k 6= 0 t.c. 0 = k, µ 0 = k µ e 0 = k r k 0, v? n 0, hv, n 0 i = 0, a 0 + b 0 µ + c 0 = 0 Condizioni di perpendicolarità (in senso debole) r? r 0, v? v 0, hv, v 0 i = 0, 0 + µ µ = 0 r? 0, v k n 0, esiste k 6= 0 t.c. a 0 = k, b 0 = k µ e c 0 = k Sfere nello spazio euclideo x = x 0 + r cos t 1 cos t 2 C = (x0, y 0, z 0 ) centro y = y 0 + r sin t 1 cos t 2 2 r > 0 raggio z = z 0 + r sin t 2 HH equazione parametrica (con parametri t 1, t 2 )

7 HHH Geometria analitica/7 C = (a/2, b/2, c/2) centro x 2 + y 2 + a x + b y + c z + d = 0 2 d = (a 2 + b 2 + c 2 )/4 r 2, r raggio HHH equazione cartesiana (con 4d a 2 + b 2 + c 2 ) Note 1) a, b, c, d sono univocamente determinati 2) circonferenza passante per quattro punti non complanari (passaggio per un punto 2 condiz. lineare in a, b, c, d) Intersezione sfera-retta 2 sistema di 2 grado 3 retta secante ( > 0), tangente ( = 0), esterna ( 0) Intersezione sfera-piano 2 sistema di 2 grado 3 piano secante (circonferenza), tangente (punto), esterno (?) Nota le condizioni di tangenza sono di 2 grado nei coe (rette-piani/sfere tangenti a sfere/rette-piani dati) cienti Trasformazioni geometriche dello spazio Traslazioni v = (v x, v y, v z ) 3 v = x 0 = x + v x y 0 = y + v y z 0 = z + v z Rotazioni intorno agli assi x = r cos # r = p x 2 + y 2 x (r, #, z) coord. cilindriche 3 y = r sin # # = ± arccos p x2 + y z = z z = z 2 r 0 = r x 0 = x cos y sin z, = # 0 = # + 3 y 0 = x sin + y cos z 0 = z z 0 = z x 0 = x x 0 = z sin + x cos x, = y 0 = y cos z sin y, = y 0 = y z 0 = y sin + z cos z 0 = z cos x sin

8 Geometria analitica/ Nota le rotazioni x, /2 e z, con 0 2 generano le rotazioni intorno a tutte le rette per l origine ( y, = 1 x, /2 a z, a x, /2, x, = z, /2 a y, a 1 (r, #, ') coord. sferiche 3 x = r cos # cos ' y = r sin # cos ' z = r sin ' retta(#,'), = z,# a 1 y,' a x, a y,' a 1 z,# ) Riflessioni rispetto ai piani coordinati x 0 = x x 0 = x x = y 0 = y y = y 0 = y z 0 = z z 0 = z z, /2 r = p x 2 + y 2 + z 2 # = ± arccos(x/ p x 2 + y 2 ) ' = arcsin(z/ p x 2 + y 2 + z 2 ) z = x 0 = x y 0 = y z 0 = Nota le trasformazioni v, x, /2, z,, z con v 2 V e 0 2 generano il gruppo Iso delle isometrie dello spazio Dilatazioni con centro l origine k = x 0 = k x y 0 = k y z 0 = k z Nota le trasf. v, x, /2, z,, z, k con v 2 V, 0 2 e k > 0 generano il gruppo Sim delle similitudini dello spazio Riscalature degli assi coordinati k x,k y,k z = Scorrimenti paralleli ai piani coordinati x,v = x 0 = x y 0 = y + x v y z 0 = z + x v z y,v = z x 0 = k x x y 0 = k y y z 0 = k z z x 0 = x + y v x y 0 = y z 0 = z + y v z z,v = x 0 = x + z v x y 0 = y + z v y z 0 = z

9 HHHH Geometria analitica/9 Nota le trasf. v, x, /2, z,, z, 1,1,k, z,(1,0) con v 2 V, 0 2 e k > 0 generano il gruppo A delle a nità dello spazio Cambiamenti di coordinate dello spazio (x, y, z) coordinate cartesiane determinate da (O, U x, U y, U z ) (x 0, y 0, z 0 ) coordinate cartesiane determinate da (O 0, Ux, 0 Uy, 0 Uz) 0 3 ' P 7! P 0 unica a nità t.c. '(O, U x, U y, U z ) = (O, Ux, 0 Uy, 0 Uz) 0 3 f (x P, y P, z P ) 7! (x P 0, y P 0, z P 0) espres. di ' in coord. (x, y, z) (x, y, z) = f(x 0, y 0, z 0 ) 3 (x 0, y 0, z 0 ) = f 1 (x P, y P, z P ) = (x 0 P, y 0 (x, y, z) 0 P, z 0 0 P ) 0 Quadriche nello spazio euclideo formule di cambiamento delle coordinate Superfici del 2 ordine 2 equazioni di 2 grado in x, y, z Esempi 1) sfere 2 x 2 + y 2 + z 2 a x + b y + c z + d = 0 2) [ 0 2 (a x + b y + c z d)(a 0 x + b 0 y + c 0 z d 0 ) = 0 3) cilindri su coniche = superfici generate dalle rette uscenti da una conica contenuta in un piano parallele a una direzione trasversale al piano (x 2 ± y 2 = 1) 4) coni su coniche = superfici generate dalle rette uscenti da una conica contenuta in un piano e passanti per un punto esterno al piano (x 2 + y 2 = z 2 ) Ellissoidi = superfici generate ruotando un ellisse intorno a un suo asse e riscalando in una direzione ortogonale x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 ellisse nel piano x, y rotazione intorno all asse x 3 x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /b 2 = 1 riscalatura 3 x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 Iperboloidi = superfici generate ruotando un iperbole intorno a un suo asse e riscalando in una direzione ortogonale

10 Geometria analitica/10 x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 iperbole nel piano x, y rotazione intorno all asse x 3 x 2 /a 2 y 2 /b 2 z 2 /b 2 = 1 riscalatura 3 x 2 /a 2 y 2 /b 2 z 2 /c 2 = 1 (iperboloide ellittico) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 iperbole nel piano x, y rotazione intorno all asse y 3 x 2 /a 2 y 2 /b 2 + z 2 /a 2 = 1 riscalatura 3 x 2 /a 2 y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1 (iperboloide iperbolico) Paraboloidi = superfici generate traslando una parabola in modo che il suo vertice scorra lungo un altra parabola con asse parallelo e contenuta in un piano ortogonale z = ax 2 parabola nel piano x, z, z = by 2 parabola nel piano y, z traslazione 3 z = ax 2 + by 2 (parab. ellittico/iperbolico se a b 7 0) Intersezione quadrica-retta 2 sistema di 2 grado 3 retta secante ( > 0), tangente ( = 0), esterna ( 0) Intersezione quadrica-piano 2 sistema di 2 grado 3 piano secante (conica), tangente (punto/rette), esterno (?) (le quadriche iperboliche sono rigate = generate da rette) Note 1) problema della classificazione delle quadriche 2) esistono altre superfici del 2 ordine?